Résistance des matériaux Hypothèses – Sollicitations

Résistance des matériaux
Hypothèses – Sollicitations - Contraintes
Exercice 1
Soit une poutre droite  E  de section constante, de longueur l, encastrée à son
extrémité A et supportant à son extrémité B un effort concentré 
F .
x 0 ,
y0 , 
z 0  le repère lié à la poutre, tel que l'axe  A ,
x 0  est confondu
Soit R 0= A ,
avec la ligne moyenne.
On effectue une section droite fictive de la poutre par un plan  P  . Soit G, d'abscisse x
dans R 0 , le centre de surface de cette section droite.
y0
1
y
 E 2
 E 1
x
x
P
l
B
x0


F
1- Isoler la poutre  E  et déterminer, au point A, les éléments de réduction du torseur
associé à la liaison encastrement : {T 1  E } .
2- En utilisant successivement les deux écritures du torseur de cohésion (en fonction des
efforts extérieurs sur  E 1  et  E 2  ), déterminer les éléments de réduction en G du
torseur de cohésion dans la section droite d'abscisse x.
3-
Donner
l'expression
des
N  x , T y  x , T z  x , M t  x , M fy  x , M fz  x
composantes
algébriques
dans le repère R=G , x , y , z  .
4- Représenter la variation de ces composantes algébriques en fonction de l'abscisse x du
centre de surface G de la section droite fictive.
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Exercice 2
La figure ci-dessous représente la modélisation de l'arbre porte-mandrin d'une tête
d'usinage multibroche. Cet arbre reçoit le mandrin porte-outil 4 à son extrémité A ; à son
autre extrémité, en O , un pignon arbré de rayon primitif R=12 mm reçoit la puissance
mécanique d'un autre pignon 2 non représenté. L'arbre 1 est guidé en rotation dans un
carter repéré 0 par l'intermédiaire de deux roulements à billes placés en B et C .
(unités : m et N)
Une étude statique préalable a permis de calculer la totalité des actions mécanique sur 1.
x 0 ,
y 0 ,
z0 :
On en donne les composantes algébriques dans le repère R 0=G 0 ,
–
Action du mandrin 4 en
}
{
{ }
{ }
{ }
A : {T  4 1 }=
A
–
–
Action du mandrin 2 en
Action du carter 0 en
−2,4
0
0
0
0
D : {T 2  1 }= 65
0
0
D −200
B : {T 0  1 }=
B
–
−625
0
0
625
0
20
1,2
−40 0,075
0
0
Action du carter 0 en C : {T 2  1 }= −85 0
0
C 240
 x0 , y0 , z0 
 x0 , y0 , z0 
 x0 , y0 , z0 
 x0 , y0 , z0 
Question
Définir le torseur de cohésion dans les sections droites de 1 entre O et A et
construire les diagrammes des composantes algébriques des éléments de réduction en
G des efforts de cohésion dans 1.
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Exercice 3
La figure ci-dessous représente le crochet d'un pont roulant supportant une charge verticale

F .
0
0
1
1
Hypothèses :
Le centre de surface G 1 de la section droite fictive S 1  définie sur la figure est tel
que OG 1=15 mm
– Le centre de surface G 2 de la section droite fictive S 2  définie sur la figure est tel
que OG 2=15 mm
– On donne : ∥
F∥=5000 N
– On désigne par  E 1  le tronçon de crochet situé à droite de la section fictive/
–
Unités : N et m
Question :
R1=G 1 , 
x 1 ,
y1 , 
z 1  lié à  S 1  les composantes
1- Déterminer dans le repère
algébriques des éléments de réduction en G 1 du torseur des forces de cohésion dans
S 1  . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 1  ?
R 2=G 2 , x , y , z  lié à  S 2  les composantes
2- Déterminer dans le repère
algébriques des éléments de réduction en G 2 du torseur des forces de cohésion dans
S 2  . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 2  ?
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Exercice 4
La figure ci-dessous représente la bride 2 d'un système de serrage d'un montage
d'usinage. L'effort de serrage de la pièce est obtenu par deux boulons repérés 3 qui
passent dans les trous de la bride A et B . L'effort de la pièce 4 sur la bride s'exerce
en C .
Les trois forces concentrées qui s'exercent sur la bride 2 sont représentées sur la figure et
valent :
∥A3  2∥=800
N -
∥B 3  2∥=800
N -
∥
C 4  2∥=1600
N
Déterminer les équations qui définissent le long de la ligne moyenne AB les projections sur
R=G , x , y , z  des éléments de réduction en G du torseur de cohésion.
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Exercice 5 - Extrait BTS 2000
Vérification de la bride repérée 3 à la contrainte de flexion
Voir document B2 et extrait document DT9
Hypothèses :
La bride 3 représentée sur ce document est réalisée d'un seul bloc, mais elle possède le
même comportement à la flexion que l'ensemble constitué par 3+8.
Le matériau C45 est conservé.
Les dimensions sont identiques.
Cette bride est disposée horizontalement avec son système de repérage : l'axe des X est
confondu avec l'axe moyen de la poutre.
Le poids de la bride est négligé, le chargement extérieur est défini par les torseurs :
(unités : composantes des forces en N, composantes des moments en mmN)
{
∣ ∣}
−274

