Chapitre 5.5 – Le spectre de l`hydrogène et le modèle de Bohr

Chapitre 5.5 – Le spectre de l’hydrogène
et le modèle de Bohr
Le modèle atomique de Thomson
Le modèle de Thomson fut proposé en 1904 par le physicien anglais J.J.
Thomson après la découverte de l’électron en 1897 (prix Nobel de
physique de 1906) par ce même physicien. Dans ce modèle, l’atome est
considéré comme étant une « densité de charge positive » parsemé de
charges négatives (pudding aux raisins). Cette distribution permet
d’expliquer la neutralité de l’atome (autant de charges positives que
négatives) et la stabilité de celui-ci.
o
o
o
o
o
Atome neutre.
Densité de charge positive à l’intérieur de l’atome.
Les électrons de charge négative à l’intérieur de l’atome
sont en mouvement sous la forme d’anneau.
La masse volumique de l’atome est équitablement
répartie dans l’atome.
La stabilité de l’atome est possible grâce à la force
électrique entre les charges positives et les charges
négatives.
J.J. Thomson
(1856-1940)
Modèle de Thomson
Densité
charge
positive
Le modèle atomique de Rutherford
En 1909, le physicien de Nouvelle-Zélande Ernest Rutherford fut en
mesure de reformuler le modèle atomique de Thomson. À l’aide d’un
modèle théorique de diffusion fondé sur une collision élastique entre deux
particules chargées repoussées par une force électrique et d’une
expérience réalisée par Hans Geiger et Ernest Marsden (deux de ses
étudiants), Rutherford démontra qu’un atome était constitué d’un petit
noyau de charges positives entouré d’un nuage de charges négatives dont
la masse de l’atome était essentiellement située dans le noyau.
o
o
o
o
o
Atome neutre.
Charge positive concentrée au centre de l’atome dans le
noyau.
Les électrons de charges négatives à l’intérieur de
l’atome sont en mouvement sur des orbites circulaires.
La masse volumique de l’atome est pratiquement nulle
partout sauf où le noyau est situé.
Le noyau de l’atome est instable. Il faudra la découverte
du neutron (hypothèse formulée par Rutherford en
1920) et la force nucléaire pour expliquer la stabilité du
noyau atomique.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Ernest Rutherford
(1871-1937)
Modèle de Rutherford
Page 1
L’expérience de Geiger-Marsden
L’expérience de Geiger-Marsden consistait à utiliser un
faisceau de particules alpha (noyau d’hélium) à environ
1,9 × 10 7 m/s pour bombarder une mince feuille d’or de
6000Å1 d’épaisseur (quelques atomes d’épaisseurs). Puisque
99,99% des particules alpha traversaient la feuille sans être
déviées et sans endommager la feuille, les deux modèles
atomiques précédent semblaient être plausibles, car :
Montage de l’expérience de Geiger-Marsden
Modèle Thomson
Modèle Rutherford
Les particules alpha passent au travers des Les particules alpha passent loin des
faibles densités de charges positives en noyaux subissant ainsi une faible déviation
subissant une faible déviation.
due à la petite force électrique.
Cependant, 0,01% des particules alpha subissaient une diffusion
avec des angles prononcés (0 à 180o). Cette diffusion ne peut pas
être expliquée par une diffraction de l’onde-particule (hypothèse
inexistant en 1909) sur les atomes d’or (taille : a ≈ 10 −10 m ), car :
h
6,63 × 10 −34
a >>>> λ B =
=
= 5,22 × 10 −15 m
− 27
7
mv
4 × 1,67 × 10
1,9 × 10
(
)(
)
(Longueur d’onde de de Broglie, introduit en 1924)
La diffraction des particules alpha
sur les atomes d’or respecte la
distribution ci-haut.
(Diffraction : a >>>> λ)
Ce scénario semblait être possible uniquement si l’atome était constitué essentiellement de
vide dont la masse et la charge électrique positive était concentré dans un petit noyau. Une
particule alpha pouvait alors se diriger à grande vitesse directement vers le noyau, ralentir
et être diffusé en raison de la répulsion électrique des charges positives du noyau sur les
charges positives de la particule alpha.
