Optique ondulatoire - Jean

Transcription

1
Optique
Par Jean-Jacques Herstain 20/01/2011
Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître
Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)
Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver
B Optique Ondulat
Ondulatoire
1
Notions de photométrie
1.1
Amplitude complexe d’une vibration lumineuse
La source S émet une onde électromagnétique sinusoïdale de
pulsation ω, polarisée rectilignement.
Le champ électrique au point Μ : e = eo cos (ω t − ϕ )
Ou en notation complexe : e = eo exp ( jω t ) exp ( − jϕ )
avec eo = eo exp ( − jϕ )
e = eo exp ( jω t )
ou encore
e = A exp ( jω t ) z
avec A = eo exp ( − jϕ )
A est appelé amplitude complexe de la vibration.
1.2
Flux lumineux
La puissance transportée par l’onde à travers une surface S est égale au flux du vecteur de
E ∧ B
Poynting π =
.
µo
Pour une onde plane la puissance moyenne transportée est donc proportionnelle au carré du
module du champ électrique.
Par définition le flux lumineux à travers une surface est proportionnel à cette puissance
moyenne. Il est donc proportionnel au carré du module de l’amplitude complexe.
*
*
On pourra écrire φ = k A ⋅ A
A étant le complexe conjugué de l’amplitude complexe.
L’unité de flux lumineux est le lumen : lm
1.3
Éclairement
Si une surface dS reçoit un flux lumineux d φ on définit l’éclairement de cette surface :
dφ
E=
dS
*
L’éclairement étant proportionnel au flux, on a E = k1 A ⋅ A
L’unité d’éclairement lumineux est le lux ( lx homogène à une puissance sur une surface)
Sol éclairé par le soleil à midi : 100 000 lx.
Éclairage intérieur : 1000 lx
Éclairage du sol par la pleine lune à minuit : 20 lx
Optique J.J. Herstain
2
1.4
Intensité lumineuse
Si une source émet un flux lumineux d φ à travers un angle solide dΩ on définit l’intensité
dφ
lumineuse : I =
dΩ
u ⋅ dS
Un angle solide dΩ est défini par d Ω = 2
r
*
L’intensité étant proportionnelle au flux, on a I = k 2 A ⋅ A
L’unité d’intensité lumineuse est la candela ( cd homogène à une puissance sur un angle
solide)
C’est l’unité de base de la photométrie. C’était jadis l’intensité émise par une surface de un
soixantième de cm² de platine en fusion (1769°C) ; historiquement c’était l’intensité
lumineuse produite par une bougie.
Aujourd’hui, la candela correspond à une puissance de 1/683 W/sr à la radiation de sensibilité
maximale de l'œil (standard), à 540 THz, soit 555 nm dans le vert.
Remarque : L’éclairement et l’intensité sont proportionnels.
2
Interférences délocalisées
Hypothèse : Deux ondes produites par deux sources
ponctuelles monochromatiques, de même fréquence, de
même polarisation sont détectées en provenance de
deux directions voisines.
2.1
2.1.1
Surfaces d’interférence
Formule fondamentale des interférences
Deux sources S1 et S2 émettent des ondes monochromatiques de pulsation ω polarisées
rectilignement.
Si les deux directions S1M et S2M sont voisines, les champs électriques des deux ondes sont
quasiment colinéaires et leurs valeurs algébriques peuvent s’ajouter.
e = e1 + e 2 = A1 + A2 exp ( jω t ) z
(exact si la polarisation est orthogonale au plan de
(
)
figure, approché si la polarisation est dans le plan de figure)
comme par ailleurs e = A exp ( jω t ) z
il en résulte que l’amplitude complexe du champ résultant est égale à la somme des
amplitudes complexes de chaque vibration : A = A1 + A2 **
ou encore A = a1 exp ( − jϕ1 ) + a2 exp ( − jϕ 2 )
a1 et a2 étant les amplitudes des ondes
parvenant au point M et ϕ1 et ϕ2 leurs phases respectives.
On obtient alors l’éclairement d’une surface au voisinage de M :
E = K  a1 exp ( − jϕ1 ) + a2 exp ( − jϕ 2 )  ⋅  a1 exp ( jϕ1 ) + a2 exp ( jϕ 2 ) 
{
}
E = K a12 + a22 + a1a2 exp ( j (ϕ 2 − ϕ1 ) ) + exp ( j (ϕ1 − ϕ 2 ) ) 
soit encore E = Ka + Ka + 2 Ka1a2 cos (ϕ 2 − ϕ1 )
2
1
2
2
3
avec E1 = Ka12 et
E2 = Ka22
E1 étant l’éclairement que l’on obtiendrait en M avec
la seule source S1 et E2 avec la seule source S2.
Finalement :
E = E1 + E2 + 2 E1 E2 cos (ϕ 2 − ϕ1 ) **
Puisque éclairement et intensité sont proportionnels on obtient de même :
I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos (ϕ2 − ϕ1 ) *
I1 étant l’intensité que l’on obtiendrait en M avec la seule source S1 et I2 avec la source S2.
2.1.2
Ordre d’interférence
A partir de la formule fondamentale des interférences I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos (ϕ2 − ϕ1 )
On peut chercher l’ensemble des points M d’une région de l’espace qui reçoivent la même
intensité lumineuse.
Si on considère que dans cette région I1 et I2 restent constants, la condition pour que I soit
constant est ϕ 2 − ϕ1 = constante .
2π
La phase au point M de l’onde provenant de S1 est ϕ1 = ϕ S 1 +
( S1M )
λ
ϕ S 1 étant la phase de l’onde émise par la source S1 et ( S1M ) le chemin optique entre S1 et M.
λ étant la longueur d’onde dans le vide des ondes émises par les deux sources.
2π
De même, la phase au point M de l’onde provenant de S2 est ϕ 2 = ϕ S 2 +
(S M ).
λ 2
Si on suppose les deux sources en phase : ϕ S 2 = ϕS 1
Il s’ensuit : ϕ 2 − ϕ1 =
2π
( S M ) − ( S1M )  **
λ  2
qui devient, si le milieu est le vide : ϕ 2 − ϕ1 =
2π
λ
[ S 2 M − S1M ]
Les points qui reçoivent la même intensité lumineuse satisfont à la condition
S2 M − S1M = constante .
Ce sont donc des hyperboloïdes de révolution de foyers S1 et S2 .
Ces surfaces d’égale intensité sont appelées surfaces d’interférence.
Ce phénomène est observable en tout point éclairé par les deux sources, on dit que les
interférences sont délocalisées.
Pour préciser l’intensité lumineuse en tout point d’une surface d’interférence, on définit
ϕ − ϕ1
l’ordre d’interférence : p = 2
**
2π
p=
( S 2 M ) − ( S1M ) = ∆
λ
λ
**
∆ est appelé différence de marche
4
•
si ϕ 2 − ϕ1 = 2kπ
k ∈Z ⇒
p=k
I Max =
(
I1 + I 2
)
I min =
(
I1 − I 2
)
2
Si p est entier , l’intensité est maximum.
•
1
2
Si p est entier plus un demi, l’intensité est minimum
si ϕ2 − ϕ1 = ( 2k + 1) π
k ∈Z ⇒
p=k+
2
Quand p varie d’une unité, on passe sur une surface d’interférence de même intensité.
Le contraste du phénomène est défini par
C=
I Max − I min
**
I Max + I min
C varie entre 0 (si I1=0 ou I2=0) et 1 (si I1= I2)
2.1.3
Observation dans un plan parallèle à l’axe des sources
Les traces des hyperboloïdes dans le plan d’observation sont des hyperboles assimilables à
des segments de droites au voisinage de l’axe médiateur des sources.
d est la distance entre les deux sources.
D est la distance entre l’axe des sources et le plan d’observation.
λ est la longueur d’onde.
5
En raisonnant dans le plan formé par l’axe médiateur des sources et l’axe des sources :
2
d

S1M = D +  x − 
2

en développant au second ordre :
2

d 

 1 x−  
2 
S1M ≃ D  1 + 

2
D


 






2
d

de même : S 2 M = D +  x + 
2

2
2
2

d 

 1 x+  
2 
S2 M ≃ D 1 + 

2
D


 







d

 1 x+
2
S2 M − S1M ≃ D  1 + 
2
D





xd
d’où p =
*
λD
2
d


x−

1
2
 −1 − 
2
D









2






 xd  xd
S 2 M − S1M ≃ D  2  =
D  D
Une autre méthode permet d’atteindre ce résultat :
Ω étant le milieu des sources, H est le symétrique de S1 par rapport ΩΜ (médiane quasiment
confondue avec la bissectrice).
S1M=HM, donc S2 M − S1M = S 2 H
θ étant l’angle (suppose petit) entre ΩΟ et ΩΜ
xd
S 2 M − S1M ≃ θ d ≃
D
La distance entre deux franges brillantes est appelée interfrange. On l’obtient en écrivant
qu’on passe d’une frange à la suivante en faisant varier l’ordre d’interférence de 1. ∆p = 1
∆p =
∆x d
λD
i = ∆x =
λD
d
*
Si les deux sources ont la même luminosité Io , la formule fondamentale des interférences
donne :
2π xd 

