Correction de l`exercice sur la déduction en logique des prédicats

Corrigé de l’exemple de résolution de problème en calcul des prédicats
On admet les prémisses suivantes:
– les chevaux sont plus rapides que les chiens
– il existe un lévrier plus rapide que tout lapin
– les lévriers sont des chiens
– Harry est un cheval
– Ralph est un lapin
Peut-on déduire:
– Harry est plus rapide que Ralph ?
Traduisons d'abord les phrases dans un langage prédicatif.
Ce langage L doit posséder les symboles suivants:
• variables individuelles: x, y, z
• constantes individuelles: harry, ralph
• prédicats unaires: cheval, chien, lévrier, lapin
• prédicats binaires: plus_rapide
Nous écrivons les traductions suivantes:
(∀x)(∀y) ((cheval(x) ∧ chien(y)) ⇒ plus_rapide(x, y))
(∃y) (levrier(y) ∧ ((∀z) lapin(z) ⇒ plus_rapide(y, z)))
(∀y) (levrier(y) ⇒ chien(y))
cheval(harry)
lapin(ralph)
Nous ajoutons également un axiome (formule close) concernant le prédicat plus_rapide:
(∀x)(∀y)(∀z) plus_rapide(x, y) ∧ plus_rapide(y, z) ⇒ plus_rapide(x, z)
On pourrait se placer dans le cadre de la déduction naturelle pour résoudre cet exercice
(cf. l’EC « Logique avancée » de Licence SDL), comme la déduction naturelle n’a pas été
enseignée à tout le monde à ce stade, procédons de manière très intuitive et avec quelques
règles seulement. Parmi ces règles d’inférence, il en est quelques unes qui ne posent
aucun problème car elles sont communément admises, ainsi la règle du modus ponens :
de A et A ⇒ B, on peut toujours déduire B
et celles de la conjonction :
de A ∧ Β on peut aussi bien déduire A que B
et
de l’ensemble de prémisses {A, B}, on peut déduire A ∧ Β
ou bien celle que nous appellerons de particularisation universelle (partir de l’universel
pour arriver au particulier) :
de (∀x)A, on peut déduire [x/t]A pour tout terme t (libre pour x1), où [x/t] signifie
la substitution de t à x dans toutes les occurrences de x dans A
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Ceci est une restriction technique qui est toujours mentionnée, et qui est importante, mais à laquelle nous ne
prêterons pas trop attention ici, vu que notre démarche est surtout intuitive.
Il faut aussi ajouter la règle suivante, dite de particularisation existentielle (partir d’une
existentielle pour affirmer une propriété d’un objet particulier) :
Quand on a (∃y)P, si, partant de l’hypothèse selon laquelle P est vraie de y0, on
arrive à prouver C, alors on a prouvé C
Cette règle est celle que l’on applique quand, dans un raisonnement on procède de la
manière suivante : je sais qu’il existe un objet qui vérifie la propriété P, donc je peux
prendre sans risque un tel objet, que j’appelle x0, et continuer mon raisonnement sur cet
objet. Si j’arrive à une conclusion qui ne dépend plus de cet objet particulier, alors j’ai
démontré cette conclusion, en général.
Nous pouvons alors faire la déduction suivante: (où nous désignons respectivement par:
PU et PE les règles de particularisation universelle et de particularisation existentielle, par
e∧ la règle : A ∧ B |= A ou la règle A ∧ B |= B et par i∧ la règle: {A, B} |= A ∧ B, et MP
le modus ponens).
1. (∀x)(∀y) ((cheval(x) ∧ chien(y)) ⇒ plus_rapide(x, y))
PREM
2. (∃y) (levrier(y) ∧ ((∀z) lapin(z) ⇒ plus_rapide(y, z)))
PREM
3. (∀y) (levrier(y) ⇒ chien(y))
PREM
4. cheval(harry)
PREM
5. lapin(ralph)
PREM
6. soit x0 : levrier(x0) ∧ ((∀z) lapin(z) ⇒ plus_rapide(x0, z))
(hyp pour PE)
7.
levrier(x0)
e∧, 6
8.
levrier(x0) ⇒ chien(x0)
PU, 3
MP, 7,8
9.
chien(x0)
10.
(∀z) lapin(z) ⇒ plus_rapide(x0, z)
e∧, 6
11.
lapin(ralph) ⇒ plus_rapide(n, ralph)
PU, 10
12.
plus_rapide(n, ralph)
MP, 5,11
13.
(cheval(harry) ∧ chien(x0)) ⇒ plus_rapide(harry, x0) PU, 1
i∧, 4,9
14.
cheval(harry) ∧ chien(x0)
15.
plus_rapide(harry, x0)
MP,13,14
16.
(∀x)(∀y)(∀z) plus_rapide(x, y) ∧ plus_rapide(y, z) ⇒ plus_rapide(x, z)
Axiome
17.
plus_rapide(harry, x0) ∧ plus_rapide(x0, ralph) ⇒
plus_rapide(harry, ralph)
PU, 16
18.
plus_rapide(harry, x0) ∧ plus_rapide(x0, ralph)
i∧, 12,15
19.
plus_rapide(harry, ralph)
MP, 17,18
20. plus_rapide(harry, ralph)
PE, 2, 6_19