O 2/3 5712
{T 2 /3 }=
0


O M 2/3= 0
0

x ,
y ,
z
{
{
∣}
∣ ∣}
0

P 7/3 −9355
{T 9 /3 }=
0


P M 7/3= 0
∣
274

Q pièce /3 3643
{T pièce/3 }=
0
 
Q M pièce/3= 0
Q
P

x ,
y ,
z

x ,
y ,
z
La résistance élastique de la bride a pour valeur Re=420 Mpa
Le coefficient de sécurité s=2,5
Travail demandé :
(A traiter sur feuille de copie)
1- Ecrire pour la section de ligne moyenne comprise entre O et Q les équations du moment
fléchissant.
2- Représenter le diagramme de ce moment fléchissant.
3- Vérifier dans la section droite passant par P la condition de résistance à la flexion de
cette bride.
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Document DT9 (Extrait)
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Correction – Exercice N°1
{T F }{T 1  E }=0
1- Equilibre de la poutre :
{
F.sin 0
{T F }= −F.cos  0
0
0
B
soit :
∣∣ ∣∣ ∣
}

M A 
F =
M B 
F 
AB∧
F

x 0 ,
y 0 ,
z0
∣∣
∣
F.sin
0 l
00

∧
=
0 0 −F.cos 
00
0 0
0−l.F.cos 
0
{T 1  E }=−{T F }=
{
A
2-
{T E  E 1 }={T 1  E }
}
{
−F.sin
0
F.cos 
0
0
l.F.cos 
N=
A
T y=
T z=
}
{T E  E 2 }={T F }
−Fsin 
0
{T 1  F }= Fcos 
0
0
lFcos  
A
x ,
y ,
z 




M 1  F = M 1  F GA∧R 1  F 
G
donc :
0
0
0
{

x 0 ,
y 0 ,
z0
}
F.sin 0
{T F }= −F.cos  0
0
0 
B
x ,
y ,
z 






M  F = M  F GB∧F
G
RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes
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0
0
B
M t=
t
0
M fy =
t
M fz =
t
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Correction – Exercice N°4
On utilise les unités suivantes : N (newtons) et Nm (newtons mètres)
On désigne par le E1 tronçon de poutre compris entre A et G.
– Dans la zone AC pour laquelle 0 x0,015
on choisit d'utiliser une des relations
définissant le torseur de cohésion : {T coh }=−{T  E  E 1 } .
Les actions de  E  E 1  sont celles du boulon 3 sur la bride 2 (en A) donc :
{ }
∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
{
{
}
0
0
{T E  E 1 }={T 3 A  2 } avec {T 3 A  2 }= 800 0
0
0 x ,y ,z 
A
on calcule : 
M G 3 A  2=
M A 3 A  2
GA∧
R 3 A  2=−800 x z
}
0 −x
0
00
0
0

∧
=
car : 0
donc {T 3 A  2 }= 800
0
800
00
0
0
0
0
0−800 x
0
−800 x x ,y ,z 
G
On en déduit que sur AC ( 0 x0,015
)
0
0
{T coh }=−{T E  E 1 }=−{T 3 A  2 }= −800
0
0
800
x x ,y ,z 
G
T z =0 M t =0 M fy =0 M fz =800 x Nm
donc : N=0 T y =−800 N
– Dans la zone CB pour laquelle
0,015 x0,030 on choisit d'utiliser une des
relations définissant le torseur de cohésion : {T coh }={T  E  E 2 } (ceci permet de
simplifier un peu les calculs)
Les actions de  E  E 2  sont celles du boulon 3 sur la bride 2 en B donc :
{ }
{
}
0
0
{T E  E 1 }={T 3B  2 } avec {T 3B  2 }= 800 0
0
0 x , y , z 
B
on calcule : 
M G 3B  2=
M B 3B  2
GB∧
R 3B  2=8000,03−x  z car :
∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣
{
}
0 0,03−x
0
0
0
0

