CALCUL DE MURS ANTIBRUIT ET CONTROLE ACTIF DU SON

Transcription

MEMOIRE D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES
Spécialité :
GENIE CIVIL
présenté à
L’UNIVERSITE DE MARNE LA VALLEE
L’ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES
L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN
par
Denis DUHAMEL
Sujet :
CALCUL DE MURS ANTIBRUIT
ET CONTROLE ACTIF DU SON
Soutenu le 15 juin 1998
devant le jury composé de :
M HAMDI M.A.
Mme HABAULT D.
M JUVE D.
M EHRLACHER A.
M NAYROLES B.
M ROURE A.
Président et Rapporteur
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Table des matières
1 Calcul de murs antibruit
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Méthode intégrale . . . . . . . . . . . . .
1.3 Calcul de murs avec une modélisation 2D
1.4 Calcul tridimensionnel . . . . . . . . . .
1.5 Ligne de sources incohérentes . . . . . .
1.6 Comparaison avec une méthode de rayons
1.7 Cas d’un sol absorbant . . . . . . . . . .
1.8 Quelques applications . . . . . . . . . . .
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2 Contrôle actif dans les gaines et optimisation géométrique
2.1 Contrôle actif dans une gaine . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Paramètres limitant le contrôle . . . . . . . . .
2.1.2 Contrôle dans une discontinuité . . . . . . . .
2.2 Optimisation du positionnement . . . . . . . . . . . .
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3 Contrôle actif en extérieur
3.1 Introduction . . . . . . . . . .
3.2 Modélisation autour d’un mur
3.3 Mesures . . . . . . . . . . . .
3.4 Cas d’un bruit routier . . . . .
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4 Résultats divers
4.1 Propagation d’onde dans des composites . . .
4.2 Régularisation d’équations intégrales . . . . .
4.3 Modélisation acoustique de milieux poreux .
4.4 Modélisation des vibrations d’un pneumatique
4.5 Physique théorique . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction
1. Activit´
es de recherche Sept. 1989 - Oct. 1997
Après un D.E.A. d’analyse numérique, j’ai effectué ma thèse de doctorat au Centre d’Enseignement et de Recherche en Analyse des Matériaux (CERAM) de l’Ecole nationale des ponts
et chaussées (ENPC) sous la direction de A. Ehrlacher directeur du CERAM et professeur de
matériaux à l’ENPC. Il s’agissait principalement d’étudier des problèmes d’interaction fluide structure, en commençant par une étude de la propagation des ondes dans un multicouche de matériaux
composites en contact avec un fluide. L’intérêt portait surtout sur le coefficient de réflexion d’une
onde plane incidente provenant du milieu fluide que l’on cherchait à minimiser pour rendre le
matériau anéchoı̈que. Ce point sera très brièvement abordé à la fin du mémoire. La seconde partie était le développement d’un code couplé éléments finis et équations intégrales pour l’étude
du rayonnement et de la diffraction d’ondes dans le fluide. L’intérêt portait essentiellement sur
les méthodes permettant d’éviter les fréquences singulières pour la formulation intégrale. Une
méthode de régularisation des noyaux hypersinguliers présents dans la formulation de Burton et
Miller [5] a été proposée. Elle est basée sur l’utilisation de fonctions de Green statiques que l’on
retranche des noyaux dynamiques pour aboutir à des intégrales faiblement singulières. Cet outil
a permis ensuite d’étudier quelques problèmes d’interaction fluide structure mais je me suis rapidement orienté vers le calcul de murs antibruit et la simulation de l’efficacité de systèmes actifs
autour de tels murs.
Mon travail ultérieur, tel qu’il est décrit dans ce mémoire, a consisté essentiellement à développer
la simulation numérique de moyens de calculs tridimensionnels de champs de pression autour de
murs antibruit et d’études tant théorique, numérique, qu’expérimentale de systèmes actifs pour le
contrôle du bruit.
Par ailleurs j’ai encadré trois thèses qui se sont déroulées au CERAM.
- P. Sergent [40] soutenue en 1996 sur le contrôle actif dans les gaines de ventilation et sur l’optimisation géométrique des capteurs et actionneurs de systèmes actifs.
- O. Belhoucine [3] soutenue en 1997 sur la modélisation acoustique de milieux poreux avec une
application principale aux enrobés drainants.
- P.H. Campanac [6] soutenue en 1997 sur la modélisation des vibrations d’un pneumatique roulant
sur une chaussée.
Parmi ces trois thèses, je décrirai principalement le travail mené avec P. Sergent qui s’inscrit bien
dans le thème d’étude sur le contrôle actif. Les deux autres travaux seront résumés plus rapidement
à la fin du document car les thèmes sont plus éloignés de l’axe central du mémoire.
Les études sur le contrôle actif, tant dans les gaines que pour les murs antibruit, résultent principalement d’un contrat PREDIT mené avec la SNCF. Les recherches sur les murs actifs ont ensuite été
poursuivies grâce au soutien de L’Union des Sociétés d’Autoroutes à Péages. Finalement la thèse
de O. Belhoucine a fait l’objet d’un soutien partiel de la société COLAS.
4
2. Pr´
esentation du m´
emoire
Dans ce mémoire, je développe plus particulièrement les aspects calcul de murs antibruit ainsi que
le contrôle actif.
Le premier chapitre est consacré à la présentation d’une méthode de calcul de murs antibruit permettant d’obtenir des valeurs du champ de pression tridimensionnel alors que les calculs usuels
par équation intégrale sont bidimensionnels.
Le second chapitre traite du contrôle actif appliqué à la réduction du son dans les gaines de ventilation. Sur cet exemple est aussi présentée une méthode générale d’optimisation des positions des
microphones d’erreur et des sources secondaires.
Le troisième chapitre présente différents résultats sur le contrôle actif en milieu extérieur, soit
autour de murs antibruit, soit en champ libre pour des sources complexes simulant un bruit de
trafic routier.
Finalement le dernier chapitre présente différents résultats qui vont de la propagation d’onde dans
des matériaux composites à des problèmes de physique théorique.
Dans chaque cas, je me suis attaché à extraire les idées jugées les plus essentielles et non pas à
présenter un discours exhaustif. Tous les détails peuvent être trouvés dans les articles.
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Chapitre 1
Calcul de murs antibruit
1.1 Introduction
Parmi les moyens utilisés pour réduire le bruit de circulation automobile ou ferroviaire se propageant dans l’environnement, les murs antibruit constituent souvent un outil important, notamment
en milieu urbain. C’est un moyen privilégié pour parvenir à un niveau sonore acceptable au voisinage de l’infrastructure. Les murs doivent permettre une réduction significative du bruit tout en
s’insérant dans l’environnement, d’une façon satisfaisante pour les riverains. Le principal problème
étant d’éviter des murs de hauteurs excessives, mal perçus par les habitants en raison de la gène
visuelle occasionnée.
Le concepteur de ce type d’ouvrage a besoin de moyens de dimensionnement lui permettant de
prévoir le niveau sonore autour de ce type de protection en fonction d’hypothèses sur le niveau de
trafic sur la voie. Il doit ainsi s’assurer que le niveau sonore au niveau des bâtiments ne dépasse
pas une valeur fixée par la réglementation. Cela se traduit souvent par un indice d’affaiblissement
minimal que doit satisfaire le mur. On mesure le niveau de réduction en comparant les niveaux
sonores avec mur et sans mur, ce qui permet de définir les pertes par insertion (IL insertion loss)
ou l’atténuation par rapport au niveau en champ libre (EA excess attenuation).
Ce type de question est devenu important dans les années 60 où les premiers ouvrages ont été
construits. Le premier à avoir proposé une méthode efficace de prévision semble être Maekawa
1965 [30] qui a obtenu une formule analytique basée sur la solution analytique de SommerfeldMacDonald pour un écran droit semi-infini et rigide. Cette méthode permet d’obtenir une estimation de l’atténuation du champ de pression derrière le mur, notamment dans la zone d’ombre. Mais
elle ne permet pas de prendre en compte l’influence du sol, ni la forme du mur ou la nature du
revêtement. Jonasson 1972 [25], Pierce 1974 [32] et Tolstoy 1989 [41] ont étendu cette approche
aux cas de murs ayant une forme de dièdre ou de polygone.
Des perfectionnements ont été proposés par Kurze 1971 [28] et Kurze 1974 [27] à partir de
méthodes de rayons basées sur la théorie géométrique de la diffraction de J.B. Keller. Avec ces
différentes méthodes il est possible de tester, pour un mur droit, l’influence de la hauteur sur
l’atténuation ainsi que l’influence d’un revêtement absorbant homogène ou d’un sol non rigide.
Il est apparu toutefois qu’en modifiant la forme des murs et la disposition des absorbants de surface, il devait être possible d’obtenir une amélioration des performances des murs pour une hauteur
fixée a priori. L’estimation des performances des murs de forme complexe nécessite l’utilisation
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de méthodes numériques. On pourrait utiliser la méthode des éléments finis, mais comme le milieu est non borné, on préfère généralement résoudre le problème par la méthode des équations
intégrales. Cette approche a été proposée par Daumas 1978 [10] pour la première fois et a été
plus systématiquement utilisée par Hothersall 1991 [22] et [23] pour comparer diverses formes de
sommet de mur et divers revêtements. Ces méthodes intégrales sont utilisées en 2-D en modélisant
une section du mur et en supposant que la source est une ligne de sources cohérentes. Les travaux
que je décris dans ce chapitre ont été initiés durant ma thèse, puis ont été largement développés
ensuite. Ils consistent pour l’essentiel à décrire une méthode permettant de faire des calculs tridimensionnels, avec un coût en temps calcul raisonnable, et à montrer les perspectives nouvelles que
l’on peut en déduire.
1.2 M´
ethode int´
egrale
Avant d’aborder les modèles 3-D rappelons la formulation du problème, la résolution des problèmes
bidimensionnels par équation intégrale et les informations que l’on peut obtenir à partir de ce type
de résultat. Le calcul du champ de pression autour d’un mur antibruit consiste à résoudre l’équation
de Helmholtz dans le domaine fluide extérieur au mur, soit le problème
est le nombre d’onde, la pulsation, où
(1.1)
la fréquence, la vitesse du son et les
termes de sources. Pour compléter le problème, il faut associer des conditions aux limites qui sont
de l’un des deux types suivants
!"#
mur rigide
"
mur d’admittance
(1.2)
Dans tous les calculs classiques effectués par la méthode des éléments de frontière, le problème
est modélisé de manière bidimensionnelle en effectuant le calcul sur une section du mur. La source
de bruit est ponctuelle en dimension deux, mais l’interprétation tridimensionnelle est une ligne
de sources cohérentes qui correspond à une distribution continue de sources tridimensionnelles
alignées suivant une droite et toutes en phase. Le problème mathématique consiste à résoudre
l’équation intégrale
%$'&)('*$'&)(,+.- 0/ $21(%35476 $2&<;=1(=>?1@- 0/ 3 2$ 1( 4 6 $2&A;B1(=>?1C
.ED GF $2&H(
(1.3)
358:9
35:8 9
$'&A;B1( est la fonction de Green qui
où est le champ de pression total sur la surface du mur et 4I6
&
1
donne le champ de pression au point
deux son expression est
produit par une source ponctuelle au point . En dimension
4 6 $'&A;B1*(J
K:LNM $OP &Q+R1PS(
(1.4)
Une telle source n’existe pas en pratique et ne modélise correctement aucune source réelle intéressante.
Cependant on peut obtenir ainsi des informations valables pour estimer l’atténuation d’un mur
lorsque la source et le point d’observation sont situés dans le même plan perpendiculaire au mur.
Des expériences ont confirmé ce fait, voir par exemple Daumas 1978 [10].
8
Les limitations de cette approche sont cependant l’impossibilité de calculer le champ de pression
dû à une source ponctuelle, ce qui est utilisé en pratique pour faire des mesures, l’absence d’information sur le champ de pression en dehors de la section contenant la source, l’erreur sur la phase,
ce qui se traduit par l’impossibilité de calculer le résultat d’interférences entre plusieurs sources.
Enfin le bruit routier et celui des trains est plutôt modélisé par des lignes de sources incohérentes
qu’une modélisation bidimensionnelle ne permet absolument pas de traiter.
