Théorème de Berge, J–Paul Tsasa Laboratoire d`Analyse

Théorème de Berge, J–Paul Tsasa
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Janvier 2013
Vol. 5 – Num. 003
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Théorème du maximum de Berge (1959)
Correspondance, Hémicontinuité et Caractérisation Séquentielle
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu1
Résumé
Nous présentons dans ce papier le théorème du maximum de Berge (1959) qui constitue un cadre
approprié quant on cherche à savoir comment un ensemble d’éléments maximaux varie lorsque
l’ensemble sur lequel on maximise change de façon continue. Nous illustrons ce théorème en
considérant une correspondance de demande marshallienne.
Mots – clé : Correspondance, hémicontinuité, caractérisation séquentielle et théorème de Berge.
Abstract
This paper presents the maximum theorem (Berge, 1959). In Economic analysis, we use this
theorem, to answer the question: how the optimal value and the optimal solution set change in
response to a change in the parameter? After all, we illustrate this theorem by an example from
the neoclassical theory of the consumer.
Introduction
Ce papier dérive le théorème du maximum, qui fut prouvé, pour la première fois en 1959, par le
mathématicien français Claude Berge, en considérant le cas de fonctions – objectifs non paramétriques2.
Ce théorème permet de préciser la réponse sur l’ensemble de solution d’un problème d’optimisation
lorsque l’ensemble sur lequel on maximise bouge de façon continue. Le développement que nous
reprenons est dû aux travaux de Gérard Debreu. Sa généralisation a été proposée par Walker (1979) et
Leininger (1984). Dans la première section, nous discutons de notion de correspondance hémicontinue et
dans la deuxième section, nous présentons le théorème de Berge (1959) et l’illustrons par un exemple
tiré de la théorie néoclassique du consommateur. Une lecture aisée de ce papier suppose la connaissance
de quelques notions élémentaires de topologie3 que nous avons présentées dans une publication
antérieure4.
I. Correspondance hémicontinue
Soit
non vide
Une correspondance
Si
associe à chaque élément
un sous – ensemble
est un singleton, on obtient une fonction. La correspondance
est à valeurs
non vides (respectivement fermées, compactes) si
est un ensemble non vide (respectivement
ensemble fermé, ensemble compact) pour chaque
Une correspondance peut ou ne pas être
hémicontinue supérieurement et/ou inférieurement en un point
1
2
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4
Université de Montréal (Ph.D. student) et Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative (Chercheur).
Mail : [email protected].
L’intéressé peut se rapporter à Berge (1959, chapitre 6, p. 121).
Compacité, sous – suite et continuité.
Tsasa (2013, One pager Laréq, vol. 5, num. 002).
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Une correspondance
est hémicontinue supérieurement
en un point
si :
Figure 1 : Illustration d’une correspondance hémicontinue supérieurement
Au point
est un
singleton
(fonction).
L’
permet les explosions mais n’admet pas les implosions.
Une correspondance
est hémicontinue inférieurement
en un point
si :
Figure 2 : Illustration d’une correspondance hémicontinue inférieurement
L’
exclut les explosions mais autorise les implosions.
Une correspondance
continue en tout
est hémicontinue en
et
en
est continue si elle est
Pour définir le concept d’hémicontinuité, les économistes recourent généralement
à la caractérisation séquentielle. En effet : (i) si
converge vers
converge vers
si elle est
; (ii)
est
à valeurs compactes, alors
est
en
tel que
et
si et seulement si
qui
converge vers
et
converge vers
II. Théorème du maximum de Berge
Considérons un ensemble
non vide et compact, une fonction continue
et un problème
d’optimisation :
avec
la solution optimale.
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Le théorème de Berge répond à la question naturelle de la réponse de l’ensemble des éléments
maximaux à la suite d’un changement continu de l’ensemble sur lequel on maximise.
Soient deux espaces métriques :
et
une correspondance continue à valeurs non – vides, à valeurs compactes,
et
dans
.
On note que :

la fonction

la correspondance
est continue dans
La correspondance
;
définie par
est
est un ensemble de maximiseurs de
dans
dans
Démontrons à présent ce théorème (Berge, 1959, p. 121 ; Ichiishi, 1983, p. 38 ; Stockey, Lucas et
Prescott, 1989, p. 62 ; Ok, 2007, pp. 306–307 ; Sundaram, 2011, p. 235 ; Sprumont, 2012, p. 20). Par
le théorème de Weierstrass, la correspondance
élément
de
est bien définie : (i) à valeurs non vides pour tout
5
; (ii) à valeurs fermées , puisque
fermé par continuité de
est un singleton, donc
; (iii) borné parce que
est un sous ensemble de
est
qui est bornée.
est donc à valeurs compactes.
La correspondance
étant à valeurs compactes, on peut utiliser la caractérisation séquentielle pour
prouver qu’elle est
donc,
Pour
dans
on a une suite
La correspondance
sous – suite
étant
étant
On sait que : (i)
Or
et
Pour boucler la démonstration, il ne reste plus qu’à
Supposons que
correspondance
et
et à valeurs compactes, on peut toujours extraire une
telle que
montrer que
dans
Et donc, il existe
La
on peut toujours trouver une sous – suite
est continue ; (ii)
lorsque
et
; (iii)
Par conséquent, pour
; d’où, contradiction car
appartient à l’ensemble
des maximiseurs.
Pour illustrer ce théorème, considérons son applications dans le cas d’une demande marshallienne. Nous
devons prouver que la correspondance de demande qui maximise la fonction d’utilité est continue. Soit
un problème standard du consommateur tel qu’un agent disposant d’un revenu
par une fonction d’utilité standard strictement concave
où
désigne le vecteur de prix et
est caractérisé
Le programme à résoudre s’écrit :
une correspondance de budget.
A l’optimum, le choix est donné par :
la correspondance
Par le théorème de Weierstrass, la correspondance de demande de l’agent en cause est bien définie.
Aussi, la correspondance de budget étant
(Ok, 2007, p. 292) et
appliquer le théorème de Berge et conclure que
5
(Ok, 2007, p. 299), on peut
est à valeurs compactes, fermée et
L’image inverse d’un ensemble fermé est fermée.
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Parallèlement, la fonction d’utilité indirecte
continue par Berge (1959), croissant en
concave, il vient que la correspondance
définie par
et décroissant en
In fine, puisque,
est
est strictement
est continue.
Somme toute, tout comme le théorème de Weierstrass ou le théorème de valeur intermédiaire, le
théorème de Berge occupe une place de choix en recherche économique. La portée de son application
n’est pas bornée en analyse microéconomique. On le trouve naturellement dans toute analyse
économique faisant intervenir la théorie d’optimisation.
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Bibliographie

BERGE Claude, 1959, Espaces Topologiques (Fonctions Multivoques), Paris: Dunod (English transl.:
Topological Spaces. Edinburgh and London: Oliver and Boyd, 1963.), 282p.
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
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WALKER Mark, 1979, “A Generalization of the Maximum Theorem.” International Journal of
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