∧
=
soit
{T 3B  2 }= 800
0
0
800
0
0
0
0
0
8000,03−x 
0
8000,03−x  x ,y ,z 
G
On en déduit que sur CB ( 0,015 x0,030 )
0
0
{T coh }={T E  E 2 }={T 3B  2 }= 800
0
0
800
0,03−x
 x ,y , z 
G
T z =0 M t =0 M fy =0 M fz =8000,03−x Nm
donc : N=0 T y =800 N
M fz Nm
T y N 
800
15
A
0
C
0,015
B
0,03
x(m)
A
0
C
0,015
B
0,03
x(m)
-800
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Correction – Exercice N°5
On utilise les unités suivantes : N (newtons) et Nmm (newtons millimètres)
On désigne par le E1 tronçon de poutre compris entre O et G.
– Dans la zone AP pour laquelle
0 x37,5 on choisit d'utiliser une des relations
définissant le torseur de cohésion : {T coh }=−{T  E  E 1 } .
Les actions de  E  E 1  sont celles de 2 sur la bride 3 (en O) donc :
{
}
−274 0
5712 0
0
0 x , y , z 
O
on calcule : 
M G 2  3=
M O 2  3
GO∧
R 2  3=−5712 x z
{T E  E 1 }={T 2  3 } avec {T 2  3 }=
{
}
∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
}
0 −x −274
0
−274
0

∧
=
car : 0
donc {T 3 A  2 }= 5712
0
5712
0
0
0
0
0
−5712 x
0
−5712 x x , y , z 
G
On en déduit que sur AC ( 0 x37,5 )
274
0
{T coh }=−{T E  E 1 }=−{T 2  3 }= −5712
0
0
5712
x x , y , z 
G
M fz =5712 x Nmm
donc : M fy =0
– Dans la zone PQ pour laquelle 37,5 x96,3 on choisit d'utiliser une des relations
définissant le torseur de cohésion : {T coh }={T  E  E 2 } (ceci permet de simplifier un
{
peu les calculs)
Les actions de  E  E 2 
sont celles de la pièce sur la bride 3 en Q donc :
{
}
274 0
{T E  E 1 }={T  pièce  3 } avec {T  pièce  3 }= 3643 0
0
0 x ,y ,z 
Q




on calcule :
M G  pièce  3=M Q  pièce  3GQ∧R  pièce  3=3643 96,3−x  z
car :
∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
{
∣
0 96,3−x
274
0
∧ 3643 =
0
0
0
0
0
0
364396,3−x 
274
{T  pièce  3 }= 3643
0
G
soit
}
0
0
364396,3−x  x ,y ,z 
On en déduit que sur PQ ( 37,5 x96,3 )
274
0
{T coh }={T E  E 2 }={T  pièce  3 }= 3643
0
0
364396,3−x 
G
M fz =364396,3−x Nmm
donc : M fy =0
{
}

x ,
y ,
z
214200
O
0
P
37,5
Q
96,3
x(m)
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Correction – Exercice N°5 (complément)
E1
E2
G
x
Compléter le tableau :
0 x37,5
37,5 x96,3
Actions exercées sur E1

O 2/3

P 7/3

G Pièce /3

O 2/3

P 7/3

G Pièce /3
Actions exercées sur E2

O 2/3

P 7/3

G Pièce /3

O 2/3

P 7/3

G Pièce /3
{T coh }={T E  E 1 }=.
{T 2  3 }.
{T 7  3 }.
{T  pièce  3 }
{T 2  3 }.
{T 7  3 }.
{T  pièce  3 }
{T coh }={T E  E 2 }=.
{T 2  3 }.
{T 7  3 }.
{T  pièce  3 }
{T 2  3 }.
{T 7  3 }.
{T  pièce  3 }

OG
 x

GO
 
x

GQ
 x

QG
 
x
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