 π xd 
π x 
I = 2Io  1 + cos
I = 4Io cos 2 
I = 4Io cos 2 
 ou encore
 ou

λD 

 λD 
 i 
Le contraste est alors égal à 1 car Imin=0
Remarque : Il y a toujours un maximum sur l’axe
6
Exemple : D=1m
λ=0,5µm
⇒ d=
i=1mm
λD
i
= 0,5 mm
Les deux sources doivent donc être très proches.
Avec d=5cm on obtiendrait i =10µm : les franges seraient trop serrées pour être visibles.
2.1.4
Observation dans un plan perpendiculaire à l’axe des sources
Les traces des hyperboloïdes sur un plan perpendiculaire à l’axe
des sources sont des cercles.
Les franges d’interférence seront donc des anneaux.
Quel est le rayon du qème anneau brillant ?
Il faut calculer l’ordre d’interférence en un point M du plan situé à
une distance r de l’axe.
Au voisinage de l’axe, r reste petit devant D, distance entre S1 et
le plan d’observation.
En projetant S2 sur S1M on obtient le point H et on peut considérer
que MH=MS2 de sorte que la différence de marche
∆ = S2 M − S1M = S1H
r
∆ = d cos α
avec α =
petit
D
d  α2 
Au second ordre près, on obtient donc : p = 1 − 
ou encore
λ
2 
L’ordre décroît quand on s’éloigne de l’axe. Sur l’axe il vaut po =
d
λ
p=
d
r2 
1
−


λ  2D2 
et n’est pas en général
égal à un entier.
Le premier anneau brillant correspondra donc au premier ordre entier immédiatement
inférieur à po soit p1 = po − ε avec 0 ≤ ε < 1
rq2 
d
pq = 1 −

λ  2 D 2 
Pour le qème anneau brillant pq = po − ε − ( q − 1) et
D’où le rayon du qème anneau brillant rq = D
2 (q −1+ ε ) λ
d
Remarque : les anneaux sont de plus en plus serrés.
2.2
2.2.1
Condition sur les sources
Nature de la lumière
•
La lumière thermique a pour origine le mouvement désordonné des
charges des atomes dû à l’agitation thermique. Lors d’un choc, une
particule chargée a son énergie qui varie de manière aléatoire. Une
radiation emporte une partie de l’énergie perdue. Il s’ensuit une
distribution continue des fréquences dans le spectre de la lumière
visible.
I
λ
7
•
La lumière de transition électronique provient du changement
de niveau énergétique des électrons au sein des atomes.
Les électrons sont généralement excités par un champ
électrique puissant qui les place sur un niveau excité instable.
Lors du retour à l’état stable, l’électron perd de l’énergie et
émet une radiation dont la fréquence est liée à la variation
d’énergie. ( ∆E = hν avec ∆E : variation d’énergie entre les
niveaux, ν : fréquence de l’émission, h : constante de Planck,
6,64.10-34 J.s )
Seules certaines transitions sont permises et le spectre de fréquence est donc discontinu.
On parle souvent de lumière spectrale : chaque atome possède
un spectre qui est sa signature. L’effet Doppler dû au
mouvement des atomes peut décaler légèrement ces fréquences,
ou augmenter leur largeur spectrale.
I
λ
Dans les deux cas la lumière est dite incohérente :
Une succession de trains d’onde se succèdent à des fréquences voisines mais non identiques.
Chaque train d’onde n’est pas tout à fait sinusoïdal mais s’amortit progressivement.
Chaque train d’onde est déphasé du précédent de façon complètement aléatoire.
La source émet un champ électrique de la
forme e = eo (t ). cos (ωt − ϕo ( t ) ) où ϕ o ( t )
est une fonction du temps prenant une valeur
quelconque qu’elle conserve pendant une
durée aléatoire de valeur moyenne τ et au
bout duquel elle prend une nouvelle valeur
aléatoire.
La lumière cohérente est obtenue à partir d’un laser (Light Amplificated by Stimulated
Emission of Rays)
C’est une lumière sinusoïdale (en fait un train d’onde extrêmement long).
On provoque une « inversion de population » par « pompage optique » : un grand nombre
d’électrons sont excités sur un niveau instable. La désexcitation des électrons est stimulée par
la présence d’une onde dans une cavité, avant qu’ils ne se désexcitent spontanément. L’onde
émise reste en phase avec celle qui l’a stimulée.
2.2.2
Notions de cohérence
La période de l’onde de lumière visible est de l’ordre de T=10-15 s ( λ = cT )
Le temps de cohérence (durée d’un train d’onde) est de l’ordre de τ = 10−9 s . Un train d’onde
peut donc compter plusieurs millions de périodes. Sa longueur moyenne est donc cτ=0,3m.
Un récepteur comme l’œil réalise la moyenne des énergies sur une durée de l’ordre t=10-2s
(c’est à dire plus d’un million de fois la durée du train d’onde)
Aucun récepteur ne peut être sensible à l’amplitude car la moyenne temporelle d’une fonction
sinusoïdale est nulle : < ao cos ω t >= 0
8
•
Un récepteur est en revanche sensible à la moyenne de l’énergie lumineuse qu’il reçoit :
si e = eo cos (ω t − ϕ )
l’intensité lumineuse est proportionnelle à eo2 , donc au carré du
module de l’amplitude. Les récepteurs sont sensibles à la moyenne de l’intensité lumineuse
(ou de l’éclairement).
•
On dit que deux ondes sont incohérentes entre elles si les trains d’ondes de l’une sont
déphasés de manière aléatoires avec les trains
d’onde de l’autre.
a1 = a01 cos (ω t − ϕ1 )
ϕ1 = ϕM 1 + φ1 ( t )
a2 = a02 cos (ω t − ϕ 2 )
< cos (ϕ 2 − ϕ1 ) >= 0
ϕ2 = ϕM 2 + φ2 ( t )
car la valeur de ϕ 2 − ϕ1 = ∆ϕ + φ2 ( t ) − φ1 ( t )
change de façon aléatoire à chaque instant.
( ∆ϕ = ϕM 2 − ϕM 1 )
En un point, l’intensité s’obtient en calculant la
moyenne du carré du module de la somme des amplitudes complexes :
2
2
I =< k  a01
+ a02
+ 2a01a02 cos (ϕ2 − ϕ1 )  >
soit
I = I1 + I 2 **
On n’observe donc pas de phénomènes d’interférence. Ce sera le cas lorsque les deux sources
sont distinctes et indépendantes. On dit qu’il y a incohérence spatiale.
Deux sources de lumière incohérente peuvent
rayonner des ondes cohérentes entre elles si les deux
sources ne sont pas indépendantes : φ2 ( t ) = φ1 ( t )
Dans ce cas :
< cos (ϕ2 − ϕ1 ) > = cos (ϕ M 2 − ϕ M 1 )
On retrouve alors la formule fondamentale des
interférences :
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos (ϕ 2 − ϕ1 )
Les interférences sont observables, il y a
cohérence spatiale.
Dans certains cas, la cohérence spatiale est
satisfaite, mais les deux trains d’onde sont trop
décalés dans le temps. Les deux trains d’ondes
qui interfèrent ne se correspondent plus dans le
temps et sont à nouveau déphasés de façon
aléatoire.
Il y a alors incohérence temporelle et il n’y a
pas d’interférences observables :
I = I1 + I 2
9
Pour conclure, des interférences ne sont observables que si il y a cohérence spatiale et
temporelle : les deux sources ont leurs phases liées et elles ne sont pas trop distantes.
2.3
•
Lorsque les sources sont cohérentes entre elles, on ajoute les amplitudes (formule
fondamentale des interférences).
•
Lorsque les sources sont incohérentes entre elles, on ajoute les intensités (ou
éclairements)
Dispositifs expérimentaux
Pour que les deux sources soient cohérentes entre
elles, il faut qu’elles soient images d’une même
source S, appelée source primaire. Les images S1 et S2
sont appelées sources secondaires.
Le champ d’interférence est la région de l’espace
éclairée par les deux sources secondaires.
Ce type de dispositif est appelé diviseur d’onde.
2.3.1
Miroirs de Fresnel
Deux miroirs plans M1 et M2 forment un
angle ε petit entre eux.
La source primaire S a une image S1
symétrique de S par rapport à M1 et une
image S2 symétrique de S par rapport à M2 :
ce sont les deux source secondaires.
OS = OS1 = OS2 = R
(
α = OS , OM 1
)
On place un écran dans le champ
d'interférence à une distance L de l’arête des
miroirs.
La source est monochromatique de longueur
d’onde λ.
θ = −2α + 2 (α + ε ) = 2ε
θ = OS1 , OS2 = OS1 , OS + OS , OS2
(
d ≃ Rθ = 2Rε
) (
D'où l'interfrange : i =
) (
λD
d
=
)
λ ( L + R)
2 Rε
Application :
R=10cm L=20cm λ=0,5µm ε=1’=2,91.10-4rd
i = 2,6mm
On remarque qu’un angle 100 fois plus grand (de l’ordre du degré) donnerait un interfrange
100 fois plus petit, de l’ordre du centième de millimètre et ne serait donc pas visible à l’œil
nu.
10
2.3.2
Biprisme de Fresnel
Le biprisme est constitué de deux prismes
identiques, d’indice n, d’angle au sommet α
petit et accolés par la base.
Une source ponctuelle monochromatique de
longueur d’onde λ est placée sur l’axe à une
distance R du biprisme dont on négligera
l’épaisseur.
Tous les rayons sont déviés d’un même angle
θ = ( n − 1) α (voir prisme de petit angle au
sommet) et semblent donc venir des deux
sources secondaires S1 et S2 situées
symétriquement par rapport à S à une distance
d = 2 Rθ .
D’où d = 2 R ( n − 1) α
On place un écran à une distance L du biprisme, donc à une distance D=R+L des sources
λD
secondaires. On observe des franges d’interférence avec un interfrange i =
d
Donc i =
λ ( L + R)
2 ( n − 1) Rα
La trace du champ d’interférence sur l’écran a une largeur h = 2 L ( n − 1) α
A la limite du champ d’interférence l’ordre d’interférence est plim =
hd
.
2λ ( L + R )
On peut en déduire le nombre de franges brillantes : n = 2Ent ( plim ) + 1
2.3.3
Bilentilles de Billet
Une lentille convergente a été découpée en deux demi lentilles identiques, formant chacune
un demi disque. Elles ont ensuite été décalées symétriquement par rapport à leur axe de sorte
à être distantes de e.
11
Une source ponctuelle S étant placée sur l’axe, chacune des deux demi lentilles va former
une source secondaire : S1 et S2 , ces deux sources étant situées à une distance d l’une de
l’autre.
La position des sources secondaires est déterminée par la formule de conjugaison des lentilles
1 1 1
minces ( − = ), chaque demi lentille se comportant comme une lentille dont l’axe
p' p f '
e
autour de S.
aurait subi une petite rotation α =
2p
La dimension des lentilles étant nettement supérieure à e, ce sont les rayons qui passent par le
sommet des lentilles qui limitent le champ d’interférence, et jamais ceux qui passent par
l’extrémité des demi lentilles.
2.3.4
Trous de Young
Un trou circulaire suffisamment petit diffracte
la lumière qui lui parvient (§ 4)
C’est à dire qu’un pinceau lumineux étroit
s’élargit après l’avoir traversé.
Si une source ponctuelle monochromatique
éclaire un écran percé de deux petits trous
situés à une distance d, ces deux trous se
comportent comme deux sources secondaires
cohérentes entre elles.
Le dispositif permet donc d’obtenir des interférences.
2.4
2.4.1
Étude détaillée d’un dispositif
Fentes de Young
On peut remplacer les trous de Young par des fentes :
Les pinceaux lumineux issus d’une source ponctuelle S atteignant les fentes de Young en A
et B, diffractent dans le plan SAB. Ainsi on obtient sur l’écran, des interférences sur la ligne
MN.
L’ensemble des couples de points A et B des fentes de Young vont donner sur l’écran des
franges d’interférence parallèles aux fentes de Young.
12
Mais une seule source S donnerait un phénomène d’interférence peu lumineux.
On remplace alors la source S par une fente source dont tous les points sont incohérents entre
eux (incohérence spatiale)
Le dispositif restant inchangé lors d’une translation parallèle aux fentes de Young, une autre
source S’ de la fente source donne exactement le même phénomène d’interférence sur l’écran.
Or les sources S et S’ étant incohérentes entre elles, les intensités lumineuses des interférences
doivent être ajoutées sur l’écran (et non pas les amplitudes). On obtient donc le même
phénomène d’interférence qu’avec une seule source ponctuelle, mais le phénomène est
beaucoup plus lumineux.
2.4.2
Influence de la position de la fente source
La fente source n’est pas sur l’axe des fentes de
Young, mais décalée de y perpendiculairement à
l’axe. Les sources secondaires S1 et S2 ne sont
donc plus en phase.
La différence de marche des deux rayons qui
atteignent le point M doit donc se calculer à
partir de S : ∆ = ( S ' S2 M ) − ( S ' S1M )
C’est à dire : ∆ = [ S ' S2 − S ' S1 ] + [ S2 M − S1M ]
2
2
2
2

