Exercice 1: traversée du groupe U2

Exercice 1: traversée du groupe U2
• Exercice. Le groupe “U2” doit donner un concert dans 17 minutes. Toutefois, tous les
quatre membres du groupe (Bono, Edge, Adam, Larry) se trouvent d’un côté d’un pont qu’ils
doivent traverser pour le concert. Pourriez-vous les aider étant donné
– que la nuit est tombée et que, par suite, tout groupe de personnes doit posséder une
lampe de poche pour traverser le pont,
– que le groupe “U2” ne possède qu’une seule lampe de poche,
– que cette lampe est si fragile qu’elle ne peut être lancée d’un côté à l’autre du pont; par
conséquent, elle doit être (r)amenée d’un côté à l’autre du pont et doit être donnée en
main propre,
– que le pont ne permet que le passage d’au plus deux personnes à la fois,
– que les membres du groupe marchent à des vitesses différentes:
∗
∗
∗
∗
Bono prend 1 minute pour traverser le pont
Edge prend 2 minutes pour traverser le pont
Adam prend 5 minutes pour traverser le pont
Larry prend 10 minutes pour traverser le pont
– qu’un couple de personnes traverse le pont à la vitesse du moins rapide.
A titre d’exemple, si Bono et Larry traversent d’abord le pont, 10 minutes se sont écoulées
quand ils atteignent l’autre côté du pont. Si Larry revient avec la lampe de poche, un total
de 20 minutes s’est écoulé. Le groupe est déjà en retard pour son concert! Votre mission de
consultance a échoué!
A cet effet, votre réponse sera structurée selon les points suivants
1. intuition de votre modélisation
2. définition d’un état et de l’espace d’états
3. définition de l’état initial
4. définition de l’état final
5. définition des opérateurs
• Solution.
Exercice 2: les explorateurs
• Exercice. Résolvez selon l’approche “espace d’états” le problème suivant.
Cinq explorateurs se trouvent d’un côté d’une rivière et cinq guerriers se trouvent
de l’autre côté. Chaque groupe voudrait traverser la rivière. Pour ce faire, les
explorateurs et les guerriers ne disposent que d’une barque pouvant contenir trois
personnes. En outre, dans chaque groupe, seule une personne sait pagayer. Comment le passage peut-il s’effectuer, en respectant la contrainte que, pour des raisons
de sécurité évidentes, les guerriers ne peuvent jamais être en nombre supérieur au
nombre d’explorateurs et ce à la fois sur la barque et sur les rives?
A cet effet, la réponse sera structurée selon les points suivants
1. intuition de votre approche “espace d’états”
2. définition d’un état et de l’espace d’états
3. définition de l’état initial
4. définition de l’état final
5. définition des opérateurs
En outre, les définitions seront exprimées mathématiquement, en particulier, en veillant à
donner la signature des opérateurs.
• Solution.
Exercice 3: l’âne rouge (jeu de Klotski)
• Exercice. Résolvez selon l’approche espace d’états le problème de l’âne rouge. Ce jeu
consiste à faire coulisser des pièces de différentes formes et se compose de
– 4 petits carrés
– 1 rectangle horizontal de 2 petits carrés de long
– 4 rectangles verticaux de 2 petits carrés de long
– 1 grand carré, l’âne, comprenant 4 petits carrés.
En faisant coulisser les carrés ou rectangles, il s’agit de faire sortir l’âne par le bas au centre
du plateau.
Par convention, le grand carré est représenté en rouge comme ci-après.
A cet effet, la réponse sera structurée selon les points suivants
1. intuition de votre approche “espace d’états”
2. définition d’un état et de l’espace d’états
3. définition de l’état initial
4. définition de l’état final
5. définition des opérateurs
En outre, les définitions seront exprimées mathématiquement, en particulier, en veillant à
donner la signature des opérateurs.
Pourriez-vous en outre définir une fonction d’évaluation permettant de mettre au point une
solution heuristique?
• Solution.
Exercice 4: le loup, la chèvre et le chou
• Exercice. Résolvez selon l’approche “espace d’états” le problème suivant.
Un berger, en compagnie d’un loup, de sa chèvre et d’un chou, veut traverser une
rivière. Pour cela, il dispose d’une petite barque qui ne peut contenir que lui-même
et un autre objet ou animal. Comment effectuer la traversée étant donné que le
loup ne peut rester seul avec la chèvre, ni la chèvre avec le chou, et ce sur les deux
rives ?
A cet effet, la réponse sera structurée selon les points suivants
1. intuition de votre approche “espace d’états”
2. définition d’un état et de l’espace d’états
3. définition de l’état initial
4. définition de l’état final
5. définition des opérateurs
En outre, les définitions seront exprimées mathématiquement, en particulier, en veillant à
donner la signature des opérateurs.
• Solution.
Exercice 5: embouteillage (rush hour)
• Exercice. Résolvez selon l’approche “espace d’états” le jeu suivant.
