L v - AVR

Modélisation et commande
des systèmes électriques
Edouard Laroche ([email protected])
http://eavr.u-strasbg.fr/perso/edouard/Student/
ULP – IPST (http://www-ipst.u-strasbg.fr/)
Master IT, spécialité IISA
30/01/2006
1
Objectifs
• Connaître les différents systèmes électriques
d’actionnement (moteur + électronique de
puissance)
• Connaître les différents types de commande
d’actionneur électrique.
• Être capable d’établir un modèle de simulation d’un
système électrique comprenant moteur,
électronique de puissance et commande
• Être capable de simuler un modèle dans
l’environnement Matlab/Simulink
• Être capable de régler les correcteurs PI présents
dans les asservissement des moteurs par une
2
méthode adaptée
Bibliographie 1
• Electrotechnique industrielle, Guy Séguier et
Francis Notelet, Tech et Doc, 1994
• L’Electronique de puissance, Guy Séguier,
Dunod, 1990
• Modélisation et commande de la machine
asynchrone, J.P. Caron et J.P. Hautier, Technip,
1995
• Control of Electrical Drives, W. Leonard,
Springer-Verlag, 1996
3
Bibliographie 2
• Vector control of AC machines, Peter Vas,
Oxford university press, 1990
• Commande des machines à vitesse variable,
Techniques de l’ingénieur, vol D3.III, n°3611,
1996
• Actionneurs électriques, Guy Grellet et Guy
Clerc, Eyrolles, 1997
• Modélisation contrôle vectoriel et DTC, sous la
direction de C. Canudas de Wit, Hermes, 2000
4
Plan
1. Utilisation des systèmes électriques
2. Lois des circuits électriques
3. Lois de la magnétostatique
4. Les convertisseurs statiques
5. Le moteur à courant continu
6. La machine synchrone triphasée
7. Le moteur asynchrone triphasé
8. Le moteur à réluctance variable
9. Le moteur piézo-électrique
10. Filtrage (facteur de puissance, harmoniques)
11. Stabilisation de la tension continue
5
Prérequis
• Math: complexes, intégrales, vecteurs,
matrices,
• Automatique : asservissement à temps
continu, boucle d’asservissement, modèle
d’état,
• Électricité: lois de base de l’électrocinétique.
6
1. Utilisation des systèmes
électriques
• entraînement, actionnement (rotatif ou
linéaire),
• production
d’électricité
(alternateurs,
groupes électrogènes),
• transformation de l’électricité (onduleur,
hacheur, filtrage actif)
7
Application 1 : l’entraînement
• Vitesse fixe (ventilation, pompe, machine outil) /
vitesse variable (véhicule: TGV)
• Linéaire / rotatif
• Asservissement du couple, de la vitesse et de la
position d’une charge
• Technologie: moteur à courant continu, moteur
synchrone (DC brushless), moteur asynchrone (à
induction), moteur pas à pas, moteur à réluctance
variable, moteur piézo-électrique.
8
Entraînement: les différents
services
•
•
•
•
S1: régime permanent
S2: régime temporaire
S3: régime intermittent
S4: régime dynamique
9
Application 2 : production
d’électricité
• Centrale électrique / groupe électrogène
• Asservissement de l’amplitude et de la
pulsation de tension
10
Application 3 : transformation de
l’électricité
• Forme alternative / continu → 4 types de
conversion: redresseur (≈/=), onduleur (=/≈),
hacheur (=/=), gradateur (≈/≈)
→ Asservissement de l’amplitude de la tension
ou du courant d’une alimentation stabilisée
• Filtrage passif/actif
→ Asservissement du courant et/ou de la tension
à une référence sinusoïdale
11
Les chaînes d’alimentation des
moteurs (1)
• moteur à courant continu : redresseur, filtre
et hacheur
≈
réseau redres50 Hz
seur
filtre
hacheur
MCC
12
Alimentation des moteurs (2)
• moteurs à courant alternatif (synchrone et
asynchrone) : redresseur, filtre et onduleur
≈
réseau redres50 Hz
seur
filtre
onduleur MS ou
MAS
13
2. Lois des circuits
électriques
•
•
•
•
•
éléments de base
conventions
puissance
régime sinusoïdal
régime alternatif non sinusoïdal,
harmoniques
• systèmes triphasés équilibrés
• systèmes triphasés déséquilibrés
14
Éléments de base de l’électricité
• Source de tension continue: v(t)=E
• Source de tension sinusoïdale:
v(t)=E√2cos(ωt)
• Source de courant continu: i(t)=I
• Source de courant alternatif:
i(t)=I√2cos(ωt–δ)
• Résistance (Ohm, Ω): v(t)=Ri(t)
• Inductance (Henry, H): v(t)=Ldi(t)/dt
• Condensateur (Farad, F): i(t)=Cdv(t)/dt
15
Loi des nœuds, loi des mailles
v3
i3
k
v4
i1
i2
∑i
i4
k
v2
v1
=0
∑ vk = 0
k
16
Convention des dipôles
électriques
v
v
i
convention récepteur: on
compte la puissance
absorbée par le dipôle
i
convention générateur: on
compte la puissance
fournie par le dipôle
17
Valeur moyenne, valeur efficace
• valeur moyenne: v(t ) = 1 ∫ v(t )dt
TT
• valeur efficace: V =
2
1
v (t ) =
v (t )dt
∫
TT
2
• définition: un signal périodique est
alternatif si sa valeur moyenne est nulle
18
Puissance électrique
• puissance instantanée: p(t)=v(t)i(t), (Watt,
W)
• puissance active = puissance moyenne:
P=<p(t)>
• puissance apparente: S=VI (produit des
valeurs efficaces, VA)
• facteur de puissance Fp=P/S
19
Régime sinusoïdal: grandeurs de
Fresnel
v(t ) = V 2 cos(ωt + α) → V = V exp( jα)
i (t ) = I 2 cos(ωt + β) → I = I exp( jβ)
Im
V
I
α
β
Re
20
Puissance en régime sinusoïdal
v(t ) = V 2 cos(ωt )
i (t ) = I 2 cos(ωt − ϕ)
P = VI cos(ϕ)
Q = VI sin(ϕ)
S = VI
puissance
réactive
(VAR)
S 2 = P2 + Q2
21
Impédance et puissance
complexes: définitions
• dipôle passif: V = Z I
ZR = R
Z L = jLω
1
ZC =
jCω
S =V I
*
P = Re( S )
Q = Im( S )
S=S
22
V = ZI
Impédance et puissance
complexes: calculs
2
S = I Z =V *
Z
2
1
P = I Re( Z ) = V Re * 
Z 
2
2
1
Q = I Im( Z ) = V Im * 
Z 
2
S = I2 Z =V
Z
2
2
23
Admittance et puissance
complexes: calculs
I = YU
2
S =U Y = I
Y
*
2
1
P = V Re(Y ) = I Re 
Y 
2
2


1
Q = −V Im(Y ) = I Im 
Y 
2
2
S =V Y = I
Y
2
2
24
Signal alternatif non sinusoïdal
x (t ) =
∑X
k
2 cos(kωt + α k )
signal périodique
de période 2π/ω
k
x1 (t ) = X 1 2 cos(ωt + α1 )
∞
∑
d=
Xk2
k =2
∞
∑X
k =1
2
k
fondamental
Le taux de distorsion d
est le rapport des
valeurs efficaces de la
partie déformante du
signal et du signal total
25
Régime périodique alternatif:
tension alternative
v(t ) = V 2 cos(ωt )
P = VI1 cos(ϕ1 )
i (t ) = ∑ I k 2 cos(kωt − ϕ k ) Q = VI1 sin(ϕ1 )
k
I = ∑ Ik
2
S = VI = V ∑ I k
2
2
k
k
S = P +Q + D
2
puissance
déformante
(VA)
2
2
∞
D = V ∑ Ik
2
2
k =2
26
Régime périodique alternatif:
v(t ) = ∑ Vk 2 cos(kωt + α k )
k
i (t ) = ∑ I k 2 cos(kωt + α k − ϕ k )
k
P1 = V1 I1 cos(ϕ1 )
P = ∑ Vk I k cos(ϕ k )
k
Q1 = V1 I1 sin(ϕ1 )
Q = ∑ Vk I k sin(ϕ k )
k
S = VI = ∑ Vk
k
2
∑ Ik
k
2
27
Système triphasé équilibré 1
• système triphasé équilibré direct (de tensions
sinusoïdales):

v (t ) = V 2 cos(ωt + α )
1

2π 

v
(
t
)
V
2
cos
t
=
ω
+
α
−


 2
3




4π 

v3 (t ) = V 2 cos ωt + α −


3


v1(t)
N
v2(t)
v3(t)
V3
(V ,V ,V ) = (V , a V , aV )
2
1
V1
V2
2π
3
2
3
a = exp( j
1
1
1
2π
)
3
28
Système triphasé équilibré 2
• système triphasé équilibré inverse (de tensions
sinusoïdales):

v (t ) = V 2 cos(ωt + α )
1

2π 

v
(
t
)
V
2
cos
t
=
ω
+
α
+


 2
3




4π 

v3 (t ) = V 2 cos ωt + α +


3


v1(t)
N
v2(t)
v3(t)
V2
(V ,V ,V ) = (V , aV , a V )
2
1
V1
V3
2π
3
2
3
a = exp( j
1
1
1
2π
)
3
29
Système triphasé équilibré 3
• système triphasé équilibré homopolaire (de
tensions sinusoïdales):
v1(t)
N
v2(t)
v1 (t ) = V 2 cos(ωt + α )

v2 (t ) = V 2 cos(ωt + α )

v3 (t ) = V 2 cos(ωt + α )
(V ,V ,V ) = (V ,V ,V )
v3(t)
1
V1
V2
V3
2
3
1
1
1
30
Système triphasé équilibré 4
• couplage étoile:
e1(t)
e2(t)
u12(t)
e3(t)
u23(t) u31(t)
N
E3
U 31
E1
U 23
U12
E2
U = 3E

e (t ) = E 2 cos(ωt )
1

2π 

e
(
t
)
E
2
cos
t
=
ω
−


 2
3




4π 

e3 (t ) = E 2 cos ωt −


3



π

u
(
t
)
U
2
cos
t
=
ω
+


 12
6




π 2π 

u
(
t
)
U
2
cos
t
=
ω
+
−


 23
6 3 



π 4π 

u31 (t ) = U 2 cos ωt + −


6 3 

31
Système triphasé équilibré 5
• couplage triangle:
e1(t)
e2(t)
e3(t)
u12(t)
u23(t) u31(t)
E2

u (t ) = e (t ) = E 2 cos(ωt )
1
 12

2π 

u
(
t
)
e
(
t
)
E
2
cos
t
=
=
ω
−


 23
2
3




4π 

u31 (t ) = e3 (t ) = E 2 cos ωt −


3


E3
E1
32
Système triphasé équilibré 6
• couplage étoile/étoile (1):
i1(t)
v1(t)
i2(t)
N
v2(t)
i3(t)
Z
Z
N
Z
v3(t)

i (t ) = I 2 cos(ωt + α − ϕ )
1

2π


i
(
t
)
I
2
cos
t
=
ω
+
α
−
− ϕ

2
3




4π


− ϕ
i3 (t ) = I 2 cos ωt + α −

3


V1 = V1 exp( jα)
I1 = I1 exp( j (α − ϕ))
Z=
V1
I1
=
V1
exp( jϕ)
I1
33
Système triphasé équilibré 7
• couplage étoile/étoile (2): schéma monophasé
équivalent
I1
I1
Z
V1
N
V2
V3
I2
Z
Z
N
V1
I3
Z
V2 = a 2 V1
V3 = aV1
I 2 = a 2 I1
I 3 = a I1
34
Système triphasé équilibré 8
• couplage triangle/triangle: schéma monophasé
équivalent
I1
E1
J2
J1
Z
I2
E2
I3
J2
J3
E3
(J , J
1
2, J3
Z
E1
Z
Z
 I1 = (1 − a 2 ) J1


