Couple de variables aléatoires

Transcription

Définition
Couple de variables aléatoires discrètes
Couple de variables aléatoires générales
Probabilités
Couple de variables aléatoires
Julian Tugaut
Télécom Saint-Étienne
Jeudi  Décembre 
Julian Tugaut
Probabilités
Sommaire
1
Définition
2
3
Plan
1
Définition
2
3
Définition
Définition
Définition
On appelle couple de variable aléatoires toute application Z de Ω
dans R2 .
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Définition
Définition
dans R2 .
On a ainsi Z (ω) = (X (ω), Y (ω)) où X et Y sont des variables
aléatoires réelles.
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Définition
Définition
dans R2 .
On a ainsi Z (ω) = (X (ω), Y (ω)) où X et Y sont des variables
aléatoires réelles.
Remarque
On a Z (Ω) = (X ,Y )(Ω) = {(X (ω), Y (ω)); ω ∈
Ω} et
′
′
2
X (Ω) × Y (Ω) = (X (ω), Y (ω )); (ω, ω ) ∈ Ω . On a donc
Z (Ω) ⊂ X (Ω) × Y (Ω), sans que l’égalité soit vraie dans le cas
général.
Julian Tugaut
Probabilités
Plan
1
Définition
2
3
Définition
On suppose ici que les variables aléatoires sont discrètes et que
leurs ensembles de réalisation sont finis. Cette dernière hypothèse
nous permet de simplifier l’écriture et n’est pas essentielle. On peut
donc procéder de la même manière que subséquemment si les
ensembles de réalisation sont infinis dénombrables.
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
On suppose ici que les variables aléatoires sont discrètes et que
leurs ensembles de réalisation sont finis. Cette dernière hypothèse
nous permet de simplifier l’écriture et n’est pas essentielle. On peut
donc procéder de la même manière que subséquemment si les
ensembles de réalisation sont infinis dénombrables.
Proposition
On note X (Ω) =: {x1 ; · · · ; xn } et Y (Ω) =: {y1 ; · · · ; yp }. La famille
({X = xi } ∩ {Y = yj })1≤i≤n;1≤j≤p est un système complet
d’évènements. On note pi,j := P (X = xi ; Y = yj ). On a alors :
0 ≤ pi,j ≤ 1 pour tout (i, j) ∈ [[1; n]] × [[1; p]] ,
ainsi que
p
n X
X
pi,j = 1 .
i=1 j=1
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Loi conjointe
Définition
On appelle loi conjointe du couple (X , Y ) l’application de
X (Ω) × Y (Ω) dans [0; 1] définie par
P(X ,Y ) (x, y ) := P (X = x, Y = y ) .
Avec les notations utilisées plus haut, on a P(X ,Y ) (xi , yj ) = pi,j .
Déterminer la loi conjointe, c’est donc d’abord déterminer
X (Ω) × Y (Ω) puis les pi,j (et accessoirement (X , Y )(Ω)).
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Loi conjointe
Définition
On appelle loi conjointe du couple (X , Y ) l’application de
X (Ω) × Y (Ω) dans [0; 1] définie par
P(X ,Y ) (x, y ) := P (X = x, Y = y ) .
Avec les notations utilisées plus haut, on a P(X ,Y ) (xi , yj ) = pi,j .
Déterminer la loi conjointe, c’est donc d’abord déterminer
X (Ω) × Y (Ω) puis les pi,j (et accessoirement (X , Y )(Ω)).
Remarque
Comme les variables aléatoires sont discrètes, on peut écrire
P
P
P(X ,Y ) = ni=1 pj=1 pi,j δ(xi ,yj ) .
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Lois marginales
Définition
Soit Z = (X , Y ) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). On
appelle première loi marginale de Z la loi de X et deuxième loi
marginale de Z la loi de Y .
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Lois marginales
Définition
Proposition
Soit Z = (X , Y ) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). Alors,
P
pour tout i ∈ [[1; n]], on a : P (X = xi ) = pj=1 pi,j . De même, pour
Pn
tout j ∈ [[1; p]], on a : P (Y = yj ) i=1 pi,j .
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Lois marginales
Définition
Proposition
