Éléments de correction

C ROISSANCE
(C ORRECTION DE LA FICHE DE TD
N
◦
2)
Stéphane Adjemian ∗
Le 25 avril 2016 à 8:37
E XERCICE 1 (1) Nous avons déjà montré dans la fiche de travaux dirigés n◦ 1
que la dynamique du stock de capital par tête est caractérisée par l’équation
différentielle suivante :
k̇(t) = sk(t)α − (n + δ)k(t)
À l’état stationnaire les variables par tête sont constantes. Notons k ? le niveau
d’état stationnaire du stock de capital par tête. L’état stationnaire est solution
de l’équation suivante :
s k ? α = (n + δ)k ?
À l’état stationnaire l’investissement par tête doit être égal à la dépréciation du
capital par tête. Cette équation admet deux solutions en k ? . La solution la plus
évidente est k ? = 0. Si le stock de capital est nul alors sa dépréciation est nécessairement nulle, par ailleurs, lorsque le stock de capital est nul la production
et donc l’investissement par tête sont nuls (puisque l’investissement est une
fraction de la production). Nous écartons cette solution, car l’économie serait
alors réduite à néant, et nous cherchons une solution strictement positive pour
k ? . En divisant les deux membres de la dernière égalité par k ? , nous obtenons :
s k ? α−1 = (n + δ)
À l’état stationnaire, l’investissement par unité de capital doit être égal au taux
de dépréciation. Nous obtenons finalement :
k? =
s
n+δ
1
1−α
On déduit directement l’état stationnaire de la production par tête, en substi∗ Université du Maine, Gains. stephane
DOT adjemian AT univ DASH lemans DOT fr
1
tuant ce résultat dans la fonction de production intensive 1 :
?
y =k
?α
=
s
n+δ
α
1−α
Enfin la consommation par tête à l’état stationnaire est donnée par :
?
?
c = (1 − s)y = (1 − s)
s
n+δ
α
1−α
(2) Une augmentation permanente du taux d’épargne induit une augmentation de l’état stationnaire du stock de capital physique par tête. En effet, nous
avons :
⇔
dk ?
1
1
=
ds
1−αn+δ
s
n+δ
1
1
dk ?
=
ds
1−αn+δ
s
n+δ
1
1−α
−1
α
1−α
>0
puisque, par l’hypothèse de rendement marginal positif et décroissant du capital physique, nous avons 0 < α < 1. Puisque la production par tête est une
fonction monotone croissante du stock de capital par tête, l’augmentation permanente du taux d’épargne induit nécessairement une augmentation de la production par tête à l’état stationnaire. En effet, en utilisant les dérivées en chaîne,
nous obtenons :
dy ?
dk ?
= α k ? α−1
>0
ds
ds
Les conséquences sur le niveau à l’état stationnaire de la consommation sont
moins évidentes. En effet, l’augmentation induite de la production par tête, y ? ,
s’accompagne d’une diminution de la part consommée du revenu, (1−s). Pour
conclure il faut peser l’augmentation de la production avec la baisse de la propension à consommer. Nous devons donc comparer deux pentes : la pente de
la part de la production consommée, constante et égale à -1, avec la pente de la
production, qui dépend du niveau de s et est donnée par la dernière équation.
Une augmentation du taux d’épargne induit une augmentation de la consommation à l’état stationnaire si et seulement si la pente de la production est supérieure à un (c’est-à-dire la valeur absolue de la pente de la part consommée
de la production). Nous donnerons une réponse plus précise en répondant à la
question suivante.
1. Celle-ci exprime la production par tête en fonction du stock de capital par tête. En effet nous
avons :
Y = K α L1−α
En divisant les deux membres par la population :
Y
= K α L−α
L
en utilisant les définitions des variables par tête, on a de façon équivalente :
y = kα
2
L’augmentation permanente du taux
d’épargne induit une augmentation
de k ? et de y ? . Si l’économie se situe initialement sur un état stationsk α
naire associé à un taux d’épargne
plus faible, alors l’accroissement du
taux d’épargne va générer une dysk α
namique de transition pour amener
l’économie vers le nouvel état stationnaire. Durant cette transition le
stock de capital par tête et la prok(0)
k?