= J 1 , a 2 J 1 , a J 1 ⇒  I 2 = a 2 I1 = ( a 2 − a ) J 1

 I 3 = a I1 = ( a − 1) J1
) (
)
35
Système triphasé équilibré 9
• couplage triangle/étoile: source étoile équivalente
I1
E1
E2
V1
E3 V 2
Z
I2
Z
I3
Z
V3
V3
E1
E3
N
V1
E2
V1
I1
Z
36
V2
Système triphasé équilibré 10
• couplage étoile/triangle (1)
I1
J1
Z
V1 I 2
V2
N
I3
J3
V3
(J , J
1
J2
2, J3
Z
Z
 I1 = J 1 − J 2

I 2 = J 2 − J 3

 I 3 = J 3 − J1
 I1 = (1 − a 2 ) J1


= J 1 , a 2 J 1 , a J 1 ⇒  I 2 = a 2 I1 = ( a 2 − a ) J 1

 I 3 = a I1 = ( a − 1) J1
) (
)
37
Système triphasé équilibré 11
• couplage étoile/triangle (2): charge étoile
équivalente
I1
J1
Z
V1 I 2
N
V2
V3
J2
Z
I3
J3
Z
I1
Z/3
V1
38
Système triphasé déséquilibré 1
• système triphasé déséquilibré de tensions:
V3
V1
V2

v (t ) = V 2 cos(ωt )
1
1

2π


v
(
t
)
V
2
cos
t
=
ω
−
+
δ

 2
2
2
3




4π


+ δ3 
v3 (t ) = V3 2 cos ωt −

3


V1 = Vd + Vi + Vo


2
V2 = a Vd + aVi + Vo

2
V3 = aVd + a Vi + Vo
39
3. Lois de la
magnétostatique
•
•
•
•
•
Lois de Maxwell
Théorème d’Ampère
Conservation du flux magnétique
Lois de comportement des matériaux
Modélisation des bobines à noyau de fer et
des transformateurs
• Production de couple
40
Électrocinétique 1
• Lois de Maxwell simplifiées dans le cas des
basses fréquences
Champ
magnétisant
(A/m)
Conductivité
(A/V-1m-1=Ω-1m-1)
→
r r
rot H = J
r
→ r
∂B
rot E = −
∂t
r
divB = 0
r
v
J = σE
Densité de
courant (A/m2)
Champ
magnétique (T)
Champ électrique
(V/m)
41
Électrocinétique 2
• Théorème d’Ampère : l’intégrale du champ
magnétisant le long d’un contour fermé est
égal au courant total traversant la surface
définie par le contour
∫
r→
H dl =
∫∫
C
r→
J dS
S
• Sens du champ: règle de la main droite
i(t)
r
H
42
Électrocinétique 3
• Flux Ψ (Wb)
Ψ=
∫∫
r→
B dS
S
• Conservation du flux: Ψ1 = Ψ2
Ψ1
Ψ2
43
Électrocinétique 4
• Loi de Lenz: la variation du flux donne lieu
à une fem qui tend à s’opposer à la cause
des variations
• Loi de Faraday: force électromotrice (V)
dΨ
e=−
dt
44
Loi de comportement magnétique
des matériaux (caractéristique)
r
r
• Vide: B = µ 0 H
µ0=4π10-7 H/m: perméabilité du vide
r
r
• Matériau magnétique linéaire: B = µH
avec µ = µ0µr > µ0
µr : perméabilité relative
(µr > 1, ex: µr ≅ 10000 pour un ‘bon’ matériau
magnétique)
45
Loi de comportement 2
• Matériau magnétique doux : tôles utilisées pour
réaliser les circuits magnétiques
(transformateurs et moteurs)
Caractéristique d'un matériau magnétique doux
2
1.5
1
B (T)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-400
-300
-200
-100
0
H (A/m)
100
200
300
400
46
Loi de comportement 3
• Matériau magnétique dur : aimants permanents
(excitation des MCC et MS de petites puissances)
• B = µ0(Hc+H) = M+µ0H
B
H
47
Bobine à noyau de fer
i(t)
v(t)
• circuit magnétique homogène composé d’un
matériau magnétique linéaire de section uniforme
S, de longueur l avec µr>>1
• circuit électrique composé de n spires enroulées
autour du circuit magnétique
48
Bobine à noyau de fer 2
• Pour un courant positif, déterminez le sens
et l’amplitude du champ magnétisant
• Déterminez le flux vu du circuit électrique
• Déterminez l’inductance L de la bobine
• Donnez l’équation différentielle liant v(t) et
i(t)
49
Méthode de résolution
• Théorème d’Ampère → H
• Loi de comportement → B
• Intégration sur la surface → Φ (flux dans le
matériau)
• Multiplication par n → ϕ (flux vu par la bobine)
• Loi de Faraday → fem
• Prise en compte de la résistance et du flux de fuite
→ équation de détermination de la tension
50
Loi d’Hopkinson
F=Rψ
force magnétomotrice = ni
(A.tr)
1 dl
R=
µ S
∫
l
R=
µS
n2
L=
R
flux
(Wb)
reluctance
du circuit
magnétique
(H-1)
dans le cas d’une section S et d’une
perméabilité µ uniformes
51
Transformateur 1
i1(t)
v1(t)
i2(t)
v2 (t)
• circuit magnétique (µr) de section S et de
longueur l
• circuit électrique primaire de n1 spires de
résistance R1; circuit électrique secondaire
de n2 spires de résistance R2;
52
Transformateur 2
• On suppose les circuits électriques primaire et
secondaire respectivement parcourus par les
courants i1 et i2 positifs
• Déterminez l’amplitude du champ magnétisant
• Déterminez le flux vu des circuits électriques
primaires et secondaires
• Déterminez les inductances propres L1 et L2 du
primaire et du secondaire ainsi que la mutuelle
inductance M
• En tenant compte des chutes de tensions
ohmiques, donnez les équations différentielles
liant u1(t), u2(t), i1(t) et i2(t)
53
Bobine avec entrefer 1
• circuit magnétique homogène composé de
matériau magnétique linéaire de section
uniforme S, de longueur l avec µr>>1
• le circuit est interrompu sur une longueur
e<<l.
• circuit électrique composé de n spires
enroulées autour du circuit magnétique
54
Bobine avec entrefer 2
• Donnez l’expression de l’inductance
• Généralement, on néglige la réluctance du
fer devant celle de l’entrefer
55
Circuit magnétique avec aimant
• circuit magnétique composé d’un matériau
magnétique linéaire de section uniforme S, de
longueur lf avec µr>>1 et d’un aimant de même
surface et de longueur la produisant un champ à
vide M (T)
• Calculez le flux traversant le circuit magnétique
56
Résistance du circuit électrique
l 1 l
R=ρ =
S σS
longueur du
conducteur (m)
résistance
(Ω)
résistivité
(Ωm)
conductivité
(Ω-1m-1)
section du
conducteur
(m2)
57
Fuites du circuit magnétique
• Une partie du flux qui traverse le primaire
n’arrive pas au secondaire mais se boucle
sur lui-même
ψ1 = ψ f 1 + ψ12 = l f 1i1 + n1Ψm
ψ 2 = ψ f 2 + ψ 21 = l f 2 i2 + n2 Ψm
58
Pertes dans les matériaux
magnétiques
• Pertes par hystérésis∝
B̂ ω
2
2 2
ˆ
• Pertes par courant de Foucault ∝ B ω
→ feuilletage des circuits magnétiques
59
Système électro-mécanique
i(t)
Ω, C
v(t)
• La partie électrique reçoit la puissance p=v.i
• La partie mécanique fournit la puissance Ω.C
• La partie magnétique couple les parties électriques
et mécaniques et stocke une partie de l’énergie
60
Détermination du couple (1)
• Bilan d’énergie
δWe = v ⋅ i ⋅ dt = i ⋅ dϕ
δWe = dWmag + δWméca
δWméca = C ⋅ dθ
dWmag = i ⋅ dϕ − Cdθ
=
∂Wmag
∂ϕ
⋅ dϕ +
θ = cste
∂Wmag
∂θ
⋅ dθ
ϕ = cste
 ∂Wmag
=i

 ∂ϕ θ = cste
⇒
C = − ∂Wmag

∂θ ϕ= cste

61
Détermination du couple (2)
• Énergie magnétique – coénergie magnétique
∫ i ⋅ dϕ
= ∫ ϕ ⋅ di
Wmag =
~
Wmag
ϕ
0
i
0
~
dWmag + dWmag = i ⋅ dϕ + ϕ ⋅ di
~
Wmag + Wmag = i ⋅ ϕ
~
dWmag = ϕ ⋅ di + Cdθ
~
~
∂Wmag
∂Wmag
=
⋅ di +
∂i
∂θ
θ = cste
⋅ dθ
⇒C =
~
∂Wmag
∂θ
i = cste
i = cste
62
Détermination du couple (3)
• Cas linéaire:
C=
1 dL 2
i
2 dθ
• Cas linéaire multivariable:
1
C=
2
n
n
∑∑
k =1 l =1
dLkl
1 T dL
i
ik il = i
2 dθ
dθ
 i1 
 L11 L L1n 
 