1.3 Calcul de murs avec une mod´
elisation 2D
Bien que le calcul bidimensionnel soit basé sur une source qui ne correspond pas aux sources
réelles, les résultats de ce type de modélisation ont été souvent utilisés pour comparer diverses
formes de murs avec des revêtements variés. Tant que la source et le point d’observation sont situés
dans la même section par rapport au mur, on peut en effet déduire des informations pertinentes de ce
calcul. Bien que les champs avec et sans mur, calculés avec des lignes de sources cohérentes, aient
des valeurs non directement interprétables, le rapport des deux quantités qui donne l’atténuation
fournie par le mur est une grandeur quasiment identique dans les modèles à 2 ou 3 dimensions.
Diverses expériences effectuées avec des sources ponctuelles ont confirmé ce fait. J’ai pu retrouver
ceci par le calcul dans Duhamel 1996 [14] en traçant les atténuations pour les deux modèles et en
vérifiant la très bonne concordance des deux courbes. On peut interpréter ceci en terme de rayon
par le fait que le chemin de diffraction est le même en dimension 2 et 3.
Dans deux articles Hua et Duhamel 1994 [8] et Hua et Duhamel 1996 [9] nous avons testé l’influence de la forme et des revêtements posés sur le mur. Nous avons pour cela utilisé deux types
de modèles. Le premier, développé par C. Hua, est basé sur une méthode semi-analytique fondée
sur la solution de Sommerfeld-MacDonald qui donne le champ diffracté par une source ponctuelle
autour d’un dièdre droit semi-infini. Pour tenir compte de la présence du sol, il faut introduire des
coefficients de réflexion et considérer que le champ de pression derrière le mur provient de la sommation de quatre rayons avec ou sans réflexion sur le sol. Ce programme est utilisé lorsque le mur
est droit avec un sol absorbant ou non. Il présente bien sûr l’intérêt d’être très rapide comparé à
la méthode numérique. On peut facilement tirer des conclusions pratiques en testant par exemple
l’influence de la hauteur de l’écran. Un passage de 2m à 4m permet de gagner typiquement 8dB(A)
permet 2 dB(A) supplémentaires. Un
et un sol absorbant avec une perméabilité de revêtement absorbant sur la totalité de la surface du mur a une efficacité de l’ordre de 4 dB(A).
Le second modèle utilise la solution de l’équation intégrale bidimensionnelle décrite dans la section précédente en supposant que la surface du mur est rigide. Le programme fut surtout utilisé
pour tester l’influence de la forme du sommet du mur et l’interaction éventuelle entre deux murs
identiques placés sur les cotés opposés d’une voie. Nous avons par exemple comparé un mur en
forme de T et un mur double (deux murs identiques séparés par une distance de 2m) à un mur droit
de même hauteur. Ces murs de forme complexe montrent une efficacité accrue de l’ordre de 3 à
4 dB(A). Nous avons pu aussi retrouver par le calcul une diminution sensible de l’efficacité d’un
mur lorsqu’un autre est présent sur le coté opposé de la voie. Cela résulte d’un échange d’énergie
entre les deux cotés par réflexion et montre donc qu’un revêtement absorbant est nécessaire dans
cette situation pour limiter le phénomène.
La comparaison de murs minces, épais, en T et de triples murs a montré que l’épaisseur avait
9
une influence différente suivant que le point d’observation était situé dans l’ombre profonde du
mur ou près de la limite entre la zone d’ombre et la zone éclairée. Pour les points dans l’ombre
profonde l’atténuation augmente avec l’épaisseur, alors qu’en limite de zone d’ombre, l’effet est
moins marqué et peut même être inversé dans de nombreux cas. Des calculs avec des reliefs de
formes rectangulaires, cylindriques ou triangulaires ont montré que la pose de reliefs sur les faces
verticales du mur était quasiment sans effet alors que l’on pouvait gagner de l’ordre de 3 dB(A)
avec un relief de 0.6 m sur la face horizontale d’un mur en T.
1.4 Calcul tridimensionnel
Pour pouvoir calculer le véritable champ de pression diffracté par une source ponctuelle tridimensionnelle produisant le champ de pression
D
$(J
K 6 (1.5)
ainsi que le champ produit par une ligne de sources incohérentes, j’ai développé une méthode
permettant d’obtenir le champ de pression dans une modélisation tridimensionnelle. Il serait bien
sûr possible en théorie d’effectuer un calcul tridimensionnel par équation intégrale en maillant
la surface du mur sur une longueur importante, mais en pratique le volume de calcul rend cette
démarche non opérationnelle dès que la fréquence est supérieure à une centaine de Hertz. Cette
démarche a cependant été abordée par exemple par Kawai 1990 [26] et Antes 1991 [1].
La méthode développée dans Duhamel 1996 [14] permet d’apporter une solution à ce problème
lorsque le mur est infiniment long avec une section constante, comme sur la figure 1.1. Le problème
Γ3
Ω3
r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 )
z
y
S3
x
βg
ground
F IG . 1.1 – Mur antibruit de section constante.
consiste à trouver la solution de l’équation de Helmholtz dans le domaine fluide extérieur au mur.
10
Son expression mathématique est formulée par les relations 1.1 et 1.2. Prenant la transformée de
Fourier suivant y en posant
$ ;0% ; (J
- $ ;
; ( D 6 >
(1.6)
cette fonction vérifie
$OA+. ( 3 3
3 3
+ D 6 $ +
"! $#
(M $ + M ( > (1.7)
(1.8)
(1.9)
qui est le problème bidimensionnel posé sur une section du mur uniquement. On a supposé que les
différentes frontières étaient rigides. Ce problème est résolu par une méthode intégrale classique en
+ & % , ce qui signifie qu’il faut aussi
notant toutefois que l’on peut avoir
le calcul pour
D $'faire
' ( (
$ (
les fréquences imaginaires pures. Dans ce cas, la fonction de Green vaut LNM
*)+ M où
+ M est la fonction de Bessel modifiée d’ordre 0. Cette fonction est exponentiellement décroissante
à l’infini et, par conséquent, le domaine de fréquences à calculer est réduit et la fonction n’est
pas oscillante contrairement au domaine réel. La solution du problème tridimensionnel est ensuite
obtenue par une transformation inverse, soit
*$ ;
; ( - D 6-, . $ ;/ + ; (=> (1.10)
La démarche consiste donc à calculer le champ de pression en dimension deux pour les fréquences
comprises entre 0 et la plus haute fréquence à calculer. Il est nécessaire aussi de calculer la solution
sur un intervalle de fréquences imaginaires, qui est de plus en plus restreint à mesure que le point est
éloigné du mur en raison du caractère exponentiellement décroissant de la fonction de Green pour
les fréquences imaginaires. Une transformation de Fourier permet ensuite de calculer le champ de
pression dû à une source ponctuelle tridimensionnelle en tout point de l’espace pour une position
quelconque de source. Cette information peut directement être comparée à des résultats de mesures
ce qui n’est pas possible avec une modélisation bidimensionnelle.
Dans Duhamel 1996 [14] des comparaisons avec des solutions analytiques 3-D sont effectuées
et permettent d’estimer la précision du calcul ainsi que le nombre de fréquences à calculer, qui
est de l’ordre de quelques centaines pour des applications pratiques. Une comparaison entre les
coûts en nombre d’opérations entre les problèmes 3-D et 2-D traités avec cette méthode sur un
exemple à 1000 Hz permet d’estimer le gain en temps calcul à un facteur de l’ordre de 2000. Ce
gain augmente avec la fréquence. Nous pouvons par conséquent avoir accès, en un temps de calcul
raisonnable, au spectre auditif complet pour un problème réel, ce qui serait impossible avec un
véritable calcul 3-D.
Connaissant la réponse en fréquence en un point, il est possible ensuite de trouver la réponse
temporelle si l’on a le signal envoyé par la source. On peut étendre ce traitement assez facilement
au cas d’une source mobile se déplaçant à une vitesse constante suivant l’axe du mur. On peut ainsi
mettre en évidence l’importance, par exemple, de l’effet Doppler ou calculer l’atténuation du mur
directement sur le signal temporel. La figure 1.2 montre le signal capté en un point pour une source
11
mobile évoluant à la vitesse de 50m/s et envoyant un signal de fréquence 200 Hz. La source passe
à hauteur de l’observateur au temps t=0. La différence entre les temps négatifs et positifs est la
marque de l’effet Doppler. La figure présente aussi le même signal lorsqu’un mur de hauteur 2m
est introduit entre la source et l’observateur. Le signal est bien sûr affaibli.
F IG . 1.2 – Enveloppe de la pression pour un signal à 200 Hz et une vitesse de 50 m/s.
1.5 Ligne de sources incoh´
erentes
Une autre extension importante du modèle concerne le type de source. En pratique les sources
intéressantes sont soit des trains, soit des files de voitures. Un modèle mathématique de ce type de
source est une ligne de sources incohérentes qui est une distribution de sources ponctuelles tridimensionnelles alignées sur une droite. Deux sources à des positions différentes sont considérées
comme complètement décorrélées et ont des phases qui sont sans rapport entre-elles et varient de
manière aléatoire. L’amplitude de la source est un processus aléatoire dépendant de l’abscisse y et
qui a pour fonction d’intercorrélation.
$J$
(G$
(B( $ (
(1.11)
en supposant la source d’amplitude unité. On montre aisément que la densité d’énergie potentielle
acoustique a pour espérance
$ ; (<
K - P$ ;
; ( P >
(1.12)
@$ ;
; (
où est
la
pression
tridimensionnelle
calculée
au
point
d’abscisse
et de coordonnées
$
(
;
transverses
. Cette pression est calculée avec ou sans mur en utilisant les moyens exposés
12
dans la section précédente. En utilisant la relation de Parseval, on obtient une écriture plus simple
en fonction des solutions 2-D
$ ; (A
- P :$ ;/ +. ; ( P 0> (1.13)
Le champ d’énergie est donc très simple à obtenir à partir des résultats 2-D avec un coût en temps
calcul très faible.
Les courbes d’atténuation des murs antibruit pour ce type de source (voir figure 1.3) se révèlent
bien plus régulières que pour des sources ponctuelles ce qui s’explique assez facilement, puisque
l’on prend en quelque sorte des moyennes sur des positions différentes et que l’on somme les
énergies au lieu des pressions. Il est ainsi possible de bien mieux caractériser l’atténuation du mur
qui devient une fonction lentement variable de la position du point d’observation et de la fréquence,
alors que pour une source ponctuelle les courbes présentent généralement de fortes interférences
ce qui en rend leur interprétation difficile. La valeur obtenue pour l’atténuation est généralement
plus faible que celle que l’on déduit d’un calcul avec une source ponctuelle. Mais, c’est bien ce
qui est observé en pratique lorsque l’on fait des mesures d’atténuation en présence d’une véritable
circulation automobile.
A titre d’exemple la figure 1.3 donne l’atténuation (EA) derrière un mur en forme de T pour les
trois types de source. La source et l’observateur étant situés dans le même plan transverve, on voit
que les atténuations pour une source ponctuelle et pour une ligne de sources cohérentes sont très
voisines. Donc dans ce cas, les modèles 2-D et 3-D conduisent au même résultat ce qui justifie
a posteriori la pertinence de calculs 2-D dans cette situation. Ces courbes présentent cependant
de fortes oscillations à cause des interférences entre les ondes directes et celles réfléchies par le
mur et le sol. La comparaison de deux formes de mur ou la définition d’une grandeur numérique
pour mesurer l’atténuation peut présenter des difficultés. Au contraire la courbe pour la ligne de
sources incohérentes est bien plus régulière. Il semble qu’elle soit une meilleure caractéristique de
l’atténuation réelle apportée par le mur. Je pense qu’il faudrait calculer les murs par ce type de
méthode plutôt qu’avec des calculs bidimensionnels.
1.6 Comparaison avec une m´
ethode de rayons
Cette méthode a été comparée à une méthode de rayons dans un article écrit par Salomon 1997 [38]
et auquel j’ai collaboré sur la partie BEM et transformation 2-D vers 3-D. Il s’agissait de calculer
le champ de pression pour différentes situations comportant soit des diffractions simples avec un
seul mur, soit des diffractions multiples avec plusieurs murs. Le calcul de la solution BEM 2-D
suivi de la transformation de Fourier donne en effet une solution exacte de l’équation de Helmholtz aux erreurs numériques près. Les méthodes de rayons sont par contre basées sur plusieurs
approximations. On fait d’abord une approximation haute fréquence ce qui les rend inadaptées aux
calculs dans les basses fréquences pour lesquelles la dimension du mur devient inférieure à la longueur d’onde. Ensuite, dans les cas de multiples diffractions, les auteurs utilisent généralement une
méthode heuristique qui consiste à découper le problème en plusieurs diffractions successives sur
chaque sommet de mur et à multiplier les coefficients de diffraction correspondants pour obtenir
le coefficient global, ceci pour chaque chemin de diffraction possible. La pertinence et la précision
de ce type de calcul n’était pas connue et constituait le principal but de l’étude. La comparaison
13
F IG . 1.3 – Atténuation par rapport au champ libre (EA)
des résultats calculés par les deux méthodes devait en effet permettre de déterminer le domaine de
validité de la méthode des rayons. Des calculs par rayons sont bien entendu beaucoup plus rapides
que par BEM et doivent être préférés lorsque le résultat obtenu est suffisamment précis. Les codes
commerciaux utilisés pour la conception d’infrastructures de transport sont pour la plupart basés
sur ces méthodes de rayons et il est par conséquent important de connaitre la précision des résultats
fournis.