duction augmentent. Au moment de
l’augmentation du taux d’épargne, le F IGURE 1 – Transition suite à une augniveau de la consommation par tête mentation du taux d’épargne
chute, puisque les ménages épargnent plus alors que la production commence
tout juste à s’ajuster, certes à la hausse, vers le nouvel état stationnaire. Puis,
en suivant la croissance de la production, la consommation par tête augmente
de façon continue pour rejoindre son nouvel état stationnaire, dont on ne peut
dire pour l’instant si il sera plus élevé ou moins élevé que la condition initiale
de la consommation.
(3) La consommation à l’état stationnaire est une fonction du taux d’épargne :
?
c (s) = (1 − s)
s
n+δ
α
1−α
On vérifie facilement que la consommation de long terme (le niveau d’état stationnaire) est nulle si le taux d’épargne est nul. En effet, si le taux d’épargne
est nul, alors le stock de capital physique par tête à long terme est nul (en l’absence d’investissement, le stock s’évapore, du fait de la dépréciation, jusqu’à ce
que le stock disparaisse) et donc la production à long terme est nulle. Puisque
la consommation est une fraction constante de la production, la consommation
est forcément nulle à long terme dans ce cas. Dans le cas
opposé d’un taux d’épargne égal à
un, on atteint certes le niveau de
c? (s)
long terme le plus élevé possible
pour le stock de capital physique
par tête ou la production par tête
(voir les réponses à la question 2),
mais il s’agit d’une économie où
les ménages consomment une part
nulle de la production ! Encore une
fois la consommation à long terme
est nulle. On peut tout aussi facilement vérifier, dans ces deux cas pos
laires, que si on augmente (en parsor = α
0
1
tant de zéro) ou diminue (en par- F IGURE 2 – Taux d’épargne de la règle
tant de un) marginalement le taux d’or
d’épargne alors on obtient nécessairement une augmentation de la consommation par tête à long terme. Entre ces deux cas polaires, nous cherchons une
3
valeur du taux d’épargne telle que le niveau de long terme de la consommation par tête est maximal. Si ce niveau optimal existe, alors il doit être tel qu’en
ce point la dérivée de la consommation à l’état stationnaire par rapport à s est
nulle. La dérivée de c? par rapport à s est donnée par :
α
α
1−α
1−α
−1
α
dc?
s
1
s
+ (1 − s)
=−
ds
n+δ
1−αn+δ n+δ
α
1−α
α 1−s
s
=
−1
n+δ
1−α s
Le taux d’épargne de la règle d’or sor , qui maximise la consommation par tête
à long terme doit être tel que :
dc? (sor )
=0
ds
c’est-à-dire, en simplifiant :
α 1 − sor
=1
1 − α sor
On trouve finalement :
sor = α
Le taux d’épargne de la règle d’or est égal à l’élasticité de la production par
rapport au capital physique. Montrons qu’il s’agit bien de l’unique maximum.
La dérivée de c? par rapport à s peut s’écrire sous la forme :
α 1−s
dc?
?
= y (s)
−1
ds
1−α s
en utilisant la définition de l’état stationnaire de la production par tête. De
façon équivalente, en factorisant 1/s(1−α), on a :
dc?
y ? (s)
=
[(1 − s)α − s(1 − α)]
ds
s(1 − α)
y ? (s)
=
[α − s]
s(1 − α)
soit par définition de sor :
dc?
y ? (s)
=
[sor − s]
ds
s(1 − α)
Puisque la dérivée de c? par rapport à s est positive (négative) si et seulement
si s < sor (respectivement s > sor ), sor = α est bien l’unique valeur du taux
d’épargne qui maximise le niveau de la consommation à l’état stationnaire.