M 
i =  M , L =  M
in 
 Ln1 L Lnn 
63
4. Les convertisseurs
statiques
4.1. Les composants (interrupteurs)
4.2. Généralités sur la modélisation
4.3. Le redresseur (pont de Diodes, rectifier)
4.4. Le hacheur (chopper)
4.5. L’onduleur (inverter)
4.6. Le filtre LC
64
4.1. Les composants de
l’électronique de puissance
•
•
•
•
•
Diode
Thyristor
Transistor, Thyristor GTO
Transistor et Diode en antiparallèle
Plages de tension et courant
65
Diode
vD
iD
vD
iD
• interrupteur passif monodirectionnel en courant et
en tension
• condition de mise en conduction: vD≥0
• condition de blocage: iD≤0
• 2 technologies: diodes de redressement (50 Hz) et
diodes rapides (diodes shotky) pour hacheurs et
onduleurs
66
Thyristor
vT
iT
vT
iT
• diode commandable à la mise en conduction
• interrupteur passif monodirectionnel en courant et
bidirectionnel en tension
• condition de mise en conduction: vT≥0 et un
courant dans la gachette
• condition de blocage: iT≤0
67
Transistor et thyristor GTO
iT
vT
vT
iT
iT
• interrupteur passif monodirectionnel en courant et
bidirectionnel en tension
• commandable à la mise en conduction et au blocage
• condition de mise en conduction: vT≥0 et un courant
dans la gachette
• condition de blocage: iT≤0
• techno: bipolaire, mosfet, IGBT, GTO
68
Association transistor et diode
iT
vT
vT
iT
• interrupteur bidirectionnel en courant
• commandable à la mise en conduction et au
blocage dans le sens iT >0
• mise en conduction et blocage automatiques dans
le sens iT<0
69
Gammes d’utilisation
innovation
fréquence
prix
100 kHz
limite
technologique
à un instant
donné
MOSFET
IGBT
10 kHz
GTO
thyristor
1 kHz
10 kW
100 kW
100 kW
1 MW
puissance
70
4.2. Généralités sur la
simulation des systèmes
• On cherche à modéliser chaque partie
comme un quadripôle d’entrées:
– la tension amont vk,
– le courant aval ik+1
• de sorties:
– la tension aval vk+1
– le courant amont ik.
71
Généralités (2)
• L’association de deux systèmes se fait alors
simplement:
vk
ik+1
vk+1
Sys. k
ik ik+2
Sys.
k+1
vk+2
ik+1
72
Généralités (3)
• Certains systèmes ne se mettent pas sous la
forme souhaitée ; ex:
i1
L
v1
v1
v2
+
-
v2
v2
1
L
∫
i3
i2
i2
i1
i2
i2
i3
+
-
C
1
C
v3
v2
v3
∫
73
Généralités (4)
• Mais leur association se met sous la forme
souhaitée s’ils sont de nature différente (l’un
inductif, l’autre capacitif)
i1
v1
L
i3
i2
v2
C
v1
+
-
1
L
∫
v3
i3
+
-
1
C
∫
i1
i2
v2
v3
74
Généralités (5)
• Si ce n’est pas le cas, la modélisation est à
revoir
i1
v1
L1
i2
v2
L2
i1 L1+L2 i3
i3
v3
v1
v3
75
4.3. Les redresseurs à Diodes
•
•
•
•
Redresseur monophasé
Conduction discontinue
Redresseur triphasé
Modélisation fine
76
Redresseur monophasé
• Structure
i2
i1
230 V,
50 Hz
vT1
T1
T2
v1
v2
T3
T4
77
monophasé (2) : formes d’onde (2)
400
v1, i1
200
0
-200
-400
0
0.005
0.01 0.015 0.02
0.025 0.03 0.035 0.04
t (s)
0.045 0.05
0.005
0.01 0.015 0.02
0.025 0.03 0.035 0.04
t (s)
0.045 0.05
400
v2, i2
300
200
100
0
0
78
Monophasé (3) : Étude et
modélisation
• Conduction continue (i2 > 0)
• Cas T1 et T4 passants, T2 et T3 bloqués
– v2 = v1 , i1 = i2
– condition : v1 > 0
• Cas T1 et T4 bloqués, T2 et T3 passants
– v2 = -v1 , i1 = -i2
– condition : v1 < 0
79
Conduction discontinue (1)
L
i2
i1
v1
vD1 D1
D2
v2
D3
i3
C
v3
D4
• blocage de toutes les diodes si i2 < 0,
• alors
– le circuit amont est coupé du circuit aval
– i1 = i2 = 0, v2 = v3,
• Fin de la séquence de bloquage si v2th > v2 où
– v2th = |v1| est la tension que délivrerait le redresseur seul
– v2 = v3 est imposé par le circuit aval.
80
Conduction discontinue (2)
v1
i2
v2th
Redres
seur
i1
i3
Filtre
v3
i2
v2
Simulation du bloc Filtre:
• Si i2 < 0 ou (i2 = 0 et v3 > v2th), % v2th = abs(v1)
• alors
– i2 = 0,
– dv3/dt = -i3/C,
– v2 = v3.
• Sinon, simulation normale
81
Le redresseur triphasé
i2
230/400 V,
50 Hz
i1a
v1a
v1bv
T1
T2
T3
v2
T4
T5
T6
1c
82
Le redresseur triphasé : formes
d’ondes
400
v1a, i1a
200
0
-200
-400
0
0.005
0.01 0.015
0.02
0.025
0.03 0.035
0.04 0.045
0.05
0
0.005
0.01 0.015
0.02
0.025
t (s)
0.03 0.035
0.04 0.045
0.05
600
400
v2, i2
200
0
-200
-400
-600
83
Étude et modélisation
• Conduction continue (i2 > 0)
• Cas T1 et T6 passants, T2, T3, T4 et T5
bloqués
– v2 = v1a - v1c , i1a = i2 , i1b = 0 , i3a = -i2 ,
– condition : v1a > v1b > v1c
• Les interrupteurs qui conduisent sont ceux
qui amènent la tension maximale en sortie.
84
Simulation fine (1) : prise en
compte des inductances
L2
i1
v1
i2
L1
v12
v1
D2
D1
v21
D3
D4
v2
v2
i1
Redr.
i2
4 lois des nœuds:
i D1 + i D 2 = i D 3 + i D 4
i D1 − i D 3 = i D 2 − i D 4
1

i
i
i1 + i2 )
=
=
(
D
1
D
4

= i2 

2
⇒


1
= i1  iD1 =iD 4 
(− i1 + i2 )
i D 2 = iD 3 i D 2 = i D 3 =

2
(symétrie)
85
Simulation fine (2)
• 4 États:
–
–
–
–
État 1: D1 et D4 passantes, D2 et D3 bloquées
État 2: D1 et D4 bloquées, D2 et D3 passantes
État 3: D1, D2, D3, D4 passantes
État 4: D1, D2, D3 et D4 bloquées
• Lorsque les 4 diodes conduisent en même
temps, on parle d’empiètement
86
Simulation fine (3)
Conditions de changement d’état
v2th > v2 et v1 > 0
État 1
iD2 < 0
v12 < 0
i2 < 0
État 4
État 3
i2 < 0
v2th > v2 et v1 < 0
v12 > 0
État 2
iD1 < 0
• Variables d’état : i1, i2 et l’état du redresseur
87
Simulation fine (4)
• État 1:
• État 2:
v12 =
v12
L2 v1 + L1v 2
L1 + L2
L2 v1 − L1v2
=
L1 + L2
88
4.4. Le Hacheur
• Structure
• Formes d’onde
• Commande
89
Hacheur : les structures
i1
v1
=
i1
i2
T1
charge
v2
mono-directionnel en
tension et en courant
v1
=
T3
i2
T2
charge
v2
T4
bi-directionnel en
tension et en courant
90
Hacheur 4Q : formes d’ondes (1)
• Commande alternée: sur une période T, T1 et T4
sont mis en conduction pendant αT (T2 et T3 sont
alors ouverts); T2 et T3 sont mis en conduction
pendant (1-α)T (T1 et T4 sont alors ouverts);
• α est appelé rapport-cyclique (0≤α≤1)
• des temps morts sont appliqués à la mise en
conduction afin d’éviter un court-circuit de la
source à travers un bras de pont.
91
Hacheur 1Q : modèle
v2 = C ⋅ v1
i1 = C ⋅ i2
v1
C =α
i2
α
v2
Hacheur
i1
C
MLI
• C : signal de commutation
– C = 1 : le transistor conduit (v2 = v1 ; i1 = i2)
– C = 0 : le transistor est bloqué (v2 = 0 ; i1 = 0)
92
Hacheur 4Q : modèle
v2 = (2C − 1) ⋅ v1
i1 = (2C − 1) ⋅ i2
C =α
• C : signal de commutation
– C = 1 : le transistor conduit (v2 = v1 ; i1 = i2)
– C = 0 : le transistor est bloqué (v2 = -v1 ; i1 = -i2)
93
Hacheur 4Q : formes d’ondes (2)
charge RL; α=0,7; fH=10 kHz
100
u1, i1
50
0
-50
-100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (ms)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
100
u2, i2
50
0
-50
-100
0
94
Hacheurs : commande
• Hacheur 1Q (v2∈{v1,0})
v2
T
v
= α v1 ⇒ α =
v1
• Hacheur 4Q (v2∈{v1,-v1})
v2
T
*
2
valeur de
référence
valeur
estimée
de v1
 v 
1
= (2 α − 1) ⋅ v1 ⇒ α =  1 + 
2  v1 
*
2
• Limiter de α entre 0 et 1 (ou ε et 1- ε ; ε = qque %)
95
4.5. L’onduleur
• Structures
• onduleur monophasé : structure et formes
d’ondes
• onduleur triphasé : structure et formes
d’ondes
96
L’onduleur : structures
i1
T1
v1
=
i2
T2
monophasé
charge
v2
T3
T4
i1
T1
v1
T2
T3
=
i2a
charge
T4
T5
T6
triphasé
v2a
97
Onduleur monophasé : modèle
v1
i2
α
v2
Onduleur
monophasé
i1
C
MLI
• Idem au hacheur 4Q
98
L’onduleur monophasé :
commande
Comme pour le hacheur 4Q, on a:
v2
T
= (2 α − 1) ⋅ v1
Pour réaliser une tension v* quelconque, il suffit de choisir:
*

α = 1 1 + v 
2  v1 
avec:
v * = V 2 cos( ω t )
99
L’onduleur monophasé :
formes d’ondes
charge RL; fH = 1 kHz; V = 230 V
1000
u1, i1
500
0
-500
-1000
0
5
10
15
20
25
30
5
10
15
t (ms)
20
25
30
1000
u2, i2
500
0
-500
-1000
0
100
L’onduleur triphasé : modèle (1)
ia
v1
=
Onduleur
va
v~a
v0
On a :
v a = v~a − v 0

~
v b = vb − v 0
v = v~ − v
c
0
 c
avec:
~
v a = C a v1
~
v b = C b v1
v~ = C v
 c
c 1
Neutre non-connecté ⇒ ia+ib+ic ≡ 0
dia
va = Ria + L
dt
Charge équilibrée :
di
vb = Rib + L b
dt
di
vc = Ric + L c
dt
⇒ va+vb+vc = 0
⇒ v0 =
1
(C a + C b + C c ) ⋅ v1
3
101
L’onduleur triphasé : modèle (2)
v a 
 
⇒ vb 
 v c 
1
1
 2
−
−
 3
3
3  C a 
 1
2
1  
= v1 ⋅  −
−  C b 
3
3
 3
1
2  C c 
 1

− 3 − 3
14 424433
va, vb, vc
v1
Onduleur
ia, ib, ic triphasé
αa, αb, αc
i1
Ca, Cb, Cc
MLI
M
i1 = C a ⋅ ia + Cb ⋅ ib + Cc ⋅ ic = [C a
Cb
ia 
 
Cc ]⋅ ib 
ic 
102
L’onduleur triphasé : modèle (3)
ia
v1
On a :
=
Onduleur
et
ja
v~a
~
~ ~
v a = C a v1
u a = v a − v b

~ − v~ avec v~ = C v
u
v
=
 b
b
b 1
b
c
v~ = C v
u = v~ − v~
 c
 c
c 1
c
a
i a = j a − j b

i b = j b − j c
i = j − j
c
a
c
ua
ua, uc, uc
v1
Onduleur
ja, jc, jc triphasé
αa, αb, αc
avec i1 = C a ⋅ ia + Cb ⋅ ib + Cc ⋅ ic = [C a Cb
i1
Ca, Cb, Cc
MLI
ia 
 
Cc ]⋅ ib 
ic 
103
L’onduleur triphasé : commande (1)
On a :
 v a = α a ⋅ v1 − v 0

 v b = α b ⋅ v1 − v 0

 v c = α c ⋅ v1 − v 0
d’où
 va 


 vb 


v
 c 
avec:
1
v 0 = (α a + α b + α c )E
3
1
1
 2
−
− 
 3
3
3 α a 
 1
2
1  
= v1  −
−  α b 
3
3
 3
1
2   α c 
 1
− 3 − 3
3 

