Logique Séquentielle Synchrone - Département Informatique et

Transcription

Licence dÕInformatique
MARSEILLE-LUMINY
5. Logique sŽquentielle synchrone
5.1 - Les circuits de logique sŽquentielle synchrone.
5.2 - Simplification de la matrice des phases.
5.3 - Attribution des variables auxiliaires.
5.4 - DŽcomposition fonctionnelle et partitions
5.5 - DŽcomposition en l'absence de partitions
5.1. Les circuits de logique sŽquentielle synchrone.
5.1.1. Introduction
La diffŽrence fondamentale qui existe entre la logique asynchrone et la logique
synchrone est la prŽsence d'un signal qui va permettre de dŽterminer le moment
ou le changement d'Žtat des entrŽes doit •tre pris en compte.
Rappelons pour •tre parfaitement clair que dans le cas d'un circuit de logique
asynchrone, le changement d'Žtat d'une entrŽe Žtait pris en compte dŽs l'instant
o• il se produisait, ce qui nous interdisait de considŽrer comme possible un
changement d'Žtat simultanŽ de plusieurs entrŽes. Dans le cas de la logique
synchrone, la prise en compte du changement d'Žtat s'effectue ˆ l'apparition
d'un signal que nous appellerons Horloge, ce qui nous permet de considŽrer
comme logiquement possible la variation simultanŽe de plusieurs signaux
d'entrŽe, en effet bien que leur variation physique se prŽsente ˆ des instants
diffŽrents dans le temps, leur prise en compte effective se produit ˆ l'apparition
du signal d'Žchantillonnage.
Dt
A
B
Horloge
T1
T2
T3
Figure 5.1.1 : ƒchantillonnage des signaux
Ce phŽnom•ne dÕŽchantillonnage du signal est parfaitement explicitŽ par le
diagramme de la figure 5.1.1. Au temps T1 le signal A change d'Žtat, au temps
T2 le signal B change ˆ son tour d'Žtat. Entre les temps T2 et T3 rien ne se
passe car le signal d'horloge est inactif, ce n'est qu'en T3 et pendant le temps T3
+ Dt que les signaux seront logiquement pris en compte par le circuit. En fait,
tout ce qui se passe avant T3 et apr•s T 3 + Dt est ignorŽ par le syst•me.
Globalement, un circuit de logique sŽquentielle synchrone se prŽsente comme
indiquŽ en figure 5.1.2.
y1
....
yp
Circuit
combinatoire
Bascules
.....
Cm
.....
C1
s1
sn
Horloge
Figure 5.1.2 : SchŽma gŽnŽral dÕun circuit sŽquentiel synchrone
Un circuit combinatoire permet de dŽterminer, en fonction de l'Žtat actuel et des
entrŽes, quelles seront les sorties et quel sera le code de l'Žtat qui doit succŽder.
Les bascules permettent de sŽparer les deux Žtats, actuel (mŽmorisŽ) et suivant.
Au moment ou se prŽsente le signal dÕhorloge, l'Žtat suivant est recopiŽ dans les
bascules et devient de ce fait l'Žtat actuel, le circuit combinatoire va donc, en
fonction des entrŽes et de ce nouvel Žtat dŽterminer de nouvelles sorties et un
nouvel Žtat suivant. Le cycle se reproduira chaque fois que se prŽsentera le
signal d'horloge.
Nous considŽrerons les bascules par l'intermŽdiaire desquelles se transmet
l'Žtat comme des syst•mes simples permettant la mŽmorisation d'un ŽlŽment
d'information (figure 5.1.3).
EntrŽe
Bascule
Horloge
Sortie
L'information qui se prŽsente sur l'entrŽe
est ignorŽe tant que le signal d'horloge est
inactif. Lorsque le signal en question se
prŽsentera, la bascule enregistrera l'information qui se trouve ˆ l'entrŽe et en
rŽpercutera aussit™t l'Žtat sur la sortie.
Cette sortie demeurera inchangŽe jusqu'ˆ
la prochaine Žcriture.
