Le dipôle RC série - Le Repaire des Sciences

Physique – Terminale S
Chapitre 6
Cours
Le dipôle RC série
La différence de potentiel entre la base du nuage et le sol peut atteindre plusieurs gigavolts juste avant l’éclair : l’énergie
emmagasinée par ce système naturel est restituée lors de l’éclair. Un composant électrique, appelé condensateur,
emmagasine de l’énergie de la même manière…
1 – Les condensateurs
Un condensateur est un composant couramment utilisé dans des objets de la vie courante : générateurs
de tension, stimulateurs cardiaques, flash d’appareil photo, ordinateurs, etc…
D : diélectrique en céramique
E et E' : électrodes, armatures du condensateurs
M : métallisation connectant les électrodes entre
elles
S : soudure des connexions
C : connexions radiales
1.1 – Description, symbole et charge des armatures
Un condensateur est constitué de deux conducteurs en regard l’un de l’autre et appelés armatures. Ces
armatures sont séparées par un isolant appelé diélectrique.
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Chapitre 6
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Le condensateur d’Aepinus, où le
diélectrique est l’air.
La bouteille de Leyde, l’ancêtre du
condensateur (1745, van Musschenbroeck)
On représente symboliquement le condensateur par ses deux armatures. Relions un condensateur à une
pile : quand un électron arrive sur une armature, un autre électron quitte la deuxième armature, ce qui
implique que les deux armatures sont chargées et qu’il existe une différence de potentiel entre elles. Il
peut donc exister un courant électrique dans ce circuit, bien qu’il contienne un diélectrique (isolant
électrique) !
Ce phénomène est évidemment transitoire : lorsque le transfert d’énergie vers le condensateur est
terminé, l’intensité du courant s’annule, les armatures conservant une charge maximale.
A
qA
qB
B
qA, qB en coulombs (C)
qA = – qB
Les charges portées par les deux armatures sont toujours égales et opposées : elles sont en influence, de
sorte que le composant électrique reste globalement neutre électriquement, bien qu’une différence de
potentiel puisse exister entre ses armatures.
1.2 – Relation charge-intensité
L’intensité du courant électrique désigne le débit de charge électrique dans le circuit. Si, pendant la
durée quelconque Δt = t – to, il s’accumule sur l’armature A une charge ΔqA = qA(t) – qA(to) ; on peut
avec ce choix d’écriture introduire une intensité moyenne du courant électrique,
q
I  A
t
2
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L’intensité instantanée du courant à un instant de date to peut donc s’écrire par la limite
q (t )  q A (to )
i (to )  lim A
t to
t  to
soit, à un instant de date t quelconque (tout comme to), et par définition de la dérivée,
dq
i (t )  A
dt
Ainsi, dans le cas du condensateur, l’intensité s’exprime par la dérivée temporelle de la charge électrique
de l’armature A, avec la convention choisie pour l’orientation du courant ci-dessous.
i
A
qA
qB
B
Vérifions que la convention choisie corresponde à la relation indiquée. On rappelle qu’en électricité, la
charge négative des électrons implique qu’ils se déplacent en sens inverse du sens indiqué pour le
courant i.
 Quand le courant circule effectivement dans le sens choisi sur le schéma, l’intensité est
positive, les électrons de charge (–) s’accumulent en B donc sont évacués par A, qA(t)
dq A
augmente dans le temps, ce qui signifie que
 0.
dt
 Quand le courant circule en sens inverse du sens choisi, l’intensité est négative, les électrons
dq A
de charge (–) s’accumulent en A,qA(t) diminue au cours du temps et
 0.
dt
1.3 – Relation charge-tension
On peut montrer expérimentalement qu’à chaque instant, le quotient de la charge qA(t) de l’armature A
par la tension uAB(t) entre les armatures reste constant quelle que soit l’intensité du courant qui circule
dans le circuit – dans la limite de la tension maximale tolérée par le condensateur.
I
On utilise pour cela un générateur idéal de courant
dans le montage ci-contre. Le condensateur utilisé
porte l’indication C = 5,0.10–6 F. L’intensité est
fixée à I = 15,0 µA.
A
1
V
u
Les résultats sont les suivants. Puisque l’intensité est ici constante et égale à I, on peut calculer la charge
dq
de l’armature A par la relation : qA = I × t étant donné que i (t )  A  I  q A (t )  I  t
dt
t (s)
u (V)
qA (10–6C)
0
0
0
0,67
2,04
10,1
1,25
3,79
18,8
1,77
5,44
26,6
2,20
6,73
33,0
2,76
8,41
41,4
3,23
9,82
48,5
3,78
11,5
56,7
4,32
13,1
64,8
1
On le réalise à l’aide d’un montage à amplificateur opérationnel, hors programme, que vous trouverez sur le texte de TP
n°5.
3
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Tension aux bornes du condensateur en fonction du tem ps
u (V)
14
12
10
u = 3,0422 x t
R2 = 1
8
La tension aux bornes du condensateur est proportionnelle à
la durée de charge ; cette proportionnalité ne dure pas
jusqu’à l’infini : il vient un instant où le condensateur est
« chargé » - la tension à ses bornes reste alors constante.
6
4
2
t (s)
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Charge du condensateur en fonction de la tension à ses bornes
qA (C)
0,00007
0,00006
0,00005
0,00004
qA = 5,10-6 x u
0,00003
R2 = 1
La charge de l’armature du condensateur est proportionnelle
à la tension à ses bornes ; cela peut paraître évident
puisqu’en lui impliquant un courant constant, on charge ses
armatures et la ddp croît, mais cette relation très simple fait
apparaître le paramètre caractéristique du condensateur : sa
capacité, ici C = 5,0.10–6 F.
0,00002
0,00001
u (V)
4
0
0
2
4
6
8
10
12
14
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La charge qA(t) d’un condensateur est proportionnelle à la tension entre ses bornes uAB(t). Le coefficient
de proportionnalité, noté C, est appelé capacité du condensateur et s’exprime en farads (F), en mémoire
du génial scientifique expérimentateur de l’électricité Michael Faraday (1791–1867). La capacité d’un
condensateur est une grandeur toujours positive.
i
C
qA(t) = C × uAB(t)
B
A
qA en coulombs (C)
C en farads (F)
uAB en volts (V)
uAB
ATTENTION : Cette relation n’est vérifiée que dans la convention concernant le sens réel du courant
dans le circuit et en convention récepteur pour la tension uAB.
Une remarque (hors programme) : de quoi dépend la capacité d’un condensateur ?
C
o r S
e
La capacité s'exprime selon la formule ci–dessus et dépend




