VARIATIONS MODULAIRES SUR UN THÈME DE CARTAN

Actes, Congrès intern, math., 1970. Tome 1, p. 285 à 292.
VARIATIONS MODULAIRES
SUR UN THÈME DE CARTAN
par A. L KOSTRIKIN
Il s'agira ici d'algèbres de Lie simples de dimension finie sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p > 0. Tout à fait remarquables à de nombreux points
de vue, elles portent la marque des propriétés de deux classes d'algèbres de Lie complexes (sur C), à savoir : simples de dimension finie et simples transitives infinies correspondant aux pseudo-groupes de Lie primitifs. L'étude de ces classes et la détermination exhaustive des algèbres qu'elles contiennent est indissolublement liée au
nom de E. Cartan [2].
La théorie des algèbres de Lie modulaires est toujours en plein développement
et propose tout un éventail de problèmes parfois inattendus. Ce n'est que tout à fait
récemment, par exemple, que Block [1] a complètement décrit les algèbres de Lie
semi-simples en termes simples, résultat dont la démonstration était attendue depuis
longtemps. On trouvera les autres aspects de la théorie dans l'analyse complète de
Seligman [8].
1. Types d'algèbres simples.
Choisissons dans chaque algèbre de Lie simple de dimension finie sur C une base
de Chevalley [4] et effectuons la réduction modulo p (et également le passage à l'algèbre
quotient par le centre de dimension 1 dans le cas A^^^
nous obtenons les algèbres
simples sur k
An,n>l;
Bn,n>2;
Cn,n^3;
Dn,n>4;
£,.,1 = 6 , 7 , 8 ;
F4;
G29
qu'il est traditionnel d'appeler classiques (y compris E{, F 4 et G2).
Il est bien connu que sur le corps C, il n'existe, à un isomorphisme près, que quatre
séries d'algèbres de Lie simples infinies transitives :
Wn9n>l;
S„,n>2;
Hn,n>l;
Kn,n>2,
appelées algèbres de type Cartan. A partir de leurs réalisations dans l'algèbre des
differentiations continues de l'anneau des séries entières formelles, I. R. Shafarevitch
et l'auteur [13] et [14] ont construit les algèbres de type Cartan en caractéristique p > 0 .
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur k avec une base {X l 9 ..., X„} et
soit 0(E) = < X{lu,...,
X^n) > l'algèbre des puissances divisées sur E. L'algèbre 0(E)
apparaît de manière naturelle dans les problèmes d'algèbre liés d'une façon ou d'une
autre aux nombres premiers p (cf. [3], [5]). Toutes les dérivations spéciales
0 : Xw
-+ X{h-l)3>X,
XeE,
286
A. I. KOSTRIKIN
Bl
de l'algèbre 0(E) forment une algèbre de Lie simple de dimension finie Wn(E). De
plus, par analogie avec la caractéristique nulle, on introduit les trois autres séries
d'algèbres: Sn(E) c Wn+1(E), H„(E) c W2n(E), Kn(E) c W2n-t(E) déterminées par les
formes différentielles extérieures co = dXx A . . . A dXn+i :
œ =
E dXt A dXi+n
et
œ = dX0 +
£
{X<dXt+H -
Xi+ndXt)
respectivement. Posons 5fZJft) = àisXf~1)9 et deg X{ = - deg dt = 1 , i > 0,
deg X0 = 2 = — deg d0 ; on obtient ainsi des graduations standard dans toutes les
algèbres L(E). Comme d'habitude, il faut entendre par drapeau généralisé de hauteur /
un système
J F : £ = £ 0 2 £ 1 2 . . . 3 £ 1 3 El+1,
de sous-espaces de E inclus l'un dans l'autre. Au drapeau !F correspond de manière
unique une sous-algèbre graduée de dimension finie 0(!F), invariante pour toutes les
dérivations d^: X{h) -> X(h~l)t;(X), ÇeE*, et aussi une algèbre graduée simple de
dimension finie W(^) c W(E) constituée par les dérivations ) de 0(!F) dans ellemême. Une définition équivalente est
W(&) = < 0 e W(E) | (ad djf'Q = 0,
{ e Ann Et cz E* }
En général L(^) = L(E) n W($F), où L = S9 H ou K, n'est pas une algèbre simple
mais son algèbre dérivée seconde L($F) = L(!F)" est déjà simple. Toute algèbre de
Lie graduée M telle que L(#")çMeL(«^") s'appelle une algèbre de type Cartan relative
au drapeau J5". Les algèbres W(&) (générales), 5(#") (spéciales), K(SF) (hamiltoniennes)
et K(^) (de contact) ne sont pas seulement des représentants caractéristiques des
algèbres de Lie simples non classiques. Enrichissant quelque peu la construction
dans les cas S(#") et U(3F), Wilson [9] a établi le théorème suivant
THéORèME 1. —Toutes les algèbres simples non classiques du livre [8] sont contenues
dans les algèbres « croisées » de type Cartan.