Figure 5.1.3
5.1.2. ReprŽsentation sous forme de graphe.
Cette reprŽsentation est assez proche de celle que nous avons dŽjˆ pu voir dans
le cas du circuit asynchrone. Ainsi que nous lÕavons dŽjˆ notŽ, la diffŽrence
vient du fait que dans un circuit asynchrone il nous Žtait interdit de modifier
simultanŽment plusieurs variables d'entrŽe. En particulier, sur le graphe des
phases, pour deux ar•tes consŽcutives, la combinaison des variables dÕentrŽe ne
diffŽrait que par la complŽmentation d'au plus une variable (figure 5.1.4).
Page 5.2
Jacques Guizol & Christian Aperghis
x 1 x2 ..00 ..x n
1
x 1 x2 ..10 ..x n
x 1 x2 ..00 ..x n
2
Figure 5.1.4 : Transition dÕŽtat en logique asynchrone
Cette contrainte ne sÕapplique plus dans le cas du circuit synchrone, car, ainsi
que nous l'avons dŽjˆ vu, la prŽsence de l'horloge nous permet de passer de
n'importe quelle combinaison des variables d'entrŽe vers n'importe quelle autre
(figure 5.1.5).
Ci
Cj
1
Ck
3
2
Figure 5.1.5 : De chaque Žtat, on peut atteindre tous les autres
Il en rŽsulte que, si on consid•re un circuit ˆ n entrŽes, quelle que soit la
configuration qui a permis dÕaccŽder ˆ un sommet du graphe, il est nŽcessaire
dÕŽtudier les 2n configurations qui partent de ce sommet.
5.1.3. Machine de Moore, Machine de Mealy.
Nous avons vu, jusqu'ˆ prŽsent, que le fonctionnement d'un circuit sŽquentiel
peut •tre parfaitement dŽfini par un graphe. Il y a nŽanmoins deux mani•res de
reprŽsenter le graphe en question, chacune Žtant associŽe ˆ une famille de
machine sŽquentielle.
La premi•re famille, les machines de Moore, lient la configuration de sortie ˆ
l'Žtat dans lequel se trouve la machine ˆ un instant donnŽ. Le graphe de cette
machine est reprŽsentŽ en figure 5.1.6. Dans ce type de machine, la sortie est
mŽmorisŽe et sera soit un Žtat, soit un ŽvŽnement contr™lŽ par le signal
dÕhorloge.
E5
E3
E1
1
E2
2
S2
3
S3
S1
E4
Figure 5.1.6 : Graphe dÕune machine de Moore
Logique SŽquentielle Synchrone
Page5.3
LÕinterprŽtation du fonctionnement dÕune telle machine est :
La machine Žtant dans un Žtat 1 pour lequel la configuration de
sortie est S1, lorsque la configuration d'entrŽe devient E3 (resp. E4)
alors la machine passe dans l'Žtat 2 (resp. 3) et la sortie prend la
valeur S2 (resp. S3).
Le schŽma gŽnŽral de ce type de machine est celui reprŽsentŽ en figure 5.1.7.
On dira que cette machine respecte les sorties.
E
C1
B
C2
S
5.1.7 : SchŽma gŽnŽral dÕune machine de Moore
Concr•tement, cela signifie que la configuration de sortie est directement liŽe ˆ
l'Žtat de la machine et ˆ cet Žtat exclusivement. A noter en outre que la
configuration de sortie nÕappara”t quÕau moment o• l'Žtat considŽrŽ se prŽsente
effectivement, c'est ˆ dire un temps apr•s la transition qui l'a fait na”tre.
La machine de Mealy ne tient pas compte des Žtats en tant que tels, mais bien
davantage de ce qui se passe lors de la transition entre deux Žtats successifs.