de la surface des deux armatures en regard (S en mètre carré)
de l'épaisseur du diélectrique qui sépare les armatures (e en mètre)
de la nature du diélectrique (εr est une constante qui dépend du matériau utilisé : voir tableau)
de la permittivité du diélectrique par rapport au vide (εo)
109
o 
 8,85.10 12 m.kg.s 2 .C 2
9  4
C est exprimé en farad. Le farad est une très grande unité, dont on utilisera plutôt des sous-multiples
pour exprimer la capacité d'un condensateur : par exemple, le millifarad (mF), le micro farad (µF), le
nanofarad (nF) ou encore le picofarad (pF).
2 – Le dipôle RC série
2.1 – Les résultats expérimentaux
On considère la réponse d’un dipôle RC série à un échelon de tension montant ou descendant.
Expérimentalement, ceci s’obtient à l’aide d’un générateur idéal de tension et d’un interrupteur
inverseur.
u (V)
u (V)
E
E
Echelon descendant
Echelon montant
t (s)
0
t (s)
0
5
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Le montage utilisé est le suivant.
E
1
K
R
i
A
C
Position 1 : le dipôle RC est soumis à
un échelon montant de tension.
B
Position 2 : le dipôle RC est soumis à
un échelon descendant de tension.
2
uKA
uAB
Les résultats sont les suivants : on observe un régime transitoire suivi d’un régime permanent.
 Observer : RC.swf
uC
E
Dipôle RC soumis à un échelon
montant de tension
t
0
uC
E
Dipôle RC soumis à un échelon
descendant de tension
t
0
6
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2.2 – Réponse à un échelon montant de tension
Nous allons appliquer les lois de l’électricité au circuit en position 1.
E
K
R
i
C
A
uKA
B
uAB
D’après la loi d’additivité des tensions (loi des mailles),
E = uAB(t) + uKA(t)
D’après la loi d’Ohm, l’expression de l’intensité liée au condensateur, et la relation constitutive de ce
composant, il vient
dq
du
u KA (t )  R i (t )  R A  RC AB
dt
dt
Ainsi,
du
E  u AB (t )  RC AB
dt
ce qui s’écrit encore
du AB
1
E