La notion de « croisement », dont je ne donnerai pas ici de définition précise, est,
visiblement, une forme commode pour la réalisation de toutes sortes de déformations
des algèbres graduées dont il sera question plus bas. // est important de souligner que
Vaccumulation, pendant trente ans, d'exemples ingénieux (ou, comme le disent certains,
pathologiques) au niveau des conjectures n'a pas conduit au chaos. Au contraire le point
de vue modulaire dans cette approche nouvelle est assez naturel et attirant pour les
chercheurs. Des considérations heuristiques, appuyées par une série de résultats, ont
conduit I. R. Chafarevitch et l'auteur à la conviction que la conjecture fondamentale
suivante est vraie.
(Ci) Toute algèbre de Lie üf simple de dimension finie sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p > 5 est isomorphe à une algèbre de Lie classique ou
à une déformation d'une algèbre graduée de type Cartan.
2. Résultats relatifs à la classification.
Dans ce qui suit, on suppose p > 5. La limitation p # 2,3 résulte de l'essence même
de notre entreprise tandis que la valeur p = 5 s'exclut plutôt pour simplifier les énoncés.
VARIATIONS MODULAIRES SUR UN THÈME DE CARTAN
287
Soit 2£ une algèbre de Lie simple de dimension finie sur k9 Jf0 sa sous-algèbre maximale. Parmi les sous-espaces propres 2£ _x tels que [&-l9 3?0] £ # _ i , choisissons-en
un minimal. Posant
*-!=*!_!=[... [ir_l5 i r . j , . . . , ^ ] , ^ { x e ^ n * , iîr.jsar,.!}, *>o,
étant donné la maximalité de $?0, nous obtenons l'égalité 2£ _q = 2£ et étant donné
la simplicité de ^ , l'égalité &r+1 = 0 pour certains q, r e Z, q > 0, r ^ 0. Il est facile
de voir que
On obtient la filtration
j r = 3r_f 3 . . .
ID
j r _ ! ZD j r 0 ZD ^Tj ZD . . . :z> # , z>
O
de profondeur q et de longueur r, qui dépend bien entendu du choix de Jf 0 . L'algèbre
de Lie graduée associée à cette filtration est
gr^r = L = L_g© ... 0 L _ j 0 L o ® L ! © ... ® L r ;
comme d'habitude nous désignerons par (x, y) -> [x, y] sa multiplication qui possède
pour r ^ 1 les propriétés suivantes
1)
[L^LjiçzLt+j;
2) L_! est un L 0 -module simple;
3) xeL±i,
[x, LT1]
= 0, i ^ 0 => x = 0
(transitivité de l'algèbre graduée).
Une algèbre de Lie M dans laquelle il existe une filtration { Jt{} avec gr M s L
(isomorphisme d'algèbres graduées) s'appelle une déformation de l'algèbre graduée L ;
(ce n'est pas la notion usuelle de déformation, au sens de Kuranishi, Spencer, Kerstenhaber, etc.). La déformation L est triviale si Ji s L. Sans imposer la simplicité du
L0-module L_ l 9 on peut se limiter aux filtrations de profondeur 1 comme cela s'est
presque toujours fait en caractéristique nulle (cf. [7]). La technique correspondante
est exposée par exemple dans l'article [6] où l'on rappelle les iésultats obtenus par
Tanaka. Elle a aussi été donnée indépendamment dans la note [10] de Veisfeiler.