 

d
d
d
d




2
2
2
D’où ∆ =   y +  + L −  y −  + L  +   x +  + D −  x −  + D 2 
2
2
2
2
 
  




 

En développant au second ordre si x, y, d sont petits devant L et D :
 x y
∆=d + 
D L
d x y
On en déduit l’ordre d’interférence : p =  + 
λD L
L’interfrange est la variation de x qui correspond à une variation de 1 de l’ordre
λD
d  ∆x 
d’interférence. Or y étant fixé ∆p =   = 1 d’où i =
l’interfrange a la même valeur
d
λ D 
quelque soit la position de la fente source.
On remarque que pour y=0 on retrouve le résultat précédemment obtenu avec une source sur
d x
l’axe : p =
λD
Lorsque la fente source se déplace de S à S’, c’est à dire se translate de y, la frange qui était
sur l’axe et qui a donc un ordre d’interférence égal à zéro se trouve translatée de xo tel que
yD
dx
y
soit
c’est à dire sur l’axe qui joint S’ au milieu des
p=  o + =0
xo = −
L
λ D L
fentes de Young.
Tout le phénomène d’interférence est donc translaté de la même manière.
13
2.4.3
•
•
Influence de la largeur de la fente source
La fente source a une largeur b. On peut la
décomposer en une infinité de fentes sources
parallèles infiniment fines et incohérentes entre
elles. S’ et S" sont les deux sources limites
b
b
situées en y = et y = −
2
2
L’ordre d’interférence en un point M d’abscisse
x pour la lumière émise par S’ est
xd
bd
xd
bd
et p " =
pour celle
p' =
+
−
λ D 2λ L
λ D 2λ L
émise de S"
1
Si p '− p " > les sources situées entre S’ et S" produisent en M toutes les luminosités
2
comprises entre I Max et I min . L’écran est donc éclairé de manière quasiment uniforme. Les
interférences ne sont pas observables.
1
Pour p '− p " < ** on convient que les éclairement du point M provenant des différentes
4
sources sont suffisamment proches pour que les interférences soient visibles. Cette valeur est
conventionnelle.
∆p = p '− p " =
bd 1
<
λL 4
Pour que les interférences soient visibles, il faut donc b < bo =
Exemple : Avec d=0,1mm, L=50cm λ=0,5µm
λL
4d
bo=0,63mm
Il est donc nécessaire d’utiliser une fente source très fine.
2.4.4
Utilisation de lentilles
La fente source peut être placée dans
le plan focal objet d’une lentille
convergente, ce qui revient à la
placer à l’infini, et les rayons
atteignant les fentes de Young seront
tous parallèles à l’axe.
On peut d’autre part placer l’écran
d’observation dans le plan focal
image d’une seconde lentille
convergente, ce qui revient à
observer les interférences à l’infini.
Le point M où interfèrent les rayons ayant traversés la lentille, est l’image du point M’ à
l’infini où interfèreraient les rayons en l’absence de lentille. (M’ est objet virtuel et M image
réelle par rapport à la lentille)
M et M’ étant deux points conjugués stigmatiques, le chemin optique entre M et M’ est le
même quelque soit le rayon qui joint (virtuellement) M’ et M. La différence de phase entre les
14
deux rayons virtuels parvenant en M’ est donc la même que celles des deux rayons réels
parvenant en M. L’ordre d’interférence y est donc le même :
(S2M)-(S1M)=[(S2M’)+(M’JM)]-[(S1M’)+(M’IM)] avec (M’IM)= (M’JM)
on obtient (S2M)-(S1M)= (S2M’)-(S1M’)
La direction du point M’ s’obtient grâce au rayon de construction AM qui n’est pas dévié :
tout rayon issu de S1 ou S2 parallèle à AM converge donc en M, point du plan focal de la
lentille. S1M’ et S2M’ font donc le même angle θ que AM avec l’axe. Dans l’approximation
x
de Gauss θ est petit et θ =
.
f'
xd
La différence de marche entre S1M’ et S2M’ est égale à S2H : ∆ = d sin θ ≃
f'
xd
D’où l’ordre d’interférence au point M : p =
λf '
2.4.5
Variation d’indice sur le trajet d’un rayon
On place derrière une des deux fentes de Young
une lame de verre d’épaisseur e et d’indice n.
On peut imaginer que derrière l’autre fente de
Young se trouve une lame d’air de même
épaisseur.
La différence de marche est ∆ = ( S2 M ) '− ( S1M ) '
( S1M ) ' = ( S1M ) − e + ne
et
( S2 M ) ' = ( S2 M ) − e + e
(On suppose l’incidence quasiment normale sur la lame) ( S2 M ) et ( S1M ) sont les chemins
optiques en l’absence de lame.
xd
d’où ∆ =
+ (1 − n ) e
f'
xd (1 − n ) e
+
D’où l’ordre d’interférence : p =
λf '
λ
La valeur de l’interfrange n’est pas modifiée puisque la lame introduit un terme constant dans
λf '
l’ordre d’interférence. i =
d
(1 − n ) e . Le système de franges
En revanche l’ordre sur l’axe, initialement nul, devient po =
λ
se trouve donc décalé de xo avec 0 =
xo d (1 − n ) e
ef '
+
soit xo = ( n − 1)
λf '
λ
d
Pour qu’une frange brillante devienne sombre il faut par exemple que po = −
lame d’épaisseur e =
λ
2 ( n − 1)
si n=1,5 et λ=0,5µm
1
donc une
2
on obtient e = 0,5µm
Remarque : A la place de la lame on peut mettre un tube contenant un gaz dont l’indice
dépend de la pression. On dispose alors d’un moyen très précis pour déterminer la pression du
gaz.
Le déplacement de la lame permet également de vérifier sa planéité.
15
2.4.6
Interférences en lumière blanche
La source primaire est constituée de lumière blanche : λm < λ < λM
Au voisinage de l’axe ( x petit ) des franges
blanches et sombres sont visibles.
Quand on s’éloigne de l’axe, la périodicité des
 λD 
franges  i =
 de couleurs différentes n’étant
d 

