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Corrigé 2009 Mathématiques BTS Groupement A1 Proposition de corrigé réalisé par les membres du site http://www.aidexam.com Exercice 1 : m o Partie A : 1. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre Dans cette question P(5) donc x e id a) b) La démarche utilisée est la suivante : : tt p Alors prenons Alors prenons no = 9 h c lé é g r a w // w .c m a .a w h r su 2. La loi de Poisson est approximée par une loi normale de paramètres : é T a) Correction Maths BTS Groupement A1 2009 1/10 b) m o ) x e id donc, : tt p Partie B : h c lé é g r a w // w .c m a .a w h r su 1. Y suit une loi binomiale. a) Ses paramètres sont : é T On peut également calculer b) Correction Maths BTS Groupement A1 2009 2/10 2. a) La loi de probabilité de Z est une loi binomiale. b) m o Partie C : 1. x e id a) b) : tt p 2. a) h c lé é g r a w // w .c m a .a w h r su é T b) Correction Maths BTS Groupement A1 2009 3/10 Exercice 2 Partie A : Soit s1 (t ) + ∫ t 0 s1 (u )du = U (t ) 1. On applique les transformations directement : S1 ( p ) + m o S1 ( p ) 1 = p p pS1 ( p ) + S1 ( p ) = 1 ( p + 1) S1 ( p) = 1 Donc : S1 ( p ) = 2. On retourne à l’originale de S1(p) : s1 (t ) = e − tU (t ) Partie B : Soit s2 (t ) + ∫ t 0 s2 (u )du = U (t ) − U (t − 1) : tt p a) Représentation graphique de e2 : h c lé é g r a x e id 1 p+ 1 w // w .c m a .a w h r su é T b) On applique les transformations directement : Correction Maths BTS Groupement A1 2009 4/10 S 2 ( p) + S2 ( p) 1 1 − p = − e p p p pS 2 ( p ) + S 2 ( p ) = 1 − e − p pS 2 ( p ) + S 2 ( p ) = 1 − e − p ( p + 1) S 2 ( p) = 1 − e − p m o 1 − e− p S 2 ( p) = p+ 1 c) Retour à l’original x e id a) s2 (t ) = e − tU (t ) − e − ( t − 1)U (t − 1) s2 (t ) = e − tU (t ) − e − t + 1U (t − 1) b) - Pour t < 0 : On a U (t ) = U (t − 1) = 0 , donc on a bien s2 (t ) = 0 - : tt p Pour 0 ≤ t < 1 : w // w .c m a .a w On a U (t ) = 1 et U (t − 1) = 0 , donc on a bien s2 (t ) = e − t - Pour t ≥ 1 : h r su On a U (t ) = U (t − 1) = 1 , donc s2 (t ) = e − e − t + 1 = e − t − e × e − t = − e − t ( e − 1) −t On a bien s2 (t ) = − e − t ( e − 1) é g r a d) Sens de variation de la fonction s2 sur l’intervalle ]1 ; + ∞ [ : h c ( é l Sur cet intervalle : s2 (t ) = − e − t ( e − 1) ) Donc s '2 (t ) = − − e − t ( e − 1) = e − t ( e − 1) é T e − 1 ≈ 1.72 > 0 et e − t > 0 , donc s '2 (t ) > 0 , ce qui signifie que s2 (t ) est strictement croissante sur l’intervalle ]1 ; + ∞ [ e) s 2 (1+ ) − s 2 (1− ) = − e − 1 ( e − 1) − e − 1 = − e × e − 1 Correction Maths BTS Groupement A1 2009 5/10 s 2 (1+ ) − s 2 (1− ) = − 1 m o x e id : tt p h c lé é g r a w // w .c m a .a w h r su é T Correction Maths BTS Groupement A1 2009 6/10 f) a) t s2(t) 1 -0,63 1,1 -0,57 1,5 -0,38 2 -0,23 2,5 -0,14 m o b) Document réponse figure 2 : x e id Partie C : Soit s 3 (t ) + ∫ t 0 : tt p s 3 (u )du = U (t ) − U (t − 1) + U (t − 1.1) 1. a) - Sur ]- ∞ ; 0[ : é g r a w // w .c m a .a w h r su U (t ) = U (t − 1) = U (t − 1.1) = 0 , donc e3 (t ) = 0 On a bien e3 (t ) = e 2 (t ) - h c lé Sur [0 ; 1[ : U (t ) = 1 et U (t − 1) = U (t − 1.1) = 0 , donc e3 (t ) = 1 é T On a bien e3 (t ) = e 2 (t ) - Sur [1 ; 1.1[ : U (t ) = U (t − 1) = 1 et U (t − 1.1) = 0 , donc e3 (t ) = 0 On a bien e3 (t ) = e 2 (t ) Correction Maths BTS Groupement A1 2009 7/10 En conclusion on a bien e3 (t ) = e 2 (t ) sur l’intervalle ]- ∞ ; 1.1[ m o x e id : tt p h c lé é g r a w // w .c m a .a w h r su é T Correction Maths BTS Groupement A1 2009 8/10 b) Pour t ≥ 1 : On a U (t ) = U (t − 1) = U (t − 1.1) = 1 , donc e3 (t ) = 1 c) Représentation graphique de e3 : m o x e id w // w .c m a .a w 2. Sens de variation de la fonction s3 sur l’intervalle ]1.1 ; + ∞ [ : ( −t 1.1 Sur cet intervalle s 3 (t ) = e 1 − e + e ( −t 1.1 Donc s' 3 (t ) = − e 1 − e + e ) (1 − e + e ) = 1.29 > 0 1.1 − e− t < 0 é g r a : tt p ) h r su Par conséquent, s ' 3 (t ) < 0 , ce qui signifie que s3(t) est strictement décroissante sur l’intervalle ] 1.1 ; + ∞ [ h c lé 3. é T ( ) ( s 3 (1+ ) − s 3 (1− ) = e − 1.1 1 − e + e 1.1 − − e − 1.1 ( e − 1) ) s 3 (1+ ) − s 3 (1− ) = e − 1.1 − e × e − 1.1 + 1 + e × e − 1.1 − e − 1.1 Correction Maths BTS Groupement A1 2009 s 3 (1+ ) − s 3 (1− ) = 1 9/10 4. a) t s3(t) 1,1 0,43 1,5 0,29 2 0,17 2,5 0,11 b) Document réponse figure 3 : x e id : tt p h c lé é g r a w // w m o .c m a .a w h r su é T Correction Maths BTS Groupement A1 2009 10/10