Dans le cas d’un seul mur une bonne concordance a été obtenue entre les deux résultats. Pour
les réflexions multiples, la méthode des rayons ne donne qu’une solution heuristique avec une
erreur d’amplitude indéterminée. La figure 1.4 présente une situation avec deux diffractions. Les
calculs de perte par insertion sont donnés sur la figure 1.5 pour trois fréquences et deux points
d’observation en fonction de la distance dans la direction parallèle au mur. Il apparaı̂t que l’erreur
commise peut dans certaines situations être importante. Un moyen d’améliorer les résultats de
la méthode des rayons est de tenir compte de plus de chemins de propagation entre la source
et le récepteur. Sur le cas présenté deux calculs avec 8 et 96 rayons sont effectués. Le calcul
avec 96 rayons donne une légère amélioration du résultat, mais celle-ci reste faible. Il semble par
conséquent que l’on peut se limiter à quelques rayons et que la prise en compte de plus de chemins
ne donne pas d’amélioration substantielle de la qualité du résultat. Si une information plus fine est
nécessaire, il vaut mieux faire un calcul numérique par la méthode proposée.
1.7 Cas d’un sol absorbant
Dans Duhamel [16] la méthode de calcul a été étendue au cas d’un revêtement de mur ou d’un sol
absorbant. Nous supposons que les propriétés de ces surfaces sont décrites par une admittance. Le
problème à résoudre dans ce cas s’écrit
N O + $ +( >: (1.14)
+
14
2
z(m)
2
1
1
récepteur
❍
source
✽
6 4
0
-5
récepteur
❍
3 5
0
5
10
x(m)
F IG . 1.4 – Cas d’une double diffraction
F IG . 1.5 – Comparaison BEM et méthode de rayons.
15
20
3 .
" 2
+
3
3 " 3 +
3 + +
3
$!
#
(1.15)
(1.16)
$ (
$
(1.17)
(
(1.18)
"
où est l’admittance de la surface supposée constante sur le sol, mais pouvant être variable sur la
surface du mur. K est le nombre d’onde. En suivant une démarche identique au cas d’une frontière
rigide, on prend la transformée de Fourier de cette expression et on aboutit à un problème de
diffraction d’une ligne de source 2D avec une frontière décrite par une impédance.
$ +. ( + D 6 $ + M ( $ 7
+ ( >:
(1.19)
M
+
3 . " $!
(1.20)
+
3
" # 3 (1.21)
+
3
$ ;0 ; ; " ; " ( la solution du problème 2D au point $ ; ( pour le nombre d’onde comNotant " "
plexe et les admittances normalisées et . La solution du problème 3D s’obtient alors par la
formule
$ ;
; (J
-
$ ; /
+
+. ;; "B
/ +. ;B" +
/ +. ( D 6 , +
.
> (1.22)
Dans ce cas on constate que les calculs sont un peu plus volumineux car, alors que pour une
frontière rigide un seul calcul 2D permet d’obtenir des calculs 3D pour toute une gamme de
fréquences, dans le cas présent, il faut faire une série de calculs 2D pour chaque fréquence tridimensionnelle à calculer. Néanmoins, le volume de calcul reste sans comparaison avec celui que
nécessiterait un calcul 3D équivalent.
Les différents problèmes sont résolus numériquement par équation intégrale. Pour cela, il faut connaitre la fonction de Green 2D pour un demi-espace limité par une surface d’admittance homogène.
Pour les fréquences réelles la solution est donnée par Chandler-Wilde 1995 [7]. Elle vaut
D . ( - . .
O"
$ ; (J
+ ,
>
6 , ,
+ $ + " (
(1.23)
Chandler-Wilde montre que cette expression peut être transformée pour obtenir des formules plus
faciles à évaluer numériquement. Pour les fréquences imaginaires, nous avons calculé la solution
qui s’exprime sous une forme voisine de la précédente
D . .
@$ ; G(J
+ " - 6 , ( , >
(1.24)
< $'" < (
Une comparaison entre une mesure et un calcul est présenté sur la figure 1.7. Un bon accord est
observé.
16
S
77.8
77.2
74.3
72.3
68.6
67.4
77.9
74.9
72.1
70.0
68.9
68.7
73.4
75.7
72.1
68.2
65.8
68.9
72.8
75.3
72.7
69.6
66.5
68.8
70.6
71.9
73.0
67.7
67.2
66.2
F IG . 1.6 – Pression mesurée à 1000 Hz (dB)
S
76.2
74.7
73.7
70.3
66.4
68.1
76.9
74.9
73.7
70.2
66.4
68.1
75.9
75.1
73.7
70.0
66.4
68.1
71.7
74.7
73.3
69.3
66.4
68.1
74.1
74.5
72.9
68.4
66.2
68.1
F IG . 1.7 – Pression calculée à 1000 Hz (dB)
1.8 Quelques applications
Les moyens développés ci-dessus ont été repris récemment par Y. Gabillet et P. Jean du CSTB
[20] pour tester divers écrans destinés à être placés en bordure de voie ferrée. Ils modélisent le
bruit engendré principalement au niveau du contact roue-rail par 7 lignes de dipôles incohérents
(voir figure 1.8). Ces dipôles modélisent les sources de bruit au niveau des rails, des roues et de
la traverse. En sommant simplement les énergies, on obtient le niveau sonore total derrière le mur.
Ils ont utilisé une valeur normalisée du spectre de bruit de train pour calculer le niveau sonore
total derrière le mur. Ils ont pu ainsi comparer diverses configurations, notamment l’influence de
la présence de mini écrans de faibles hauteurs situés à proximité des rails. Ce type de protection
semble permettre de gagner environ 3dB. Ils ont pu aussi montrer que pour obtenir une estimation
pertinente de l’atténuation, il fallait utiliser le modèle tridimensionnel car le calcul bidimensionnel
conduisait à des écarts pouvant atteindre 3 à 4 dB.
La figure 1.9 compare un mur droit avec un mur de sommet cylindrique (rayon 50cm) et un mur en
T (largeur du sommet 1m). Les deux sommets sont recouverts de matériaux absorbants. La valeur
donnée est le gain en atténuation par rapport à un écran droit de même hauteur. On constate une
nette amélioration des performances pour ces deux écrans.
17
F IG . 1.8 – Modèle du train et des sources de bruit.
F IG . 1.9 – Atténuation par rapport à un mur droit.
18
Chapitre 2
Contrˆ
ole actif dans les gaines et
optimisation g´
eom´
etrique
Le contrôle actif est une idée ancienne puisqu’elle a été proposée pour la première fois par Lueg
[21] en 1934. La mise en oeuvre effective, de manière suffisamment efficace pour donner lieu à
des applications, n’a seulement commencé que dans les années 80 avec la disponibilité de processeurs de traitement du signal performants. Nous présenterons dans ce chapitre quelques travaux
sur le contrôle actif effectués dans le cadre de la thèse de P. Sergent 1996 [40]. Les apports principaux concernent en premier lieu une étude de la propagation et du contrôle dans les gaines de
ventilation de géométries complexes. Ensuite, dans le cas plus simple de la propagation par onde
plane dans une gaine droite, nous avons affiné l’analyse du contrôle pour obtenir des formules
analytiques donnant la réduction sonore en fonction des paramètres du système. Enfin, nous nous
sommes intéressés au problème d’optimisation du positionnement des microphones et des sources
secondaires.
2.1 Contrˆ
ole actif dans une gaine
Le champ de pression dans une gaine droite de section quelconque se décompose suivant les modes
par la formule
$ ;
; ( $ D 6 D 6 (D!$
; (
(2.1)
D (
D
D
On a supposé que l’axe du guide était confondu avec l’axe x. Les coefficients
et
sont les
amplitudes des modes
qui se propagent respectivement vers les x positifs et vers
D
D les x négatifs (voir
figure 2.1). Les
sont les modes transversaux de la section du guide et les les nombres d’onde
associés. On montre facilement que le mode d’ordre 1 est une onde plane. Pour une fréquence
donnée, il n’y a qu’un nombre fini de modes propagatifs qui correspondent à un nombre d’onde
réel. Les autres sont exponentiellement décroissants et disparaissent sur des distances égales à
quelques rayons transversaux de la gaine.
Pour effectuer le contrôle, on place une ou plusieurs sources secondaires dans le guide et des
microphones qui servent d’une part à mesurer le champ de pression aux points où l’on désire
effectuer le contrôle, et d’autre part à mesurer le signal sonore en amont du dispositif de contrôle
19
a+
a-
z
y
x
F IG . 2.1 – Section droite d’une gaine.
pour avoir un signal de référence pour les algorithmes feedforward. En règle générale, un dispositif
avec N sources secondaires permet de contrôler N modes de propagation.
Dans Sergent et Duhamel [34], l’analyse précédente est étendue au cas d’un guide avec des parois absorbantes. L’analyse doit être modifiée car la propagation ne se fait plus exactement par
onde plane à basse fréquence et le nombre d’onde a une composante imaginaire qui introduit un
amortissement au cours de la propagation. Il vaut
+.
(2.2)
où a est la largeur du guide et le nombre complexe est solution de l’équation
$ ( +
(2.3)
est l’impédance réduite. On peut ensuite développer le modèle de manière similaire au cas de
parois rigides pour calculer la propagation puis l’efficacité d’un contrôle actif dans le guide.
2.1.1 Paramètres limitant le contrˆ
ole
Le contrôle est généralement effectué par un filtre adaptatif qui sert à calculer le signal de la source
secondaire en fonction du signal de référence et des signaux d’erreur. Plusieurs effets limitent l’efficacité d’un système actif avec en premier lieu la contrainte de causalité lorsque le bruit primaire
est aléatoire. Cela signifie que le signal envoyé à la source secondaire ne peut dépendre que des
valeurs passées du signal primaire et non des valeurs futures qui sont inconnues. Par conséquent
la fonction de transfert est nulle pour les temps négatifs. Cette fonction est la version discrétisée et
tronquée d’une fonction de transfert ”optimale” qui peut être de longueur importante si le chemin
de propagation est complexe à cause, par exemple, de réflexions multiples. Les systèmes doivent
de plus fonctionner en temps réel ce qui nécessite des processeurs suffisamment puissants pour
que les calculs se fassent en des temps inférieurs à la période d’échantillonnage. Une des principales limitations de l’efficacité du contrôle provient des propriétés de la discrétisation, qui sont la
fréquence d’échantillonnage et la longueur finie du filtre.
Dans le cas d’une propagation par onde plane dans un guide d’onde avec un bruit primaire aléatoire
stationnaire, nous avons déterminé dans Sergent et Duhamel 1997 [36] le filtre discret optimal et
20
nous avons montré que l’atténuation obtenue dépendait de deux paramètres adimensionnels qui
sont eux-mêmes fonctions de quatre grandeurs : la vitesse du processeur, le coefficient de perte du
guide d’onde, la position de la source secondaire et le spectre du bruit primaire.
Pour détailler les résultats obtenus, considérons un dispositif de contrôle avec les dispositions des
sources et des microphones comme sur la figure 2.2. Si l’on suppose que la fréquence est basse et
primary signal
x
l
qp
x0
primary
source
qs
secondary
source
W1 (t)
detection
sensor
error
sensor
adaptation
weighting
function
F IG . 2.2 – Mise en oeuvre du contrôle dans une gaine.
que la propagation s’effectue uniquement par onde plane, il est possible de déterminer simplement
l’expression du champ de pression dans le guide puis la fonction de transfert optimale. Lorsque le
signal de référence est pris directement sur la source primaire le filtre de contrôle vaut
$ ( + $ + ( D , D ( . - $ + $O% ( M (
(2.4)
D
M
où est le coefficient
d’amortissement
de la propagation dans le guide, M la position de la source
secondaire et M
M . Cette fonction de transfert optimale est une somme infinie d’exponentielles décroissantes et ne peut qu’être approchée par un filtre discret.