Cette diffusion est la conséquence d’une interaction coulombienne (force électrique) ne
pouvant être expliquée par le modèle de Thomson :
Modèle de
Rutherford
Modèle de
Thomson
•
1
Diffusion à
angle faible
(θ ≈ 0 )
Diffusion légère des particules alpha, car la charge positive
est diluée dans le volume de l’atome (faible force électrique).
Diffusion à
angle élevé
(θ > 0 )
•
•
Diffusion à
angle faible
(θ ≈ 0 )
Diffusion légère si la particule alpha passe loin du noyau.
Diffusion élevé si la particule alpha passe près du noyau.
Un angström est une unité de longueur : 1 Å = 0,1 nm = 1 × 10-10
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
La section efficace de la diffusion de Rutherford
La grande réussite de Rutherford fut de proposer un modèle
théorique pour établir la relation entre la distribution des
particules alpha déviées « anormalement » et l’hypothèse du
noyau atomique. Une équation de section efficace permis
d’établir un lien entre la variation de particules captées dσ
en fonction de la variation d’angle solide2 couvert dΩ à
partir de l’équation du mouvement d’une particule de charge
Z1e se déplaçant avec une énergie cinétique K déviée par
une charge électrique ponctuelle Z2e (étant le noyau) sous
l’effet de la force électrique :
2
Un angle solide Ω correspond à un
élément de surface angulaire sans unité de
m2. La relation est : Ω = A / r2
http://fr.wikipedia.org/wiki/Angle_solide
2
dσ  Z 1 Z 2 e 1 
1

= 
dΩ  4πε 0 4 K  sin 4 (θ / 2 )
Preuve :
Avant d’entamer le calcul de la section
efficace, rappelons le résultat de la
diffusion de Rutherford3 donnant une
équation associée à l’angle de déviation
d’une particule chargée en raison d’une
interaction coulombienne sur une charge
ponctuelle :
Z Z e2
α 
tan  = 1 2
 2  8π ε 0 K 0b
v
qQ
Fe = k 2 rˆ
r
v
Fe = 0
v
v
pi = mv0
q = Z1e
v
Fe = 0
v
pf
v
p
α
α
b
v
vQ = 0
Q = Z 2e
En construction …
2
3
Un petit angle solide dΩ correspond à une petite portion de surface situé sur une sphère.
La diffusion de Rutherford a été présentée dans le chapitre NYB – Chapitre 2.3b.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Le moment cinétique
Le moment cinétique L z d’une particule mesure la quantité
de mouvement transportée par une particule pour effectuer
une rotation autour de l’axe z. Cette quantité augmente si la
particule augmente sa quantité de mouvement p, augmente
si la trajectoire circulaire de rayon r augmente et augmente
lorsque l’angle θ s’approche de 90o favorisant ainsi une
trajectoire perpendiculaire à r de forme circulaire.
y
z
z
v
p
θ
v
v
x
point de
référence
r v
Lz
Moment cinétique L z d’une particule
Moment cinétique L z d’un corps
Lz = r p sin (θ )
Lz = m v r sin (θ )
Lz = I ω
où
Lz
r
p
θ
: Moment cinétique de la particule selon l’axe z ( kg ⋅ m 2 /s )
: Distance dans le plan xy entre le point de référence et la particule (m)
: Module de la quantité de mouvement de la particule dans le plan xy ( kg ⋅ m/s ou Ns )
: Angle dans le plan xy entre r et p
: Moment d’inertie du corps ( kg ⋅ m 2 )
ω : Vitesse angulaire du corps ( rad/s )
I
N.B.
Il est à noter que cette grandeur est conservée dans le temps lorsqu’il y a une force
centrale qui agit sur une particule, car la force n’augmente pas la composante de
quantité de mouvement p perpendiculaire à r puisqu’elle est justement parallèle à r.