(4) Si le taux d’épargne effectif est différent du taux d’épargne de la règle d’or,
alors on sait qu’en incitant les ménages à épargner une fraction sor de la production on amènera l’économie dans une situation où la consommation par
tête est plus importante à long terme. On pourrait donc penser, si le but est de
4
maximiser le niveau de la consommation par tête à long terme, que l’on aurait
toujours intérêt à choisir un taux d’épargne égal à l’élasticité de la production
par rapport au capital. Mais il ne faut pas omettre les conséquences sur le niveau de consommation par tête à court terme, pendant la transition qui amène
l’économie vers l’état stationnaire de la règle d’or. On distinguera deux situations : le cas où l’économie est initialement en sur accumulation (dans le sens
où le taux d’épargne effectif est supérieur à celui de la règle d’or) et le cas où
l’économie est initialement en situation de sous accumulation (dans le sens où le
taux d’épargne effectif est inférieur à celui de la règle d’or). Dans les deux cas,
on suppose que l’économie est initialement à l’état stationnaire (associé à un
taux d’épargne non optimal).
Sur accumulation Il s’agit du cas
le plus simple. En effet si le taux
d’épargne est initialement trop élevé,
il faut le diminuer pour atteindre
le taux d’épargne de la règle d’or.
c(t)
c?or
Puisque la part épargnée de la production baisse, dès le passage de
s à sor la consommation augmente
c(0) •
(elle saute). Ensuite le niveau de
la consommation par tête s’ajuste
t
à la baisse jusqu’à atteindre son
état stationnaire. En effet, puisque F IGURE 3 – Transition de la consomle passage au taux d’épargne de la mation (sur accumulation)
règle d’or exige une baisse du taux
d’épargne il entraîne aussi une baisse de l’état stationnaire du capital par tête
et donc de la production par tête. L’économie doit rejoindre un nouvel état stationnaire où les ménages consomment plus alors que la production est plus
faible. Le long de la transition vers ce nouvel état stationnaire, le stock de capital par tête, la production par tête et donc la consommation par tête baissent.
Ainsi le passage de s à sor est toujours profitable, à court terme et à long terme
le niveau de consommation obtenu suite à la baisse du taux d’épargne est toujours supérieur à ce qu’il était initialement : c(t) > c(0) = c? (s)∀t > 0.
Sous accumulation Si taux d’épargne
est initialement trop faible, par rapport à l’optimum, alors nous dec?or
c(t)
vrions augmenter celui-ci. Cela assure un niveau de consommation
c(0) •
par tête plus élevé à l’état stationnaire, mais cela entraîne mécaniquement une baisse de la consommation
initialement. Au même instant que
l’augmentation du taux d’épargne, la
t
consommation chute puis adopte un
0 T
profil croissant pour rejoindre l’état
stationnaire de la règle d’or. En effet, F IGURE 4 – Transition de la consoml’augmentation du taux d’épargne mation (sous accumulation)
augmente l’état stationnaire du stock de capital par tête. Le long de la dyna5
mique de transition vers le nouvel état stationnaire, le stock de capital par
tête, la production par tête et donc la consommation par tête augmentent.
Pendant une première période, ∀t ∈ [0, T [, suite à l’augmentation du taux
d’épargne, le niveau de consommation par tête demeure sous sa condition initiale (c(0) = c? (s)), avant de le dépasser définitivement. Il faut donc mettre en
balance le bénéfice à long terme avec le coût à court terme pour décider s’il est
intéressant d’adopter le taux d’épargne de la règle d’or. Le choix dépendra de
la préférence pour le présent des ménages. Si les ménages accordent beaucoup
plus de poids au présent qu’au futur, c’est-à-dire plus de poids à la perte en
termes de consommation entre 0 et T qu’aux gains entre T et ∞, ils trouveront
peu intéressant le passage de s à sor .
E XERCICE 2 (1) L’indice technologique, A(t), est supposé croître à taux constant.
Nous avons donc :
Ȧ(t)
= x ∀t
A(t)
L’introduction du progrès technique est nécessaire dans le modèle de Solow,
car sans cette source exogène de croissance le taux de croissance des variables
par tête est nul à long terme. Par exemple, le modèle de Solow sans progrès
technique prédit que l’hypothèse de rendement marginal du capital physique
résulte à long terme en un taux de croissance nul pour la production par tête.