pas la même, les franges s’estompent puis
disparaissent et une lumière blanche uniforme reste visible. Elle résulte d’une superposition
de franges brillantes et de franges sombres de longueurs d’onde différentes.
Cette lumière blanche, pourtant, ne
contient pas toutes les longueurs d’onde :
celles qui correspondent à un ordre
d’interférence entier plus un demi, sont
absentes.
On parle de blanc d’ordre supérieur.
L’analyse par un spectroscope d’une telle lumière
donne un spectre continu contenant des franges
sombres appelées cannelures : C’est un spectre
cannelé.
Au point M d’abscisse x, l’ordre d’interférence est
compris entre deux valeurs limite : pm et pM tels que
xd
xd
et pM =
pm =
DλM
Dλm
On peut calculer le nombre de cannelures et la longueur d’onde des
radiations éteintes.
Exemple :
0, 4 µm < λ < 0, 7 µm
D=1m
d=0,5mm
x=5mm
xd
xd
pm =
= 3,57
pM =
= 6, 25
Dλ M
Dλ m
Les ordres éteints sont donc : p1=4,5 et
Il y a deux cannelures, pour les radiations
λ1 =
xd
= 0,56 µm
Dp1
et
λ2 =
p2=5,5
xd
= 0, 45µm
Dp2
Lorsque x augmente, le nombre de cannelures peut être beaucoup plus important.
Par exemple si x=20mm, alors pm =17,3 et pM =25 donc 8 cannelures.
16
2.4.7
Condition sur la largeur spectrale
Quelle est la largeur spectrale maximum δλ , pour que la pème franges soient observables ?
xd
xd  1 
xd δλ
δλ
en différentiant : δ p =
p=
δ =−
= −p
2
λD
D λ
D λ
λ
1
A partir de la convention déjà vue au § 2.4.3, les interférences sont observables si δ p <
4
λ
δλ 1
δλ <
D’où p
<
4p
λ 4
Exemple : Pour λ=0,5µm
3
pour que la cinquième frange soit visible δλ < δλo =
λ
20
= 25 nm
Diffraction
3.1
Limites de l’optique géométriques
Lorsque l’on essaie de diaphragmer un faisceau lumineux pour en isoler un rayon, on constate
que le diaphragme émet de la lumière en contradiction avec les lois de l’optique géométrique.
Il est impossible d’isoler un rayon lumineux.
On peut illustrer ce phénomène avec un petit trou, avec une fente très fine, mais aussi avec un
bord d’écran, un cheveu, une trame ou avec de la buée.
Ce phénomène s’appelle diffraction et se manifeste à chaque fois qu’un faisceau lumineux
rencontre une région où la transparence du milieu varie brutalement.
Ce phénomène n’est pas propre à l’optique ; il se rencontre dans tous les domaines où il y a
propagation d’une onde : acoustique, vagues à la surface de l’eau, rayons X…
3.2
•
•
•
Postulat de Huyghens-Fresnel
Enoncé en 1820 :
Pour calculer une grandeur lumineuse en un point, on peut
remplacer une source ponctuelle (dite primaire) par un
ensemble infini de sources élémentaires (dites secondaires)
placées sur une surface fermée Σ entourant la source primaire.
L’amplitude de l’onde émise par une source secondaire est
proportionnelle à l’amplitude de l’onde primaire et à l’aire de
l’élément de surface qu’elle occupe.
Toutes les sources secondaires présentent le même déphasage
avec le rayonnement qui leur donne naissance. (elles sont donc cohérentes entre elles)
-
dA1' = kA1dS1'
amplitude de l’onde émise par une source secondaire
- φ − φ = φ2 − φ1
différence de phase entre les ondes émises par les sources
secondaires égales à la différence de phase entre les ondes atteignant les sources
secondaires.
'
2
'
1
Ce postulat fut démontré plus tard par Kirchhoff à partir des équations de Maxwell.
17
3.3
Transmittance
(on dit aussi transparence)
La transmittance est le rapport de l’amplitude complexe émise par une source secondaire à
l’amplitude complexe de l’onde qui l’atteint.
As
T=
c’est donc une fonction complexe de la position.
Ao
Une fente transparente peut être prolongée par une surface de
transmittance nulle qui enferme la source primaire.
Au point M on observera la superposition des ondes provenant des
sources secondaires cohérentes de la fente et donc un phénomène d’interférence à une infinité
d’ondes.
3.4
Diffraction de Fresnel
La source et le plan d’observation sont à distance finie de la fente
diffractante.
Les ondes atteignant la fente sont sphériques et l’étude n’en sera
pas faite dans le cadre de ce cours.
3.5
Diffraction de Fraunhofer
La source et le plan d’observation sont à distance infinie de la
fente diffractante.
L’onde incidente est plane et l’onde observée est plane.
Le schéma ci-contre montre que la diffraction de Fraunhofer
permet d’étudier le phénomène de diffraction dans le plan
conjugué d’un objet par rapport à un instrument optique.
18
3.5.1
Diffraction par une fente rectangulaire
Une fente rectangulaire de dimension a sur b est éclairée normalement par une lumière
2π monochromatique de longueur d’onde λ et de vecteur d’onde ko =
z avant la fente ; et on
λ
observe le phénomène à l’infini dans la direction du vecteur unitaire u . Dans cette direction
2π le vecteur d’onde est donc : k =
u.
λ
La transmittance de la fente est
• T ( x, y ) = 1
a
a
<x<
2
2
• T ( x, y ) = 0
pour −
pour x < −
et −
b
b
< y<
2
2
a
a
b
b
ou x > ou y < − ou y >
2
2
2
2
Les sources secondaires sont des petits
rectangles centrés en M(x,y) et de dimension dx
sur dy tous en phase.
La direction d’observation est définie par les
angles
α = x, ON
β = y , ON
2π
d’où k =
cos α ⋅ x + cos β ⋅ y + µ .z
(
(
)
)
λ
(
)
On considère deux rayons se propageant dans la direction k , issus des sources secondaires O
et M (dans le plan de la fente). Un plan perpendiculaire à ces rayons les intercepte en N et P.
Ces deux points se rejoignent à l’infini et peuvent interférer.
ϕ ( N ) − ϕ ( O ) = k ⋅ ON
(
ϕ ( P ) − ϕ ( M ) = k ⋅ MP
)
∆ϕ = ϕ ( P ) − ϕ ( N ) = k MP − ON = − k ⋅ OH = −k ⋅ OM
ϕ ( P) −ϕ ( N ) = −
2π
car ϕ ( M ) = ϕ ( O )
( x cos α + y cos β )
λ
L’amplitude complexe au point P : dA = K exp ( − jϕ ( P ) ) dx ⋅ dy
 2π

 2π

dA = K exp ( − jϕ ( N ) ) ⋅ exp  j
cos α x  dx ⋅ exp  j
cos β y  dy
 λ

 λ

L’amplitude dans la direction k sur l’écran placé à l’infini sera donc la somme des
amplitudes émises par toutes les sources secondaires :
a
2
b
2
2
2
 2π

 2π

A = K exp ( − jϕ ( N ) ) ⋅ ∫ exp  j
cos α x  dx ⋅ ∫ exp  j
cos β y  dy
 λ

 λ

a
b
−
−
Plus généralement, avec une fente de transmittance T ( x, y ) , l’amplitude à l’infini est la
somme des amplitudes secondaires :
 2π

 2π

A = K exp ( − jϕ ( N ) ) ⋅ ∫∫ T ( x, y ) ⋅ exp  j
cos α x  dx ⋅ exp  j
cos β y  dy
 λ

 λ

Remarque : cette intégrale s’appelle transformation de Fourier de T(x,y) .
C’est une fonction de α et β
a
19
b

 2π
2 
 2π
2
α
β
j
x
j
y
exp
cos
exp
cos





 
λ
λ




 ⋅

A = K exp ( − jϕ ( N ) ) ⋅ 
2π
2π

 

j
cos α
j
cos β



 b
λ
λ
−a 
−
2
π a cos α
π b cos β
sin
λ
λ
A = Kab
⋅
π a cos α
π b cos β
λ
λ
sin
Notation : la fonction
D’où A = KS sinc
avec
2
K = K exp ( − jϕ ( N ) )
sin u
est appelée sinus cardinal et est notée sinc u
u
π a cos α
π b cos β
⋅ sinc
λ
λ
S étant la surface de la fente
2
*
Et l’intensité lumineuse I = k AA : I = I o sinc
π a cos α
π b cos β
⋅ sinc 2
λ
λ
Io étant l’intensité observée dans la direction de l’axe de la fente.
3.5.2
Fente longue
La fente est longue si b>>λ
alors
b
λ
→∞
(remarque : quelques cm suffisent)
π
I=0
car sinc u → 0 quand u → ∞
2
π
π a cos α
Si β =
car sinc u → 1 quand u → 0
I = I o sinc 2
2
λ
Le phénomène de diffraction ne s’observe que dans un plan perpendiculaire à la fente.
Si β ≠
En appelant θ l’angle entre la direction
d’observation et l’axe de la fente :
I = I o sinc 2
π a sin θ
π