Soit Z = (X , Y ) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). Alors,
P
pour tout i ∈ [[1; n]], on a : P (X = xi ) = pj=1 pi,j . De même, pour
Pn
tout j ∈ [[1; p]], on a : P (Y = yj ) i=1 pi,j .
La connaissance de la loi du couple permet donc de retrouver les
lois marginales. Toutefois, il n’est pas possible de déterminer la loi
d’un couple si l’on ne connait que les lois marginales. En effet,
deux couples peuvent avoir les mêmes lois marginales sans avoir les
mêmes lois conjointes.
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Lois conditionnelles
Définition : Lois conditionnelles
Soit Z = (X , Y ) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). Pour
y ∈ Y (Ω), on appelle loi conditionnelle de X sachant {Y = y }
l’application qui à x ∈ X (Ω) associe
P (X = x, Y = y )
=: PY =y (X = x) .
P(Y = y )
On a alors PY =yj (X = xi ) =
pi,j
P(Y =yj ) .
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
P (X = x, Y = y )
=: PY =y (X = x) .
P(Y = y )
pi,j
P(Y =yj ) .
Remarque
La connaissance de la loi de Y et des lois conditionnelles de X
sachant {Y = yj } pour chacun des yj ∈ Y (Ω) est suffisante pour
déterminer la loi conjointe du couple (X , Y ). En particulier, on
peut alors retrouver la loi de X .
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
P (X = x, Y = y )
=: PY =y (X = x) .
P(Y = y )
pi,j
P(Y =yj ) .
Remarque
La connaissance de la loi de Y et des lois conditionnelles de X
sachant {Y = yj } pour chacun des yj ∈ Y (Ω) est suffisante pour
déterminer la loi conjointe du couple (X , Y ). En particulier, on
peut alors retrouver la loi de X .
Julian Tugaut
Probabilités
Plan
1
Définition
2
3
Définition
Fonction de répartition conjointe
Définition
La fonction de répartition conjointe du vecteur aléatoire
Z = (X , Y ) se définit de la même manière que la fonction de
répartition. On la note F(X ,Y ) . Alors, pour tout (x, y ) ∈ R2 , on a :
F(X ,Y ) (x, y ) := P (X ≤ x, Y ≤ y ) .
Cette fonction de répartition détermine entièrement la loi conjointe
du couple.
Elle vérifie des propriétés similaires à celles de la fonction de
répartition d’une variable aléatoire réelle.
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Fonction de répartition conjointe
Définition
La fonction de répartition conjointe du vecteur aléatoire
Z = (X , Y ) se définit de la même manière que la fonction de
répartition. On la note F(X ,Y ) . Alors, pour tout (x, y ) ∈ R2 , on a :
F(X ,Y ) (x, y ) := P (X ≤ x, Y ≤ y ) .
Cette fonction de répartition détermine entièrement la loi conjointe
du couple.
Elle vérifie des propriétés similaires à celles de la fonction de
répartition d’une variable aléatoire réelle.
Exercice
Trouvez toutes les propriétés satisfaites par la fonction de
répartition conjointe.
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
Densité de probabilité conjointe
On suppose dorénavant que la fonction F(X ,Y ) est dérivable pour la
première variable et pour la deuxième variable. On pose :
fX ,Y :=
∂2
FX ,Y ≥ 0 .
∂x∂y
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
fX ,Y :=
∂2
FX ,Y ≥ 0 .
∂x∂y
La fonction ainsi obtenue s’appelle la densité de probabilité
conjointe du couple (X , Y ). On a alors
1=
Z
+∞ Z +∞
−∞
fX ,Y (x, y )dxdy .
−∞
Julian Tugaut
Probabilités
Définition
fX ,Y :=
∂2
FX ,Y ≥ 0 .
∂x∂y
La fonction ainsi obtenue s’appelle la densité de probabilité
conjointe du couple (X , Y ). On a alors
1=
Z
+∞ Z +∞
−∞
fX ,Y (x, y )dxdy .
−∞
De plus :
P (a ≤ X ≤ b; c ≤ Y ≤ d) =
Julian Tugaut
Z
x=b
x=a
Z
y =d
y =c
Probabilités
fX ,Y (x, y )dxdy .

Couple de variables aléatoires

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