Ainsi dans l'exemple prŽcŽdent (figure 5.1.6), on constate que la machine Žtant
dans l'Žtat 1 d•s quÕappara”t la configuration dÕentrŽe E3 on peut affirmer sans
se tromper que :
¥
¥
La machine va passer dans lÕŽtat 2
La sortie va prendre la configuration S2
Il est donc possible de lier le positionnement de la sortie ˆ lÕar•te au lieu de la
lier au sommet (figure 5.1.8). La consŽquence est que la sortie ne peut •tre
quÕun ŽvŽnement.
E5 /S2
E3/S2
E1/S1
2
1
E2/S1
E4/S3
3
Figure 5.1.8 : Graphe dÕune machine de Mealy
La figure 5.1.9 montre le schŽma gŽnŽral dÕune machine de Mealy. On parlera
pour cette machine de Ônon-respect des sortiesÕ.
E
C1
B
C2
S
Figure 5.1.9 : SchŽma gŽnŽral dÕune machine de Mealy
Page 5.4
LÕinterprŽtation du fonctionnement dÕune telle machine est :
La machine Žtant dans un Žtat 1, lorsque la configuration d'entrŽe
devient E4 (resp. E3) alors la machine transite vers l'Žtat 2 (resp. 3)
et la sortie se positionne ˆ S2 (resp. S3).
Ainsi, la sortie d'une telle machine rŽpond immŽdiatement aux sollicitations de
l'entrŽe, elle dŽpend ˆ la fois de l'Žtat dans lequel se trouve la machine et de la
configuration qui appara”t sur l'entrŽe
5.1.3. Un exemple de circuit sŽquentiel synchrone.
Nous allons Žtudier un circuit permettant de reconna”tre une sŽquence dÕentrŽe.
Dans le cas ˆ traiter, cette sŽquence sera composŽe de quatre 1 successifs.
Temps : 1
EntrŽe : 0
Sortie : 0
2
1
0
3
1
0
4
0
0
5
1
0
6
1
0
7
1
0
8
1
1
9
1
1
10
1
1
11
0
0
12
1
0
Ainsi que nous lÕavons reprŽsentŽ ci dessus, la sortie passe ˆ 1 au temps 8 car
des 1 sont apparus aux temps 5, 6, 7 et 8. Le fonctionnement de cette machine
est enti•rement dŽcrit par le graphe de la figure 5.1.10, reprŽsentatif dÕune
machine de Mealy.
0/0
0
0/0
4
1/0
1/1
1
1/0
1/0
0/0
0/0
2
0/0
0/0
1/0
0/0
0/0
1/0
7
1/0
3
6
1/0
5
Figure 5.1.10 : Graphe de lÕanalyseur de sŽquence Ô1111Õ
La matrice des phases associŽe au graphe est dŽcrite en figure 5.1.11.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
0
1
2
3
4
5
6
7
0
2
4
6
0
2
4
6
1
3
5
7
1
3
5
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Figure 5.1.11 : Matrice des phases associŽe
Page5.5
La construction de la matrice des phases suit les m•mes r•gles que celles qui
ont ŽtŽ dŽfinies pour les syst•mes asynchrones, exception faite que dans le cas
dÕun syst•me synchrone la notion dÕŽtat instable a disparu.
5.2. Simplification de la matrice des phases.
5.2.1. Equivalence simple
Deux Žtats sont non Žquivalents si, pour une m•me entrŽe :
¥ le passage ˆ l'Žtat suivant produit des sorties contradictoires ;
¥ les Žtats suivants sont diffŽrents et non Žquivalents.
Deux Žtats sont Žquivalents si pour chaque entrŽe :
¥ le passage ˆ l'Žtat suivant produit des sorties identiques ;
¥ les transitions interdites sont les m•mes ;
¥ on ne peut pas montrer qu'ils sont non Žquivalents.
En pratique : ¦ si les lignes associŽes aux deux Žtats de la matrice des phases
sont identiques, alors les deux Žtats sont Žquivalents.
¦ si les sorties associŽes aux deux Žtats sont identiques mais que
les Žtats suivants diff•rent, alors les Žtats sont Žquivalents si
pour chaque entrŽe les Žtats suivants qui sont diffŽrents sont
eux m•mes Žquivalents.