**  θ = − α 
λ
2


20
3.5.3
Étude de l’intensité vibratoire
 sin u

→ 1

 u

•
θ=0
•
Annulation de l’intensité pour
I = Io
c’est l’intensité sur l’axe.
π a sin θ
= nπ
λ
n entier ≠ 0
λ
a
• Maxima d’intensité : annulation de la dérivée de
sin 2 u
y=
u2
2 sin u cos u 2 sin 2 u
y'=
−
= 0 soit tan u = u
u2
u3
Cette équation n’a pas de solution exacte, mais
graphiquement on peut voir que les solutions sont
π
proches de u = ( 2n + 1)
n entier ≠ 0 correspondant
2
aux intersections de la droite y = u et des asymptotes des
courbes y = tan u
Io
Ce qui donne des maxima : I M ≃
2
1 2

n +  π
2

sin θ = n
n
IM
Io
0
1
2
3
4
1
0,045
0,016
0,008
0,005
Remarque :
la largeur de la tache centrale est double de celle des autres.
Si on observe le phénomène dans le
plan focal image d’une lentille
convergente de même axe que la fente,
les taches de diffraction seront visibles
dans ce plan image du plan à l’infini.
Si on remplace la source ponctuelle par une fente parallèle à la fente
diffractante, chaque point de la fente source donnera sur l’écran, le même
phénomène de diffraction mais décalé ; si bien que le phénomène de diffraction
observé sera alors un système de franges rectilignes.
21
3.5.4
Influence de la position de la source
La source est toujours à l’infini, mais elle est vue dans une direction faisant un angle α avec
l’axe de la fente de largeur a et supposée très longue.
On observe le phénomène de diffraction à l’infini dans le plan xOy perpendiculaire à la fente
(longue) et dans la direction faisant un angle θ avec l’axe de la fente.
Les points S et T appartiennent à un même plan d’onde et sont donc en phase : ϕ ( S ) = ϕ (T )
Dans un plan perpendiculaire à la direction ON, la différence de phase entre les points P et N
est :
2π
ϕ ( P) −ϕ ( N ) =
( SMP ) − (TON ) 
λ 
2π
[ HM − OK ]
λ
2π
ϕ (P) −ϕ ( N ) =
y ( sin α − sin θ )
λ
L'amplitude à l'infini est égale à la somme des amplitudes des rayons émis par toutes les
sources secondaires cohérentes de la fente.
ϕ ( P) −ϕ ( N ) =
dA = K exp ( − jϕ ( P ) ) dy
A=
a
2
∫ K exp ( − jϕ ( P ) ) dy
−
A = K exp ( − jϕ ( N ) )
a
2
 2π j
∫ exp  −
−
a
2
a
2

y ( sin α − sin θ )  dy
λ

a

 2π j

exp  − λ y ( sin α − sin θ )  

 − a

A = K exp ( − jϕ ( N ) )
2π j
−
( sin α − sin θ )
λ
π a ( sin θ − sin α )
λ
2 πa
( sin θ − sin α )
Et l’intensité : I = I o sinc
λ
A = Ka exp ( − jϕ ( N ) ) sinc
22
La courbe du paragraphe précédent est translatée de sin α
Dans les conditions de Gauss, on pourra écrire :
I = I o sinc2
πa
(θ − α )
λ
Remarque : Une fente dont la largeur est vue sous un angle supérieur à
λ
ne permettra pas
a
d’observer le phénomène de diffraction car les franges seront brouillées.
3.5.5
Théorème de Babinet
Considérons deux objets diffractants, l’un de transmittance T ( x, y ) et l’autre de transmittance
complémentaire : T ' ( x, y ) = 1 − T ( x, y )
On pourrait par exemple prendre un cheveu et une fente de même épaisseur.
Soit A (θ ) l’amplitude diffractée par le premier objet dans la direction θ par rapport à l’axe
et A ' (θ ) l’amplitude diffractée par l’autre.
Si on superpose les sources secondaires de chacun des objets, on obtient une transmittance
égale à 1 partout, et l’onde obtenue s’identifie à l’onde primaire : l’amplitude est égale à Ao
dans la direction incidente c’est à dire pour θ =0 et l’amplitude est nulle dans toutes les
autres directions.
Donc
A ( 0 ) + A ' ( 0 ) = Ao
et
A (θ ) + A ' (θ ) = 0 si θ ≠ 0
On en déduit qu’en dehors de la direction de l’axe A ' (θ ) = − A (θ )
Et donc I ' (θ ) = I (θ )
les intensités diffractées par un objet et son complémentaire sont identiques.
3.6
Pouvoir de résolution du spectroscope à prisme
Quel est le plus petit écart de longueur d’onde δλ que l’on peut séparer grâce à un spectroscope
à prisme ?
Une fente infiniment fine, éclairée par une radiation de longueur d’onde λ, en l’absence de
diffraction (optique géométrique) aurait une image sur l’écran (appelée raie) également
infiniment fine.
En éclairant la fente avec une radiation de longueur d’onde λ + δλ , on obtient une nouvelle
raie mais décalée de δ xλ .
23
( la déviation par le prisme est D pour λ et D + δ D pour λ + δλ d’où δ xλ = f 2'δ D )
Deux phénomènes distincts peuvent masquer l’existence des deux raies :
• Elles peuvent se chevaucher parce que la fente n’est pas infiniment fine et les raies ont elles
même une épaisseur a’.
• Même si la fente est infiniment fine, la prise en considération de la diffraction va élargir les
raies. Soit b leur largeur ; elles peuvent également se chevaucher.
Les deux radiations seront donc séparées si
3.6.1
δ xλ > a ' et δ xλ > b
Distance entre deux raies
Au minimum de déviation :
sin i = n sin r
A = 2r
D = 2i − A
Pour le verre dont est constitué le prisme, on appelle pouvoir dispersif : K =
δD =
∂D
δλ
∂λ
avec
∂D
∂i
∂i
=2
=2 K
∂λ
∂λ
∂n
cos i di = sin r dn + n cos rdr
A
2 δλ
et δ D = 2 K
cos i
d’où cos i di = sin r dn car dr=0
A
sin
∂i
2
=
∂n cos i
A
2 δλ
δ xλ = 2 Kf
cos i
sin
sin
3.6.2
donc
dn
dλ
finalement :
'
2
Influence de la largeur de la fente
La largeur de la raie est la largeur de l’image de la fente pour une longueur d’onde donnée.
Deux rayons issus de deux bords opposés de la fente atteignent le sommet de la première
a
lentille en faisant entre eux un angle α = '
f1
En traversant le prisme ces deux rayons sont déviés
de la même manière (angle petit au voisinage du
minimum de déviation) et l’angle α n’est pas
modifié.
La largeur de l’image de la fente est donc a ' = α f 2'
d’où
a' =
f 2'
a
f1'
Deux raies séparées de δλ seront donc distinctes si δ xλ > a '
A
'
2 δλ > f 2 a
2 Kf 2'
cos i
f1'
sin
Le plus petit écart de longueurs d’onde mesurable sera donc δλo =
a cos i
2 f1' K sin
A
2
24
On définit le pouvoir de résolution : R =
λ
**
δλo
Soit
R1 =
2 K λ f1' sin
A
2
a cos i
Le pouvoir de résolution est d’autant plus élevé que la largeur de la fente est faible, mais endeçà d’une certaine valeur la diffraction ne pourra plus être négligée.
3.6.3
Influence de la diffraction
Le faisceau émergent est limité par une fente fictive
déterminée par les dimensions du prisme.
(l’observation s’effectuant à l’infini, la position de
cette fente n’a pas d’importance)
Cette fente provoque un phénomène de diffraction
qui revient à faire diverger le faisceau.
Conventionnellement, on considère que ce faisceau est limité par deux directions symétriques
λ
π
4