Lorsque l’on tronque cette fonction de transfert au temps pour tenir compte de la longueur finie
du filtre discret, nous avons montré que l’atténuation au microphone d’erreur était donnée par
$2( $ > N(
(2.5)
où est la vitesse du son. Cette expression ne dépend pas de la fréquence ni de la position du
microphone d’erreur. Pour augmenter l’atténuation, il faut soit avoir une absorption plus grande (
plus grand), soit un filtre de plus grande longueur ( croissant).
Au lieu de simplement tronquer la fonction de transfert au temps ; , il est possible de chercher
directement la fonction discrète optimale sur l’intervalle de temps . La minimisation du signal
d’erreur par rapport au filtre discret conduit à une équation de Wiener-Hopf. Sa résolution donne
pour un filtre de coefficients
$ (J
+ $ + ( D $ E $ + ?( ( M $ + $ % ( M (
D M
M
-
21
(2.6)
puis l’atténuation au microphone d’erreur
$2( E$ ( P % $ M ( P
. -
(2.7)
M P + $ + ( , 6 P
$O
R (= K M pour lesquelles aucune atténuation
L’atténuation présente
des minima aux fréquences
. Deux courbes pour
n’est obtenue si
et une faible atténuation augmentant avec si
(
deux longueurs de filtres sont présentées sur la figure 2.3. On constate que l’atténuation est faible
dans certaines bandes de fréquence et que sa valeur augmente avec la longueur du filtre.
$ (
F IG . 2.3 – Atténuation avec une longueur de filtre variant de 25 ms à 400 ms.
Une dernière étape consiste à déterminer l’influence de la fréquence d’échantillonnage. Pour cela
introduisons trois paramètres adimensionnels
I % %> > M
(2.8)
M M 0 > où est la période d’échantillonnage et la plus haute fréquence contenue dans le signal
primaire. Nous avons montré que l’atténuation dépend des trois paramètres par
+ ( + 4 $ ( 4 $ ; M (
(2.9)
M
$
(
4 $ ?;0 ( $ (: $*; ( #" $ (: MM!!
(2.10)
M
4
$ ( + %$
22
L’équation 2.9 montre que l’atténuation dépend séparément de deux facteurs : la période d’échantillonnage
adimensionnelle et la longueur adimensionnelle du filtre. Les valeurs de M et de la vitesse
du processeur étant fixées, cette expression peut être utilisée pour trouver les valeurs de et conduisant au maximum d’atténuation en fixant un volume de calcul égal au maximum des possibilités du contrôleur.
Des mesures ont été effectuées dans une gaine sans absorbant (figure 2.4) et avec absorbant (figure
2.5). Le contrôle est obtenu par une carte de traitement du signal bâtie autour d’un processeur
TMS320C30 et de cartes d’entrée et de sortie. L’algorithme de contrôle est le X-LMS filtré. Des
filtres antirepliement de fréquence de coupure 600Hz sont placés avant et après les convertisseurs
analogique-numérique et numérique-analogique. Le signal de référence est pris directement sur
le signal envoyé à la source primaire. La fréquence d’échantillonnage est de 3000Hz et les filtres
des chemins secondaires sont de longueurs 512 alors que le filtre de contrôle a pour longueur 75,
150 ou 300 coefficients. En comparant les figures 2.4 et 2.6, on peut remarquer que le contrôle
est assez bien prédit par le modèle. La comparaison des figures 2.4 et 2.5 montre que l’influence
de l’absorbant est clairement bénéfique dans les intervalles de fréquences où le contrôle était peu
efficace.
2.1.2 Contrˆ
ole dans une discontinuit´
e
La plupart des travaux sur le contrôle actif dans les gaines de ventilation supposent que le contrôle
est effectué dans une section droite de la gaine. En raison du cheminement souvent complexe des
gaines de ventilation il n’est pas toujours possible de trouver une section droite suffisante pour
se ramener à ce cas standard. C’était notamment le cas des gaines de ventilation du TGV qui
était le but de l’étude menée pour la SNCF. La source secondaire doit alors être installée dans
une discontinuité ce qui peut modifier de façon importante le comportement du système actif.
Les discontinuités peuvent aussi avoir un effet bénéfique en terme de réduction sonore par un
effet purement passif, car elles peuvent réfléchir une partie de l’énergie incidente. Dans Sergent et
Duhamel [33], nous nous sommes donc intéressés aux possibilités de contrôle à l’intérieur d’une
discontinuité de gaine.
Avant de pouvoir contrôler l’onde acoustique dans une discontinuité, il faut toutefois d’abord
modéliser la propagation. En supposant que la discontinuité relie deux sections droites comme sur
la figure 2.7, son comportement est décrit par une matrice de dispersion qui relie les décompositions
modales sur les deux sections opposées. Pour pouvoir calculer cette matrice, on part d’une relation
intégrale posée sur le volume de la discontinuité.
*$'1 ;=( M - 4 $'1 ;=&H($'&A;=( 8 > &
(2.11)
où 4 est la fonction de Green avec parois rigides. En projetant cette relation sur les modes de
chaque section terminale et en tenant compte du terme provenant de la source secondaire interne à
la discontinuité, nous obtenons la relation désirée en termes d’amplitudes modales.
( ( ((
(
! (
23
#
( (2.12)
F IG . 2.4 – Atténuation sorbant.
$2(
mesurée pour différentes longueurs du filtre de contrôle sans ab-
$2(
mesurée pour différentes longueurs du filtre de contrôle avec ab-
$ (
calculée pour différentes longueurs
24
du filtre de contrôle sans ab-
b+
ba+
a-
F IG . 2.7 – Discontinuité dans une gaine.
Souvent on préfère écrire la relation précédente en terme de matrice de diffusion et des amplitudes
modales des ondes incidentes et sortantes. Elle prend alors la forme
#
(2.13)
La matrice
et le vecteur
se calculent par
+ ( ( $ (
$ +
$
+
(
( $ +
(
(2.14)
Le calcul de la matrice est effectué par une méthode numérique. Nous l’avons fait par équation
intégrale en développant une extension du logiciel SAMRAY, nommée SAMRAYDUCT, pour
le calcul des guides d’onde. Quelques exemples de calculs peuvent être trouvés dans Sergent et
Duhamel 1994 [37] avec de plus des comparaisons avec des résultats analytiques et expérimentaux.
Dans le cas où une source d’amplitude est présente à l’intérieur de la discontinuité, il faut tenir
compte du terme affine au second membre.
La simulation de l’efficacité du contrôle actif dans la discontinuité consiste à trouver l’amplitude
de la source secondaire qui minimise la fonction de coût J que l’on prendra égale à la somme du
carré de la pression sur une section aval du guide, soit
$ =(J
- P @$ ;
; ( P >
> (
P
D D (
D D P
(2.15)
et sont les nombres de modes pris en compte sur les cotés amont et aval du guide. Il ressort
des simulations numériques que les positions pour les sources secondaires ne sont pas équivalentes,
mais que l’efficacité du contrôle dépend fortement de sa position.
25
Dans Sergent et Duhamel [33] une analyse détaillée est donnée dans le cas où l’on peut faire une
approximation par onde plane des ondes incidentes et réfléchies. On montre en particulier que
lorsque le contrôle est effectué pour annuler le champ de pression en aval de la discontinuité et
qu’il n’y a pas d’onde provenant de l’aval alors, à l’optimum, la puissance acoustique rayonnée
par la source secondaire est nulle. Ce résultat était déjà connu pour un guide droit. Nous l’avons
étendu au cas d’une discontinuité symétrique quelconque. La puissance rayonnée par la source
primaire vaut
+ ? $ M $ (B( (2.16)
!
$ (
est équivalent à
où est la puissance de la source primaire seule dans un guide droit et
une longueur et dépend des caractéristiques de la discontinuité.
$2( et de l’amplitude
'D .
Nous avons déterminé les expressions de
de la source secondaire pour les
, 6 , nous avons obtenu
trois géométries des figures 2.8 à 2.10. En posant 6
guide droit
$2( (2.17)
coude
source en position
$2( source en position
$ 6 (
"
(2.18)
G 'H$O (
$ 6 (
+ 6 $2(
+ M
6
P + P
6
$2( (2.19)
résonateur
$ ( P P P P
+ 6 P 6 +
6 6 , . P
(2.20)
L’efficacité du contrôle actif est comparée pour différentes configurations sur les figures 2.11 et
2.12. La principale conclusion est que le coude avec une source secondaire en position permet
un contrôle nettement plus efficace que dans un guide droit.
26
x1
Ss
a+
a-
1
Ω
S1
S2 b+
b-
2
x3
x2
F IG . 2.8 – Domaine
pour un guide droit.
β
Ss
S1
1
Ω
α
Ss
S2
2
F IG . 2.9 – Domaine
γ
primary
source
L0
l’
pour un coude.
secondary
source
Ω
L1
l
error
sensor
F IG . 2.10 – Position de la source secondaire dans un résonateur.
27
F IG . 2.11 – Atténuation de la densité d’énergie potentielle acoustique dans un guide droit. (
).
F IG . 2.12 – Atténuation de la densité d’énergie potentielle
acoustique
dans un coude par contrôle
"
(
$
passif ( ) et par contrôle actif avec une source ( ) ou
.
28
2.2 Optimisation du positionnement
Le contrôle actif consiste à minimiser une fonction de coût qui est généralement une fonction
quadratique de la pression mesurée en des points discrets. La minimisation d’une fonction quadratique est facile et conduit directement au champ de pression résiduel après contrôle. Cependant,
l’efficacité du contrôle dépend fortement des positions des sources secondaires et des microphones
d’erreur comme on a pu le vérifier dans les exemples précédents. Une optimisation de leurs positions peut donc conduire à un gain substantiel en efficacité du système. Cette optimisation sur
les positions est nettement plus difficile que l’optimisation quadratique sur les amplitudes car la
fonction de coût n’a pas de propriété particulière. Elle n’est ni quadratique ni même convexe et
présente de nombreux minima locaux.
Il existe essentiellement deux approches pour traiter ce problème. La première est une optimisation
continue avec des méthodes du type gradient. On minimise d’abord par rapport aux amplitudes des
sources secondaires puis par rapport aux positions. Dans ce dernier cas, il y a convergence vers un
minimum local et il faut raffiner l’analyse pour se rapprocher du minimum global cherché. L’autre
alternative est d’utiliser des méthodes de sélection qui vont essayer de déterminer les meilleures
positions dans un ensemble de positions prédéfinies. Parmi ces dernières, nous trouvons les algorithmes génétiques ou le recuit simulé. Il s’agit souvent d’heuristiques qui vont fournir une solution
proche de l’optimum mais pas toujours le véritable optimum.
La fonction de coût classique bâtie à partir de la somme du carré des pressions en des points
discrets ne semble pas la plus adaptée à ces nouveaux problèmes. Aussi, nous avons proposé une
nouvelle formulation dans Sergent et Duhamel 1997 [35], avec une fonction de coût basée sur
le maximum de la pression en des points discrets. Cette fonction de coût ne représente pas une
énergie mais conduit à une minimisation uniforme du champ de pression. Un nombre suffisant de
microphones d’erreur et de sources secondaires ainsi que leurs positions est déterminé rapidement
en résolvant un problème d’optimisation linéaire par la méthode du simplex. Une méthode générale
est présentée et étudiée plus en détail dans le cas de la propagation d’une onde plane dans un
$ ( ; ; ( le vecteur des
guide d’onde. Ce problème est présenté$'sur
la
figure
2.2.
