Le pendule double

Le pendule double
par Gilbert Gastebois
1. Schéma
Le pendule double est constitué d'un pendule rigide de
longueur l1 et de masse m1 auquel est fixé un second
pendule rigide de longueur l2 et de masse m2
Notations :
dy/dt = y'
d²y/dt² = y''
2. Le lagrangien
2.1 Équations de Lagrange.
Équation de Newton sur l'axe des x : m d²x/dt² = ΣFix + Σfix
( Fi force dérivant d'un potentiel et fi autre force )
Les Fi dérivent d'un potentiel : ΣFix = - dEp/dx
( Ep est la somme des énergies potentielles )
m d²x/dt² + dEp/dx = Σfix
m dx'/dt + dEp/dx = Σfix
m dx'/dt = d(d(1/2 mx'²)/dx')/dt
m dx'/dt + dEp/dx = d(d(1/2 mx'²)/dx')/dt - ( - dEp/dx ) = d( d(1/2 mx'² - Ep )/dx')/dt d(1/2 mx'² - Ep )/dx = Σfix
m dx'/dt + dEp/dx = d(d(1/2( mx'² + my'² + mz'²) - Ep )/dx')/dt - d(1/2 ( mx'² + my'² +
mz'²) - Ep )/dx = Σfix
m dx'/dt + dEp/dx = d(d(Ec - Ep)/dx')/dt - d(Ec - Ep)/dx = Σfix
On pose L = Ec - Ep
L est le Lagrangien
On obtient d(dL/dx')/dt - dL/dx = Σfix et la même chose pour les autres coordonnées
Pour une coordonnée q quelconque on aura d(dL/dq')/dt - dL/dq = Σfiq
fq dq = f.dq = fxdx + fydy + fzdz donc fq = fx dx/dq + fy dy/dq + fz dz/dq
d(dL/dq')/dt - dL/dq = Σ( fix dxi/dq + fiy dyi/dq + fiz dzi/dq )
( xi, yi et zi étant les coordonnées du point d'application de fi )
Pour un système conservatif, les équations de Lagrange deviennent :
d(dL/dq')/dt - dL/dq = 0
Pour un pendule simple, on aura :
Ec = 1/2 mv² = 1/2 ml²θ'² et Ep = - mgl cosθ
( l'altitude nulle est sur l'axe )
x = l sinθ
y = - l cosθ
dx/dθ = l cosθ
et
dy/dθ = l sinθ
Tx = - T sinθ
et
Ty = T cosθ
d(dL/dθ')/dt - dL/dθ = Tx dx/dθ + Ty dy/dθ = - T l sinq cosθ + T l cosθ sinθ = 0
d(dL/dθ')/dt - dL/dθ = 0
( Le système est conservatif )
L = 1/2 ml²θ'² + mgl cosθ
dL/dθ' = ml²θ'
d(dL/dθ')/dt = ml²θ''
dL/dθ = - mgl sinθ
d(dL/dθ')/dt - dL/dθ = ml²θ'' + mgl sinθ = 0
θ'' + g/l sinθ = 0 On obtient bien l'équation différentielle du pendule simple
Remarque : L'intérêt de cette approche est d'obtenir les équations du mouvement sans avoir
à déterminer les expressions des tensions qui sont difficiles à calculer quand le système est
complexe, ce qui est le cas du pendule double.
2.2 Le principe de moindre action pour un système conservatif
L'action S est l'intégrale du lagrangien entre l'instant de départ et l'instant d'arrivée :
S=
L( x, x') dt
Cette action doit être minimale, c'est le principe de moindre action, donc si on modifie
légèrement, au premier ordre, L, S ne doit pas varier.
On remplace x par x + η on a alors L( x + η, x' + η') = L( x, x') + ηdL/dx + η' dL/dx' +
termes d'ordre plus élevé.
D'après le principe de moindre action :
S=
L( x + η, x' + η') dt
=
L( x, x') dt
donc
( ηdL/dx + η' dL/dx' )dt = 0
On intègre par parties. Il faut que η(t1) = η(t2) = 0
η(dL/dx - d(dL/dx' )/dt) dt = 0 Cette relation est vraie si d(dL/dx' )/dt - dL/dx = 0
L'équation de Lagrange pour un système conservatif, est donc équivalente au principe de
moindre action.