1444244 4
3
M
104
L’onduleur triphasé : commande (2)
Pour réaliser les tensions va*, vb*, vc*, il suffit de choisir:

va *
α a = α 0 +
v1


vb *

α b = α 0 +
v1


*
v
α c = α 0 + c

v1
avec:

 v * = V 2 cos (ω t )
 a
 *

v
V
=
2
cos
 ωt −
 b


 *

 v c = V 2 cos  ω t −


2π 

3 
4π 

3 
105
L’onduleur triphasé : formes d’ondes
v1, i1(x8)
charge RL; fH = 1 kHz; V = 230 V
600
400
200
0
v2a, v2a*, i2a(x8)
-200
0
5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
500
0
-500
0
i2a, i2b i2c
40
20
0
-20
-40
0
106
5
10
15
t (ms)
20
25
5. Le moteur à courant
continu
•
•
•
•
•
Modélisation
Alimentation avec hacheur
Asservissement du courant
Asservissement de la vitesse
Asservissement de position
107
MCC à aimants : équations
E (t ) = KΩ(t )
Cm (t ) = Ki (t )
i(t)
R
L
E
v(t)
v(t ) = E (t ) + Ri (t ) + L di
dt
J dΩ = Cm (t ) − Cr (t )
dt
E (V) : fem ; Ω (rad/s) : vitesse de rotation ; K (N.s ou N.m.A-1) : constante de
fem ou de couple ; Cm (N) : couple moteur ; v (V) : tension d’induit ; i (A) :
courant d’induit ; R (Ω) : résistance d’induit ; L (H) : inductance d’induit; J
(kg.m2) : inertie ; Cr (N) : couple résistant
108
MCC à aimants : schéma
R
Gain2
1
tension
1
1/L
Gain
s
Integrator
1
i
v
courant
MCC
K
Ω
Gain3
C
K
θ
Gain4
charge
Cr
2
vitesse
1/J
2
couple
résistant
Gain1
1
1
s
Integrator1
s
Integrator2
3
position
109
Commande de la tension du
hacheur
uref(t)
1  u ref
1+
E
2 
Comme u
T




α(t)
Hacheur
4Q
u(t)
MCC
= (2 α − 1)E = u ref ,
on peut négliger l’effet de la modulation pour les
dynamiques plus lentes que le hachage
110
MCC : asservissement de courant
ε
iref +
Ci(z)
—
u
MCC
i
Cr
Buts:
- asservir le couple
- gérer les limitations de courant (par l’ajout d’une
limitation en entrée)
111
Modèle du transfert tension-courant
K
u
1
R + Ls
i
K
1
f + Js
Ω
i (s )
f + Js
=
u (s ) JLs 2 + (JR + fL )s + fR + K 2
• Cr = f.Ω
• 2 pôles réels si (JR + fL )2 − 4 JL(R + K 2 ) ≥ 0
• 2 pôles complexes conjugués sinon
112
Correcteur PI
Correcteur proportionnel intégral à temps continu :
∫
t
u (t ) = K p ⋅ ε(t ) + K i ⋅ ε(τ) ⋅ dτ
0
Correcteur proportionnel intégral à temps échantillonné :
u (t k ) = K p ⋅ ε(t k ) + K i ⋅ I (t k )
I (t k +1 ) = I (t k ) + Te ⋅ ε(t k )
Il faut penser à limiter le terme intégral (problème
d’anti-windup)
113
Réglage PI
• On cherche à approcher la bande passante du
système vers les hautes fréquences.
• Alors i(s ) ≅ 1
u (s ) Ls
• Le hacheur peut être approché par un retard pur de
Th/2
• Il faut généralement compter une période de
hachage pour le temps de calcul du correcteur
3
i (s ) e − τs
τ
=
Th
• Soit
avec
≅
2
u (s )
Ls
114
Réglage PI (2)
• On approche alors l’exponentielle pour,
approximation valable dans la bande
passante car la bande passante est
nécessaire inférieure au retard pur:
e
• d’où
− τs
1
≅
1 + τs
i (s )
1
≅
u (s ) Ls (1 + τs )
115
Réglage PI (3)
• On cherche un correcteur sous la forme
1 + τi s
C ( s) = K p
τi s
• Une première méthode consiste à :
– placer le zéro du correcteur loin du pôle du
correcteur (ex. τi = 10 τ),
– choisir Kp de sorte qu’on respecte la marge de
phase ∆ϕ désirée.
116
Réglage PI (4)
• Une seconde méthode (optimum symétrique)
consiste à
– placer le zéro du correcteur dans un rapport a avec le
pôle du correcteur (ex. τi = a τ),
– choisir a de sorte que la phase maximale soit égale à
−π+∆ϕ
– choisir Kp tel que le gain en boucle ouverte coupe l’axe
0 dB à la pulsation où la phase est de π+∆ϕ.
117
Réglage PI (5)
• optimum symétrique : calculs
H BO ( s) = K p
1 + τi s
1
τ i s Ls (1 + τs )
K p 1 + aτs
=
aτLs 2 1 + τs
K p 1 + aτ 2 ω2 + jτω(a − 1)
1 + jaτω
H BO ( jω) =
=
2
1 + aτ 2 ω 2
aτL( jω) 1 + jτω aτL( jω)2
Kp
arg H BO ( jω) = − π + arctan(aτω) − arctan(τω)
τω(a − 1) 
= − π + arctan

1 + aτ 2 ω2 
argument maximal en ω* =
1
aτ
118
Réglage PI (6)
• optimum symétrique : calculs (suite)
K pτ 1+ j a
H BO ( jω ) = −
L 1+ j
a
*
H BO ( jω ) =
*
j aK pτ 1+ j a
=
L
1− j a
aK pτ
L
H BO ( jω* ) = 1 ⇒ K p =
arg H BO ( jω* ) = −
L
aτ
( )
3π
+ arctan a
2
 ∆ϕ π 
arg H BO ( jω ) = −π + ∆ϕ ⇒ a = tan 
+ 
 2 4
*
119
MCC : asservissement de vitesse
ε
Ωref +
iref
MCC
CΩ(z)
—
Cr
asservie en
courant
Ω
• généralement: correcteur PI
• besoin d’un effet intégrale fort pour rejeter les
variations du couple de charge
120
Asservissement de vitesse (2)
• On modélise la boucle de courant comme un
premier ordre de pulsation de coupure sa bande
passante ω*.
iref
1
1+
i
s
ω*
1
f + Js
Ω
•Approximation pour les hautes fréquences (ω>>f/J) :
1
1
Ω(s )
=
≅
i ref (s ) ( f + Js )1 + s  Js1 + s 


*
* 

ω 

ω 
121
Technologie : capteur de courant
• La mesure de courant est généralement faite dans
le variateur par une mesure de tension aux bornes
d’une résistance de très faible valeur placée en
série avec le moteur ; cette tension est ensuite
amplifiée.
• A partir d’une certaine gamme de prix, on peut
envisager d’utiliser des sonde à effet Hall
(délivrent une tension proportionnelle au champ
produit par le courant)
122
Technologie : capteur de vitesse
• sans capteur (mode RI) : estimation de la vitesse
en tenant compte de la chute de tension résistive,
Ω̂ = F (s ) ⋅
u − R ⋅i
K
où F(s) est un filtre
• avec génératrice tachymétrique (donne une tension
proportionnelle à la vitesse),
• avec codeur de position (généralement un codeur
incrémental ; la vitesse est estimée à partir de la
position).
123
Technologie : capteur de position
• Pour l’asservissement de position, il est
nécessaire de disposer d’un capteur de
position :
– codeur incrémental + butée pour l’initialisation
– codeur absolu
124
6. La machine synchrone
triphasée à pôles lisses
• Structure
• Modélisation
• Commande vectorielle
125
Structure des machines Synchrones
• stator : système de trois enroulements à p paires de
pôles alimentés par les tensions va, vb, vc et
parcourus par les courants ia, ib, ic, intercalés dans
des encoches du circuit magnétique.
• rotor : roue polaire excitatrice à p paires de pôles
avec aimants (puissance entre 100 W et qque kW)
ou bobinage intercalé dans les encoches du circuit
magnétique (pour les alternateurs; plus rarement
pour les moteurs)
126
MS : structure (2)
127
MS : structure (3)
128
Inductance de deux circuits
• deux enroulements au stator ou au rotor
décalés d’un angle α
• l’inductance mutuelle est de la forme:
M 12 = M cos(α)
α
129
Flux du stator sur lui-même
• 3 circuits (a, b et c) décalés de 2π/3p
ϕ sa = Ls ia + M s ib + M s ic

ϕ sb = M s ia + Ls ib + M s ic
ϕ = M i + M i + L i
s a
s b
s c
 sc
 Ls = l fs + Ls 0


1
=
−
M
Ls 0
 s
2

b
ϕ sa   Ls M s M s  ia 
  
  
ϕ
M
L
M
=
s
s  ⋅ ib 
 sb   s
ϕ sc   M s M s Ls  ic 
144
42444
3
Ms
Lso : inductance correspondant au flux principal ;
lfs : inductance correspondant au flux de fuite
a
c
130
Flux mutuel entre le stator et le rotor
• le rotor est à la position θ par rapport au stator
• cela correspond à la position pθ en angle électrique
(période 2π/p ramenée à 2π)
b
rotor
pθ
a
c

ϕ = M i cos( pθ)
rs f
 ra

2π 

ϕ
=
cos
θ
−
M
i
p


 rb
rs f
3 



2π 

ϕ rc = M rs i f cos pθ +


3






θ
p
cos
(
)


ϕ ra 
 
2π 
 
ϕ rb  = ϕ f ⋅ cos pθ − 3  

 
ϕ rc 
 
2π  
cos pθ +

3 
 
131
Équations du modèle triphasé
ϕ a = ϕ sa + ϕ ra

ϕb = ϕ sb + ϕ rb
ϕ = ϕ + ϕ
sc
rc
 c


cos( pθ)

ϕ
i
 a
 a


ϕ  = M ⋅ i  + ϕ ⋅ cos pθ − 2π   (1)
s
f
 b
 b
3 
 
ϕc 
ic 
 

π
2

cos pθ + 
 
3 
dϕ a

va = Rs ia + dt

dϕb

v
R
i
=
+
 b
s b
dt

dϕ c

vc = Rs ic + dt

v a 
ia 
ϕ a 
 
  d  
v
R
=
⋅
⋅ ϕ b 
s ib  +
 b
dt
vc 
ic 
ϕ c 
132
Expression du couple (1)
T
ia 
ϕ a 
1
dL
1   d  
⋅ i = ⋅ ib  ⋅ ϕ b 
C = ⋅iT ⋅
2
dθ
2
dθ
ic 
ϕ c 
p⋅ϕ f 
2π 
2π 


⋅ ia ⋅ sin ( pθ) + ib ⋅ sin  pθ −
C=−

 + ic ⋅ sin pθ +
2
3 
3 



=−
p⋅ϕ f
2
⋅ [ia
ib




(
)
p
θ
sin


2π  


ic ]⋅ sin pθ −

3 



π
2


sin  pθ +

 
3 
133
Transformation triphasé-diphasé (1)
• pour des enroulements à répartition spatiale
sinusoïdale, le champ B dans l’entrefer s’écrit :