L’action de l’électromagnétisme en mécanique quantique
En mécanique quantique, plusieurs problèmes furent résolus après l’introduction de la
constante de Planck h. Les unités de cette constante correspondent à ce que l’on nomme en
physique une « action ». Une action permet de modifier la configuration d’un système en
comptabilisant les variations d’énergie sous un intervalle de temps. L’action correspond au
produit d’une énergie avec un temps.
Le principe de moindre action invite tout phénomène physique à se réaliser en minimisant
l’action requis pour effectuer un changement :
h = 6,63 × 10 −34 J ⋅ s
• Puisque h est une constant très petite, les forces électromagnétiques permettent à un
système d’effectuer de très petit changement à la fois.
• Un changement macroscopique est un changement nécessitant un nombre
macroscopique d’action h.
• Un changement quantique au niveau des atomes peut requérir de toute petite action étant
un multiple entier d’action h.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
L’action du moment cinétique
La constante de Planck h peut être réécrite sous une autre forme qui invite un nouveau
concept à être interprété comme étant une action : le moment cinétique L z .
[h] = J ⋅ s = (Nm ) ⋅ s = kg ⋅2 m m ⋅ s = kg ⋅ m 2 /s
Preuve :
s
Il est important de préciser que [h] = kg ⋅ m 2 /s sous cette forme ne correspond pas à des
unités de moment cinétique, car une notion de radian est incluse dans le moment cinétique
en raison d’une périodicité après une rotation complète.
La constante de Planck réduite h
La constante de Planck h utilisé pour évaluer le quanta d’énergie d’un photon peut être
réécrite sous la forme d’une constant de Planck réduite h (h barre) où un nouveau quanta
peut être associé à l’action du moment cinétique :
h=
Preuve :
h
= 1,0546 × 10 −34 J ⋅ s
2π
La notion de moment cinétique introduit un concept de périodicité dans un mouvement où
un cycle correspond à 2π radians. Démontrons que l’unité du moment cinétique prend la
forme de la constante de Planck réduite h :
1 tour [h]
rad kg ⋅ m 2
s kg ⋅ m 2
[Lz ] = [Iω ] = kg ⋅ m
=
=
= [h ]
rad =
s ⋅ rad = J ⋅ s ⋅ rad = [h ] ⋅ rad
2
2π rad 2π
s
s
s
s
2
La quantification du moment cinétique
Puisque la constante de Planck réduite h correspond à
l’action du moment cinétique L z , la mécanique quantique
impose la quantification du moment cinétique. Ainsi, toute
variation de moment cinétique d’une particule doit
d’effectuer à « coup de h ». De plus, tous les modules du
moment cinétique L z se doit d’être quantifier et être un
multiple entier n de h :
Lz ( classique ) ∈ ℜ
0
0
Lz (quantique ) ∈ nh , n ∈ N
h
2h 3h
...