Bien que la composante L 0 donne une représentation irréductible exacte sur L _ l s
on ne peut rien dire de précis sur sa structure (c'est une des bizarreries de la caractéristique p). Dans un cas particulier, on a le résultat suivant
THéORèME 2. — Une algèbre de Lie L semi-simple sur K, qui admet une représentation exacte de dimension n < p — 1, se décompose en somme directe d'algèbres
de Lie simples classiques (cf. [15] et les remarques à la fin de [14]).
D'autre part V. G. Katz [11], [12] a établi le théorème suivant
THéORèME 3. — Soit L une algèbre de Lie de dimension finie transitive graduée,
admettant une déformation simple, dont la composante L 0 — somme directe d'algèbres
classiques Mt et du centre, et de L_ t — est un p-module compatible avec la p-structure
dans les M,- ; alors L est isomorphe à une algèbre de Lie classique ou de type Cartan
(avec les restrictions q = 1 et n = dim L_ x < p — 1 ce théorème est démontré aussi
dans [14]).
Enfin, je formulerai un résultat qui met la conjecture (Cx) sur un terrain solide.
288
A. I. KOSTRIKIN
Bl
THéORèME 4. — La conjecture (CJ est vraie s'il existe dans 2£ une sous-algèbre de
codimension n < p — 1.
Pour la démonstration, il faut construire une filtration à partir d'une sous-algèbre
maximale de codimension < p — 1, passer à l'algèbre graduée, et appliquer les théorèmes 2 et 3, si cette filtration est de longueur r ^ 1 (transitivité !). Dans le cas r = 0,
il faut utiliser des résultats exposés dans [15] et [16]. Remarquons, en particulier, qu'une
algèbre de Lie simple avec une sous-algèbre de codimension 1 est isomorphe soit à
l'algèbre Al9 soit à une algèbre générale W\(^) de dimension pm, m = 1, 2 , . . .
3. Sous-algèbres invariantes.
Une sous-algèbre maximale S£0 c $£ choisie au hasard conduit à une filtration de &
de longueur nulle qui est sans intérêt. Cependant, il y a des raisons de croire qu'on
peut effectuer une construction absolument invariante, comme le suggère la conjecture
suivante.
(C2) Dans toute algèbre de Lie 3£ sur un corps k, simple et non classique, il existe
une sous-algèbre de Lie (propre) maximale ^-mv, invariante par le groupe Aut 2£
de tous les automorphismes de l'algèbre, et contenant toute autre sous-algèbre invariante.
Cette intéressante situation, liée à la structure du groupe Aut & et de l'algèbre 2£
elle-même, s'explique par la présence de nilpotents dans les schémas des automorphismes des algèbres non classiques. V. A. Kreknine a démontré le théorème suivant
THéORèME 5. — La filtration standard (cf. § 1) d'une algèbre simple L(3F) de type
Cartan est invariante pour Aut L(3F). Toutes les sous-algèbres invariantes sont contenues dans 3f0 = L0 © L± © . . .
Pour les différentes déformations des algèbres M ^ L(<F), la conjecture (C2) n'est
pas démontrée. La conjecture plus forte suivante suggère une méthode effective de
démonstration.
(C3) La sous-algèbre maximale invariante 2£-mv est le normalisateur dans & de
la sous-algèbre invariante
V = < c e i T | ( a d c ) 2 = 0 > # 0.
Comme on le montre dans l'article [16], la filtration relative à 3?^ = N^(^) est
sûrement de longueur r > 1. On y établit aussi le théorème suivant
THéORèME 6. — La sous-algèbre non nulle # (elle est toujours nilpotente) existe
dans toute algèbre simple non classique avec une décomposition de Cartan
& = H + s^ra
et un élément 0 # ae\J&a
tel que (ad a ) p _ 1 = 0.
a
Bien entendu, la question suivante se pose : existe-t-il une algèbre' de Lie simple ^f
sur k(p^2,3)
dans laquelle (ad x ) p _ 1 # 0 pour tout élément non nul x e J ?