 B (ξ ) = A i cos( pξ )
s a
 a

2π 

(
)
ξ
=
ξ
−
B
A
i
cos
p


 b
s b
3




2π 

 Bc (ξ ) = As ic cos pξ +


3



2π 
2π  


Bt (ξ ) = As ia cos( pξ ) + ib cos pξ −
 + ic cos pξ +

3
3





134
Transformation triphasé-diphasé (2)
• en développant les cos et sin, on obtient
[
]
Bt (ξ ) = As iα cos( pξ ) + iβ sin ( pξ )
avec
1
1

i
=
i
−
i
−
 α a 2 b 2 ic

i = 3 i − 3 i
2 b
2 c
β
ou
1
1  ia 

−   
iα  1 −
2
2 ⋅ ib 
 =
i
3
3
 β  0
− 2  ic 
2
144
2443  
T23
• iα et iβ sont les courants diphasés équivalents
β
rotor
pθ
α
135
Transformation triphasé-diphasé (3)
• en ajoutant la contrainte ia + ib + ic = 0
on peut inverser le système et on obtient:

2
=
i
iα
a
3


1
1
iβ
ib = − iα −
3
3


1
1
iβ
ic = − iα +

3
3


 1
0 
ia 
 i 

2
1
3
2 T iα 
α
 


⋅   = ⋅ T23 ⋅  
ib  = 3 − 2
iβ 
2  iβ  3

ic 
 1
3
−

−
2244
23
144
T32 = 2T23T
3
• on vérifie que T23 ⋅ T32 = I 2
136
Modèle diphasé (1)
• En remplaçant les grandeurs triphasées dans les
équations triphasées dans les équations aux flux
(cf. eq. 1 p. 132), on obtient :




p
cos
(
)
θ


 
ϕ α 
iα 
2π  
T32 ⋅   = M s ⋅ T32 ⋅   + ϕ f ⋅ cos pθ −

3 
 
ϕ β 
iβ 
 
2π  
cos pθ +

3 
 
137
Modèle diphasé (2)
• En multipliant à gauche par T23, on obtient
l’expression des flux diphasés :


cos( pθ)



 
iα 
ϕ α 
2π  

  = T23 ⋅ M s ⋅ T32 ⋅   + ϕ f ⋅ T23 ⋅ cos pθ −
3 
 
iβ 
ϕβ 
 
2π  
cos pθ +

3 
 
138
Modèle diphasé (3)
• On vérifie que :
T23 ⋅M s ⋅ T32 = (Ls − M s ) ⋅ I 2


 ( )

cos
θ
p


 
2π   3 cos( pθ)
T23 ⋅ cos pθ −
 = ⋅ 

sin
p
θ
(
)
3
2






 
2π  
cos pθ +

3 
 
139
Modèle diphasé (4)
• Expression des flux diphasés :
ϕ α 
iα  3
Ls − M s ) ⋅   + ⋅ ϕ f
  = (1
424
3 iβ
2
ϕ β 


L
cos( pθ)
⋅

(
)
sin
p
θ


cs
Lcs : inductance cyclique statorique
140
Modèle diphasé (5)
• En remplaçant les grandeurs triphasées dans les
équations triphasées dans les équations aux tensions
(cf. p. 132), on obtient :
v α 
iα  d
ϕ α 
T32 ⋅   = Rs ⋅ T32 ⋅   + ⋅ T32 ⋅  
vβ 
iβ  d t
ϕβ 
• En multipliant à gauche par T23 :
iα  d ϕ α 
v α 
  = Rs ⋅   + ⋅  
iβ  d t ϕβ 
vβ 
141
Expression du couple (2)
• En reprenant l’expression du couple à partir
des grandeurs triphasées (p. 133), on obtient :
C=
p⋅ϕ f
2
[
]
⋅ − iα ⋅ sin ( pθ) + iβ ⋅ cos( pθ)
142
Modèle d’état (1)
• Variables d’état : flux
d ϕα  = vα  − R ⋅ iα 
s  
d t ϕβ  vβ 
iβ 
avec
iα 
1  ϕ α  3
 =
  − ⋅ϕ f

i
 β  Lcs  ϕβ  2
cos( pθ) 
⋅

p
(
)
θ
sin


143
Modèle d’état (2)
• Variables d’état : courants
d iα  = L
d t iβ 
(à calculer)
144
Structure du modèle
va
vb
vc
T23 v
β
modèle
d’état en
α-β
iβ T32
θ
Ω
ia
iα
vα
ib
ic
C
charge
Cr
Ω : vitesse mécanique ; Cr : couple résistant
145
Principe de la commande (1)
• Pour que le couple ait une valeur moyenne
non nulle, il faut que les courants évoluent à
la même pulsation que cos(pθ), soit à ω=pΩ
où Ω=dθ/dt.
• On peut alors poser que les courants sont
pilotés par la position du rotor :
iα (t ) = I s cos( pθ(t ) − δ )

iβ (t ) = I s sin ( pθ(t ) − δ )
• Ce qui donne
C=
p ⋅ϕ f ⋅ Is
2
⋅ sin (δ )
146
Principe de la commande (2)
• Pour optimiser le couple produit par les
courants, on impose δ=π/2;
• Le couple est alors proportionnel à Is:
C=
p ⋅ϕ f ⋅ Is
2
• On asservit alors iα et iβ aux valeurs de
consignes iα* et iβ*
*
π

*
iα (t ) = I s cos pθ(t ) − 
2



i * (t ) = I * sin pθ(t ) − π 
s
 β
2

avec
*
⋅
C
2
I s* =
p⋅ϕ f
147
Schéma de la commande
C*
2⋅C
I s* =
p⋅ϕ f
*
θ
Is*
iα*
+
iβ*+
—
Cα
—
Cβ
va
vα
vβ T32
iα
iβ
T23
vb
onduleur
vc
ia
+
ib
ic
machine
synchrone
Cα et Cβ : correcteurs PI
148
Schéma simplifié de la
commande
C*
I s*
2⋅C
=
p⋅ϕ f
*
θ
Is*
iα*
iβ
+
*+
—
Cα
—
Cβ
iα
iβ
vα
vβ
modèle
d’état
en
α-β
Cα et Cβ : correcteurs PI
149
Modèle pour la synthèse des
correcteurs – cas α-β
vα
vβ
eα
+
1
Rs + Lcs s
eβ
+
1
Rs + Lcs s
iα
3
pϕ f Ω sin ( pθ)
2
3
eβ = − pϕ f Ω cos( pθ)
2
eα =
iβ
• Le correcteur doit compenser (ou rejeter) les fem
sinusoïdales eα et eβ considérées comme des
150
perturbations
Modèle dans le repère du rotor
(en vue de l’autopilotage)
• Pour travailler avec des grandeurs
continues, on pose :
iα  cos( pθ) − sin ( pθ) id 
⋅ 
 =

i
sin ( pθ) cos( pθ)  iq 
 β  1
44424443
R ( pθ )
• Propriété (matrice de rotation) :
R −1 ( pθ ) = R T ( pθ ) = R (− pθ)
151
Équations
• Flux :
id  3
ϕ d 
  = Lcs ⋅   + ⋅ ϕ f
iq  2
ϕ q 
• Tension :
avec
et
d’où
1 
⋅ 
0 
v d 
id  d
R( pθ ) ⋅   = Rs ⋅ R ( pθ) ⋅   +
v q 
iq  d t

ϕ d  
 R ( pθ ) ⋅   

ϕ q  
ϕ d   d
ϕ d 
d 
d  ϕ d  
 R( pθ ) ⋅    = [R( pθ )]⋅   + R( pθ) ⋅    
d t 
d t  ϕ q  
ϕ q   d t
ϕ q 
d
[R( pθ)] = d ( pθ)⋅ d R( pθ) = pΩ ⋅ R pθ + π 
dt
dt
d ( pθ)
2

v d 
i d 
 π  ϕ d  d
  = Rs ⋅   + pΩ ⋅ R  ⋅   +
 2  ϕ q  d t
v q 
i q 
ϕ d 
 
ϕ q 
 π  0 − 1
R  = 

1
0
2
  

152
Couple
• L’expression du couple devient :
C=
1
p ⋅ ϕ f ⋅ iq
2
• Structure de la commande :
- on asservit iq à
*
⋅
C
2
iq* =
p⋅ϕ f
- on asservit id à 0
153
Modèle d’état d-q (1)
• Variables d’état : flux
d ϕd  = vd  − R ⋅ id  − pΩ − ϕq 
s  


i
d t ϕq  vq 
q
 ϕd 
avec
id  1  ϕd  3
i  = L  ϕ  − 2 ⋅ ϕ f
 q
cs   q 
1  
⋅   
 0 
154
Modèle d’état d-q (2)
• Variables d’état : courants
d id  = L
d t iq 
(à calculer)
155
Structure du modèle dq
va
vb
vc
vd
vα
T23 v R(-pθ)
β
vq
modèle
d’état en
d-q
iq
Ω
θ
iα
id
R(pθ) iβ T32
ia
ib
ic
C
charge
Cr
Ω : vitesse mécanique ; Cr : couple résistant
156
Schéma de la commande (1)
id*=0
C*
2⋅C
p ⋅ϕ f
*
+
iq * +
—
Cα
vd
va
vα
vb
id
vq R(pθ) vβ T32 v
c
ia
i
iq
R(-pθ) i T23
β
—
Cβ
α
ib
ic
onduleur
+
machine
synchrone
θ
Cα et Cβ : correcteurs PI
157
Schéma simplifié de la
commande
id*=0
C*
2 ⋅C*
p⋅ϕ f
iq
+
*
Cα
—
+
—
Cβ
vd
Modèle
vq
d’état
id
en
iq
dq
Schéma simplifié (schéma de synthèse) pour le
réglage des correcteurs
158
Modèle pour la synthèse des
correcteurs – cas dq
vd
vq
ed
+
1
Rs + Lcs s
eq
+
1
Rs + Lcs s
id
ed = pΩLcs iq
iq
3


eq = − pΩ Lcs id + ϕ f 
2


• Le correcteur doit compenser (ou rejeter) les fem
continues ed et eq
159
7. Le moteur asynchrone
triphasé
• Modélisation
• Flux rotorique orienté (FRO ou FOC)
• Control direct du couple (DTC)
160
Structure de la MAS
• stator identique à celui du moteur synchrone
(enroulement triphasé à 2p pôles)
• rotor :
- à cage (le plus courant) : système de barres reliées
par un anneau de court-circuit et placé dans un
empilement de tôles magnétiques
- bobiné : système d’enroulements triphasés à 2p
pôles (court-circuités en fonctionnement normal)
- massif, composé d’un seul matériau avec un
compromis entre la conductivité et la perméabilité
161
Modèle : inductances propres du
stator
• 3 circuits (a, b et c) décalés de 2π/3p
ϕ ssa = Ls isa + M s isb + M s isc

ϕ ssb = M s isa + Ls isb + M s isc
ϕ = M i + M i + L i
s sa
s sb
s sc
 ssc
 Ls = l fs + Ls 0


1
=
−
M
Ls 0
 s
2

b
ϕ ssa   Ls M s M s  isa 

 
  
ϕ
M
L
M
=
s
s  ⋅ isb 
 ssb   s
ϕ ssc   M s M s Ls  isc 
144
42444
3
Ms
Lso : inductance correspondant au flux principal ;
lfs : inductance correspondant au flux de fuite
a
c
162
Modèle : inductances propres du
rotor
• On considère le cas du rotor bobiné: 3
circuits (a, b et c) décalés de 2π/3p
ϕ rra = Lr ira + M r irb + M r irc

ϕ rrb = M r ira + Lr irb + M r irc
ϕ = M i + M i + L i
r ra
r rb
r rc
 rrc
 Lr = l fr + Lr 0