Lorsque deux Žtats ont ŽtŽ dŽclarŽs Žquivalents, la ligne correspondante de lÕun
de ces Žtats sera supprimŽ de la matrice des phases et toute occurrence de cet
Žtat sera remplacŽe par son Žquivalent.
Soit la matrice des phases de la figure 5.2.1. On voit que les lignes 2 et 6 sont
identiques, m•me successeur et m•me sortie. Les Žtats correspondants sont
donc Žquivalents. De la m•me mani•re sont Žquivalents les Žtats1, 4 et 8.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
4
5
2
3
4
5
2
5
6
7
5
8
6
1
5
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
Figure 5.2.1 : Matrice des phases dÕorigine
Apr•s simplification, nous obtenons la
matrice des phases de la figure 5.2.2.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
5
7
2
1
5
3
5
5
2
7
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
Figure 5.2.2 : Matrice des phases simplifiŽe
5.2.2. Equivalence conditionnelle.
LÕŽquivalence conditionnelle se dŽfinit de la m•me mani•re que pour les
circuits asynchrones. LÕŽquivalence conditionnelle peut •tre simple comme dans
la figure 5.2.3. Les Žtats 1 et 2 sont Žquivalents si les Žtats 3 et 4 le sont eux
aussi ce qui est le cas.
La matrice des phases peut donc se simplifier en supprimant un des deux Žtats
3 ou 4 et un des deux Žtats 1 ou 2.
Page 5.6
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
5
1
1
3
4
6
6
1
1
0
0
1
1
1
1
Figure 5.2.3 : Exemple dÕŽquivalence conditionnelle simple.
LÕŽquivalence conditionnelle peut •tre plus complexe ˆ mettre en Žvidence, ainsi
sur le diagramme des phases de la figure 5.2.4 on voit que Les Žtats 1 et 3 sont
Žquivalents si les Žtats 4 et 5 le sont aussi, mais pour que les Žtats 4 et 5 soient
Žquivalents il faut que les Žtats 1 et 3 soient Žquivalents.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
4
6
5
1
3
7
9
7
5
5
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
Figure 5.2.4 : Exemple dÕŽquivalences croisŽes
La relation dÕŽquivalence Žtant transitive on peut en conclure que les Žtats 1 et
3 sont Žquivalents de m•me que les Žtats 4 et 5. Ce qui permet de simplifier la
matrice des phases comme indiquŽ en figure 5.2.5.
Il est donc important de disposer dÕune mŽthode permettant la dŽtermination de
toutes les Žquivalences.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
4
4
6
1
7
9
4
1
0
1
0
1
0
Figure 5.2.5 : Matrice de la figure 5.2.4 simplifiŽe
La mŽthode qui a ŽtŽ dŽcrite dans le cas des circuits asynchrones sÕapplique
sans modification dans le cas des circuits synchrones :
¥
Regroupement de toutes les lignes correspondant aux Žtats ayant les
m•mes configurations de sortie (Žtats potentiellement Žquivalents).
¥
ƒtablissement dÕune table ˆ deux entrŽes, comportant une ligne pour
chaque Žquivalence possible et une colonne pour chaque Žquivalence
possible.
¥
Marquage rŽcursif de tous les Žtats manifestement non Žquivalents.
A la fin de lÕopŽration, tous les Žtats non marquŽs sont Žquivalents.
Page5.7
5.2.3. Simplification dÕune matrice des phases
incompl•tement spŽcifiŽe.
Une matrice des phases incompl•tement spŽcifiŽe est une matrice des phases
dans laquelle figurent des signes dÕindiffŽrence. Nous allons retrouver ici le
probl•me des pseudo-Žquivalences dŽjˆ vu ˆ propos des circuits asynchrones.
Deux Žtats sont dits pseudo-Žquivalents si la ligne correspondant ˆ lÕun dÕentre
eux comportant un ou plusieurs signes dÕindiffŽrence, elle peut •tre rendue
identique ˆ la ligne correspondant ˆ un autre Žtat en rempla•ant les signes
dÕindiffŽrence par les symboles convenables.