Posons
1H; B( le champ de pression total. On définit la fonction
amplitudes des sources secondaires et
de coût
$ =(J
P $'1H; ( P
(2.21)
est l’ensemble des points où l’on désire réduire le champ de pression. La détermination des amplitudes des sources secondaires consiste à minimiser par rapport à . Cette méthode s’appelle
le critère du minimax. Dans le cas d’une cavité rigide
les fonctions de transfert sont imaginaires et
D
il est possible de se restreindre à des amplitudes réelles. Le problème peut finalement se mettre
sous la forme d’une optimisation linéaire par
(2.22)
$
;
=(
M# M
(2.23)
+ M# M
$ ; =(
variables avec > $ ( contraintes. Avec une transforIl s’agit d’une minimisation sur
mation pour ne travailler qu’avec des variables positives, il est aisé de mettre le problème sous
29
une forme directement soluble par l’algorithme du simplex. On sait que
solution du problème
lainégalités
se situe sur un sommet de l’espace des solutions et qu’au moins
de contrainte
sont en fait des égalités. Appelons le sous-ensemble de correspondant aux égalités, nous avons
montré que la minimisation sur et sur conduisait au même résultat en terme d’amplitudes de
sources secondaires optimales. Par conséquent, il suffit d’un nombre de microphones d’erreur égal
%> $ ( pour trouver la solution optimale. Dans la plupart des cas, le système est non dégénéré
à
%> $ (J
si et %> $ ( si . Il suffit donc d’un
et nous avons en fait
petit nombre de microphones pour obtenir la même solution qu’avec un grand nombre. De plus, on
trouve simultanément les positions de ces microphones d’erreur. Des exemples simples sont traités
dans Sergent et Duhamel 1997 [35] pour le contrôle sur divers sous-ensembles finis ou infinis du
guide et les positions optimales des microphones sont déterminées.
Nous nous sommes
aussi
intéressés aux positions optimales des sources secondaires. Partant d’un
O
D
;
M de positions candidates pour les sources secondaires, un nombre
ensemble +
suffisant de sources et leurs positions peuvent être déterminées par la résolution du problème
linéaire suivant
$
B(J
P $ ; B( P D P $ D'( P
(2.24)
(
$ $ (0; ; $ D2( ; ; $ (B( qui sont les
est un vecteur D égal à (
où est une petite quantité et
amplitudes des sources secondaires aux positions candidates pour ces sources. A partir de + , la
!
résolution du problème permet de définir l’ensemble
+
P $ (
+
!
(2.25)
des positions effectives occupées par une source secondaire. Il apparaı̂t qu’en général ce nombre de
sources est faible, bien inférieur au nombre de points de + . Il faut noter que le même problème permet aussi de déterminer les positions et le nombre de microphones à utiliser comme précédemment.
Il est possible de généraliser l’approche précédente en introduisant des bornes sur les amplitudes
des sources secondaires. Ce sont simplement des contraintes supplémentaires à respecter et le
problème reste de même nature.
Cette approche permet de trouver une bonne solution avec un faible nombre de sources secondaires. Toutefois elle ne donne pas la solution optimale conduisant au minimum de sources. Il est
possible de poser un nouveau problème qui permet de déterminer la véritable solution conduisant
au minimum de sources. Il s’écrit sous la forme
$
B(
J
P
$
;
B(
P
P $ D'( P
(2.26)
D ( P $ D'( P D $ $ D (B( $ (
M
(2.27)
(
où la fonction
vaut 0 si est égal à 0 et 1 sinon. Elle permet donc de compter le nombre
de sources actives que l’on cherche inférieur à . Ce type de problème est connu en recherche
opérationnelle sous le nom de problème de la charge fixe. Il appartient à la classe des problèmes
mixtes puisqu’une partie des variables est réelle alors que le reste est entier. Un algorithme du
30
type branch-and-bound a été programmé. Il permet de trouver la solution exacte par énumération
et sélection. La comparaison avec une énumération complète de tous les cas possibles montre un
gain important en temps calcul dès que le nombre de sources est supérieur à 1.
31
32
Chapitre 3
Contrˆ
ole actif en ext´
erieur
3.1 Introduction
Une autre application moins étudiée du contrôle actif est la possibilité de réduire le niveau sonore
en milieu extérieur. La plupart des applications du contrôle actif se situent en effet dans des milieux
fermés, comme les habitacles d’automobiles ou d’avions, ou du moins confinés comme dans les
gaines de ventilation. En milieu ouvert on trouve des moyens de protections passifs comme les
murs antibruit. Ces obstacles, comme tous les moyens passifs, présentent des insuffisances dans les
basses fréquences. Ce fait peut par exemple être constaté sur les courbes d’atténuation du chapitre
1. Il peut par conséquent être intéressant de renforcer l’atténuation des murs antibruit dans les
basses fréquences par des techniques actives. Le but est de réduire le niveau sonore derrière le
mur. Contrairement aux milieux clos, dans les milieux ouverts il n’y a pas de mode propre ou de
mode de propagation et le contrôle doit donc être basé sur une approche différente. Le contrôle
dans la totalité du domaine fluide n’est pas en effet un objectif raisonnable, puisque Elliott 1991
[19] a montré que le contrôle de la puissance totale rayonnée n’était possible que quand la distance
entre les sources primaires et secondaires étaient inférieures à une demi-longueur d’onde. Pour
la plupart des applications, notamment le contrôle du bruit engendré par les moyens de transport,
la source secondaire ne peut satisfaire ce critère. Par conséquent le contrôle cherché est local et
le problème essentiel est la détermination de l’étendue du contrôle en fonction de la fréquence
et de la disposition du système. La mise en oeuvre du contrôle est similaire au cas des gaines de
ventilation. On dispose de sources secondaires et de microphones d’erreur placés aux points où
l’on désire réduire le champ de pression. La minimisation se fait par un algorithme du type LMS
utilisant un signal de référence et les signaux mesurés aux microphones d’erreur pour optimiser un
filtre adaptatif qui permet le calcul des signaux à envoyer aux sources secondaires.
3.2 Mod´
elisation autour d’un mur
J’ai abordé l’étude du contrôle actif autour des murs antibruit par la modélisation. Pour une source
primaire et un domaine de contrôle fixés, on se propose de déterminer l’atténuation apportée
par un contrôle actif avec une ou plusieurs sources secondaires placées près# du mur. Un schéma
simplifié du dispositif est présenté sur la figure 3.1. La source primaire est en alors que la ou les
33
sources secondaires peuvent occuper les positions numérotées de 1 à 9.
F IG . 3.1 – Contrôle actif autour d’un mur antibruit.
Dans une première étape le contrôle est effectué en cherchant à minimiser la densité d’énergie
potentielle acoustique sur la totalité du domaine . Ce critère est celui généralement utilisé dans
les autres applications du contrôle actif. En régime harmonique il s’agit de minimiser la fonction
de coût
$O ( ;0 ; ; ;=(H
- P $'1H;=( D $ ( D $'1 ;=( P B> 1
(3.1)
D (
Le champ de pression total est somme du champ de pression primaire et du champ de presGD
D
sion secondaire. Les sont les amplitudes des sources secondaires et
les champs secondaires
pour une source d’amplitude unité. Les techniques exposées au chapitre 1 donnent tous les moyens
nécessaires pour calculer ces champs de pression pour des modélisations en deux et trois dimensions. Mon approche est par conséquent différente de celle adoptée par les autres auteurs. En effet
les simulations effectuées par Ise 1991 [24] et Omoto 1993 [31] sont basées sur des méthodes
de rayons. Cela peut conduire à des erreurs importantes puisque l’on travaille dans les basses
fréquences pour lesquelles les méthodes de rayons sont mal adaptées. En revanche une méthode
intégrale permet une bien meilleure précision sur les champs de pression à basse fréquence d’autant
plus que les sources et les points de calcul sont souvent situés à proximité du mur.
L’efficacité du contrôle est obtenue en minimisant la fonction de coût par rapport aux amplitudes
des sources secondaires. La fonction de coût étant quadratique par rapport aux amplitudes la minimisation est directe. Cela permet d’une part de déterminer les amplitudes des sources secondaires
optimales et d’autre part de trouver le minimum de la fonction de coût et d’en déduire finalement
l’efficacité du contrôle actif sur le domaine qui est donnée par
( M $ F5F (
F 34
(3.2)
Les détails de cette approche sont donnés dans Duhamel 1995 [12]. L’apport principal de cet article
est de présenter les moyens de calcul permettant de simuler l’efficacité d’un contrôle actif autour
d’un mur antibruit pour des sources primaires fixes. Le bruit primaire peut être soit harmonique
soit aléatoire stationnaire. Divers exemples y sont traités en régime harmonique pour plusieurs
positions des sources secondaires. J’ai pu montrer que les positions conduisant à une efficacité
importante étaient situées du même coté que la source primaire souvent légèrement en dessous du
sommet du mur. On retrouve ainsi l’idée que pour obtenir un bon contrôle le champ de pression
secondaire doit reproduire le plus fidèlement possible le champ de pression primaire. Dans le cas
présent, en plaçant les deux sources du même coté on engendre des champs diffractés de même
nature dans la zone d’ombre. Des résultats sont présentés sur les figures 3.2 et 3.3 dans lesquelles
sont étudiées l’influence de la position et du nombre de sources secondaires sur le contrôle. Les
calculs sont tridimensionnels et le domaine a pour dimension 1mx2mx3m. Nous observons une
réduction importante du champ de pression même pour les hautes fréquences.
Pour se rapprocher d’un cas réel, j’ai aussi développé l’analyse pour un bruit aléatoire stationnaire.
Dans ce dernier cas la fonction de coût est prise égale à l’espérance du carré du signal temporel de
la pression aux microphones d’erreur, soit
$
(
P $ ; (:
(
$ ; ( P 0(
(3.3)
$(
La position du microphone d’erreur l est
. Le signal de la source
est obtenu en
$ ( par
$ ( secondaire
filtrant le signal
des
capteurs
d’erreur
des
filtres
notés
pour
obtenir
des
expressions
$
(
$
( $ (
du type
. La simulation consiste à trouver les filtres optimaux qui minimisent la
$ (
pour % . Le
fonction de coût 3.3. La contrainte de causalité est intégrée en imposant
développement de la fonction de coût en fonction du filtre de contrôle permet de mettre le problème
sous la forme d’une équation de Wiener-Hopf du type
$#(
$#(
$5(: M
$ + ( (<$ ( (=> ( (3.4)
Les quantités
et
se calculent en fonction des dispositions des sources primaires et secondaires. On résout cette équation par une discrétisation en temps puis par une inversion matricielle
du problème discret. En calculant la fonction de coût avec et sans contrôle nous obtenons la valeur
de l’atténuation.
J’ai pu ainsi effectuer des simulations qui ont permis d’évaluer par le calcul, l’influence
de quelques
<$ (
(
paramètres sur l’efficacité du contrôle, comme la longueur choisie pour le filtre
. Il semble
qu’une longueur de l’ordre de 150 à 200 soit un bon compromis. Ce fait correspond bien aux
résultats expérimentaux. J’ai de plus estimé l’influence du nombre de capteurs. En prenant 4 capteurs il est possible de retrouver des atténuations voisines de celles obtenues dans le cas harmonique
sans contrainte de causalité. Ce facteur n’est donc pas pénalisant du point de vue de l’efficacité
du contrôle. Une étude de l’influence du nombre de microphones montre qu’il suffit d’en placer
quelques uns pour obtenir des atténuations sur des domaines relativement étendus. Les atténuations
obtenues sont de l’ordre de 10 à 15 dB jusqu’à des fréquences supérieures à 1000 Hz. Des résultats
plus détaillés sont donnés dans Duhamel 1995 [12].
35
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
500
1000
1500
2000
F IG . 3.2 – Calcul 3D de l’atténuation en fonction de la fréquence et de la position de la source
secondaire.
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
500
1000
1500
2000
F IG . 3.3 – Calcul 3D de l’atténuation en fonction de la fréquence et du nombre de sources secondaires.
36
3.3 Mesures
Afin de vérifier les conclusions des calculs précédents, une série d’expériences a été menée autour
d’un mur situé en extérieur. Il s’agissait d’estimer la zone de contrôle pour des bruits harmoniques
ou aléatoires stationnaires. Le mur choisi pour l’expérience a une hauteur de 2,5m et est situé entre
deux champs. Une vue de dessus est donnée sur la figure 3.4. Elle montre les différents points de
mesure situés à une hauteur de 1.65m. Le champ de pression est mesuré avec et sans contrôle pour
estimer le gain en atténuation apporté par le contrôle actif par rapport à un mur usuel. Le système
de contrôle est identique à celui utilisé pour les gaines de ventilation. Un schéma est donné sur la
figure 3.5. L’algorithme de contrôle est le X-LMS.
Différentes mesures ont été effectuées pour des positions variées des sources secondaires et des
microphones d’erreur. L’ensemble des résultats expérimentaux ainsi que des comparaisons avec
des calculs par équations intégrales est donné dans Duhamel [17]. A titre d’exemple les figures
3.6 et 3.7 donnent respectivement l’atténuation calculée et mesurée pour un signal primaire harmonique de 125Hz. La source secondaire est située légèrement en dessous du sommet du mur du
même coté que la source primaire. Cette position est l’une des plus intéressantes. Les positions des
sources secondaires situées derrière le mur conduisent à des systèmes très peu efficaces.