1
=
−
M
Lr 0
 r
2

A
ϕ ra   Lr M r M r  ira 
  
  
ϕ
=
M
L
M
r
r  ⋅ irb 
 rb   r
ϕ rc   M r M r Lr  irc 
144
42444
3
Mr
B
Lso : inductance correspondant au flux principal ;
lfs : inductance correspondant au flux de fuite
pθ
a
C
163
mutuelles inductances stator / rotor (1)

2π 
2π 


(
)
+
θ
−
ϕ
=
M
p
θ
i
+
M
p
θ
+
i
M
p
cos
cos
cos
irc



sr
ra
sr
rb
sr
 sra
3
3






2π 
2π 


(
)
+
θ
+
θ
+
ϕ
=
θ
−
M
p
i
M
p
i
M
p
cos
cos
cos
irc



 srb
sr
ra
sr
rb
sr
3
3






2π 
2π 


ϕ src = M sr cos pθ +
irb + M sr cos( pθ )irc
ira + M sr cos pθ −

3
3





2π 
2π 


(
)
+
θ
+
ϕ
=
M
p
θ
i
+
M
p
θ
−
i
M
p
cos
cos
cos
isc



sr
sa
sr
sb
sr
 rsa
3
3






2π 
2π 


(
)
+
θ
+
θ
−
ϕ
=
θ
+
M
p
i
M
p
i
M
p
cos
cos
cos
i sc



 rsb
sr
sa
sr
sb
sr
3
3






2π 
2π 


ϕ rsc = M sr cos pθ −
i sb + M sr cos( pθ)isc
isa + M sr cos pθ +

3
3




Msr : mutuelle inductance maximale entre un enroulement du stator et un
enroulement du rotor
164
mutuelles inductances stator / rotor (2)

2π 
2π  


cos
p
cos
p
cos
p
θ
θ
+
θ
−
(
)





3
3



 ira 
ϕ sra 

2π   



cos pθ − 2π 
ϕ
M
cos
cos
p
p
=
⋅
θ
θ
+
(
)



 ⋅ irb 
sr 
 srb 
3
3


  
ϕ src 
 
irc 
2
2
π
π




cos pθ +
cos( pθ) 

 cos pθ −
 

3 
3 


2π 
2π 


cos
p
cos
p
cos
p
θ
θ
−
θ
+
(
)





3 
3  i 


ϕ rsa 

sa
2
2
π
π


  


cos pθ +
ϕ
M
cos
p
cos
p
=
⋅
θ
θ
−
(
)



 ⋅ isb 
rsb
sr


 
3 
3 

ϕ rsc 

 isc 
2
2
π
π




cos pθ −
cos( pθ) 

 cos pθ +
 

3 
3 

165
mutuelles inductances stator / rotor (3)
Soit
Alors

 2π

 2π

cos
x
cos
+
x
cos
−
x
(
)





 3

 3


 2π

 2π

S ( x) = cos
cos(x )
cos
+ x
+ x 
3

 3

 
cos 2π − x  cos 2π + x 
cos(x ) 
  3


 3

ϕ sra 
ira 


 
ϕ
=
M
⋅
S
p
θ
⋅
(
)
sr
 srb 
irb 
ϕ src 
irc 
ϕ rsa 
isa 


 
ϕ
=
M
⋅
S
−
p
θ
⋅
(
)
sr
 rsb 
isb 
ϕ rsc 
isc 
166
Flux totaux
ϕ sa = ϕ ssa + ϕ sra

ϕ sb = ϕ ssb + ϕ srb
ϕ = ϕ + ϕ
ssc
src
 sc
ϕ sa 
i sa 
ira 
 
 
 
ϕ
=
M
⋅
i
M
S
p
+
⋅
θ
⋅
(
)
s  sb 
sr
 sb 
irb 
ϕ sc 
i sc 
irc 
ϕ ra = ϕ rsa + ϕ rra

ϕ rb = ϕ rsb + ϕ rrb
ϕ = ϕ + ϕ
rsc
rrc
 rc
ϕ ra 
isa 
ira 
 
 
 
ϕ
=
M
⋅
S
−
p
θ
⋅
i
M
+
⋅
(
)
sr
r irb 
 rb 
 sb 
ϕ rc 
isc 
irc 
167
Équations aux tensions
dϕ sa

v
=
R
i
+
s sa
 sa
dt

dϕ sb

v sb = Rs isb +
dt

dϕ sc

v
=
R
i
+
s sc
 sc
dt

v sa 
isa 
ϕ sa 
 
  d  
=
⋅
⋅ ϕ sb 
v
R
s isb  +
 sb 
dt
v sc 
isc 
ϕ sc 
dϕ ra

=
=
+
v
R
i
0
r ra
 ra
dt

dϕ rb

vrb = 0 = Rr irb +
dt


dϕ rc
=
=
+
v
R
i
0
r rc
 rc
dt

ira 
ϕ ra 
0 
0 = R ⋅ i  + d ⋅ ϕ 
r  rb 
rb
 
dt  
irc 
ϕ rc 
0
168
Expression du couple (1)
T
isa 
ϕ sa 
 
 
i
 sb 
ϕ sb 
1 T dL
1 isc  d ϕ sc 
C = ⋅i ⋅
⋅i = ⋅  ⋅  
2
dθ
2 ira  dθ ϕ ra 
i 
ϕ 
 rb 
 rb 
irc 
ϕ rc 
p ⋅ M sr
C=
2
T
 i  T
ira  ira 
isa  
 sa
 
   
 
⋅  isb  ⋅ S& ( pθ ) ⋅ irb  − irb  ⋅ S& (− pθ) ⋅ isb  


irc  irc 
isc  
 isc 


où S& (x ) = dS ( x ) = S  x + π 
dx

2
169
Expression du couple (2)
or S& (− x ) = S& T (x )
π

et S  x +  = − S (x )
2

T
d’où
isa 
ira 
 
 
C = p ⋅ M sr ⋅ isb  ⋅ S& ( pθ) ⋅ irb 
isc 
irc 
170
Modèle diphasé: équations aux
tensions
• On remplace les grandeurs triphasées
par
 xα 
T32 ⋅  
 xβ 
 xa 
 
 xb 
 xc 
et on multiplie à gauche par T23.
• On obtient:
v sα 
isα  d ϕ sα 
  = Rs ⋅   + ⋅ 

ϕ
v
i
t
d
s
β
s
β
s
β
 
 


irα  d ϕ rα 
0 
0 = Rr ⋅ i  + ⋅ ϕ 
 
 rβ  d t  rβ 
171
Modèle diphasé: flux
irα 
isα 
ϕ sα 

 = T23 ⋅ M s ⋅ T32 ⋅   + M sr ⋅ T23 ⋅ S ( pθ) ⋅ T32 ⋅  
ϕ
irβ 
isβ 
 sβ 
T23 ⋅ M s ⋅ T32 = (Ls − M s ) ⋅ I 2
1424
3
Lcs
irα 
isα 
ϕ rα 
 = M sr ⋅ T23 ⋅ S (− pθ) ⋅ T32 ⋅   + T23 ⋅ M r ⋅ T32 ⋅  

ϕ
irβ 
isβ 
 rβ 
T23 ⋅ M s ⋅ T32 = (Ls − M s ) ⋅ I 2
1424
3
Lcr
Lcs et Lcr sont les inductances cycliques du stator et du rotor
172
Flux: simplification
T23 ⋅ S ( x ) ⋅ T32
cos( x ) − sin ( x ) 3
3
= ⋅ R( x )
= ⋅

2  sin ( x ) cos( x )  2
irα 
isα 
ϕ sα 
+
⋅
θ
⋅
=
⋅
(
)
L
M
R
p
 



c
cs 
ϕ
i
irβ 
 sβ 
 sβ 
d’où
irα 
isα 
ϕ rα 
 = M c ⋅ R(− pθ ) ⋅   + Lcr ⋅  

irβ 
isβ 
ϕ rβ 
où
Mc =
3
⋅ M sr
2
est l’inductance mutuelle cyclique stator/rotor
173
Flux: inversion de la relation
Pour la simulation, on peut souhaiter inverser les flux.
On peut vérifier que:
isα 
1
 =
2
isβ  Lcs ⋅ Lcr − M c

ϕ  
ϕ 
 Lcr ⋅  sα  − M c ⋅ R( pθ) ⋅  rα  


ϕ rβ  
ϕ sβ 

irα 
1
 =
2
irβ  Lcs ⋅ Lcr − M c

ϕ  
ϕ 
 − M c ⋅ R (− pθ) ⋅  sα  + Lcs ⋅  rα  


ϕ rβ  
ϕ sβ 

174
Couple : diphasé
T
irα 
isα 
T &
C = p ⋅ M sr ⋅   ⋅ T32 ⋅ S ( pθ ) ⋅ T32 ⋅  
1442443 irβ
 
isβ 
R& ( pθ )
dR
π

&
( x ) = R x + 
où R(x ) =
dx
2

T
donc
isα 
π  irα 

C = p ⋅ M sr ⋅   ⋅ R pθ +  ⋅  
2  irβ 

isβ 
175
Modèle dynamique
va
vb
vc
T23 v
β
modèle
d’état en
α-β
θ
Ω
ia
iα
vα
iβ T32
ib
ic
C
charge
Cr
176
Modèle dans le repère du stator
• On peut utiliser la transformation suivante
dans le but de ramener les grandeurs
rotorique dans le repère du stator:
ird 
irα 
  = R (− pθ) ⋅  
irβ 
irq 
177
Modèle dans le repère du stator (2)
• Les équations sont alors simplifiées:
v s α 
isα  d ϕ sα 
  = Rs ⋅   + ⋅ 

v
i
ϕ
t
d
β
s
β
s
β
s
 
 


ird 
i sα 
ϕ sα 

 = Lcs ⋅   + M c ⋅  
i sβ 
irq 
ϕ sβ 
ird 
isα 
ϕ rd 

 = M c ⋅   + Lcr ⋅  
ϕ
irq 
isβ 
 rq 
ird 
0 
 π  ϕ rd  d
0 = Rr ⋅ i  − p ⋅ Ω ⋅ R  ⋅ ϕ  +
 2   rq  d t
 
 rq 
T
isα 
 π  ird 
C = p ⋅ M sr ⋅   ⋅ R  ⋅  
 2  irq 
isβ 
= p ⋅ M sr ⋅ isβ ⋅ ird − isα ⋅ irq
(
)
avec
ϕ rd 
 
ϕ rq 
 π  0 − 1
R  = 

1
0
2
  

178
Modèle dans le repère du stator (3)
• Le modèle inverse flux-courant est :
isα 
1
 =
2
isβ  Lcs ⋅ Lcr − M c

ϕ  
ϕ 
 Lcr ⋅  sα  − M c ⋅  rd  


ϕ rq  
ϕ s β 

ird 
1
 =
2
irq  Lcs ⋅ Lcr − M c

ϕ  
ϕ 
 − M c ⋅  sα  + Lcs ⋅  rd  


ϕ rq  
ϕ sβ 

179
Commande par orientation du
flux rotorique
•
•
•
•
Modèle dans un repère quelconque
Principe
Modèle dans le repère du flux rotorique
Structure de la commande
180
Modèle dans un repère quelconque (1)
• Le modèle inverse flux-courant est :
isd 
isα 
  = R(ξ s ) ⋅  
isβ 
isq 
irα 
ird 
  = R(ξ r ) ⋅  
irβ 
irq 
condition d’unicité du repère : ξ s = ξ r + pθ
181
Modèle dans un repère quelconque (2)
• Les équations sont
ϕ sd 
isd 
ird 
  = Lcs ⋅   + M c ⋅  
ϕ sq 
isq 
irq 
v sd 
isd  &
 π  ϕ sd  d ϕ sd 
  = Rs ⋅   + ξ s ⋅ R  ⋅ 
 + ⋅

v
i
ϕ
ϕ
2
d
t


 sq 
 sq 
 sq 
 sq 
ird 
isd 
ϕ rd 

 = M c ⋅   + Lcr ⋅  
ϕ
irq 
isq 
 rq 
ird  &
0 
 π  ϕ rd  d ϕ rd 
0 = Rr ⋅ i  + ξ r ⋅ R  ⋅ ϕ  + ϕ 
 2   rq  d t  rq 
 
 rq 
T
isd 
 π  ird 
C = p ⋅ M sr ⋅   ⋅ R  ⋅  
 2  irq 
isq 
182
Modèle dans un repère quelconque (3)
• Les équations s’écrivent aussi
ϕ sd