3. Le pendule double sans frottement.
3.1 Approche Newtonienne.
Pendule 2 : La masse m2 subit son poids m2g et la tension T2 du pendule 2
L'axe O2 du pendule 2 est accéléré avec l'accélération a1 du pendule1, donc le référentiel
n'est pas galiléen. Dans ces conditions, on peut appliquer les équations de Newton, à
condition d'ajouter une pseudo-force f = - m2 a1 à la masse m2
O1M2 = O1O2 + O2M2 donc d²O1M2/dt² = d²O1O2/dt² + d²O2M2/dt² = a1 + a2
m2 d²O1M/dt² = S F = m2 a1 + m2 a2 donc on obtient : m2 a2 = m2 g + T2 - m2 a1
En passant à l'expression de la loi de Newton pour un système en rotation, on obtient ainsi :
J2 θ2'' = m2 l2² θ2'' = M(m2 g) + M(T2) - M( m2 a1) = M(m2 g) - M( m2 a1t ) -M( m2 a1n )
( M(T2 ) = 0 )
a1t et a1n sont les composantes tangentielles et normales de l'accélération de m1
M( F) est le moment de F par rapport à l'axe du pendule 2
Le pendule 1 a un mouvement circulaire donc :
a1t = l1 θ1 '' et a1n = l1 θ1 '²
M( m2 a1t ) = - m2 l1 θ1'' l2 cos(θ1-θ2) et M( m2 a1n ) = m2 l1 θ1 '² l2 sin(θ1-θ2)
et M( m2 g ) = - m2 g l2 sinθ2
m2 l2² θ2 '' = - m2 g l2 sinθ2 - m2 l1l2 θ1'' cos(θ1-θ2) + m2 l1l2 θ1 '² sin(θ1-θ2)
l2θ2'' + l1 θ1'' cos( θ1 - θ2 ) - l1 θ1'² sin( θ1 - θ2 ) + g sinθ2 = 0 ( 1 )
Pendule 1 : La masse m1 subit son poids m1g, la tension T1 du pendule 1 et la tension T2
du pendule 2
J2 θ2'' = m1 l1² θ1 '' = M(m1 g ) + M( T1 ) + M(T2 ) = M(m1 g ) + M(T2 )
J2 θ2'' = - m1g l1 sinθ1 - T2 l1 sin( θ1 - θ2 )
( M( T1 ) = 0 )
Sur la masse m2, la deuxième loi de Newton donne m a2 = m2 g + T2 - m2 a1
En projetant sur l'axe normal qui porte T2, on obtient
m2 a2n = m2 gn + T2 - m2 a1n = m2 gn + T2 - (m2 a1t)n - (m2 a1t )n
m2 a2n = - m2 g cosθ2 + T2 + m2 l1 θ1'² cos( θ1 - θ2 ) + m2 l1 θ1'' sin( θ1 - θ2 )
On a un mouvement circulaire donc : m2 a2n = m2 l2 θ2'²