La zone de contrôle a la forme d’un secteur angulaire dont l’angle d’ouverture est une fonction
décroissante de la fréquence. Un modèle simple basé sur une méthode de rayons a permis d’obtenir
une formule approchée pour cet angle d’ouverture qui s’est révélée en bon accord avec les résultats
expérimentaux. L’angle d’ouverture est donné par
$ + (J
P + P
avec
(3.5)
(3.6)
et
sont les longueurs des chemins de diffraction pour les sources primaires et secondaires.
Une autre série de
été effectuée pour un signal primaire de puissance spectrale uniforme
; mesures
? L .a Les
dans la bande résultats pour quelques points sont donnés sur les figures 3.8 à
3.12. On obtient encore un bon contrôle pour les points situés dans l’axe source primaire source
secondaire. De manière générale on peut estimer l’efficacité du contrôle entre 6 et 10dB en champ
lointain sur l’axe source primaire source secondaire. Lorsque l’on s’éloigne de cet axe l’efficacité
diminue.
Des mesures ont aussi été effectuées par d’autres auteurs comme V. Lassalle 1997 [29] et des
conclusions similaires ont été obtenues quant au positionnement des sources secondaires et des
microphones. L’efficacité obtenue est aussi du même ordre que dans nos expériences.
37
y
#
#
1 x
6
2
2m
3
2m
7
5m
5
10
15
20m
25
Secondary sources
A/D Conversion
Primary source
Power amplification
Power amplification
Antialiasing filters
D/A Conversion
Signal
generator
ANC Controller
F IG . 3.5 – Composantes du système de contrôle.
Active control efficiency (level difference)
dB
5
-5
-5
-15
-8
0
-10
2
22
X(m)
-4
Y(m)
0
42
F IG . 3.6 – Calcul de l’atténuation pour la fréquence 125 Hz.
38
29
F IG . 3.4 – Points de mesure.
Error microphones
28
24
20
27
23
19
26
22
18
14
21
17
13
9
16
12
8
4
11
30
PRESSURE AT POINT 20
60
without control
with control
55
50
Active control efficiency (level difference in dB)
Sp Ss
PRESSURE (dB)
45
40
35
-33.5 -7.9
-18.0 -13.5 -12.1
-9.0
-14.2 -5.6
-12.3 -13.9 -11.0
-9.3
25
0.6
-1.4
-7.9
-8.6
-10.9
-9.9
20
5.0
2.9
-3.3
-7.6
-8.8
-9.2
4.7
5.6
1.4
-2.8
-6.3
-8.2
30
15
10
0
F IG . 3.7 – Mesure de l’atténuation pour la
fréquence 125 Hz.
200
400
600
800
FREQUENCY (Hz)
1000
1200
F IG . 3.10 – Mesure au point 20.
60
60
50
50
PRESSURE (dB)
45
45
PRESSURE (dB)
without control
with control
55
without control
with control
55
40
35
30
40
35
30
25
25
20
20
15
15
10
0
10
0
200
400
600
800
FREQUENCY (Hz)
1000
600
800
FREQUENCY (Hz)
1000
1200
60
60
without control
with control
without control
with control
55
50
50
45
PRESSURE (dB)
45
PRESSURE (dB)
400
55
200
1200
40
35
30
40
35
30
25
25
20
20
15
15
10
10
0
200
400
600
800
FREQUENCY (Hz)
1000
0
1200
200
400
600
800
FREQUENCY (Hz)
1000
39
1200
3.4 Cas d’un bruit routier
Les études précédentes comportaient une seule source primaire fixe. Cependant dans de nombreuses situations la source primaire est beaucoup plus complexe. C’est notamment le cas pour
le bruit dû au trafic automobile ou ferroviaire, qui constituent les principales sources de nuisance
en environnement extérieur. La source peut alors être très étendue. Pour étudier les possibilités de
contrôle dans ces cas, j’ai modélisé dans Duhamel [15] la source de bruit par une ligne de sources
incohérentes avec la même approche que celle employée pour le calcul autour de murs antibruit. Il
s’agit principalement d’étudier l’étendue des zones de contrôle possible en fonction de la disposition du système et de la fréquence. En effet le contrôle dans tout l’espace nécessiterait des sources
secondaires très proches de la source primaire ce qui semble difficile à réaliser en pratique. Le
contrôle est par conséquent local.
Pour estimer1 la complexité
du champ de pression, on peut définir la fonction de corrélation entre
&
deux points et par
$O ;B1H;B&)( $ $'1*(' $2&H(=(
(3.7)
puis la fonction de cohérence par
$ ;B1 ;B&)( P $ ;B1 B; &)( P
O$ ;B1 ;B1( $O ;=&<;=&H(
(3.8)
En champ libre la fonction de corrélation peut se calculer par l’expression
D . . .
$O ;B1H;B&)( $ K ( - 6 , $ , ( $ ,( >
(3.9)
$ (
$ (
où et sont les abscisses des extrémités de la ligne tandis que
et
sont les distances
1
&
du point d’abscisse de la ligne aux points et .
Pour une source de longueur infinie et à grande distance de la source par rapport à la longueur
d’onde, j’ai pu obtenir des expressions simples pour la cohérence suivant les axes de coordonnées
(voir figure 3.13).
– Dans l’axe radial ( ( )
$ ;B1 ;B&)(
– Dans l’axe parallèle à la source ( )
M $ (
$O ;B1 ;B&)( P M $O ()+ N
L M $ ?( P
– Dans l’axe tangent à un cercle centré sur la source ( )
( $O ;B1 ;B&)
M et LNM sont les fonctions de Bessel et de Sturve et P 1 + & P . Deux exemples de calculs
de cohérence sont donnés sur les figures 3.14 et 3.15 suivant deux plans orthogonaux. Ils sont
obtenus par une évaluation numérique à partir des formules 3.8 et 3.9. L’unité de distance est la
longueur d’onde. Les fonctions sont en bon accord avec les estimations précédentes. On constate
en particulier que les points situés sur l’axe restent cohérents avec le point central.
40
COHERENCE IN THE PLANE (X2,X3)
0.75
0.5
0.25
1
X2
X3
50 λ
0.5
X1
B
1
2λ
0.5
-1
0
0
-0.5
A
2λ
0.5
X2
X
1
2λ
F IG . 3.13 – Cas A et B pour le calcul de la
cohérence.
X3
-0.5
0
-1
F IG . 3.15 – Cas B, cohérence dans le plan
$ ; (.
COHERENCE IN THE PLANE (X1,X3)
ATTENUATION IN THE PLANE (X1,X3)
0.75
0.5
0.25
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
dB
1
10
5
0
-5
0.5
-10
-15
1
1
-20
0.5
49
0
0
49.5
-25
49
X3
50.5
51
0
49.5
-0.5
50
X1
0.5
X1
-1
X3
-0.5
50
50.5
51
-1
$ ;
F$ IG; . 3.14
– Cas A, cohérence dans le plan F IG . 3.16 – Atténuation dans le plan ( (
( .
avec une source secondaire.
41
(
Le contrôle actif consiste à minimiser la fonction de coût aux microphones d’erreur
(
P $ (* $ ( P (3.10)
Une analyse dans le cas d’un microphone et d’une source secondaire a permis d’estimer les
diamètres suivant les axes principaux de la zone où le champ est réduit de plus de 10dB
– Dans l’axe radial ( ( )
( – Dans l’axe parallèle à la source ( )
– Dans l’axe tangent à un cercle centré sur la source ( )
/ ((
où ( ( est la distance entre la source secondaire et le microphone d’erreur. Les dimensions de la
zone de contrôle sont donc réduites suivant ( et mais la longueur peut être importante suivant
. Deux exemples de contrôle sont donnés sur les figures 3.16 et 3.17. Les dimensions de la zone
de contrôle dépendent essentiellement de la longueur de cohérence du champ primaire. L’étude du
comportement d’une source de longueur finie montre que plus la longueur de la source est petite
par rapport à la distance séparant le point d’observation de la source, plus la cohérence devient
importante sur de grandes zones et plus la zone de contrôle est grande. Le cas étudié précédemment
apparaı̂t comme le pire cas.
Comme les dimensions de la zone contrôlée restent modestes, il semble difficile de parvenir à des
réductions importantes sur de grandes zones en champ libre. Pour aller plus loin, j’ai testé l’efficacité du contrôle sur le champ de pression traversant une ouverture dans un plan pour simuler une
fenêtre ouverte. La disposition est donnée sur la figure 3.18. Pour estimer l’efficacité du contrôle
on commence par calculer l’énergie traversant l’ouverture pour un champ créé par une ligne de
sources. Ce calcul est effectué en résolvant une équation intégrale sur l’ouverture. Les figures 3.19
et 3.20 présentent l’efficacité du système pour plusieurs nombres de sources secondaires lorsque
la ligne est infinie ou de longueur égale à 50m. Le plan est situé à 50m de la source primaire
et les sources secondaires à 5m de l’ouverture. On
constate
d’une part une efficacité lorsque le
:
nombre n de sources vérifie approximativement
, chaque microphone contrôlant une
longueur d’environ
. La comparaison des deux figures montrent d’autre part une efficacité accrue du système lorsque la source est de longueur finie et que le champ est plus cohérent. Grâce à
la structure particulière de la cohérence, on peut obtenir un bon contrôle avec une ligne de sources
secondaires sans avoir besoin de tout un plan de sources.
42
ATTENUATION IN THE PLANE (X2,X3)
dB
1 source
2 sources
3 sources
4 sources
10
0
-5
-10
-15
-20
-25
0
10
Attenuation dB
5
0
-5
-10
-10
-15
-20
1
-20
0.5
-25
-1
0
-0.5
X3
-30
-0.5
0
0.5
X2
-1
1
F IG . 3.17 – Atténuation dans le plan
avec une source secondaire.
$ ; (
-40
0.5
1
1.5
a/wavelength
2
F IG . 3.19 – Atténuation pour une ligne de longueur infinie.
1 source
2 sources
3 sources
4 sources
10
n
.y
.x
E2
E1
E3
E4
2.5
D
EM
0
●
●
●
●
Attenuation dB
●
-10
SN
-20
S4
S3
S2
S1
secondary sources
-30
-40
0.5
line source
F IG . 3.18 – Ouverture dans un plan rigide.
1
1.5
a/wavelength
2
2.5
F IG . 3.20 – Atténuation pour une ligne de longueur L=50m.
43
44
Chapitre 4
R´
esultats divers
Je termine ce mémoire par la présentation de quelques travaux qui ont donné lieu à des publications,
mais sur des thèmes en marge de la problématique générale abordée dans le reste du document.
4.1 Propagation d’onde dans des composites
Une étude a été effectuée sur la propagation des ondes dans les matériaux composites dont les
principaux résultats sont exposés dans Ehrlacher 1990 [18] et Duhamel 1994 [11]. Il s’agissait de
déterminer les ondes transmises et réfléchies par un multicouche. Le stratifié est en contact avec
deux milieux semi-infinis dont l’un est un fluide visqueux comme sur la figure 4.1. Une onde plane
incidente provient du milieu amont, est en partie réfléchie et en partie transmise au multicouche,
puis au fluide.
On peut chercher à optimiser le multicouche, soit pour minimiser l’onde transmise dans le fluide
pour constituer un bon isolant acoustique, soit pour minimiser l’onde réfléchie et obtenir ainsi
un matériaux anéchoı̈que. Cette étude peut trouver des applications dans des problèmes d’acoustique sous-marine ou plus généralement dans toute situation où l’on essait de réduire des vibrations ou le bruit rayonné par une structure. Dans ce but, on peut interposer un matériau dont les
caractéristiques sont calculées pour optimiser l’atténuation des ondes transmises dans le fluide.
Un multicouche appliqué en revêtement de la structure peut constituer un bon exemple de tels
matériaux. Une autre application envisagée est l’optimisation de la conception de murs antibruit
pour lesquels nous pourrons calculer la capacité d’isolation par rapport au bruit transmis.
Chaque couche du stratifié est supposée viscoélastique linéaire. Il se propage 6 ondes dans une
couche, 3 dans chaque direction. Deux sont des ondes de compression et 4 des ondes de cisaillement. Dans le fluide il n’existe que deux ondes de compression si le fluide est non visqueux,
autrement il faut aussi introduire des ondes transverses. Pour résoudre le problème, on commence
par déterminer les nombres d’onde dans le fluide et le solide, puis on écrit les conditions de continuité du déplacement et de la contrainte entre les couches solides. A l’interface entre le fluide et
le solide, on écrit la continuité de la vitesse et de la contrainte si le fluide est supposé faiblement
visqueux, autrement on se contente d’écrire les continuités des vitesses et contraintes normales. On
suppose connue l’onde incidente. Dans le dernier milieu il n’existe que des ondes transmises. L’ensemble de ces conditions permet d’aboutir à un problème matriciel assez simple dont les solutions
donnent les ondes dans toutes les couches en particulier les ondes réfléchies et transmises.