A l'aide du théorème 5 on établit instantanément la non-isomorphie des algèbres Uß*)
des différentes séries et en résout le problème des isomorphismes à l'intérieur de ces
séries. Ainsi, la filtration standard relative à 3tmv montre qu'à toutes les décompositions
VARIATIONS MODULAIRES SUR UN THÈME DE CARTAN
289
ordonnées différentes m = mt + . . . + mn, 1 < mx < . . . ^ m„, correspondent des
algèbres W„(^) non isomorphes de dimension dim W„(^) = npm, m > n. On obtient
des résultats analogues pour les autres séries.
4. Familles paramétriques.
Soit p = car k = 3, e e k, e ^ 0 et soit {a, ß } un système fondamental de racines
pour le type B2. On se propose d'examiner la p-algèbre de Lie simple graduée de
dimension dix
L(e) = L_ 2 © L _ ! ŒLoeL!®
L2,
L(-
1) = B2
où
L ± 1 = < £±( a + /j) , £ ± „ >,
[Z, XJ = iX f ,
L 0 = < £-0 ,Hß,Eßy
-f < Z >,
X{ e L, ; [Hß, Eia+jß] = ( - i + 2/-)Efa+i, .
Par rapport à la base donnée, les constantes de structure de L(e) sont les mêmes
que celles de l'algèbre simple complexe B2 à l'exception des cas suivants
E-2a-ß
- EE_a_ß
EE_a
- E2Z
E-a-ß
2E_ß
Hß + eZ
- Hß + EZ
2Eß
eEa
- eEa+ß
Dans l'article [17] on montre le théorème suivant:
THéORèME 7. — Les p-algèbres de Lie simples L(e) et L(e') pour des éléments e et e'
de k distincts, EE' ^ 1, ne sont pas isomorphes.
Par suite, la normalisation du type de Chevalley [4] n'est pas réalisable dans une
algèbre quelconque. Probablement, pour p = 2,3, il existe d'autres familles paramétriques (de même puissance que le corps k), mais je me risquerai malgré tout à énoncer
la conjecture suivante.
(C4) Il n'existe pas de famille paramétrique d'algèbres de Lie simples quand la
caractéristique p du corps de base k (supposé, bien entendu, algébriquement clos)
est suffisamment grande.
En ce qui concerne les algèbres graduées, c'est très vraisemblable car, sinon, la
conjecture (Cx) perdrait toute signification. D'autre part, il n'y a pas de correspondance
biunivoque entre les cohomologies de Spencer et les classes d'isomorphisme de déformations et de très nombreux exemples montrent qu'il n'existe pas non plus de paramètres continus dans les déformations. Voici une situation typique. Soit #" le drapeau
de hauteur 1 d'un espace vectoriel E = < Xl9 X2 > de dimension 2 sur k. Introduisons
dans 0(8F)lk la structure d'algèbre de Lie simple ^f (e), 0 / e e k, en posant
Uo V= (diU-d2V-
d2U-d1V){i + EX^-^X^'^),
U, VeO(SF)jk.
290
A. I. KOSTRIKIN
Bl
Par construction, $f(s) est une déformation de l'algèbre graduée
L = H^)
© < gf-VX^-"
> cz
H^),
dans laquelle la p-algèbre de Lie hamiltonienne HX(!F) est un idéal de codimension 1.
Cette déformation correspond au cocycle
feH2p~3'2(L):
f(Xu
X2) = I , . X 2 = * r » J t f - y e L 2 , _ 4 .
Comme il est facile de le vérifier, pour tout e # 0, il existe un isomorphisme i§f(e) = i2f(l)
et il n'existe donc aucun paramètre.