m2 l2 θ2'² = - m2 g cosθ2 + T2 + m2 l1 θ1'² cos( θ1 - θ2 ) + m2 l1 θ1'' sin( θ1 - θ2 )
T2 = m2 l2 θ2'² + m2 g cosθ2 + m2 l1 θ1'² cos( θ1 - θ2 ) + m2 l1 θ1'' sin( θ1 - θ2 )
m1 l1² θ1 '' = - m1g l1 sinθ1 - T2 l1 sin( θ1 - θ2 )
m1 l1² θ1 '' = - m1g l1 sinθ1 - m2 l2 l1 sin( θ1 - θ2 ) θ2'² - m2 g l1 sin( θ1 - θ2 ) cosθ2 m2 l1l1 sin( θ1 - θ2 ) θ1'² cos( θ1 - θ2 ) - m2 l1 l1 sin( θ1 - θ2 ) θ1'' sin( θ1 - θ2 )
m1 l1θ1 '' + m2 l1 sin²(θ1 - θ2) θ1'' = - m2 l1 sin(θ1 - θ2 )cos(θ1 - θ2 ) θ1'² m2 l2 sin(θ1 - θ2) θ2'² - m1 g sinθ1 - m2 g sin(θ1 - θ2 ) cosθ2
θ1'' = (- m2 l1 sin(θ1 - θ2 ) cos(θ1 - θ2) θ1'² - m2 l2 sin(θ1- θ2) θ2'² - m1g sinθ1 m2 g sin(θ1 - θ2 )cosθ2 )/(m1 l1+ m2 l1sin²(θ1- θ2))
En reportant θ1'' dans ( 1 ), on obtient :
θ2'' = ( ( m1 + m2 )l1 sin(θ1 - θ2) θ1'² + m2 l2 sin(θ1 - θ2)cos(θ1 - θ2) θ2'² +
m2 g sin(θ1 - θ2) cosθ1 + m1 g(cos(θ1 - θ2) sinθ1 - sinθ2)) /( m1l2 + m2 l2 sin²(θ1 - θ2))
cos(θ1 - θ2) sinθ1 - sinθ2 = sin(θ1 - θ2) cosθ1
( Ca se démontre facilement... avec un peu d'astuce )
donc :
θ2'' = ( ( m1 + m2 ) l1 sin(θ1 - θ2) θ1'² + m2 l2 sin(θ1 - θ2)cos(θ1 -θ2) θ2'² +
(m1+ m2) g sin(θ1 - θ2) cosθ1)/(m1l2 + m2 l2 sin²(θ1 - θ2))
3.2 Approche Lagrangienne.
3.2.1 Expression du lagrangien.
Les variables sont θ1 et θ2
Ec = 1/2 m1 v1² + 1/2 m2 v2²
v1 = l1θ1'
v2r = l2θ2'
et
v2 = v1 + v2r ( relation vectorielle )
v2² = v1² + v2r² + 2 v1 v2r cos( θ1 - θ2 ) = l1²θ1'² + l2²θ2'² + 2 l1l2θ1' θ2' cos( θ1 - θ2 )
Ec = 1/2 m1 l1²θ1'² + 1/2 m2 ( l1²θ1'² + l2²θ2'² + 2 l1l2θ1' θ2' cos( θ1 - θ2 ))
Ec = 1/2 ( m1 + m2 ) l1²θ1'² + 1/2 m2 ( l2²θ2'² + 2 l1l2θ1' θ2' cos( θ1 - θ2 ))
Ep = - m1g l1cosθ1 - m2g ( l1cosθ1 + l2cosθ2 ) = - ( m1 + m2 )g l1cosθ1 - m2g l2cosθ2
( l'altitude nulle est sur l'axe )
L = 1/2 ( m1 + m2 ) l1²θ1'² + 1/2 m2 ( l2²θ2'² + 2 l1l2θ1'θ2' cos( θ1 - θ2 )) +
( m1 + m2 )g l1cosθ1 + m2g l2cosθ2
3.2.2 Équations différentielles.