nh
Lz = n h
où
L z : Moment cinétique d’une particule ou d’un atome ( J ⋅ s )
n : Nombre entier de quanta de moment cinétique ( n ∈ N )
h : Constante de Planck réduite, h = 1,0546 × 10 −34 J ⋅ s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
L’énergie de l’atome d’hydrogène classique
En mécanique classique, l’atome d’hydrogène stable est considéré
comme étant un noyau composé d’un proton de charge positive et d’un
électron qui circule en équilibre sur une trajectoire circulaire autour du
noyau. Dans ce modèle classique, tous les rayons d’orbite circulaire
sont admissibles. L’énergie E de liaison (négative) du système
composée de l’énergie potentielle électrique Ue du système protonélectron et de l’énergie cinétique K de l’électron dépend de la distance
r entre l’électron et le proton :
v
v
v
Fe
v
aC
r
ke 2
E = K + Ue = −
2r
où
E : Énergie de l’atome d’hydrogène (J)
r : Rayon de la trajectoire circulaire de l’électron autour du proton (m)
e : Charge électrique élémentaire, e = 1,6 × 10 −19 C
k : Constante de la loi de Coulomb, k = 9,00 × 10 9 N ⋅ m 2 /C 2
Preuve :
Considérons un électron en mouvement sur une trajectoire circulaire autour d’un proton
immobile. Évaluons par la 2ième loi de Newton et de l’accélération centripète aC la relation
existant entre la force électrique Fe et le rayon de la trajectoire circulaire :
v
v
(Force électrique radiale avec acc. centripète)
∑ F = ma ⇒ Fe = maC
⇒
⇒
⇒
v2
k 2 =m
r
r
(e)(− e)
v2
k
=
m
r
r2
q p q e-
v=
ke 2
mr
(Remplacer Fe = k
qQ
r2
v2
, aC =
)
r
(Proton : q p = e , Électron : qe- = −e )
(Simplifier r, isoler v)
Ayant une relation entre la vitesse et le rayon de la trajectoire circulaire, effectuons un bilan
d’énergie considérant une énergie potentielle électrique U e et une énergie cinétique K :
1
1
qQ
E = K +Ue ⇒
E = mv 2 + U e
( K = mv 2 , U e = k
)
2
2
r
qp q 1
⇒
E = mv 2 + k 2 e
(Énergie potentielle électrique)
2
r
2
⇒
⇒
(e)(− e)
1  ke 2 
E= m
+k
2  mr 
r2
ke 2
E=−
■
2r
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Remplacer v =
ke 2
, q p = e , qe- = −e )
mr
(Simplifier m, regrouper terme)
Page 6
L’énergie de l’atome d’hydrogène de Bohr
L’énergie de l’atome d’hydrogène de Bohr réutilise tous les
principes du modèle classique (électron non-relativiste), mais
impose une contrainte sur les moments cinétiques admissible L z
pour l’électron en interaction avec le proton. Ainsi, la
quantification du moment cinétique engendra une quantification
des niveaux d’énergie E n de l’atome. Cette quantification
limite alors l’ensemble des rayons des orbites circulaires
admissibles :
En = −
où
E1
n2
n=3
n=2
Lz
n =1
rn = r1n 2
rn = r1 n 2
et
...
E n : Énergie associée à l’atome d’hydrogène dans le niveau n (J)
rn : Rayon de l’orbite de l’électron dans l’atome d’hydrogène dans le niveau n (m)
n : Niveau d’énergie quantifié de l’atome d’hydrogène ( n ∈ N )
E1 : Énergie fondamentale de l’atome d’hydrogène, E1 = 2,18 × 10 −18 J = 13,6 eV
r1 : Rayon de Bohr (rayon de l’orbite fondamentale), r1 = 5,29 −12 m
Preuve :
Supposons qu’un électron en interaction avec un proton se déplace sur une orbite circulaire
de rayon r. Puisque la force électrique est une force radiale, il y a conservation du moment
cinétique L z . À partir de l’énergie classique de l’atome d’hydrogène, établissons une
équation limitant les énergies E admissible en raison de la quantification du moment
cinétique L z = nh :
L z = mvr sin (θ )
⇒
L z = mvr sin(90°)
(Trajectoire circulaire, θ = 90° )
⇒
 ke 2 
r
L z = m
 mr 


(Remplacer v =
⇒
L z = mke 2 r
(Simplifier m et r)
⇒
L z = mke 2 r
2
ke 2
, preuve précédente)
mr
(Mettre au carré)
Appliquons la quantification du moment cinétique L z = n h afin d’évaluer le rayon de
Bohr :
2
L z = mke 2 r
⇒
(nh )2
= mke 2 r
(Quantification : L z = n h )
2
⇒
⇒
r=
h
n2
2
mke
r = r1 n
2
(Isoler r)
■ (1)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
h2
(Remplacer r1 =
)
mke 2
Page 7
À partir de l’énergie classique de l’atome d’hydrogène, introduisons la quantification des
rayons des orbites (issus de la quantification du moment cinétique L z = n h ) afin de
quantifier les niveaux d’énergies :
E=−
ke 2
2r
ke 2
⇒
E=−
⇒
E=−
mk 2 e 4 1
2h 2 n 2
(Regrouper constante)
⇒
E=−
E1
n2
(Remplacer E1 =
 h2 2 
2
n 
2
 mke

■ (2)
(Quantification : r =
h2
n2 )
2
mke
mk 2 e 4
)
2h 2
La longueur d’onde de de Broglie et la quantification du
moment cinétique
L’hypothèse de la longueur d’onde de de Broglie peut être
également utilisé pour justifier le concept de
quantification du moment cinétique d’un électron en
interaction avec un proton comme dans le cas d’un atome
d’hydrogène.