Il est traditionnel de qualifier de rigide une algèbre de Lie qui n'admet pas de déformations non triviales. L'algèbre générale Wn(ïF) est rigide.
5. Remarques isolées.
I. Comme me l'a communiqué V. G. Katz, il est possible de réduire le problème
fondamental de la classification des algèbres de Lie simples de dimension finie à celui
de la maximalité du sous-schéma le plus réduit du schéma des automorphismes de ces
algèbres. On ne sait pas si on réussira à obtenir (ou pas) la démonstration des conjectures (C2) et (C3) en utilisant la technique des groupes algébriques.
IL De nombreuses questions restent ouvertes dans la théorie des représentations
des algèbres de Lie de caractéristique p > 0, même dans le cas des algèbres classiques.
Tout récemment, A. N. Roudakov [19] a montré que pm{L), m(L) = - (dim L — rang L),
est la dimension maximum possible des représentations irréductibles d'une algèbre
de Lie L classique sur k, avec car k = p > 3, et que cette dimension est atteinte dans
la classe des p-représentations irréductibles. Cette dernière affirmation n'est pas vraie
pour les p-algèbres de type Cartan pour lesquelles l'exposant m(L) n'est pas calculable,
p - \
sauf pour m(W1) = —-—. La paramétrisation des représentations de l'algèbre L
sur k par une variété algébrique (suivant l'idée de Zassenhaus) et la recherche de cette
variété ne sont en fait résolues que pour l'algèbre Ax (cf. [20]).
III. Soit L une des algèbres de type Cartan simples sur le corps fini Fq, soit
L = L_q®
... © L ^ f f i L o . . . © L r ,
q < 2,
sa graduation standard et soit F une p-représentation irréductible. Pour tout élément
XeLt, i ^ 0, T(X)P = 0, considérons les exponentielles exp T(X) et le groupe
Gg(L,r) = <ex P r(Z)>
qu'elles engendrent. Cela ressemble de loin aux groupes de Chevalley [4]. La structure
du groupe Gq(L, T) dépend autant de L que de T. Dans le cas L = Wx et dim F = p — 1,
on a un isomorphisme Gq(Wl9 T) £ Cp^^q), alors que Cg(P7ls ad) ^ Ap-^q). Rappe2
Ions que le groupe Aut Wx est résoluble. Le manque de matériel expérimental ne permet
de faire aucune hypothèse précise sur la structure de Gq(L, T) dans le cas général.
IV. Il convient enfin d'expliquer que l'indice inférieur dans la notation des algèbres
VARIATIONS MODULAIRES SUR UN THÈME DE CARTAN
291
de type Cartan W„, S„, Hn, K„ a la même signification que pour les algèbres classiques A„,...9 G2; cet entier n (qui est la dimension de la sous-algèbre torique
maximale) est appelé le rang de l'algèbre. A la différence du cas classique, les tores
maximaux de la p-algèbre de Lie simple L de type Cartan ne sont pas conjugués. Plus
précisément, ils se répartissent en n + 1 orbites relatives à Aut L, déterminées par l'intersection des tores avec la sous-algèbre invariante L-my (S. P. Démouchkine ; article sous
presse). Ce résultat est vrai aussi pour les sous-algèbres de Cartan (normalisateurs
des tores maximaux). Pour les algèbres de type Cartan L(!F), relatives à un drapeau 8F
quelconque, la question des classes de conjugaison des tores maximaux reste ouverte.
En tout cas, les sous-algèbres de Cartan de L(!F) ne sont plus tenues d'avoir la même
dimension. Par exemple, l'algèbre Wi(&)9 dim Wv(ßF) = pm, a des sous-algèbres de
Cartan de dimensions 1 et pm~1. Comme m'en a informé R. Block à ce congrès, H. Strade
a découvert récemment l'existence d'algèbres simples avec des sous-algèbres de Cartan
non commutatives. Ce fait était longtemps resté conjectural.