En pratique : ¦ si les lignes associŽes aux deux Žtats de la matrice des phases
sont unifiables, alors les deux Žtats sont pseudo-Žquivalents.
¦ si les sorties associŽes aux deux Žtats sont unifiables mais que
les Žtats suivants diff•rent, alors les Žtats sont pseudoŽquivalents si pour chaque entrŽe, les Žtats suivants qui sont
diffŽrents sont eux m•me pseudo-Žquivalents.
Contrairement ˆ la relation dÕŽquivalence, la pseudo-Žquivalence nÕest pas
transitive.
Par exemple dans la matrice des phases de la figure 5.2.6, les lignes 1 et 2 sont
pseudo-Žquivalentes, les lignes 2 et 3 sont elles aussi pseudo-Žquivalentes alors
que les lignes 1 et 3 ne sont pas pseudo-Žquivalentes.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E = 00
1
2
3
4
4
4
E = 01
5
5
Sortie
E = 11
E = 10
E = 00
E = 01
6
6
7
7
7
0
0
0
1
1
1
E = 11 E = 10
1
0
0
0
0
Figure 5.2.6 : Matrice comportant 2 pseudo-Žquivalences exclusives.
Ce qui revient ˆ dire que lÕon peut procŽder ˆ la simplification 1 - 2 (figure
5.2.7a) ou ˆ la simplification 2 - 3 (figure 5.2.7b) mais pas aux deux ˆ la fois.
Cette propriŽtŽ de non-transitivitŽ ne simplifie pas le probl•me. En effet, en
fonction de lÕordre dans lequel seront appliquŽes les simplifications, le rŽsultat
pourra •tre plus ou moins complexe.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E = 00
1
3
4
4
E = 01
5
5
Sortie
E = 11
E = 10
E = 00
E = 01
6
6
7
7
0
0
1
1
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E = 00
1
2
4
4
E = 01
5
5
E = 11 E = 10
1
0
0
0
Sortie
E = 11
E = 10
E = 00
E = 01
6
7
7
0
0
1
1
E = 11 E = 10
1
0
0
0
Figure 5.2.7 a&b : Deux fa•ons de simplifier la matrice de la figure 5.2.6.
Page 5.8
Soit, par exemple, la matrice des phases de la figure 5.2.8, o• lÕon voit appara”tre un certain nombre de pseudo-Žquivalences et de pseudo-Žquivalences
conditionnelles :
¥ 1 est pseudo-Žquivalent ˆ 2 si 2 est pseudo-Žquivalent ˆ 3, ce qui est
le cas.
¥ 1 est pseudo-Žquivalent ˆ 3.
¥ 3 est pseudo-Žquivalent ˆ 5.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
2
3
3
4
6
5
5
0
0
0
1
0
1
1
0
1
Figure 5.2.8 : Matrice comportant diverses pseudo-Žquivalences
Si on proc•de ˆ la simplification 3 - 5, on obtient la matrice des phases de la
figure 5.11.9. Il nÕy a alors aucune possibilitŽ de procŽder ˆ de nouvelles
simplifications.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
2
3
4
3
6
5
3
0
0
0
1
1
1
0
Figure 5.2.9 : Simplification par la pseudo-Žquivalence 3/5
Si, on avait commencŽ par simplifier les lignes 1 - 2, on aurait, dans un premier
temps obtenu le tableau des phases de la figure 5.2.10 qui par application de la
pseudo-Žquivalence entre 1 et 3 conduisait ˆ la matrice des phases de la figure
5.2.11.
Etat
PrŽsent
1
3
4
5
Etat Suivant
Sortie
E=0
E=1
E=0
E=1
1
3
4
6
5
5
0
0
1
0
1
1
0
1
Figure 5.2.10 : Simplification par 1/2 suivie deÉ
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
4
5
1
1
4
6
5
5
0
1
0
1
0
1
Figure 5.2.11 : Simplification par 1/3
Pour •tre certain dÕaboutir ˆ un tableau des phases minimal, la seule mŽthode
est la mŽthode exhaustive. Cette mŽthode est dÕautant plus laborieuse que le
nombre de lignes est grand et que le nombre de signes dÕindiffŽrence est ŽlevŽ.