Embouteillage (ou Rush Hour en anglais) est un jeu simulant une congestion automobile dans un parking à l’heure de pointe. Le but est d’extraire un véhicule
particulier, coloré en rouge, d’une grille dans laquelle plusieurs autres véhicules
bloquent la sortie. Les véhicules sont entrecroisés et ne peuvent se déplacer que
dans le sens de leur longueur. Pratiquement, la grille est un carré de 6 unités de
côté et les véhicules sont constitués de camions de 3 unités de longueur et d’une
unité de largeur et de voitures de 2 unités de longueur et d’une unité de largeur.
La disposition initiale des véhicules est donnée par une des cartes du jeu. La figure
ci-dessous illustre une telle disposition.
Votre réponse sera structurée selon les points suivants:
1. intuition de votre approche “espace d’états”
2. définition d’un état et de l’espace d’états
3. définition de l’état initial
4. définition de l’état final
5. définition des opérateurs
En outre, les définitions seront exprimées mathématiquement, en particulier, en veillant à
donner la signature des opérateurs.
• Solution.
Exercice 6: poids des enfants
• Exercice. Modéliser, sous forme d’un système de contraintes, le problème suivant. Pierre,
Marie, Anna et Erdovan sont passés sur la balance. Malheureusement, l’infirmière a melangé
les fiches où elle avait indiqué leur poids, soit 26 kg, 30 kg, 32 kg et 36 kg.
Pourriez-vous écrire un programme par contraintes pour retrouver les poids des enfants
sachant que:
– Pierre pèse 6 kg de plus qu’Erdovan
– Marie est la plus légère des filles et des garçons
– Anna est plus lourde qu’Erdovan.
Veuillez expliquer votre raisonnement et, en particulier, la technique d’écriture du programme
et les prédicats utilisés.
• Solution.
Exercice 7: place des enfants
• Exercice. Modéliser, sous forme d’un système de contraintes, le problème suivant. Les
enfants d’un building, comprenant un rez-de-chaussée, 7 étages au-dessus et quatre étages
en sous-sol, passent leur mercredi après-midi à jouer à cache-cache. Virginie est à l’etage
au-dessus de celui de Laura. Hervé est 4 étages plus haut qu’Anthony et un étage plus bas
que Laura. Gaëlle doit monter 7 étages pour retrouver Virginie mais en monter seulement 3
si elle veut rencontrer Sabrina. Anthony est 3 étages en dessous du rez-de-chaussée. Jérôme
se trouve à l’étage correspondant à la somme des numéros des étages d’Hervé et d’Anthony.
Où se trouvent les enfants ?
• Solution.
Exercice 8: nombre parfait
• Exercice. Un nombre parfait est une nombre qui vaut la somme de ses diviseurs (1
compris). Ainsi, 6 est parfait puisqu’il vaut 1 + 2 + 3. En utilisant la programmation par
contraintes, pourriez-vous écrire un prédicat parfait(X) qui détermine si un entier donné X
est parfait ?
• Solution.
Exercice 9: commande de pizzas
• Exercice. En utilisant la programmation par contraintes, écrire un programme permettant
de déterminer la liste des pizzas L pizza à commander pour satisfaire les demandes suivantes
des convives tout en respectant les contraintes de cuisson.
Pour ces dernières, les pizzas disponibles sont des types suivants : margherita, bolognèse,
fruits de mer, tropicale, garlique, cappricciosa et végétarienne. Les pizzas sont découpées en
tranches, au nombre de 8 pour les grandes pizzas et au nombre de 6 pour les petites pizzas.
Les pizzas sont cuites selon un même type ou selon deux moitiés de deux types. Afin d’éviter
le gaspillage, toutes les tranches doivent être mangées.
Les demandes des 7 convives sont les suivantes:
– Pierre souhaite avoir quatre ou cinq tranches dont une ou deux végétariennes, une
bolognèse, au moins une garlique et pas de fruits de mer;
– Roland veut quatre ou cinq tranches dont aucune du même type sauf pour le type
garlique;
– Thomas souhaite avoir trois ou quatre tranches dont une bolognèse, au moins une
végétarienne, au moins une garlique et pas de fruits de mer, margherita ni capricciosa;
– David a besoin de deux ou trois tranches dont aucune de type végétarienne ni tropicale
et pas plus de deux tranches des autres types;
– Tim veut trois ou quatre tranches, dont au moins une bolognèse et pas de garlique,
végétarienne, tropicale ni capricciosa;
– Aude veut une tranche garlique, une bolognèse et une margherita;
– Sandrine souhaite ne pas avoir plus de quatre tranches et ne veut que des types végétarien,
margherita et garlique.
• Solution.
Exercice 10: matching d’un graphe
• Exercice. En théorie des graphes, le problème du matching consiste à déterminer un sousensemble d’arêtes S de l’ensemble des arêtes du graphe tel que tout noeud du graphe soit
l’extrémité d’une et une seule arête de S. A titre d’illustration, les arêtes en gras dans la
figure suivante détermine un matching. Pourriez-vous écrire un programme par contraintes
pour résoudre le matching du graphe (particulier) de cette figure ? Pour ce faire, il vous est
suggéré de penser à colorier les arêtes.
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• Solution.
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