ce qui correspond à I1 = I o  sin c  = I o 2 ≃ 0, 4 I o
sin θ1 ≃ θ1 = ±
2h
π
2

λ
d’où δθ =
h
e
A
h = PQ cos i
= PQ sin
2
2
e cos i
h=
A
2sin
2
Sur l’écran la tache de diffraction a donc pour largeur :
b = f 2'δθ
A
2λ f 2' sin
2
b=
soit
e cos i
Deux raies séparées de δλ seront donc distinctes si δ xλ > b
A
A
sin
2λ f 2' sin
2 δλ >
2
:
2 Kf 2'
cos i
e cos i
Le plus petit écart de longueurs d’onde mesurable sera donc
λ
δλo =
Ke
D’où le pouvoir de résolution : R2 = Ke
2
et R=inf(R1,R2)
Exemple : pour un prisme dont le verre a un pouvoir dispersif K=0,025µm-1 et une épaisseur
e=2cm
λ
= 1nm pour λ = 500nm
R
Le doublet jaune du sodium λ1 = 589, 0nm et λ2 = 589, 6nm n’est donc pas séparé.
R=500
d’où δλo =
25
3.7
3.7.1
Instruments optiques
Diffraction par une pupille circulaire
Si on remplace la fente par une pupille circulaire de
diamètre d, le calcul de la transformée de Fourier
donne une fonction appelée fonction de Bessel. Son
étude exacte est assez complexe, mais son graphe
est assez semblable à la fonction sinus cardinal.
Le graphe de l’intensité lumineuse diffractée est
représentée ci-contre et on constate que la première
annulation de cette intensité est obtenue dans une
λ
λ
(θ petit) au lieu de θ o =
d
d
pour une fente rectangulaire. De plus les maxima
secondaires sont plus faibles que pour une fente
rectangulaire.
direction θ1 = 1, 22
La figure de diffraction sera donc une tache circulaire brillante entourée d’anneaux brillants
concentriques de faible intensité.
3.7.2
Condition de Rayleigh
Par un instrument optique de pupille circulaire de diamètre d, deux objets ponctuels A et B
ont des images de centres A’ et B’, mais la diffraction en fait des taches appelées taches
d’Airy.
Soit h la distance entre A’ et B’ et r le rayon de la tache d’Airy de chacune de ces images.
(jusqu’à l’annulation de l’intensité)
•
•
•
•
(a)
Si h est largement plus grand que r, les deux images sont parfaitement distinctes : on
dit qu’elles sont séparées ou résolues. (a) et (b)
Les deux images se rapprochent, on les distingue plus difficilement. (c)
Si h= r, conventionnellement on est à la limite de résolution : (d)
C’est la condition de Rayleigh.
Le pied d’une des fonctions d’Airy coïncide avec le sommet de l’autre.
Si h<r les deux images ne sont plus résolues. (e)
(b)
(c)
(d)
(e)
26
3.7.3
Limite de résolution
Considérons, pour simplifier, un système optique équivalent à une lentille mince :
A quelle condition sur l’objet AB, l’image A’B’ est-elle séparée ?
r étant le rayon de la tâche de diffraction (tache d’Airy) A’ et B’ sont résolus si r < h=A’B’
En appelant ρ le rayon de la pupille, p’ la distance entre la
face de sortie de l’instrument et le plan de l’image, et p la
distance entre la face d’entrée de l’instrument et le plan de
l’objet, on a :
r = 1, 22
d’où
λ
A' B ' p '
p ' < A ' B ' or γ =
=
2ρ
AB
p
0, 6λ
0, 6λ
AB >
p
AB >
ρ
tan u
Un calcul tenant compte d’angles d’ouverture u éventuellement grands et des indices des
0, 6λ
milieux objets et images permettrait d’obtenir la relation : AB >
n sin u
La meilleure résolution qu’on puisse obtenir (microscope à immersion : n sin u ≃ 1 est donc de
l’ordre de 0, 6λ soit à peu près 0,3 µm
Quelque soit la qualité de l’instrument, il est donc impossible en lumière visible de séparer
deux points dont la distance est inférieure 0,3 µm.
… ou alors il faut utiliser des longueurs d’onde plus petite : c’est le cas du microscope
électronique où les photons sont remplacés par des électrons, la longueur d’onde de ces
hc
derniers étant inversement proportionnel à leur énergie : λ =
E
27
4
Interférences localisées
•
On a vu précédemment que si les sources secondaires sont ponctuelles, les interférences sont
délocalisées : en tout point de l’espace l’ordre d’interférence est défini.
•
Si les sources secondaires ne sont pas ponctuelles, mais possèdent une surface, on dit que ce
sont des sources étendues.
Une source étendue possède une infinité de points incohérents entre eux ; deux sources
secondaires étendues peuvent en revanche posséder, une infinité de couples de points
cohérents entre eux deux à deux. Il en résulte qu’en un point quelconque de l’espace, il existe
une infinité d’ordre d’interférence car à chaque couple correspond un ordre d’interférence. Le
phénomène d’interférence est donc généralement brouillé. (δp>1/4)
Il se peut cependant qu’une restriction de l’espace provoque l’égalité de tous les ordres
d’interférence correspondant aux différents couples. Des interférences seront alors
observables dans cette restriction de l’espace.
On dit alors que les interférences sont localisées.
4.1
4.1.1
•
Franges d’égale inclinaison
Dispositifs
Lame à faces parallèles
Un faisceau parallèle atteint une lame à faces parallèles
d’indice n, sous faible incidence. A chaque passage de
dioptre, une partie de la lumière se réfléchit avec un
pouvoir de réflexion R, et une autre est transmise avec un
pouvoir de transmission T.
Le faisceau incident se propage dans un milieu d’indice no.
En supposant qu’il s’agisse d’une lame de verre placée dans l’air, on peut prendre no=1 et
n=1,5. Alors :
( n − n ) ≃ 4% et T = IT = 4no n ≃ 96%
I
R= R = o
I ( no + n )2
I ( no + n )2
2
I1 = RI o
I1' = T 2 I o
I2
= T 2 ≃ 92%
I1
I 2 = RT 2 I o
I 2' = R 2T 2 I o
I3
= R 2 ≃ 0,1%
I2
I 3 = R 3T 2 I o
I 2'
= R 2 ≃ 0,1%
'
I1
L’intensité du troisième rayon réfléchi peut être négligée ainsi que celle du second rayon
traversant la lame.
Seuls les deux premiers rayons réfléchis pourront interférer à l’infini avec un contraste
acceptable.
28
•
Interféromètre de Michelson
La séparatrice S a une face métallisée qui sépare
l’intensité lumineuse en deux parties égales :
R=0,5 et T=0,5.
Deux miroirs plans M1 et M2 réfléchissant la lumière
sont placés dans deux directions perpendiculaires. Leurs
axes font un angle de 45° avec la séparatrice.
M1' est l’image de M1 par rapport à S.
Après réflexions sur les miroirs et la séparatrice, les
I
rayons sont parallèles et ont la même intensité I1 =I 2 = o .
4
Ils interfèrent à l’infini avec un bon contraste.
On peut remarquer que même si R et T ne sont pas exactement égaux à 0,5 les deux ondes
interférant auront malgré tout la même intensité : I1 =I 2 =RTIo
Le dispositif est équivalent à une lame d’air constituée par les deux faces M1' et M2.
Les deux dispositifs précédents sont donc équivalents.
Ce sont des dispositifs à diviseur d’amplitude. (rappelons que pour les interférences
délocalisées étudiées au §2.3 les dispositifs étaient des diviseurs d’onde)
4.1.2
Calcul du déphasage
Les deux rayons 1 et 2 interfèrent à l’infini avec la
même différence de phase qu’entre H et K.
2π
( IJK ) − ( IH ) 
λ 
2ne
( IH ) = 2noe tan r sin i
( IJK ) =
cos r
2π  2e
2π  2ne