6. Conclusion.
Les idées du paragraphe 3 ont été énoncées sous une forme naïve et pas tout à fait
exacte dans mon exposé au congrès de Stockholm de 1962 (cf. [18]) où il était en fait
question d'autres problèmes. Finalement, il s'est trouvé que l'idée inattendue d'introduire la sous-algèbre # est bien compatible avec la construction des algèbres de type
Cartan. Les idées de E. Cartan, issues de l'analyse et de la géométrie, ont permis, grâce
aux efforts conjugués d'une série d'algébristes, de faire avancer le problème de la classification. Ne me départissant pas de mon optimisme, qui s'est déjà largement manifesté dans les conjectures exprimées ci-dessus, je me permets de formuler le vœu que
les travaux de ces huit dernières années permettront d'élaborer le bon cadre dans
lequel des recherches à long terme seront possibles.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
R. BLOCK. — Bull. Amer. Math. Soc, 74, No. 6 (1968), pp. 1086-1090.
E. CARTAN. — Ann. Sci. École Norm. Sup., 26 (1909), pp. 93-161.
P. CARTIER. — Séminaire « Sophus Lie », 2e année (1955-1956), pp. 307.
C. CHEVALLEY. — Tohoku Math. J., 7 (1955), pp. 14-66.
J. DIEUDONNé. — Proc. Internat. Congr. Math., Amsterdam (1955).
Sh. KOBAYASHI and T. NAGANO. — Proc. Seminar in dif. geometry, Kyoto, Japan
(1965).
I. M. SINGER et Sh. STERNBERG. — J. d'analyse Math., 15, No. 1 (1965), pp. 4-114.
G. B. SELIGMAN. — Modular Lie algebras, Springer-Verlag (1967).
R. L. WILSON. — Nonclassical simple Lie algebras, A dissertation, Yale Univ. (1969).
B. K). BEHC.(|)EHJIEP. — BecKOHeiHOMepHbie $HJibTpoBaHHbie ajireôpw
JTH H MX cBH3b c rpaayHpoBaHHMMH aJireÔpaMH JIH, OyHKn.. aHaJiHs H ero
npHJioraeHHH, JV°1, 2 (1968), 94-95.
B. T., KAU. — OpocTbie HenpHBOHHMbie rpajryHpoBaHHbie ajireßpbi JIH
KOHeHHoro pocTa, JÏ3B. AH CCCP, cep. MaTeM., 32 (1968), pp. 1323-1367.
—. — O KJiaccH(j)HKaijHH npocTwx ajireöp JIH Hafl noJieM c HetryjieBOH
xap., M3B. A H CCCP, cep. MaTeM., 34 (1970), pp. 385-408.
292
A. I. KOSTRIKIN
B1
[13] A. M. KOCTPHKHH, M. P. IIlA<j)ApEBHq. — nceBflorpymibi KapTaHa H
p-ajire6pw JIH, HOKJI. AH CCCP, JV°4, 168 (1966), pp. 740-742.
[14] —, —. — rpa«yHpoBaHHbie ajireßpbi JIH KOHCHHOH xap., Ü3B. AH CCCP,
cep. MaTeM., 33 (1969), pp. 251-322.
[15] —. — TeopeMa o noJiynpocTbixp-aJireßpax JIH, MaTeM. 3aMeTKH, JV° 5,
2 (1967), pp. 465-474.
[16] —. — KBanpaTH npHcoejrHHeHHHX 3H«OMOP$H3MOB B npocTbix p-ajire6pax JIH, MSB. AH CCCP, 31 (1967), pp. 445-487.
[17] —. —- napaMeTpmecKoe ceMeöcTBo npocTbix ajireöp JIH, MSB. AH CCCP,
cep. MaTeM., JV° 4, 34 (1970), pp. 744-756.
[18] —. — Proc. Internat. Congr. Math., 1962.
[19] A. H. PyflAKOB. — M3B. AH CCCP, cep. MaTeM., 34 (1970), pp. 735-743.
[20] —, H. P. IIIA$APEBHH. — MaTeM. 3aMeTKH, Bbin. 2 (1967), pp. 439-454.
Institut mathématique
V. A. Steklov,
Moscou
(U. R. S. S.)