Page5.9
5.2.4 MŽthode gŽnŽrale de dŽtermination de pseudoŽquivalences.
Soit la matrice des phases de la figure 5.2.12.
Cette matrice comportant un certain nombre de lignes et un grand nombre de
signes dÕindiffŽrence, son Žtude exhaustive demanderait un temps considŽrable.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E = 00
E = 01
E = 11
E = 10
E = 00
E = 01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
4
4
4
4
4
-
4
4
2
8
8
1
5
11
7
7
9
7
9
9
1
7
6
1
10
1
10
10
10
-
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
-
E = 11 E = 10
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
-
Figure 5.2.12 : Matrice des phases ˆ simplifier
Nous allons utiliser pour la simplifier la mŽthode mise au point par Paull et
Unger. Nous allons construire et remplir une table reprŽsentative de toutes les
Žquivalences possibles (figure 5.2.13).
Ainsi, par exemple, dans la case se trouvant sur la ligne 7 et la colonne 8, on
indiquera que la condition pour que ces deux Žtats soient Žquivalents est que :
¥ les Žtats 7 et 9 soient Žquivalents ;
¥ les Žtats 1 et 10 soient Žquivalents.
Si deux Žtats sont manifestement non Žquivalents, (configurations de sortie non
unifiables) ou conditionnŽs ˆ lÕŽquivalence de deux Žtats non Žquivalents, ils
seront barrŽs. Si aucune condition nÕest requise, la case sera grisŽe.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Dans cette case on
fera appara”tre les
conditions pour que
les Žtats 7 et 8
soient Žquivalents.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figure 5.2.13 : Table de Paul et Unger
Page 5.10
Lorsque tous les Žtats non Žquivalents ont ŽtŽ rŽcursivement marquŽs, tous les
couples dÕŽtats non marquŽs sont pseudo-Žquivalents.
Le tableau des phases de la figure 5.2.12 conduit ˆ la table de pseudoŽquivalence de la figure 5.2.14. LÕexploitation du tableau ainsi obtenu va
permettre de mettre en Žvidence les groupements optimaux (figure 5.2.15).
Partant de la colonne de droite, on constate que les Žtats 10 et 11 ne sont
manifestement pas Žquivalents. En progressant dÕune colonne vers la gauche on
constate de m•me que les Žtats 9 et 11 sont Žgalement non Žquivalents. Par
contre, il nÕy a pas de condition pour avoir une Žquivalence entre les Žtats 9 et
10.
2
3
xx
4
x
xx
7-5
5
1-4
1-7
6
x
9-5
9-11
6-10
7
1-4
1-7
7-5
7-11
1-6
8
9
x
x
9-5
4-8
5-9
10
1-4
4-8
7-10
4-8
11
1-4
1-4
1-5
1
2
xx
7-9
1-10
xxx
xx
x
x
x
2-8
9-11
6-10
3
7-9
1-10
7-9
1-10
1-10
1-10
1-7
1-7
1-7
xx
4
5
7
8
6
9
1-8
10
Figure 5.2.14 : Table de simplification de la matrice Fig. 5.2.12.
Pour exprimer cette Žquivalence, on crŽe le doublet 9 - 10.
En continuant lÕexploration du tableau, on constate que les Žtats 8 - 10 et 8 - 9
sont Žquivalents sans condition. La transitivitŽ de lÕŽquivalence nous permet
alors de dire que les Žtats 8 - 9 - 10 sont Žquivalents entre eux.
7 et 11 sont pseudo-Žquivalents, on les considŽrera toutefois comme Žquivalents
et on fera appara”tre un nouveau doublet 7 - 11.