Équations de Lagrange du système ( le système est conservatif ) :
d(dL/dθ1')/dt - dL/dθ1 = 0
d(dL/dθ2')/dt - dL/dθ2 = 0
L = 1/2 ( m1 + m2 ) l1²θ1'² + 1/2 m2 ( l2²θ2'² + 2 l1l2 θ1' θ2' cos( θ1 - θ2 )) + ( m1 + m2 )gl1cosθ1
+ m2g l2cosθ2
dL/dθ1' = ( m1 + m2 ) l1²θ1' + m2 l1l2 θ2' cos( θ1 - θ2 )
d(dL/dθ1')/dt=(m1 + m2)l1²θ1''+m2l1l2θ2''cos(θ1 - θ2)- m2l1l2θ2'sin(θ1- θ2) (θ1'- θ2')
dL/dθ1 = - m2 l1l2 θ1' θ2' sin( θ1 - θ2 ) - ( m1 + m2 )gl1sinθ1
d(dL/dθ1')/dt - dL/dθ1 = ( m1 + m2 ) l1²θ1'' + m2 l1l2 θ2'' cos( θ1 - θ2 ) - m2 l1l2 θ2' sin( θ1 - θ2 )
( θ1' - θ2' )+m2l1l2θ1'θ2'sin(θ1- θ2) + (m1+m2)gl1sinθ1= ( m1+ m2) l1²θ1'' +
m2 l1l2 θ2'' cos(θ1 - θ2 ) + m2 l1l2 θ2'² sin( θ1 - θ2 ) + ( m1 + m2 )gl1sinθ1 = 0
( m1 + m2 ) l1θ1''+m2 l2 θ2''cos( θ1 - θ2 )+m2 l2 θ2'² sin( θ1 - θ2 ) +( m1 + m2 )g sinθ1 = 0 ( 1 )
dL/dθ2' = m2 l2²θ2' + m2 l1l2 θ1' cos( θ1 - θ2 )
d(dL/dθ2')/dt = m2 l2²θ2'' + m2 l1l2 θ1'' cos( θ1 - θ2 ) - m2 l1l2 θ1' sin( θ1 - θ2 ) ( θ1' - θ2' )
dL/dθ2 = m2 l1l2 θ1' θ2' sin( θ1 - θ2 ) - m2 gl2sinθ2
d(dL/dθ2')/dt - dL/dθ2 = m2 l2²θ2'' + m2 l1l2 θ1'' cos( θ1 - θ2 ) - m2 l1l2 θ1' sin( θ1 - θ2 )
( θ1' - θ2' ) - m2 l1l2 θ1' θ2' sin( θ1 - θ2 ) + m2 gl2sinθ2 = m2 l2²θ2'' + m2 l1l2 θ1'' cos( θ1 - θ2 ) m2 l1l2 θ1'² sin( θ1 - θ2 ) + m2 gl2sinθ2 = 0
l2θ2'' + l1 θ1'' cos( θ1 - θ2 ) - l1 θ1'² sin( θ1 - θ2 ) + g sinθ2 = 0
(2)
De ( 2 ), on déduit :
l2θ2'' = - l1 θ1'' cos( θ1 - θ2 ) + l1 θ1'² sin( θ1 - θ2 ) - g sinθ2 = 0
On reporte dans (1)
θ1'' = (- m2 l1sin(θ1 - θ2)cos(θ1 - θ2) θ1'² - m2 l2 sin(θ1 - θ2) θ2'² - m1g sinθ1 - m2 g sinθ1 +
m2 g cos(θ1 - θ2)sinθ2 )/( m1l1 + m2 l1 sin²(θ1 - θ2))
Il se trouve que cos(θ1 - θ2)sinθ2 - sinθ1 = - sin(θ1 - θ2) cosθ2
( Ca se démontre facilement... avec un peu d'astuce )
θ1'' = (- m2 l1sin(θ1 - θ2)cos(θ1 - θ2) θ1'² - m2 l2 sin(θ1 - θ2) θ2'² - m1g sinθ1 m2 g sin(θ1 - θ2) cosθ2)/(m1l1 + m2 l1 sin²(θ1 - θ2))
De ( 2 ), on déduit :
l1 θ1'' cos( θ1 - θ2 ) = - l2θ2'' + l1 θ1'² sin( θ1 - θ2 ) - g sinθ2 = 0
On reporte dans (1)
θ2'' = ( ( m1 + m2 )l1 sin(θ1 - θ2) θ1'² + m2 l2 sin(θ1 - θ2)cos(θ1 - θ2) θ2'² +
m2 g sin(θ1 - θ2) cosθ1 + m1g(cos(θ1 - θ2) sinθ1 - sin(θ1 - θ2)))/( m1l2 + m2 sin²(θ1 - θ2))
Il se trouve que cos(θ1 - θ2)sinθ1 - sinθ2 = sin(θ1 - θ2) cosθ1
( Ca se démontre comme précédemment )
θ2'' = (( m1 + m2 ) l1 sin(θ1 - θ2) θ1'² + m2 l2 sin(θ1 - θ2)cos(θ1-θ2) θ2'² +
(m1+ m2) g sin(θ1 - θ2) cosθ1)/(m1l2 + m2 l2 sin²(θ1 - θ2))