ϕ sq

ϕ rd
ϕ rq


v sd = Rs ⋅ isd


 v sq = Rs ⋅ isq

 0 = R ⋅i
r rd


 0 = R ⋅i
r rq

= Lcs ⋅ isd + M c ⋅ ird
= Lcs ⋅ isq + M c ⋅ irq
= M c ⋅ isd + Lcr ⋅ ird
= M c ⋅ isq + Lcr ⋅ irq
(
C = p ⋅ M sr ⋅ isq ⋅ ird − isd ⋅ irq
− ξ& s ⋅ ϕ sq +
+ ξ& s ⋅ ϕ sd +
d ϕ sd
dt
d ϕ sq
dt
d ϕ rd
− ξ& r ⋅ ϕ rq +
dt
d ϕ rq
&
+ ξ r ⋅ ϕ rd +
dt
)
183
Principe du contrôle FRO
• En remplaçant ird et irq dans l’expression du couple
grâce aux équations 3 et 4 du flux, on obtient:
(
M sr
C = p⋅
⋅ isq ⋅ ϕ rd − isd ⋅ ϕ rq
Lcr
)
• Le contrôle à flux rotorique orienté (FRO) consiste :
- à choisir un repère tel que ϕrq=0, entraînant
C = p⋅
M sr
⋅ ϕ rd ⋅ isq
Lcr
- à maintenir ϕrd constant et à asservir isq pour
imposer C.
184
Modèle dans le repère du flux
rotorique (1)
• On impose la condition ϕrq=0 à tout instant.
• La dernière équation aux flux donne
irq
Mc
=−
⋅ isq
Lcr
• En remplaçant dans dernière équation aux tensions,
on obtient la relation permettant d’estimer la
pulsation rotorique:
M ⋅i
ξ& r =
c
sq
Lcs ⋅ ϕ rd
• L’angle de changement ξs de repère des grandeurs
statorique est estimé par ξ s = ξ r + pθ
185
Modèle dans le repère du flux
rotorique (2)
• En éliminant ird dans les 3èmes relations de flux
et de tension, on obtient l’équation
différentielle liant isd et ϕrd :
dϕ rd Rr
R ⋅Mc
+
⋅ ϕ rd = r
⋅ isd
dt
Lcr
Lcr
• Cette relation permet d’estimer ϕrd à partir de
isd via une fonction de transfert du premier
ordre.
186
Structure du FRO (1)
• En plus des blocs d’estimation ci-dessous, le contrôle
FRO comporte des boucles d’asservissement
vsd
vsα
va
vb
ξs
ξr
&
ξ
1 r
vsq R(ξs) vsβ T32
vc onduleur
ia
+
i
sα
isd
ib machine
isq R(-ξs) i T23
sβ
ic asynchrone
ϕrd
s
p
187
Structure du FRO (2)
• En éliminant ird et irq dans les 4 équations aux flux, on
obtient :
Mc

ϕ sd = σ ⋅ Lcs ⋅ isd + L ⋅ ϕ rd
cr

ϕ = σ ⋅ L ⋅ i
cs sq
 sq
où
M c2
σ = 1−
Lcs ⋅ Lcr
• Les équations des tensions du stator s’écrivent alors :
d isd M c d ϕ rd

&
v sd = Rs ⋅ isd − ξ s ⋅ σ ⋅ Lcs ⋅ isq + σ ⋅ Lcs ⋅ d t + L ⋅ d t
cr


 v = R ⋅ i + ξ& ⋅ σ ⋅ L ⋅ i + ξ& ⋅ M c ⋅ ϕ + σ ⋅ L ⋅ d isq
s sq
s
cs sd
s
rd
cs
 sq
Lcr
dt
188
Structure du FRO (3)
• En remplaçant dans l’équation de vsd la dérivée
de ϕrd grâce à l’équation différentielle, on
obtient :
v sd
2




Mc
M
di

 ⋅ Rr  ⋅ isd − ξ& s ⋅ σ ⋅ Lcs ⋅ isq − Rr ⋅ c ⋅ ϕ rd + σ ⋅ Lcs ⋅ sd
= Rs + 


Lcr 
dt
Lcr 2



• Les équations aux tensions s’écrient alors
2





M
di

c
v sd + ed = Rs + 
 ⋅ Rr  ⋅ isd + σ ⋅ Lcs ⋅ sd
L 



dt
cr 





d isq
 v sq + eq = Rs ⋅ isq + σ ⋅ Lcs ⋅
dt

189
Structure du FRO (4)
avec :

& ⋅σ ⋅ L ⋅i + R ⋅ Mc ⋅ϕ
=
ξ
e
s
cs sq
r
rd
 d
2
Lcr


 e = −ξ& ⋅ σ ⋅ L ⋅ i − ξ& ⋅ M c ⋅ ϕ
s
cs sd
s
rd
 q
Lcr
vsd
d’où le modèle suivant :
vsq
avec
 N s = σ ⋅ Lcs

 Mc

=
+
R
R
 sr
s 
L
 cr

ed
1
N s ⋅ s + Rsr
+
eq
+
1
N s ⋅ s + Rr
isd
Rr M c
Lcr s + Rr
ϕrd
isq
2

 ⋅ Rr


190
Structure du FRO (5)
qui peut aussi s’écrire :
vsd
vsq
avec
ed
1
N s ⋅ s + Rsr
+
e~q
+
1
N s ⋅ s + Rsr
isd
Rr M c
Lcr s + Rr
ϕrd
isq
M
~
eq = −ξ& s ⋅ σ ⋅ Lcs ⋅ isd − pΩ ⋅ c ⋅ ϕ rd
Lcr
191
Structure du FRO (5)
d’où le schéma d’asservissement des courants suivant :
isd*
+
isq* +
—
Cd
—
Cq
vsd
vsq
isd
isq
- Les correcteurs Cd et Cq sont classiquement des PI. L’effet
intégrale doit permettre de rejeter les perturbations ed et eq.
- Des saturation doivent être placées sur les consignes de courant
192
afin de limiter celui-ci.
Structure du FRO (6)
La consigne de courant de l’axe d vient de la consigne de
flux par l’intermédiaire d’une boucle d’asservissement
ϕrd*
+
Cϕ
—
ϕrd
isd*
isq* +
+
Cd
—
—
Cq
vsd
vsq
isd
isq
Le correcteur Cϕ est classiquement un PI.
193
Structure du FRO (7)
• Comme consigne de courant isq*, on choisit
généralement
*
isq
Lcr
1
=
⋅ * ⋅C*
p ⋅ M sr ϕ rd
• On peut également choisir
*
isq
Lcr
1
=
⋅
⋅C*
p ⋅ M sr ϕ rd
à condition de faire attention au cas où ϕrd ≅ 0.
194
Commande directe du
couple (DTC)
• Dans les commandes directes du couple, le
modulateur MLI n’est plus utilisé. Les
ordres de commutation sont envoyés
successivement à l’onduleur
• Le DTC est adapté aux grosses puissances
où les fréquences de hachages sont faibles
195
DTC : Principe (1)
• Chacun des 3 bras de l’onduleur est soit au
niveau haut (Ck=1), soit au niveau bas
(Ck=0).
• Le potentiel du bras k est CkE
• Les tensions diphasées sont alors
 
1

C a   E ⋅  C a − ⋅ (Cb + Cc )
vα 
2

   
=
=
⋅
⋅
E
T
C
 
23  b 


v
3
 β
Cc  
⋅ E ⋅ (Cb − Cc ) 
2


196
DTC : Principe (2)
• Il y a 23=8 combinaisons possibles pour les
Ck. Elles aboutissent aux points suivants
dans le plan (vsα,vsβ):
vsβ
010
3
⋅E
2
011
111
000
-E
001
110
100
E
−
3
⋅E
2
vsα
101
197
DTC : Principe (3)
• On s’appuie sur l’expression suivante du
coupe :
2
C=
3
(
⋅ p ⋅ ϕ sd ⋅ isq − ϕ sq ⋅ isd
)
• Il s’agit de choisir une séquence permettant
de maintenir le flux autour de sa valeur
nominale et le couple à sa valeur de
consigne
198
DTC : Principe (4)
• Notons xs = xsα + j ⋅ x sb
avec xs = x s
• L’équation du flux est
v s = Rs ⋅ i s +
d ϕs
dt
≅
d ϕs
dt
→ équation permettant d’estimer le flux statorique
→ le vecteur tension est choisi de manière à
maintenir l’amplitude du flux autour d’une valeur
de référence
199
DTC : Principe (5)
β
ϕs
α
• On observe que les états
- 100 et 010 correspondent à une augmentation du flux
- 001 et 011 correspondent à une diminution du flux
- 101, 010, 000 et 111 correspondent à un flux
200
sensiblement constant
DTC : Principe (6)
• A partir des équations aux flux, on obtient:
Mc
ϕ s = σ ⋅ Lcs ⋅ is +
⋅ ϕr
Lcr
• d’où
v s = Rs ⋅ is + σ ⋅ Lcs ⋅
M d
d
d
is + c ⋅ ϕ r ≅ σ ⋅ Lcs ⋅ is
dt
Lcr dt
dt
• Ainsi, pour augmenter la composante du courant en
quadrature avec le flux statorique, il faut appliquer un
vecteur de tension dans cette direction.
• Pour l’exemple:
- 010 et 011 correspondent à une augmentation du couple
- 100 et 101 correspondent à une diminution du couple
- 110 et 001 correspondent à un couple sensibliment constant
201
Le DTC selon Takahashi (1)
• On construit un estimateur du flux
ϕ sα =
∫ (v
sα
− Rs ⋅ isα ) ⋅ dt
sβ
− Rs ⋅ isβ ⋅ dt
t
ϕ sβ =
∫ (v
)
t
ϕ s = ϕ sα + ϕ sβ
2
2
• On estime le couple
(
2
C = ⋅ p ⋅ ϕ sα ⋅ isβ − ϕ sβ ⋅ isα
3
)
202
Le DTC selon Takahashi (2)
• En fonction des grandeurs de consigne ϕ*
et C*, on calcule les variables de
commande φ et τ :
1
φ
0
-1
ϕ*- ϕ
φ=1 : augmenter le flux
φ=0 : diminuer le flux
C*-C
τ=1 : augmenter le couple
τ=-1 : diminuer le couple
τ=0 : maintenir le couple
τ
1
-a
0
-1
a
203
Le DTC selon Takahashi (3)
• Suivant le cadrant dans lequel se trouve le
vecteur flux
β
ϕs
Q3 Q2
Q1
Q4
α
Q5 Q6
204
Le DTC selon Takahashi (4)
• On applique les tensions suivantes
φ
τ
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
1
1
110
010
011
001
101
100
1
0
111
000
111
000
111
000
1
-1
101
100
110
010
011
001
0
1
010
011
001
101
100
110
0
0
000
111
000
111
000
111
0
-1
001
101
100
110
010
011
205
Caractéristiques du DTC
•
•
•
•
•
Dynamique très rapide du couple
Simplicité de la commande
Robustesse
Contenu harmonique non maîtrisé
Présence d’harmoniques basse fréquence
206
Compléments sur les
transformées diphasées (1)
• Pour conserver les puissances, on utilise
souvent une transformation normée
~
T23 =
1