avec
n
sin
i
=
n
sin
r
ϕ
∆ϕ =
n
−
n
sin
i
sin
r
∆
=
1 − sin 2 r ) 
(
)
(
o
o



λ  cos r
λ  cos r


2π
( Remarque : ∆ϕ ne dépend pas de no )
∆ϕ =
2ne cos r
λ
De plus :
si no <n le rayon 1 est déphasé de π mais pas le rayon 2
si no >n le rayon 2 est déphasé de π mais pas le rayon 1
∆ϕ =
Dans les deux cas, il y a donc un déphasage supplémentaire de π entre les deux rayons donc
∆ϕ =
2π
λ
2ne cos r + π
et
p=
2ne cos r
λ
+
1
**
2
Il en est souvent de même avec un interféromètre de
Michelson, car la partie réfléchissante de la séparatrice est
située sur une des faces de la lame qui sert de support.
L’épaisseur de cette lame introduit toutefois un autre
déphasage que l’on compense avec une seconde lame de
même épaisseur que la séparatrice et parallèle à cette
dernière. Cette lame est appelée compensatrice. Il faut
29
régler la compensatrice de sorte à ce qu’elle soit parfaitement parallèle à la séparatrice.
2e cos i 1
p=
+ *
Pour l’interféromètre de Michelson : n = 1 et r = i d’où
λ
2
ici e est la distance entre le miroir réel M2 et le miroir virtuel M’1
Remarque : Dans certains cas, la séparatrice est traitée pour éviter ce déphasage de π ; dans
d’autres le déphasage peut avoir une valeur quelconque.
4.1.3
Localisation
La source S est étendue.
L’observation du phénomène se fait dans le plan focal
d’une lentille convergente. (localisation à l’infini)
Deux points S1 et S2 de la source S forment deux
sources incohérentes entre elles.
Considérons deux rayons issus de S1 et S2 atteignant
la lame avec la même inclinaison (ils sont donc
parallèles). Le rayon issu de S1 donne deux rayons
parallèles par réflexion sur la lame qui vont converger et interférer en un point M du plan
focal de la lentille avec un ordre d’interférence p1.
Il en est de même du rayon issu de S2, qui donne deux rayons parallèles aux précédents et qui
vont donc converger et interférer au même point M du plan focal de la lentille avec un ordre
d’interférence p2.
2ne cos r 1
Or l’ordre d’interférence ne dépend que de l’inclinaison : p =
+
λ
2
Donc p1 = p2 et les deux couples de rayons donnent les mêmes intensités qui s’ajoutent
puisqu’ils sont incohérents entre eux.
Il en résulte que pour certaines inclinaisons tous les points de S donneront sur l’écran des
points avec une intensité maximum (p entiers), tandis que pour d’autres inclinaisons, on
obtiendra des points d’intensité nulle.
La symétrie de révolution autour de l’axe de la lentille montre qu’à
une même inclinaison correspond un anneau dans le plan focal image
de la lentille.
C’est donc une succession d’anneaux brillants et d’anneaux sombres
qui sera observée.
On parle de franges d’égale inclinaison.
Obtention des anneaux avec un interféromètre de Michelson :
On doit faire converger la lumière de la source sur les miroirs grâce à
une lentille convergente afin d’obtenir le maximum de luminosité,
mais aussi pour augmenter le nombre d’anneaux.
4.1.4
Rayon des anneaux
L’ordre d’interférence est une fonction décroissante de l’angle r :
2ne cos r 1
p=
+
λ
2
1
Si e = 0 (on parle de contact optique) p = et l’éclairement est uniforme. C’est la teinte
2
plate.
2ne 1
appelé ordre au centre.
Sinon, pour r = 0 l’ordre est donc maximum et vaut po =
+
λ 2
30
Le premier anneau brillant (le plus petit) sera donc la première valeur entière de p
immédiatement inférieure à po soit
p1 = po − ε avec 0 ≤ ε < 1
De même pour le 2ème
De même pour le qème
Or pq =
2ne cos rq
D’où
2ne
λ
p2 = po − ε − 1
…
pq = po − ε − ( q − 1)
1
où rq est le rayon angulaire du qème anneau brillant.
λ
2
2ne cos rq 1
pq =
+ = po − ε − ( q − 1)
2
λ
+
(1 − cos r ) = q − 1 + ε
q
rq
restant petit (approximation de Gauss) on peut faire un développement limité de
rq2
l’expression précédente : 1 − cos rq ≃
2
λ ( q −1+ ε )
ce qui donne rq =
ou finalement avec iq = nrq
ne
iq =
nλ ( q − 1 + ε )
e
Remarques :
iq augmente comme la racine des nombres entiers, les anneaux sont donc de plus en plus
serrés.
Attention : q ≠ p
Exemple :
f’=100cm
e=0,5mm
λ=0,590µm
n=1,00
po = 1695, 415 ⇒ ε = 0, 415
R1=f’i1=22mm
R2=f’i2=41mm
R3=f’i3=53mm
4.1.5
Conditions d’observation
2ne cos rq
1
λ
2
Pour les différents points incohérents de la source, l’ordre est le même à la condition que
l’épaisseur traversée par les rayons soit la même et que la radiation soit rigoureusement
monochromatique. Dans le cas contraire, on pourra admettre une variation de l’ordre
d’interférence suffisamment faible.
1
Conventionnellement δ p ≤
4
Pour une incidence donnée, l’ordre d’interférence est pq =
•
+
Condition sur l’épaisseur
2n cos rq
1
λ
δp=
δe ≤
avec cos rq ≃ 1
δe ≤
4
8n
λ
Pour λ=0,5µm l’épaisseur de la lame doit être constante à δ e = 0, 04 µ m près.
31
Attention : On ne doit jamais toucher les miroirs de l’interféromètre de Michelson avec les
doigts.
•
Condition sur la longueur d’onde
δ p = 2ne cos rq
δλ 1
<
λ2 4
1  δλ
δλ 1