Cette prédiction contredit l’observation. (2) Par définition du stock de capital
par tête efficace, k̂, nous avons :
d K
˙
k̂ =
dt AL
˙
K̇(AL) − K (AL)
=
(AL)2
=
K̇(AL) − K ȦL − KAL̇
(AL)2
K̇
Ȧ
L̇
− k̂ − k̂
AL
A
L
K̇
=
− (x + n)k̂
AL
=
En substituant la loi d’évolution du stock de capital physique agrégé, il vient :
sK α (AL)1−α − δK
˙
k̂ =
− (x + n)k̂
AL
En exploitant le fait que la fonction de production soit homogène de degré un
(rendements d’échelle constants), on a finalement :
˙
k̂ = sk̂ α − (x + n + δ)k̂
(3) À l’état stationnaire, l’investissement par tête efficace doit être égal au taux
de dépréciation du stock de capital par tête efficace, de sorte que la variation
du stock de capital par tête efficace soit nul. L’état stationnaire k̂ ? doit donc être
la solution de :
α
s k̂ ? − (x + n + δ)k̂ ?
6
En excluant la solution nulle, on obtient :
?
k̂ =
s
n+x+δ
1
1−α
On peut déduire l’état stationnaire des autres variables à partir de ce résultat.
Notons que nous n’aurions pas pu identifier un état stationnaire pour le stock
de capital par tête ou le stock de capital dans ce modèle, puisque les équations
différentielles dictant l’évolution de ces deux variables ne sont pas autonomes
(ie le lien entre la variation et le niveau dépend du temps). Clairement, puisque
1/1−α > 0, une augmentation permanente du taux d’épargne induit une augmentation de l’état stationnaire du capital par tête efficace et donc aussi une
augmentation du niveau de long terme de la production par tête efficace. (4)
Le taux de croissance du stock de capital par tête est donné par :
gk̂ = sk̂ α−1 − (x + n + δ)
En notant, à partir de l’expression de l’état stationnaire donnée plus haut, qu’il
est possible d’exprimer le taux de dépréciation du capital par tête efficace (n +
x + δ) en fonction de l’état stationnaire :
n + x + δ = s k̂ ?
α−1
En substituant dans l’équation du taux de croissance et en factorisant il vient :
α−1
gk̂ = s k̂ α−1 − k̂ ?
soit encore :

gk̂ = s k̂ ?
k̂
α−1

!α−1
k̂ ?

− 1
Clairement, puisque α − 1 < 0 à cause des rendements décroissant du capital,
si k̂/k̂? est inférieur à un, c’est-à-dire si le stock de capital par tête efficace est
inférieur à son niveau de long terme, le taux de croissance est positif. Au fur
et à mesure que le stock de capital par tête efficace augmente, le ratio k̂/k̂? se
rapproche de un et le taux de croissance se rapproche de zéro. Ce résultat repose sur l’hypothèse de rendements décroissants, α < 1. Au fur et à mesure
que l’économie se rapproche de l’état stationnaire en augmentant son niveau
de capital, le rendement de l’investissement devient de plus en plus faible et,
puisque l’épargne est une fraction constante de la production, l’investissement
net de la dépréciation est de plus en plus faible ce qui résulte en une diminution du taux de croissance. (5) Le taux de croissance du stock de capital par tête
est :
gk = gk̂ + x
Le taux de croissance du stock de capital est :
gK = gk̂ + x + n
On établit ces résultats facilement en se rappelant que le taux de croissance
du produit de deux variables est la somme des taux de croissance de ces deux
7
variables. Le taux de croissance de la production par tête efficace est proportionnel au taux de croissance du capital par tête efficace car la technologie de
production (qui transforme le capital en produit) est à élasticité constante :
gŷ = αgk̂
En effet :
˙
˙
d α
k̂
αk̂ α−1 k̂
αk̂
ŷ˙
=
=
= αgk̂
= dt
ŷ
k̂ α
k̂ α
k̂
Le taux de croissance de la production par tête est :
gŷ =
gy = gŷ + x
Puisque x > 0, le taux de croissance du produit par tête est nécessairement
positif si le taux de croissance du produit par tête efficace est positif. Dans
l’autre sens, si le taux de croissance du produit par tête efficace est négatif,
alors le taux de croissance du produit par tête n’est pas nécessairement négatif.
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