u AB (t ) 
dt
RC
RC
La tension uAB(t) vérifie donc une équation différentielle qui admet comme solution

t
u AB (t )  K e RC  E
On détermine la constante K à l’aide des conditions initiales : à t = 0 s, uAB(to) = K + E. Nous avons
donc K = uAB(to) – E. Or, lorsque t = to, uAB(to) = 0 V : il vient K = –E. La solution de l’équation
différentielle s’écrit donc
t



RC
u AB (t )  E 1  e 


On peut également utiliser la méthode d’Euler pour résoudre numériquement l’équation différentielle.
La méthode d’Euler permet d’obtenir une valeur approchée d’une valeur d’une fonction en un point
lorsque la fonction elle-même n’est pas connue explicitement, mais en connaissant sa valeur en un autre
point et sa dérivée (ce qui est déjà beaucoup).
Elle permet alors également la construction d’une représentation graphique approchée de la fonction
étudiée.
Concrètement la méthode d’Euler repose sur l’utilisation de l’approximation affine de la
fonction : si f est dérivable sur un intervalle I, a et b des réels de I, b proche de a, alors :
f(b) ≈ f(a) + (b – a) × f ’(a).
donc si l’on connaît f(a) et f ’(a), alors on obtient ainsi une valeur approchée de f(b).
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Plus concrètement encore, plus b est proche de a, moins l’erreur commise sur f(b) est grande, ce
qui, connaissant f(a), conduit à l’idée d’obtenir f(b), b étant fixé, par une suite de valeurs intermédiaires
de f entre f(a) et f(b).
L’équation à laquelle satisfait uAB(t) peut se mettre sous la forme
u '  a u  b
1
E
avec a 
et b 
RC
RC
En considérant qu’elle est dérivable, nous pouvons écrire que u(t + Δt) ≈ u(t) + Δt × u’(t), c’est-à-dire
que, en insérant l’équation différentielle,
u(t + Δt) ≈ (1 – a × Δt) u + Δt × b
Or, nous connaissons u(to = 0) = E : on peut donc calculer, à partir de ce point et en incrémentant h,
calculer les valeurs de u(t) !!
t 
E

u  t1   u  to  t   1 
 u  to   t 
RC
 RC 
2.3 – Réponse à un échelon descendant de tension
L’interrupteur étant en position 2, le circuit se résume ainsi.
K
R
i
uKA
A
C
B
uAB
La loi d’additivité des tensions donne
et conduit à l’équation
uAB(t) + uKA(t) = 0
du AB
1

u AB (t )
dt
RC
Ainsi, uAB(t) vérifie une équation différentielle qui admet comme solution

t
u AB (t )  K e RC
Comme précédemment, on détermine la constante K à l’aide des conditions initiales : en particulier,
lorsque uAB(to) = E, nous voyons que K = E.
La solution de l’équation différentielle s’écrit donc

t
u AB (t )  E e RC
Remarque : ces solution décrivent le régime transitoire, mais on retrouve le régime permanent en faisant
tendre t vers l’infini.
2.4 – Constante de temps du dipôle RC
Les deux équations différentielles précédentes font appel au même terme,
1
. En regardant de plus
RC
près, cherchons la dimension de ce dernier.
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du AB
1
u

u AB (t )   AB
dt
RC
RC
indique que RC doit être homogène à une durée. Ce produit τ = RC est appelé constante de temps du
dipôle RC série. Il s’exprime en secondes.
On considère généralement que le condensateur est complètement chargé ou déchargé au bout d’une
durée de l’ordre de 5 τ.
Comment déterminer τ graphiquement ?
Prenons l’exemple de la charge du condensateur.