2π r ≠ Nλ L : Superposition de l’onde ne se refermant
pas sur elle-même « autodétruit » l’onde stationnaire ce
qui interdit l’orbite.
2π r = Nλ : Superposition de l’onde se refermant sur
elle-même « renforce » l’onde stationnaire ce qui
autorise l’orbite.
On peut interpréter l’électron comme étant une onde
stationnaire vibrant sur une orbite autour du noyau. Les
orbites admissibles sont celles où il y a résonance.
Preuve :
Démontrons que l’hypothèse de la longueur d’onde de de Broglie appliqué à l’atome
d’hydrogène est équivalent à l’hypothèse de la quantification du moment cinétique proposé
par Bohr :
2π r = nλ
⇒
⇒
⇒
⇒
h
p
h
pr = n
2π
h
mv r = n
2π
2π r = n
L z = nh
(Longueur d’onde : λ =
h
)
p
(Réécriture)
(Quantité de mouvement : p = mv )
■
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
( Lz = mv r et h =
h
)
2π
Page 8
Le modèle atomique de l’atome de Rutherford-Bohr
La notion du changement d’état énergétique apporté par Albert Einstein pour expliquer
l’effet photoélectrique fut très importante dans l’élaboration du modèle de l’atome de
Rutherford-Bohr. Dans ce modèle, les électrons sont liés au noyau dans différents
niveaux d’énergies quantifiés avec une énergie totale (cinétique et potentielle électrique)
négative.
Un photon est absorbé par l’atome d’hydrogène lorsque l’électron augmente de niveau
d’énergie (nombre quantique n augmente).
Un photon est émit de l’atome d’hydrogène lorsque l’électron diminue de niveau
d’énergie (nombre quantique n diminue).
Dans l’atome d’hydrogène, l’énergie de liaison du niveau fondamental est
E1 = -13,6 eV. L’électron sera ionisé (éjecté de l’atome) s’il acquière une énergie totale
supérieure à zéro.
Dans l’atome d’hydrogène, un photon d’énergie supérieure à 13,6 eV (ultraviolet)
ionisera automatiquement l’électron de l’atome car E n + 13,6 eV > 0 .
Puisque les niveaux d’énergie sont quantifiés, la transition entre deux niveaux d’énergie
s’effectue par l’entremise d’un photon ayant l’énergie exacte à la différence d’énergie
entre les deux niveaux en jeu :
Émission ( E i > E f )
Absorption ( E f > E i )
Eγ = hf = ∆E i → f = E i − E f
Eγ = hf = ∆E i → f = E f − Ei
Exemple : (l’énergie du photon en fonction de sa fréquence est Eγ = hf )
L’atome se désexcite passant du
Un photon apporte une énergie L’atome absorbe l’énergie
ce qui permet à un électron niveau n = 3 au niveau n = 2 . Un
au système exactement égale à
du niveau d’énergie n = 1 photon est alors émit à une énergie
Eγ = E 3 − E1 .
Eγ = E 3 − E 2
de passer au niveau n = 3
n=3
n=3
n=3
n=2
n=2
n=2
n = 1 q = −e
n =1
n =1
Q = + Ze
Q = + Ze
Q = + Ze Eγ = ∆E1→3
Eγ = ∆E3→2
q = −e
q = −e
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9
Le spectre de l’hydrogène et les transitions électroniques de
l’atome de Bohr
En construction …
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 10