45
Un exemple de résultat de calcul est donné sur la figure 4.2. Il est constitué d’une couche de PVC
de 4.8 cm suivie d’une couche d’acier de 2 mm. Le milieu amont est de l’acier et le fluide est de
l’eau. L’onde incidente est longitudinale et les courbes d’atténuation en fonction de la fréquence
M K M M.
sont tracées pour des incidences de , et
Les différentes courbes montrent des zones de forte atténuation entrecoupées par des fenêtres où
l’onde incidente est peu influencée par le multicouche et se comporte comme s’il n’était pas
présent. L’atténuation est calculée à une distance de un mètre dans le fluide. D’autres résultats
peuvent être trouvés dans Ehrlacher 1990 [18] et Duhamel 1994 [11].
4.2 R´
egularisation d’´
equations int´
egrales
La résolution de l’équation de Helmholtz par équation intégrale à l’extérieur d’un domaine borné
conduit à la relation de Kirchhoff sur la frontière du domaine soit
- 0/ *$'1( 3 7
4 6 $2&Q+R1( >?1 + - 0/ 3 $21( 4 6 $2&Q+R1*(=>?1 $2&)('$2&H(
(4.1)
3 8:9
3 8:9
%$'&)( est l’angle solide sous lequel est vu le fluide
où est la& pression, 4 la fonction de Green et
au point . Il est bien connu que cette équation admet plusieurs solutions pour un ensemble
discret de fréquences correspondant aux modes propres du domaine borné. Pour aboutir à une
équation qui a une solution unique, on est amené à modifier la formule 4.1. Il existe principalement deux techniques, soit la méthode de Schenck 1968 [39] qui consiste à ajouter des contraintes
supplémentaires en appliquant la formule pour des points intérieurs, soit la méthode de Burton et
Miller 1971 [5] qui ajoute à l’équation de base la dérivée de l’équation multipliée par un coefficient complexe. J’ai choisi cette dernière méthode qui aboutit toujours à une solution unique. Elle
a cependant l’inconvénient d’introduire des noyaux hypersinguliers dans l’équation dérivée. Ces
noyaux contiennent le terme
3 476
358:9 358
(4.2)
qui introduit une singularité d’ordre
en dimension 3 et
en dimension deux.
Nous avons proposé une régularisation du noyau hypersingulier fondée sur l’utilisation de solutions
statiques pour aboutir à des noyaux faiblement singuliers contenant uniquement des termes en
D définies respectivement dans
en dimension 3. En prenant deux fonctions harmoniques et
&
le domaine borné et dans l’extérieur du domaine borné et telles qu’au voisinage du point
$'& ()+QED $'& %()+Q $'& ( @$ ( ( > 3 $'& %()+ 3 ED $2& %()+ 3 $'& ( @$ (
(4.3)
358*9
358:9
358:9
avec strictement positif, je montre dans Duhamel 1995 [13] que l’on peut mettre l’équation
dérivée sous la forme suivante qui ne contient que des noyaux faiblement singuliers.
- / 3 $'1( $ 35476 + 3 4 M ( $2&C+ 1( >?1 - / $ 3 $'1(H+ 3 M $'1*(B( 53 4 M $'& + 1(=>?1
358*9
358 53 8
53 8*9
35:8 9
53 8
46
F IG . 4.1 – Multicouche en contact avec un fluide.
60
40
20
0
0
2000
4000
6000
FREQUENCE (HZ)
8000
M
F IG . 4.2 – Bicouche isotrope. Angle d’incidence : — ,
47
K M,+
+ M.
+ - 0 / * $'1( $ 3 476 + 3 4 M ( $'&Q+ *1 (=>?1 + - / $ $'1()+ M $'1(=( 3 4 M $'&Q+ 1*(=>?1
358*9 3 8 358*9?3 8
358:9 358
E
D
3 $'&)( 358
.
E
D
avec M
sur la frontière. En un point régulier de la frontière, on peut prendre
ED $21( $2&H( 7*$'&)( $'1 + &,(
$21( (4.4)
(4.5)
Dans le cas bidimensionnel, je montre dans Duhamel 1995 [13] que l’on peut toujours trouver des
ED qui vérifient 4.3 même pour des frontières non régulières.
fonctions et
4.3 Mod´
elisation acoustique de milieux poreux
Dans le but de mieux expliquer les propriétés acoustiques des enrobés drainants nous avons proposé dans la thèse de O. Belhoucine 1997 [3] une nouvelle approche microscopique pour modéliser
les milieux poreux à squelette rigide. Les modèles habituels sont basés soit sur une approche macroscopique, soit sur une approche microscopique.
L’approche macroscopique part de la mécanique des milieux continus et l’adapte au cas de milieux
comportant plusieurs phases, dans le cas présent une phase solide, le squelette et une phase fluide,
l’air. On aboutit ainsi à la théorie de Biot qui décrit le milieu à l’aide de trois paramètres qui sont
la porosité, la tortuosité et la résistance à l’écoulement de l’air.
L’approche microscopique part au contraire de la propagation dans les conduits élémentaires du
milieu poreux et tente de remonter au comportement global. Cette approche permet de bien prendre
en compte les effets des dissipations thermiques et visqueuses. Les équations de base de la propagation dans un conduit sont
' $2( % +
$ (
$2(2
@$ (
+ >> %
(4.6)
où les fonctions
et
sont respectivement les masses volumiques et compressibilités complexes.
Dans l’approximation basse fréquence, la pression est constante sur une section. On note
%
la moyenne de la vitesse sur une section. Nous avons
$ ( @$ (
$ M (
M
$ + $ + ( $ (=(
(4.7)
$
( ( , est le coefficient de viscosité, le rapport des chaleurs spécifiques, $ F ( ( , le double du rayon hydraulique, la chaleur spécifique à pression constante, le
6
coefficient
de diffusion de la chaleur et une fonction dépendant de la forme de la section. Nous
où avons pu montrer que cette fonction dépendait peu de la forme du pore et obtenir des expressions
asymptotiques pour les fréquences faibles et élevées.
48
Pour obtenir les propriétés macroscopiques les auteurs font souvent l’hypothèse que les pores sont
identiques et obtiennent ainsi par exemple l’impédance de surface. Pour tenir compte néanmoins
d’effets de forme et de changements de sections, Champoux et Stinson ont proposé un modèle à
deux paramètres supplémentaires (5 en tout) qui s’introduisent par
M ( ( $
(4.8)
$ M ( ( (4.9)
est le nombre de Prandtl. Cette approche est intéressante mais
ne permet pas de rendre compte
de tous les cas. De plus, elle conduit à la relation qui est démentie par les résultats
expérimentaux.
Pour aller plus loin, nous avons commencé par calculer l’impédance de surface d’un milieux poreux quelconque. Elle est donnée par
D
D
(4.10)
D ( où
D
D
est l’impédance
homogénéisée,
l’impédance du pore de type i, dont la porosité partielle
de surface est .
Ensuite, au niveau d’un pore, nous introduisons la matrice de transfert élémentaire reliant les pressions et débits de chaque coté du conduit
$ . ( +. $ ( # $ ? (
$ (
$ (
(4.11)
+. $2( # #
est la longueur du conduit j dont la section est . Notant
on obtient la matrice de transfert du pore entier par
(
M M
la matrice de transfert élémentaire,
(4.12)
En développant cette écriture pour les basses fréquences nous obtenons
( A avec
+
( +$ (
#
(
+ #
(
(4.14)
(
(4.13)
(
#
49
(
(
#
(4.15)
+
"
(4.16)
On peut ensuite comparer cette écriture avec celle du modèle macroscopique pour obtenir les
écritures des porosité, tortuosité et résistance au passage de l’air en fonction des grandeurs microscopiques. Cette approche permet de plus d’introduire naturellement des paramètres supplémentaires
décrivant plus finement le milieux si l’on poursuit le développement.
Nous pouvons aussi calculer l’impédance de chaque pore, puis utiliser la relation 4.10 pour obtenir l’impédance de surface du milieu poreux. Il est aussi possible d’en déduire une écriture plus
et . Cette
générale des porosité, tortuosité, résistance au passage de l’air et des paramètres
écriture autorise des variations de ces deux paramètres supplémentaires qui ne sont plus contraints
de vérifier . Il est par conséquent possible d’expliquer ainsi les résultats expérimentaux.
Nous avons effectué diverses simulations pour tester les différents modèles dans des milieux comportant des désordres variés. Deux résultats sont donnés sur les figures 4.3 et 4.4. Les sections des
conduits sont distribuées suivant des lois normales d’écart type . Nous constatons que pour un
faible désordre les modèles classique (Biot) et généralisé (Champoux et Stinson) donnent de bons
résultats avec toutefois une nette préférence pour ce dernier. Lorsque le désordre est plus important,
la figure 4.4 montre que ces modèles peuvent conduire à des résultats erronés et par conséquent, il
vaut mieux faire des calculs discrets à partir des relations 4.10 et 4.12.
4.4 Mod´
elisation des vibrations d’un pneumatique
La thèse de P.H. Campanac [6] a porté sur la modélisation des vibrations d’un pneumatique roulant
sur une chaussée. Le but final de l’étude serait de pouvoir prédire le bruit émis par un pneumatique
lors du roulement. Ce bruit est en effet prépondérant à partir de 50km/h et une réduction significative de cette source pourrait conduire à une diminution notable du niveau de bruit dû au trafic
automobile.
L’origine du bruit est très complexe. Il dépend à la fois des caractéristiques de la chaussée notamment de sa rugosité de surface et des propriétés du pneumatique. Il fait intervenir des phénomènes
mécaniques de mise en vibration du pneumatique et des phénomènes acoustiques de mise en
résonance de l’air dans des cavités du pneumatique et de la chaussée (air-pumping), puis du rayonnement des vibrations du pneumatique dans l’air environnant. La thèse s’est concentrée sur un
aspect du problème, les vibrations lors du roulement.
Une analyse des résultats expérimentaux disponibles montre que le bruit semble être une fonction quadratique de la vitesse du véhicule. Un des buts essentiels de l’étude fut de retrouver ce
phénomène au niveau de la modélisation.
Le modèle développé décompose les vibrations du pneumatique en plusieurs étapes. On commence
par construire une géométrie grossière qui provient des déformations du pneumatique sous l’effet
du poids du véhicule et de la pression interne de gonflement. Il s’agit d’un modèle élastique en
grande déformation. A ce niveau, nous ne tenons pas compte des rainures ni des déformations
dues à l’indentation de la route. Le pneumatique se décompose en une partie en contact avec
l’air et une partie sur la chaussée. A la frontière entre ces deux zones, il existe une surface de
discontinuité de vitesse qui se traduit par des termes de source proportionnels au carré de la vitesse.
Il peut s’agir là d’une explication de la dépendance du bruit en fonction du carré de la vitesse
50
trouvée expérimentalement. On suppose ensuite que le mouvement réel du pneumatique est une
vibration linéaire autour de cette géométrie. On peut alors prendre en compte à ce niveau, l’effet
de l’indentation de la chaussée ainsi que les rainures du pneumatique.
Il faut noter que du fait du roulement du pneumatique, le mouvement ne peut pas se décomposer
suivant des modes propres. Il n’y a donc pas de phénomène de résonance conformément aux observations expérimentales. En introduisant la plus petite période T de rotation du pneumatique sous
laquelle la géométrie est invariante, on cherche à relier les déplacement et vitesse entre t et t+T.
Dans une approche inspirée du théorème de Floquet on décompose ces champs aux deux instants
sur une base propre telle que
$ ( $ (
(4.17)
En décomposant le mouvement sur ces modes, on peut montrer que l’amplitude moyenne vérifie
% + % (4.18)
%
proviennent de l’excitation. On voit apparaı̂tre une amplification lorsque les valeurs
où les propres sont proches de 1. Une formule analogue est obtenue pour les fonctions de corrélation.
+ % % % + + % % % (4.19)
Ensuite cette méthode générale est développée dans le cas bidimensionnel, en supposant que la
bande de roulement est curviligne. Une expression analytique est proposée pour la géométrie
grossière et les équations donnant les vibrations sont développées. Une méthode de résolution
est finalement proposée pour calculer les valeurs propres et les coefficients d’amplification.