δ p = p−  ≃ p
<
λ 4
2 λ

δλ 1
<
: la largeur spectrale doit être très étroite.
λ 4p
δλ
2e
λ
Pour λ=0,5µm et δλ=5Å
= 10 −3
p≃
<
λ 4δλ
λ
⇒ e<
λ2
= 60 µm
8δλ
Si la source n’est pas parfaitement monochromatique, la lame doit être très mince.
4.2
4.2.1
Franges d’égale épaisseur
Dispositifs
Une lame a une épaisseur très lentement variable. Les deux faces et donc les deux rayons
émergents sont presque parallèles.
a) Un coin d’air est constitué de deux lames de verre formant un très petit
angle. On peut par exemple utiliser un cheveu comme cale.
b) Un interféromètre de Michelson peut être réglé de sorte à ce qu’un miroir et
l’image de l’autre par la séparatrice forment un très petit angle.
c) Une lentille de grand rayon de courbure est posée sur une plaque de
verre plane. (Anneaux de Newton)
Si la lame reste mince, les deux rayons émergents bien que
presque parallèles se rencontrent et interfèrent à une distance
très proche de la lame. On considère donc que les
interférences sont localisées sur la lame (en fait en son
voisinage)
Les rayons émergents étant presque parallèles, la différence de marche au point M est au
second ordre près, la même que s’ils étaient parallèles, c’est à dire ∆ = 2ne cos r
32
L’ordre d’interférence est donc comme pour les lames à faces parallèles : p =
λ
+
1
2
1
**
λ 2
Pour une incidence donnée, les rayons issus des différents points incohérents entre eux de la
source étendue vont interférer en des points distincts de la lame.
Si l’incidence est voisine de la normale l’ordre devient : p =
2ne
2ne cos r
+
Sur une ligne où l’épaisseur de la lame reste constante (courbe de niveau) l’ordre
d’interférence reste constant et la luminosité également.
Les franges d’interférence suivent donc les lignes où l’épaisseur de la lame reste constante :
on parle de franges d’égale épaisseur.
Avec les dispositifs a) et b) les franges seront rectilignes
alors qu’avec le dispositif c) on observera des anneaux.
4.2.2
Coin d’air
En se plaçant à une distance x de l’arête, l’épaisseur est e = ε x , ε étant l’angle (petit) entre les
2ε x 1
deux faces du coin d’air. L’ordre d’interférence est donc : p =
+
λ
2
2ε
Les franges brillantes correspondent à p entier, d’où l’interfrange i : ∆p = 1 =
i
Soit i =
λ
λ
2ε
Avec λ=0,6µm et ε =1’
4.2.3
i = 1mm
Condition d’observation
Si la source n’est pas parfaitement monochromatique :
δ p = 2e
δλ 1
<
λ2 4
d’où
δλ
λ
<
λ 8ε x
Plus on est loin de l’arête, plus la lumière doit être monochromatique.
En lumière blanche on atteint presque immédiatement le blanc d’ordre supérieur ; une analyse
spectrale permet donc d’observer un spectre cannelé.
33
5
Réseaux plans
5.1
Définitions
Un réseau est un ensemble de fentes diffractantes parallèles, équidistantes et en très grand
nombre.
On utilise, suivant les cas, des réseaux par réflexion et des réseaux par transmission (seuls
étudiés par la suite)
Il existe deux modes de fabrication :
• En rayant des plaques de verre
• En photographiant puis réduisant un dessin correspondant
Notation :
N
: nombre total de fentes (ordre de grandeur : 1000 à 50 000 )
L
: largeur du réseau (ordre de grandeur : 1 à 5 cm )
N
: nombre de fentes par unité de longueur. (on dit plutôt : nombre de traits par mm)
n=
L
( ordre de grandeur : 100 à 1000 traits/mm )
1
: pas du réseau ( ordre de grandeur : 1 à 10 µm )
p=
n
a<<p
: largeur d’une fente ( ordre de grandeur : 0,1 à 1 µm )
5.2
5.2.1
Étude en lumière monochromatique
Diffraction par une fente
Si a<<λ chaque fente diffracte avec quasiment la même intensité dans toutes les directions
34
5.2.2
Déphasage entre deux ondes consécutives
Une source ponctuelle monochromatique est
placée à l’infini dans la direction α par rapport
à l’axe.
On observe à l’infini dans la direction θ par
rapport à l’axe. On est donc dans les
conditions de Fraunhofer.
L’onde incidente est plane, donc A et B sont
en phase.
Les deux rayons IM et JQ sont parallèles et interfèrent à l’infini.
Ψ leur déphasage est égal à la différence de phase entre M et Q :
2π
( AM ) − ( BQ ) 
Ψ = ϕ ( M ) − ϕ (Q ) =
λ 
En appelant K la projection de J sur IM et H celle de I sur BJ :
2π
Ψ=
[ IK − HJ ]
λ
2π p
Ψ=
λ
5.2.3
ou encore
Ψ=
2π
nλ
Direction des maxima d’intensité
Si Ψ = 2kπ
( k entier )
les N ondes cohérentes qui interfèrent à l’infini sont en phase et
l’amplitude sera égale à N fois l’amplitude diffractée par une fente. A = NAo
L’intensité sera donc N2 fois l’intensité diffractée par une fente. I M = N 2 I o
Avec N=10 000
IM=108 Io
( Io est très faible)
La condition sur l’angle d’incidence α et la direction d’observation θ est donc :
sin θ − sin α = nk λ **
k est un entier appelé l’ordre
Dans la direction θ l’intensité est maximum.
(Cette intensité est tellement grande par rapport à celle provenant d’une fente qu’on pourra
considérer que la lumière est visible seulement dans cette direction )
Pour k=0 l’intensité est maximum dans la direction incidente : θ = α
5.2.4
Le nombre de maxima est fini
sin θ − sin α = n k λ ≤ 2
2
nλ
Exemple : n=500 traits/mm
λ=0,51µm
α=0 alors : k < 4 k ∈ [ −3, −2, −1, 0,1, 2,3]
7 ordres sont possibles. (pas simultanément car pour des incidences différentes)
donc k ≤
35
5.2.5
Minimum de déviation
La déviation D = θ − α
Avec sin θ − sin α = nk λ
La déviation minimum s’obtient en dérivant D par
rapport à α (λ étant fixé)
∂D
∂θ
=0 ⇒
−1 = 0
⇒ dθ = dα
∂α
∂α
comme cos θ dθ − cos α dα = 0
cos θ = cos α
d’où θ = α
on en déduit :
θ = −α
ou
θ = α n’est compatible qu’avec k=0 donc déviation nulle pour l’ordre zéro
θ = −α
⇒ 2 sin θ = nk λ
d’où la déviation minimum Dmk = 2θ k et
5.2.6
sin
Dmk nk λ
=
*
2
2
Calcul de l’intensité
Les N ondes issues des N fentes interfèrent à l’infini.
Les ondes sont cohérentes entre elles ; l’amplitude est donc la somme des amplitudes de
chaque onde.
Si l’amplitude de la première onde est A1 = Ao dans le plan MQ
celle de la seconde est A2 = Ao exp ( − jϕ ( Q ) )
avec Ψ = ϕ ( M ) − ϕ ( Q ) et ϕ ( M ) = 0 :
A2 = Ao exp ( jψ )
et donc pour la troisième
A3 = Ao exp ( 2 jψ )
et pour la qième
Aq = Ao exp ([ q − 1] jψ )
q=N
q=N
q =1
q =1
donc A = ∑ Aq = Ao ∑ exp ([ q − 1] jψ )
soit A = Ao
1 − exp ( jNψ )
1 − exp ( jψ )
d’où l’intensité : I = K AA = I o
*
(1 − exp ( jNψ ) ) (1 − exp ( − jNψ ) )
(1 − exp ( jψ ) ) (1 − exp ( − jψ ) )
36
I = Io
2 − 2 cos Nψ
2 − 2 cosψ
I = Io
sin 2
Nψ
2
sin 2
ψ
avec
ψ=
et
sin 2
2π
nλ
2
Étudions l’intensité I en fonction de la variable ψ :
•
Si ψ = 2kπ + ε
ε<<1
sin 2
Nψ N 2ε 2
≃
2
4
ψ
≃
2
ε2
4
d’où I M = N 2 I o
Ce qui correspond aux maxima déjà constatés pour sin θ = sin α + nk λ
•
•
Nψ
avec h entier différent de kN le numérateur de l’intensité s’annule sans que
= hπ
2
le dénominateur s’annule :
2hπ
l’intensité s’annule donc N-1 fois pour les valeurs de ψ =
, h allant de 1 à N-1
N
2π
Les annulations sont donc distantes de ∆ψ =
N
Si
Entre deux annulations, on a un maximum secondaire pour des valeurs voisines de
soit : ψ = ( 2h + 1)
Nψ = 2π h + π
avec I = I o
1
sin ( 2h + 1)
2
π
π
N
<< N 2 I o = I M
2N
37
5.3
5.3.1
Spectroscope à réseau
Dispositif
On place le réseau sur la platine du
spectrogoniomètre après avoir réglé la
lunette et le collimateur de la même
manière que pour le spectroscope à
prisme.
5.3.2
Largeur angulaire d’une raie monochromatique
Conventionnellement, on considère que la largeur angulaire de la raie est égale à la moitié de
1  2π 
sa largeur à sa base, c’est à dire δψ =  2
 puisque l’intensité autour d’un maximum
2 N 
2π
s’annule pour les valeurs 2kπ ±
N
2π
2π
Comme ψ =
δψ =
cos θ δθ
nλ
nλ
2π
2π
Et donc
cos θ δθ l =
nλ
N
nλ
δθ l =
La largeur angulaire de la raie est :
N cos θ
5.3.3
Distance angulaire entre deux raies voisines de δλ
Pour une radiation de longueur d’onde λ , la direction du maximum d’ordre k satisfait à :
sin θ k − sin α = nk λ
Pour deux radiations distantes de δλ , on calcule la distance angulaire δθ k
nkδλ
δθ k =
cos θ δθ k = nkδλ
soit
cos θ
5.3.4
Pouvoir de résolution du spectroscope à réseau
Les deux raies seront donc séparées si δθ k > δθ l
nkδλ
nλ
λ
>
δλ > δλo =
cos θ N cos θ
kN
On obtient donc le pouvoir de résolution : R =
Exemple : k=2
D’où N=104
séparé)
λ
:
δλo
R = kN
L=2 cm
n=500 traits/mm
et
R=20 000
avec δλo = 0, 025nm (le doublet jaune du sodium est
Cet instrument est nettement plus performant que le spectroscope à prisme.
38
5.3.5
Superpositions d’ordres
Néanmoins pour les ordres élevés cet
instrument a un inconvénient : les
raies d’ordre différents peuvent être
voisines et gêner la lecture
39
Table des matières
1
Notions de photométrie ........................................................................................................................................... 1
1.1
1.2
1.3
1.4
Amplitude complexe d’une vibration lumineuse ....................................................................................... 1
Flux lumineux ................................................................................................................................................ 1
Eclairement ............................................................................................................. Erreur ! Signet non défini.
Intensité lumineuse ...................................................................................................................................... 2
2
Interférences délocalisées ........................................................................................................................................ 2
2.1
Surfaces d’interférence ................................................................................................................................ 2
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
Formule fondamentale des interférences ..............................................................................................................................................2
Ordre d’interférence .............................................................................................................................................................................3
Observation dans un plan parallèle à l’axe des sources ........................................................................................................................4
Observation dans un plan perpendiculaire à l’axe des sources .............................................................................................................6
2.2
Condition sur les sources ............................................................................................................................ 6
2.2.1
2.2.2
Nature de la lumière .............................................................................................................................................................................6
Notions de cohérence ...........................................................................................................................................................................7
2.3
Dispositifs expérimentaux ........................................................................................................................... 9
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
Miroirs de Fresnel ................................................................................................................................................................................9
Biprisme de Fresnel............................................................................................................................................................................10
Bilentilles de Billet.............................................................................................................................................................................10
Trous de Young..................................................................................................................................................................................11
2.4
Etude détaillée d’un dispositif ................................................................................................................... 11
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6
2.4.7
Fentes de Young.................................................................................................................................................................................11
Influence de la position de la fente source .........................................................................................................................................12
Influence de la largeur de la fente source ...........................................................................................................................................13
Utilisation de lentilles ........................................................................................................................................................................13
Variation d’indice sur le trajet d’un rayon..........................................................................................................................................14
Interférences en lumière blanche ........................................................................................................................................................15
Condition sur la largeur spectrale .......................................................................................................................................................16
3
Diffraction .............................................................................................................................................................. 16
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Limites de l’optique géométriques ........................................................................................................... 16
Postulat de Huyghens-Fresnel .................................................................................................................. 16
Transmittance (on dit aussi transparence) ............................................................................................. 17
Diffraction de Fresnel ................................................................................................................................. 17
Diffraction de Fraunhofer ........................................................................................................................... 17
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
Diffraction par une fente rectangulaire...............................................................................................................................................18
Fente longue .......................................................................................................................................................................................19
Etude de l’intensité vibratoire ............................................................................................................................................................20
Influence de la position de la source ..................................................................................................................................................21
Théorème de Babinet .........................................................................................................................................................................22
3.6
Pouvoir de résolution du spectroscope à prisme ................................................................................... 22
3.6.1
3.6.2
3.6.3
Distance entre deux raies....................................................................................................................................................................23
Influence de la largeur de la fente ......................................................................................................................................................23
Influence de la diffraction ..................................................................................................................................................................24
3.7
Instruments optiques ................................................................................................................................. 25
3.7.1
3.7.2
3.7.3
Diffraction par une pupille circulaire .................................................................................................................................................25
Condition de Rayleigh........................................................................................................................................................................25
Limite de résolution ...........................................................................................................................................................................26
4
Interférences localisées .......................................................................................................................................... 27
4.1
Franges d’égale inclinaison ....................................................................................................................... 27
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
Dispositifs ..........................................................................................................................................................................................27
Calcul du déphasage ...........................................................................................................................................................................28
Localisation ........................................................................................................................................................................................29
Rayon des anneaux.............................................................................................................................................................................29
Conditions d’observation ...................................................................................................................................................................30
4.2
Franges d’égale épaisseur ......................................................................................................................... 31
4.2.1
4.2.2
4.2.3
Dispositifs ..........................................................................................................................................................................................31
Coin d’air ...........................................................................................................................................................................................32
Condition d’observation .....................................................................................................................................................................32
5
Réseaux plans ......................................................................................................................................................... 33
5.1
5.2
Définitions ................................................................................................................................................... 33
Etude en lumière monochromatique ........................................................................................................ 33
40
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
Diffraction par une fente ....................................................................................................................................................................33
Déphasage entre deux ondes consécutives .........................................................................................................................................34
Direction des maxima d’intensité .......................................................................................................................................................34
Le nombre de maxima est fini ............................................................................................................................................................34
Minimum de déviation .......................................................................................................................................................................35
Calcul de l’intensité............................................................................................................................................................................35
5.3
Spectroscope à réseau............................................................................................................................... 37
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
Dispositif ............................................................................................................................................................................................37
Largeur angulaire d’une raie monochromatique.................................................................................................................................37
Distance angulaire entre deux raies voisines de δλ ............................................................................................................................37
Pouvoir de résolution du spectroscope à réseau .................................................................................................................................37
Superpositions d’ordres ......................................................................................................................................................................38
Table des matières ..................................................................................................................................................... 39

Optique ondulatoire - Jean

Transcription

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