4. Le pendule à entraînement circulaire uniforme
4.1 Expression du lagrangien.
La variable est θ2
θ1' = ω
θ1 = ω t
Ec = 1/2 m2 v2²
v1 = l1ω
v2r = l2θ2'
et
v2 = v1 + v2r
v2² = v1² + v2r² + 2 v1 v2r cos( θ1 - θ2 ) = l1²ω² + l1²θ2'² + 2 l1l2ω θ2' cos( θ1 - θ2 )
Ec = 1/2 m1 l1²ω² + 1/2 m2 ( l1²ω² + l1²θ2'² + 2 l1l2ω θ2' cos( θ1 - θ2 ))
Ec = 1/2 ( m1 + m2 ) l1²ω² + 1/2 m2 ( l1²θ2'² + 2 l1l2ω θ2' cos( θ1 - θ2 ))
Ep = - m1g l1cosθ1 - m2g ( l1cosθ1 + l2cosθ2 ) = - ( m1 + m2 )g l1cosθ1 - m2g l2cosθ2
( l'altitude nulle est sur l'axe )
L = 1/2 ( m1 + m2 ) l1²ω² + 1/2 m2 ( l1²θ2'² + 2 l1l2ω θ2' cos( θ1 - θ2 )) +
( m1 + m2 )g l1cosθ1 + m2g l2cosθ2
4.2 Équation différentielle.
Équation de Lagrange du système ( le système est conservatif ) :
d(dL/dθ2')/dt - dL/dθ2 = 0
L = 1/2 ( m1 + m2 ) l1²ω² + 1/2 m2 ( l1²θ2'² + 2 l1l2ω θ2' cos( θ1 - θ2 )) +
( m1 + m2 )g l1cosθ1 + m2g l2cosθ2
dL/dθ2' = m2 l2²θ2' + m2 l1l2 ω cos( θ1 - θ2 )
d(dL/dθ2')/dt = m2 l2²θ2'' - m2 l1l2 ω sin( θ1 - θ2 ) ( ω - θ2' )
dL/dθ2 = m2 l1l2 ω θ2' sin( θ1 - θ2 ) - m2 gl2sinθ2
d(dL/dθ2')/dt - dL/dθ2 = m2l2²θ2'' - m2l1l2 ω sin(θ1 - θ2) (ω - θ2') - m2l1l2 ωθ2' sin(θ1 - θ2) +
m2 gl2sinθ2 = m2 l2²θ2'' - m2 l1l2 ω² sin( θ1 - θ2 ) + m2 g l2sinθ2 = 0
m2 l2²θ2'' - m2 l1l2 ω² sin( θ1 - θ2 ) + m2 g l2sinθ2 = 0
θ2'' + g/l2 sinθ2 = l1/l2 ω² sin( ωt - θ2 )
4.3 Solution pour les petits angles.
θ petit donc sinθ = θ et sin( ωt - θ ) = sin(ωt) donc
θ'' + g/l2 θ = l1/l2 ω² sin( ωt )
La solution stationnaire est de la forme θ = θm sin( ωt )
on pose ω0² = g/l2
- ω² θm sin( ωt ) + ω0² θm sin( ωt ) = l1/l2 ω² sin( ωt )
θm = l1/l2 ω² /(ω0²- ω²) = l1/(l2 (ω0²/ω² - 1))
θ = l1/(l2 (ω0²/ω² - 1)) sin(ωt)
C'est une équation de résonance classique sans frottement. Le système entre en résonance
pour ω voisin de ω0
Si on veut tenir compte du frottement, on peut ajouter un terme de frottement laminaire γ θ'
( valable seulement si l1<< l2 et θ petit ), on a alors :
θ'' + γ θ' + ω0² θ = l1/l2 ω² sin( ωt ) dont la solution stationnaire est
θ = θm sin( ωt - φ ) avec θm = l1/l2 ω² /((ω0²- ω²)² + γ²ω² )1/2
et tan φ = γ ω/(ω0²- ω²)
Naturellement, si θm devient grand, la théorie simplifiée des petits angles cesse d'être
valable..