Géométrie fractale

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Gérald St-Amand
Collège Notre-Dame
gerald_st-amand @ csrs .qc .ca
Site Internet : « La Cabri-Thèque » http://pages.infinit.net/cabri
Géométrie fractale
N o u s p o u v o n s f a c i l e m e n t remarquer q u ' i l y a dans la nature des f o r m e s et des objets que nous ne pouvons pas définir à l ' a i d e de figures géométriques conventionnelles telles q u e les cercles, les carrés, les triangles, les rectangles, etc. C e l a a t o u j o u r s intrigué les scientifiques et c ' e s t p o u r cette raison qu'il y a eu beaucoup
de m o d è l e s qui ont été p r o p o s é s p o u r tenter d ' e x p l i q u e r cette « irrégularité » de la nature. Suivant cette voie,
certains chercheurs ont tracé le c h e m i n d ' u n e nouvelle f o r m e de géométrie, dite fracta:le, qui permet de m o d é liser un n o m b r e important de f o r m e s et d ' o b j e t s naturels.
L ' a p p e l l a t i o n / r a c r a / e f u t utilisée pour la première fois en 1975 par M . Benoit Mandelbrot, que l ' o n
n o m m e le père des fractales. U n e fractale peut être u n e f o r m e géométrique, un objet, u n e réalité observable
dans la nature, un m o d è l e m a t h é m a t i q u e , etc. L'extension de ce terme.est très vaste mais il existe une caractéristique à laquelle toutes les fractales se soumettent: ce sont des réalités qui présentent une auto-similarité
intrinsèque infinie. C ' e s t - à - d i r e q u e peu importe l'échelle selon laquelle on les observe, elles présentent touj o u r s un patron similaire à celui observé à plus grande et plus petite échelle. C e sont d o n c des réalités ayant une
complexité infinie.
On obtient Une i m a g e fractale en partant d ' u n objet graphique auquel on applique une certaine transformation qui ajoute un é l é m e n t de complexité, puis en appliquant la m ê m e transformation au nouvel objet ainsi
obtenu, ce qui accroît e n c o r e sa complexité... et en r e c o m m e n ç a n t à l'infini ce processus d'itération.
On peut classer les fractales en trois catégories :
a) Les fractales naturelles
U n e multitude d ' o b j e t s dans la nature présentent des propriétés fractales. L ' é t u d e des fractales nous aide à
simuler de semblables f o r m a t i o n s et nous permet de les modéliser.
Ex. : feuille de f o u g è r e , arbres,
montagnes, etc.
b) Les fractales déterministes
Ces fractales sont obtenues par
l'itération infinie de p o l y n ô m e s
complexes.
L ' e n s e m b l e de M a n d e l b r o t fait
partie de cette catégorie.
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c) Les objets fractals
Ils sont obtenus par l'itération méthodique d'un algorithme géométrique arbitrairement choisi sur une
figure plane ou tridimensionnelle. Dans plusieurs cas, ils peuvent.être générés numériquement.
Ex. :
le triangle de Sierpinski
le flocon de von Koch '
Dans cette dernière catégorie, il existe toute une série d'objets fractals curieux qu'il est possible de
construire à partir d'opérations simples de la géométrie euclidienne. Attardons-nous ici au flocon de von Koch
et à son procédé de construction à l'aide du logiciel Cabri-géomètre.
Nous allons d'abord élaborer une macro-construction qui permet de transformer un segment AE de
n
longueur n en quatre segments isométriques de longueur — tel qu'illustré ci-dessous :
Le programme de construction est le suivant :
1 ) Construire un segment AE;
2) Mesurer le segment AE (appelons n cette mesure);
3) En utilisant la calculatrice de Cabri, diviser par 3 la mesure du segment AE
n
4) A l'aide du menu Report de mesure, reporter — à partir des points A et E;
n
5) Construire un cercle c de centre A et de rayon — ;
6) Construire un cercle c^ de centre E et de rayon - ;
7) Construire le point B à l'intersection du cercle c, et du segment AE;
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(f);
8) Construire le point D à l'intersection du cercle c^ et du segment AE;
9) Construire un cercle c3 de centre B et passant par le point D;
10) Construire un cercle c4 de centre D et passant par le point B;
11) Construire le pointe à l'intersection des cercles C3 et c^;
12) Construire les segments AB,BC, CD et DE;
13) À l'aide du menu Cacher/Montrer, rendre invisibles tous les cercles et points.
Pour valider la macro-construction :
1) Sélectionner, comme objet initial, le segment AE;
2) À l'aide du menu Cacher/Montrer, rendre invisible le segment AE;
3) Sélectionner, comme objets finaux, les segments AB, BC, CD et DE;
4) Enregistrer cette macro sous le nom « Fractale ».
Nous allons maintenant appliquer là macro « Fractale » sur chacun des côtés d'un triangle équilatéral.
Première itération
Deuxième itération
TV
TV
TV
"V
V
Troisième itération
Quatrième itération
Et le procédé d'itération pourrait continuer ainsi indéfiniment, produisant une fractale dont le périmètre
est toujours de plus en plus grand et tend vers l'infini : (périmètre du triangle initial)
nombre d'itérations.
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' I V , OÙ X représente le
13'.
Par contre, toutes les fractales obtenues ont une aire
finie qui est inférieure à l'aire du cercle circonscrit au
triangle équilatéral de départ.
Passons à un autre exemple curieux de fractale. Il
s'agit de construire une macro-construction qui permet
de transformer un segment de longueur n en huit segments
n
isométriques de longueur — tel qu'illustré ci-contre :
4
Appliquons ensuite cette macro sur chacun des côtés d'un carré.
Troisième itération
Deuxième itération
Première itération
Et le procédé d'itération pourrait continuer ainsi indéfiniment, produisant une fractale dont le périmètre
est toujours de plus en plus grand et tend vers l'infini :
(périmètre du carré initial) •
où x représente le nombre d'itérations.
Par contre, toutes les fractales obtenues ont une aire égale à l'aire du carré de départ ! !
Dans un prochain article, nous discuterons du procédé d'itération de fonctions quadratiques qui aidera à
comprendre comment fut obtenu l'ensemble de Mandelbrot. Nous discuterons également du comportement
chaotique de certaines itérations.
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