1ère méthode : les 63 %
On peut calculer que uAB(t = τ) = 0,63 E : partant
de t = 0, on atteint le temps τ lorsque la charge
est complétée à 63 % de E (ou la décharge à 37
% de E)
2ème méthode : la tangente à l’origine
τ est l’abscisse de l’intersection de la tangente à
l’origine de la courbe uAB(t) avec son asymptote
horizontale.
Démonstration : la tangente du type
E
u (t )  u '(t  0)  t  0  
t    E  t
RC
coupe l’asymptote u = E pour – τ ×E × t = E
soit t = τ.

3 – Expression des autres grandeurs électriques
Nous connaissons désormais la tension aux bornes du condensateur uAB(t) = uC(t).
La relation charge-tension permet d’en déduire la valeur de la charge,
qA(t) = C uAB(t)
La relation charge-intensité permet d’obtenir la valeur de l’intensité,
dq
du
i (t )  A  C AB
dt
dt
Si to = 0 s, on peut établir les relations suivantes.
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tension uAB(t)
charge qA(t)
Réponse à un échelon
montant de tension
CHARGE
Lorsque uAB(to) = 0 V,
t
 


u AB (t )  E 1  e 


Lorsque qA(to) = 0 C,
t
 


q A (t )  CE 1  e 


Réponse à un échelon
descendant de tension
DECHARGE
Lorsque uAB(to) = E,
Lorsque qB(to) = CE,
u AB (t )  E e

t

q A (t )  CE e

t

intensité i(t)
i (t ) 
E  t
e
R
i (t )  
E  t
e
R
Réponse à un échelon montant de tension
E
i(t) est initialement maximale (i =
) et positive. Le sens du courant est donc le sens indiqué, et
R
l’intensité décroît exponentiellement pour tendre vers 0. La tension, comme la charge, est initialement
nulle puis croît exponentiellement vers la valeur E (ou CE pour la charge).
Réponse à un échelon descendant
E
) et négative. Le sens du courant est donc opposé à celui que nous
R
avons indiqué et l’intensité i(t) , en valeur absolue, croît exponentiellement pour tendre vers 0. La
tension, comme la charge, est initialement maximale puis décroît exponentiellement pour tendre vers 0.
i(t) est initialement minimale (i = 
i
Io
Dipôle RC soumis à un échelon
descendant de tension
t
0
i
t
0
Dipôle RC soumis à un échelon
montant de tension
– Io
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4 – Energie emmagasinée par un condensateur
Faisons une expérience simple.
E
1
K
R
i
A
C
B
2
uKA
uAB
M
Le condensateur est préalablement chargé (position 1).
Lorsqu’on bascule en position 2, on commute le dipôle RC sur un moteur muni d’une poulie raccordée
par un fil à une masse marquée. La masse s’élève !
L’énergie potentielle de pesanteur gagnée par l’objet provient de l’énergie que le condensateur avait
emmagasinée. Un condensateur permet donc de stocker temporairement de l’énergie afin de la restituer.
Remarque : insistons sur la difficulté du stockage de l’énergie électrique !
4.1 – Expression de l’énergie emmagasinée
Lorsqu’il est chargé sous la tension uAB(t) sous l’intensité i(t), le condensateur de capacité C reçoit une
puissance
P(t )  u AB (t )  i (t )
D’après la forme de l’intensité i(t) traversant le condensateur,
dq
du
P(t )  u AB (t )  A (t )  u AB (t )  C AB (t )
dt
dt
La relation précédente peut aussi s’écrire
P(t ) dt  u AB (t ) du AB (t )
et en intégrant sur la durée, on obtient l’énergie emmagasinée par le condensateur,
1
E (t )   P(t ) dt   C u AB (t ) du AB (t )  C u AB 2 (t )
2
4.2 – Continuité de la tension aux bornes du condensateur
L’énergie se transfère avec une vitesse finie, donc elle varie continûment avec le temps. D’après la
relation précédente, nous voyons que
2E (t )
u AB (t ) 
C
Ceci impose une variation continue de la tension aux bornes du condensateur.
11