−
1
2 
⋅
2

3
3
0 2
1
2
3
− 2 
−
qui permet d’avoir
xα 2 + xβ 2 = xa 2 + xb 2 + xc 2
207
Compléments sur les
transformées diphasées (2)
• On appelle transformée de Park la matrice
P(θ) telle que
 xa 
 xd 
 
 xb  = P (θ) ⋅  x 
 q
 xc 
c’est-à-dire que :
P(θ ) = T32 ⋅ R( pθ )
208
8. Moteur à réluctance
variable ou moteur pas-àpas
• Principe
• Alimentation
• Domaine d’utilisation
209
MRV : structure
coupe
transversale
du moteur
rotor
bobinage stator
culasse du stator
• moteur triphasé (3 phases au stator)
• moteur 6-4 (6 pôles au stator bobinés et 4 pôles passifs au
210
rotor)
MRV : inductance et couple
0.1
La , Ca
0.05
0
-0.05
-0.1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.5
0
0.5
tetar (rad)
1
1.5
2
Ia, Ib, Ic
0.1
0.05
0
-1
Ca, Cb, Cc, C
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-1
211
MRV : Alimentation
MRV
E
=
ia
ib
ic
θ
consigne
commande
• Chaque phase du moteur est alimentée indépendamment
par un onduleur monophasé
• Le moteur est autopiloté : la position θ du rotor
commande la ou les phases à alimenter
212
MRV : Caractéristiques
•
•
•
•
Moteur simple et robuste
Alimentation plus coûteuse que MS et MAS
Bruit phonique important
Applications : moyenne puissance pour des
applications peu coûteuses (électroménager,
automobile), positionnement sans capteur
de position (robotique)
213
9. Le Moteur Piézoélectrique
• Principe
• Caractéristiques
214
L’effet piézo-électrique
• Céramique qui se déforme sous application
d’un champ électrique (effet direct,
actionneur piézo)
• Apparition d’un champ électrique
lorsqu’on applique une contrainte
mécanique (effet inverse, capteur piézo)
céramique
piézo
électrodes
215
L’effet piézo-électrique (2) :
mise en flexion
électrode
fine
électrode
épaisse
216
Moteur Piézo : principe
• Principe : ondes de flexion
217
Moteur piézo à onde de flexion
rotor
stator
éléments
piézoélectriques
• Le stator de déforme sous l’effet des éléments piézoélectriques
• Cette déformation en onde de flexion entraîne le rotor
maintenu en contact avec le stator par une force de
maintien
218
Moteur piézo : gamme
d’utilisation
• vitesse réglée avec l’amplitude de la tension
(excitation à fréquence constante)
• gamme des petites et très petites puissances
• fort couple sans réducteur
• vitesse jusqu’à 1000 tr/min
• couple d’arrêt important
219
10. Filtrage
• Principe
• Filtre passif
– Cellule LC
– Relèvement du facteur de puissance
– Circuit bouchon
• Filtre actif
– Compensation des harmoniques de courant
– Compensation des harmoniques de tension
– Compensation des harmoniques de courant et de tension
220
10.1. Principe
Réseau
perturbé
ir
vr
Filtre
ic
vc
Charge
polluante
• Le filtre fait l’interface entre un réseau qui peut
être perturbé et une charge qui est susceptible de
consommer des harmoniques de courant. Il permet
– que la tension vc aux bornes de la charge soit
sinusoïdale et équilibrée
– que le courant ir absorbé au réseau soit sinusoïdal et
équilibré
221
10.1. Filtre LC
• permet de lisser le courant amont et de lisser la
tension aval (amont: redresseur, aval: hacheur ou
onduleur)
i1
L
i2
v1
C
 di1
 L dt + RL i1 = v1 − v 2

C dv2 = i − i
1
2
 dt
v1, i2
v2
modèle
v2, i1
d’état
L : inductance de la bobine; RL : résistance de la
bobine ; C : capacité du condensateur polarisé
222
Filtre LC : formes d’onde
source : redresseur monophasé ; charge : hacheur 4Q
fH = 1 kHz ; L = 50 µH; C = 10 mF ; RL = 0,1 Ω
v2, i2x10
Filtre LC
400
200
0
160
162
164
166
168
170
172
174
176
178
162
164
166
168
170
172
174
176
178
162
164
166
168
170
t (ms)
172
174
176
178
v3, i3x10
300
200
100
0
-100
160
321
v3
320
319
318
317
160
223
Relèvement du facteur de
puissance
Réseau
ir
vr
ic
C
vc
Charge
inductive
• Le condensateur fournit l’énergie réactive
consommée par la charge.
• On peut utiliser une batterie de condensateurs en
parallèles qui s’ajuste en fonction de la puissance
réactive à fournir
• Autre système de relèvement du facteur de
puissance : compensateur synchrone (alternateur)224
Circuit bouchon
Réseau
ir
vr
ic
C
vc
Charge
inductive
L
1
1 − LCω2
Z = jLω +
=
jCω
jCω
ω=
1
• Impédance nulle (court-circuit) pour
LC
• Un circuit pour chaque harmonique à absorber
• Intéressant si la pulsation ne varie pas
225
10.3. Filtre actif parallèle
Réseau
EDF
ic
ir
Charge
polluante
if
uc
Onduleur
• A l’aide d’une structure de l’électronique de
puissance (onduleur en triphasé, hacheur en
continu)
• Injecter un courant qui compense les harmoniques
de la charge
• Système de stockage d’énergie : condensateur 226
Filtre actif parallèle : commande
• On fabrique une référence de courant
sinusoïdale d’amplitude A en phase avec la
tension du réseau
• Une première boucle de régulation asservi
le courant du réseau à sa référence
• Une seconde boucle de régulation asservi la
tension aux bornes du condensateur en
commandant A.
227
Filtre actif parallèle : commande (2)
vr
ir*+
PLL
-
A
0 1
C
Onduleur
ir
• Une boucle à verrouillage de phase (PLL, phase
lock loop) permet de réaliser une sinusoïde en
phase avec la tension vr même si ce signal est
bruité
• Le signal de commutation de l’onduleur peut être
réalisé soit par un comparateur à hystérésis (cf.
schéma), soit par une MLI.
228
Filtre actif parallèle : commande (3)
uc* +
-
Correcteur
Filtre
A
uc
• Le filtre rejette les variations de tension sur
une période ; il doit donc être passe-bas
• Le correcteur peut être un simple gain
proportionnel
229
Filtre actif série
Réseau
pollué
Charge
Onduleur
• A l’aide d’une structure de l’électronique de
puissance (onduleur en triphasé, hacheur en
continu)
• Injecter des tensions via un transformateur qui
compense les harmoniques du réseau
• Système de stockage d’énergie : condensateur
230
Filtre actif série-parallèle
Charge
polluante
Réseau
pollué
Onduleur
Onduleur
• A l’aide d’une structure de l’électronique de
puissance (onduleur en triphasé, hacheur en
continu)
• Injecter des tensions via un transformateur qui
compense les harmoniques du réseau
• Système de stockage d’énergie : condensateur
231
11. Stabilisation de la
tension du bus continu
•
•
•
•
Généralités
Modèles
Stabilisation
Filtres
232
Tension bus : généralités
• Le filtre LC est un système résonnant mal amorti
• Il est nécessaire, principalement sur les systèmes
de forte puissance, de stabiliser la tension du bus
continu (aux bornes du condensateur)
• On réalise, pour ce faire, une boucle de contreréaction qui fournit, à l’onduleur ou au hacheur,
une commande additionnelle
233
Stabilité dans le cas d’une charge
asservie en courant
i1 R
u1
L
i3
i2
C
u2 Hacheur
1 
1


0 −  u 
u




d u 2   0
2
C
C 1
=
+
  
 
  
dt i1  − 1 − R  i1   1
0  i2 
L
 L

L
1 
2 2 
pk =
RC
j
LC
R
C 
−
±
4
−


2 LC 
ξ=
u3
RC
4 LC − R 2 C 2
• 2 pôles complexes stables mais mal amortis234
Stabilité dans le cas d’une charge
asservie puissance
• Dans le cas où la machine est asservie en vitesse
pour une charge donnée, on peut considérer que la
puissance absorbée au filtre est constante égale à P
= Cm.Ω malgré les variations de tensions du
condensateur.
• Le hacheur se comporte alors vis-à-vis du filtre
comme une charge non-linéaire délivrant un
courant <i2> = P/u2
• La linéarisation de cette loi donne δ(<i2>) =
−P/u22.δu2, ce qui correspond à une résistance
négative − Re = −u22/P
235
Stabilité dans le cas d’une charge
asservie puissance
i1 R
u1
L
i2
C
u2
-Re
1 
 1
0


u 2   
d u 2 
R
C
C
e
   + 1 u1
 = 1
R  i1   
dt i1  
−
−
 L 
 L
L 
1 
2
2 2 2

2
pk =
 L − RRe C ± j 4 Re LC − Re R C − L − 2 Re RLC 
2 Re LC 

• instable si ReRC < L ssi RCu22 < LP
236
Stabilisation
• On propose de stabiliser le système en ajoutant
une rétroaction de la tension sur le couple de
référence
u2
Filtre
K
+
+
Cref
C0ref
• Une augmentation de la tension u2 entraîne alors
une augmentation du couple et donc du courant
sous-tiré au condensateur, entraînant la diminution
de u2
• Le filtre ne doit laisser passer que la fréquence de
résonance ; il doit notamment rejeter les
composantes correspondant aux variations de u1 237
Filtre passe-bande
2ξ1ω1s
s + 2ξ1ω1s + ω1
2
réponse fréquentielle pour ω1 = 1
et ξ1 = 0.01, 0.1, 1
2
0
Gain
10
-2
10
-4
10
100
Phase (°)
F1 (s ) =
50
0
-50
-100
-2
10
-1
10
0
10
pulsation (rad/s)
1
10
2
10
238
Filtres coupe-bande (1)
s 2 + 2ξ 22 ω2 s + ω2 2
0
réponse fréquentielle pour ω1 = 1
et ξ1 = 0.01, 0.032, 0.1, 0.32, 1 ;
ξ2 = 1
Gain
10
-1
10
-2
10
100
Phase (°)
F2 (s ) =
s 2 + 2ξ 21ω2 s + ω2 2
50
0
-50
-100
-1
10
0
10
pulsation (rad/s)
1
10
239
Filtres coupe-bande (2)
s + 2ξ 21ω2 s + ω2
2
s 2 + 2ξ 22 ω2 s + ω2 2
0
réponse fréquentielle pour ω1 = 1
et ξ1 = 0.01, 0.032, 0.1, 0.32, 1 ;
ξ2 = 10 ξ1
Gain
10
-1
10
-1
10
0
10
1
10
100
Phase (°)
F2 (s ) =
2
50
0
-50
-100
-1
10
0
10
pulsation (rad/s)
1
10
240