4.5 Physique th´
eorique
Pour tenter d’obtenir une théorie quantique de la gravitation, quelques auteurs, dont principalement
E. Witten, ont proposé de représenter les particules élémentaires sous la forme de cordes quantiques
au lieu d’objets ponctuels comme elles sont habituellement considérées. Cette idée avait déjà été
émise par Veneziano qui avait proposé un modèle de proton et de neutron basé sur cette idée. Ce
modèle avait finalement été détronné par le modèle faisant intervenir des quarks. Toutefois la reprise de cette idée, dans un contexte différent, avait permis d’espérer que l’on pourrait ainsi obtenir
une théorie quantique de la gravitation que l’on cherchait depuis de très nombreuses années. E. Witten avait proposé un modèle de corde basé sur des géométries non commutatives assez éloignées
de la formulation initiale de Veneziano, voir Witten 1986 [42]. Le travail que j’ai effectué en collaboration avec quatre autres personnes et dont les résultats sont rapportés dans Arnaudon 1986
[2] et Bernier 1986 [4] a consisté à calculer certains termes d’interaction entre états quantiques,
à l’aide du modèle de E. Witten. Nous avons pu obtenir les résultats prédits par le modèle de Veneziano, ce qui a finalement permis de montrer, au moins partiellement, une équivalence entre les
deux approches.
51
F IG . 4.3 – Pores différents de section variable -
52
F IG . 4.4 – Pores différents de section variable -
53
54
Bibliographie
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55
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Am., 94(4) :2173–2180, October 1993.
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[33] P. Sergent and D. Duhamel. Active noise control inside a discontinuity of rectangular ducts :
application to right-angled junctions. Acta Acustica, accepté pour publication.
56
[34] P. Sergent and D. Duhamel. Effect of the finiteness of the FIR impulse response on the
efficiency of a feedforward active noise control system in a finite lossy waveguide. Acta
Acustica, accepté pour publication.
[35] P. Sergent and D. Duhamel. Optimal placement of sources and sensors with the minimax
criterion for active control of a one-dimensional sound field. J. Sound and Vib., 207(4) :537–
566, 1997.
[36] P. Sergent and D. Duhamel. The effects of sampling rate and length of an adaptive filter
on the active control of a plane sound wave in a lossy semi-infinite waveguide. J. Sound and
Vib., 203(1) :127–150, 1997.
[37] P. Sergent et D. Duhamel. Propagation acoustique dans une discontinuité d’un guide
d’onde : application au contrôle actif. Mécanique Industrielle et Matériaux, 47(2) :296–299,
Juin 1994.
[38] Salomons E. M., Geerlings A. C. and Duhamel D. Comparison of a ray model and a
fourier-boundary element method for traffic noise situations with multiple diffractions and
reflections. Acta Acustica, 83 :35–47, 1997.
[39] Schenck H. A. Improved integral formulation for acoustic radiation problems. J. Acoust.
Soc. Am., 44(1) :41–58, 1968.
[40] Sergent P. Optimisation géométrique du contrôle actif dans les gaines de ventilation. PhD
thesis, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1996.
[41] Tolstoy I. Exact, explicit solutions for diffraction by hard sound barriers and seamonts. J.
Acoust. Soc. Am., 85(2) :661–669, February 1989.
[42] Witten E. Non-commutative geometry and string field theory. Nuclear Physics B, Particle
Physics, B268(2) :253–294, 1986.
57
58
Curriculum Vitae
Denis DUHAMEL
Né le 20 Janvier 1963
Célibataire
170, avenue de Paris
94300 Vincennes
1-Diplômes
1986 Ingénieur de l’Ecole Polytechnique. Sortie dans le corps des Ponts et Chaussées.
1988 DEA d’analyse numérique de l’université Paris VI.
1989 Ingénieur de L’Ecole nationale des ponts et chaussées.
1994 Docteur de l’Ecole nationale des ponts et chaussées.
2-Expérience professionnelle
1987-1988 Stage long à l’ONERA dans le département calcul des structures.
Depuis Août 1989 Ingénieur des ponts et chaussées.
Enseignant-Chercheur au Centre d’Enseignement et de Recherche
en Analyse des Matériaux de l’ENPC.
3-Enseignements dispensés
1. Maı̂tre de conférence à l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées et participation aux modules
- Matériaux composites 90-94
- Outils et mesure en mécanique des matériaux 96-97
2. Responsable du séminaire d’option du DEA ”Mécanique des Solides et des Structures” 90-95
3. Responsable du cours ”Contrôle des vibrations et du bruit” du DEA ”Dynamique des Structures
et Couplages” 95-97
4. Responsable pour l’ENPC du DEA ”Dynamique des Structures et Couplages” 95-97
4-Encadrement
4.1-Thèses
Sergent P. Optimisation géométrique du contrôle actif dans les gaines de ventilation. Thèse de
l’ENPC, Paris 1996.
Belhoucine O. Modélisation à l’échelle du réseau de conduits des propriétés acoustiques d’un
matériau poreux : Application aux enrobés drainants. Thèse de l’ENPC, Champs-sur-Marne 1997.
59
Campanac P.H. Modélisation des vibrations d’un pneumatique roulant sur une chaussée, Thèse
de l’ENPC, Champs-sur-Marne 1997.
4.2-Stages de DEA
Sergent P. Piézoélectricité et amortissement actif. Mémoire du DEA ”Mécanique des Solides et
des Structures”. 1992
Tran Q.N. Calcul de l’efficacité de murs antibruit par la méthode des rayons. Mémoire du DEA
”Dynamique des Structures et Couplages”. 1997
4.3-Stages de Maı̂trise
Desamblanc T. Etude de la diffraction acoustique pour un écran disposé au sol. Mémoire de
Maı̂trise de l’université Paris VI. 1992
Smets R. Comparaison de deux algorithmes dans une simulation informatique de contrôle actif du
bruit. Mémoire de Maı̂trise de l’université de Versailles. 1994
Lyu A. Etude d’algorithmes pour le contrôle actif du bruit. Mémoire de Maı̂trise de l’université
de Versailles. 1997
4.4-Stages divers
Trilles B. Contrôle actif en acoustique. Stage scientifique ENPC. 1993
Bouquet de la Jolinière O. Etude d’un equaliser adaptatif. Stage DUT Paris VII. 1995
5-Publications et Communications
5.1-Thèse
Duhamel D. L’Acoustique des problèmes couplés fluide-structure : Application au contrôle actif
du son. Thèse de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1994.
5.2-Revues internationales spécialisées avec comité de lecture
Arnaudon D., Rivasseau V., Bernier O., Castel N. and Duhamel D. On the Witten vertex.
Physics Letters B, 180(1,2) :41–44, 6 November 1986.
Duhamel D. Improvement of noise barrier efficiency by active control. Acta Acustica, 3 :25–35,
February 1995.
Duhamel D. Efficient calculation of the three-dimensional sound pressure field around a noise
barrier. J. Sound and Vib., 197(5) :547–571, 1996.
Salomons E. M., Geerlings A. C. and Duhamel D. Comparison of a ray model and a fourierboundary element method for traffic noise situations with multiple diffractions and reflections.
Acta Acustica, 83 :35–47, 1997.
Sergent P. and Duhamel D.. The effects of sampling rate and length of an adaptive filter on
the active control of a plane sound wave in a lossy semi-infinite waveguide. J. Sound and Vib.,
203(1) :127–150, 1997.
60
P. Sergent and D. Duhamel. Optimal placement of sources and sensors with the minimax criterion
for active control of a one-dimensional sound field. J. Sound and Vib., 207(4) :537–566, 1997.
Sergent P. and Duhamel D.. Effect of the finiteness of the FIR impulse response on the efficiency
of a feedforward active noise control system in a finite lossy waveguide. Acta Acustica, accepté
pour publication.
Duhamel D. and Sergent P. Active noise control of an incoherent line source. J. Sound and Vib.,
212(1) :141–164, 1998.
Duhamel D., Sergent P., Hua C. and Cintra D. Measurement of active control efficiency around
noise barriers. Applied Acoustics, 55(3) :217-241, 1998.
Sergent P. and Duhamel D.. Active noise control inside a discontinuity of rectangular ducts :
application to right-angled junctions. Acta Acustica, accepté pour publication.
Duhamel D. and Sergent P. Sound propagation over noise barriers with absorbing ground. J.
Sound and Vib., soumis pour publication.
5.3-Revues nationales spécialisées avec comité de lecture
Hua C. et Duhamel D.. Etude numérique des murs antibruit : Influence de la forme du mur, de
son revêtement et des propriétés du sol. Mécanique Industrielle et Matériaux, 47(4) :425–427,
Octobre-Novembre 1994.
Sergent P. et Duhamel D.. Propagation acoustique dans une discontinuité d’un guide d’onde :
application au contrôle actif. Mécanique Industrielle et Matériaux, 47(2) :296–299, Juin 1994.
Hua C. et Duhamel D.. Efficacité des murs antibruit de géométrie complexe. Mécanique Industrielle et Matériaux, 49(4) :159–162, 1996.
5.4-Colloques avec actes
Ehrlacher A., Duhamel D. et Naciri T. Amortissement des ondes mécaniques dans les matériaux
composites. In Entretiens science et défense 90, pages 398–404, Paris, 15-16 mai 1990.
Ehrlacher A., Duhamel D. et Naciri T. Amortissement des ondes mécaniques dans les matériaux
composites. In 10e Congrès français de mécanique, Paris, 2-6 Septembre 1991. Association universitaire de mécanique.
Duhamel D. Amélioration des murs antibruit par contrôle actif. In 11e Congrès français de
mécanique, Lille-Villeneuve d’Ascq, Septembre 1993. Association universitaire de mécanique.
Duhamel D. and Putcrabey S. Increase of noise barriers efficiency by active noise control. In
INTER-NOISE 94, pages 139–144, Yokohama, August 29-31 1994.
Duhamel D. Noise barrier improvements by active noise control. In WCRR’94, pages 347–352,
Paris, 14-16 November 1994. SNCF.
Duhamel D. Le contrôle actif du bruit : Applications aux gaines de ventilation du TGV et aux
écrans passifs. In PREDIT, pages 32–35, Paris, 7-9 février 1995.
61
Duhamel D. Static regularization of hypersingular integral equations in acoustics. In 3ème
conférence internationale ’Mathematical and numerical aspects of wave propagation’, pages 198–
207, Mandelieu-La-Napoule, 24-28 Avril 1995.
Sergent P. et Duhamel D. Mesures de contrôle actif dans les discontinuités des guides d’onde. In
12 ème congrès français de mécanique, pages 5–8, Strasbourg, 5-6 Septembre 1995.
Duhamel D. Calculation of the three-dimensional sound pressure around noise barriers. In INTERNOISE 96, pages 783–786, Liverpool, July 30 - August 2 1996.
Sergent P. and Duhamel D. Optimal placement of secondary sources and error microphones for
active noise control in a straigth waveguide. In INTER-NOISE 96, pages 1025–1028, Liverpool,
July 30 - August 2 1996.
Duhamel D. Active noise control of an incoherent line source. In ACTIVE 97, pages 1079–1092,
Budapest, August 21-23 1997.
Belhoucine O. and Duhamel D.. Acoustic modeling of porous media - influence of disorder. In
INTER-NOISE 97, pages 1675–1678, Budapest, August 25-27 1997.
5.5-Rapports
Bernier O., Castel N. et Duhamel D. La théorie des champs de cordes de Witten. Technical
report, Rapport d’option, Ecole Polytechnique, juin 1986.
Duhamel D. Propagation d’ondes dans un composite multicouche. STCAN, Ministère de la
défense, Octobre 1990.
Duhamel D. Renforcement de l’effet d’écran des murs antibruit par contrôle actif. SNCF. Septembre 1993.
Duhamel D., Sergent P., Hua C., Cintra D. et Moucheron P. Mesure de l’efficacité d’un contrôle
actif autour d’un mur antibruit. USAP. Avril 1995.
Hua C. and Duhamel D. Etude des murs antibruit. SNCF. Décembre 1995.
Sergent P. et Duhamel D. Contrôle actif dans les gaines de ventilation. SNCF. Décembre 1995.
Duhamel D., Cintra D., Belhoucine O. and Sergent P. Contrôle actif d’un bruit routier. USAP.
Décembre 1996.
62

CALCUL DE MURS ANTIBRUIT ET CONTROLE ACTIF DU SON

Transcription

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