λ-calcul Exercice

λ-calcul
Exercice
Sémantique 2
2016
Exercice 1 (β-réductions)
Soit le prédicat présenter à 3 arguments (présenter(x, y, z) signifie « x présente y à z »).
Effectuer toutes les β-réductions dans les expressions suivantes :
1. [[[λzλyλx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
2. [[λz[λyλx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
3. [λz[[λyλx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
4. [λz[λy[λx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
Exercice 2 (β-réductions)
Effectuer toutes les β-réductions possibles dans les expressions suivantes :
1. [λx voir(x, y)(y)]
2. [λx voir(x, x)(a)]
3. [λyλx voir(x, y)(c)]
4. λy[λx voir(x, y)(c)]
5. [[λyλx voir(x, y)(a)](b)]
6. [λy[λx voir(x, y)(a)](b)]
7. [λzλy[λx voir(x, y)(z)](b)]
8. [λP P (x, y)(voir)]
9. [λQλyλx[Q(x, y) ∧ Q(y, x)](voir)]
10. [λP [P (a)](λx pleurer(x))]
11. [[λXλx[X(x)](chat)](d)]
12. [λXλz[[X(z)](z)](λyλx Q(x, y))]
1
Corrigé
Exercice 1
1. [[[λzλyλx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
= [[λyλx présenter(x, y, a)(b)](c)]
= [λx présenter(x, b, a)(c)]
= présenter(c, b, a)
2. [[λz[λyλx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
= [[λzλx présenter(x, a, z)(b)](c)]
= [λx présenter(x, a, b)(c)]
= présenter(c, a, b)
3. [λz[[λyλx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
= [λz[λx présenter(x, a, z)(b)](c)]
= [λz présenter(b, a, z)(c)]
= présenter(b, a, c)
4. [λz[λy[λx présenter(x, y, z)(a)](b)](c)]
= [λz[λy présenter(a, y, z)(b)](c)]
= [λz présenter(a, b, z)(c)]
= présenter(a, b, c)
Exercice 2 β-réductions.
1. [λx voir(x, y)(y)]
= voir(y, y)
2. [λx voir(x, x)(a)]
= voir(a, a)
3. [λyλx voir(x, y)(c)]
= λx voir(x, c)
4. λy[λx voir(x, y)(c)]
= λyvoir(c, y)
5. [[λyλx voir(x, y)(a)](b)]
= [λx voir(x, a)(b)]
= voir(b, a)
6. [λy[λx voir(x, y)(a)](b)]
= [λx voir(x, b)(a)]
= voir(a, b)
ou bien :
= [λy voir(a, y)(b)]
= voir(a, b)
7. [λzλy[λx voir(x, y)(z)](b)]
= λy[λx voir(x, y)(b)]
= λy voir(b, y)
ou bien :
= [λzλy voir(z, y)(b)]
= λy voir(b, y)
8. [λP P (x, y)(voir)]
= voir(x, y)
2
9. [λQλyλx[Q(x, y) ∧ Q(y, x)](voir)]
= λyλx[voir(x, y) ∧ voir(y, x)]
10. [λP [P (a)](λx pleurer(x))]
= [λx pleurer(x)(a)]
= pleurer(a)
11. [[λXλx[X(x)](chat)](d)]
= [λx[chat(x)](d)]
= [chat(d)]
12. [λXλz[[X(z)](z)](λyλx Q(x, y))]
= λz[[λyλx Q(x, y)(z)](z)]
= λz[λx Q(x, z)(z)]
= λzQ(z, z)
3