La colonne 6 fait appara”tre les Žquivalences entre 6 - 10, 6 - 9 et 6 - 8, ce qui,
par transitivitŽ, conduit ˆ lÕŽquivalence 6 - 8 - 9 - 10.
La colonne 5 fait appara”tre les Žquivalences entre 5 - 11 et 5 - 7. Le doublet 7 11 devient 5 - 7 - 11.
La colonne 4 nous donne les Žquivalences entre les Žtats 4 - 11, 4 - 10, 4 - 7 et
4-5
La colonne 3 nÕapporte rien alors que la colonne 2 donne 2 - 11, 2 - 7, 2 - 4.
La colonne 1 donne les Žquivalences 1 - 11, 1 - 7, 1 - 5, 1 - 4 et 1 - 2. Ici, on voit
que 1 sÕinclut dans 4 - 5 - 7 - 11. Ce qui conduit au groupe 1 - 4 - 5 - 7 - 11.
LÕŽtat 3 ne figurant dans aucun groupe, il importe de le rajouter.
Page5.11
A propos de la colonne 1, il aurait ŽtŽ possible de procŽder au regroupement 1 2 - 4 mais, dans ces conditions, la configuration obtenue aurait ŽtŽ moins
compacte :
A ce stade, la proposition dÕŽquivalence que nous obtenons est la suivante :
6 - 8 - 9 - 10 / 1 - 4 - 5 - 7 - 11 / 4 - 10 / 2 - 4 / 2 - 7 / 2 - 11 / 1 - 2 / 3
Ligne
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Regroupements
¯
9-10
8-9-10
8-9-10/7-11
6-8-9-10/7-11
6-8-9-10/5-7-11
6-8-9-10/4-5-7-11/4-10
6-8-9-10/4-5-7-11/4-10
6-8-9-10/4-5-7-11/4-10/2-4/2-7/2-11
6-8-9-10/1-4-5-7-11/4-10/2-4/2-7/2-11/1-2
Figure 5.2.15 : Table des regroupements obtenus ˆ partir de la table de simplification.
Les Žquivalences Žtant maintenant mises en Žvidence, il importe de procŽder ˆ
un choix cohŽrent des termes qui conduiront au tableau final. Il faut
sŽlectionner le nombre minimal de termes de sorte que tous les Žtats
apparaissent une fois et une seule.
Dans notre cas, un regroupement pourrait •tre : 6 - 8 - 9 - 10 / 1 - 4 - 5 - 7 - 11
/ 2 / 3. En effet, le regroupement 6 - 8 - 9 - 10 est obtenu sans condition. Le
regroupement 1 - 4 - 5 - 7 - 11 contient des pseudo-Žquivalences se ramenant ˆ
la condition dÕŽquivalence de 1 et 4, ce qui est vŽrifiŽ.
La crŽation du tableau des phases ne pose alors aucun probl•me majeur.
Identification des termes :
* A : 6 - 8 - 9 - 10
* B : 1 - 4 - 5 - 7 - 11
*C:2
*D:3
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E = 00
A
B
C
D
B
B
-
E = 01
A
B
B
C
Sortie
E = 11
E = 10
E = 00
E = 01
A
B
B
B
A
B
A
1
0
1
0
1
1
E = 11 E = 10
0
0
0
1
1
1
1
-
Figure 5.2.16 : Matrice rŽduite finalement obtenue.
Page 5.12
5.3.
Attribution des variables auxiliaires.
Le tableau des phases obtenu et optimisŽ, il reste ˆ dŽterminer le nombre de
variables nŽcessaires pour coder les Žtats reprŽsentatifs du circuit.
Soit n le nombre de lignes de la matrice des phases simplifiŽe, le nombre r de
variables auxiliaires sera tel que 2r-1 < n £ 2r.
Quel que soit le crit•re de dŽfinition de la minimalitŽ, il nÕexiste actuellement
aucune mŽthode pour dŽterminer une relation entre la configuration des
variables intermŽdiaires et les Žtats de la matrice des phases permettant
dÕobtenir une rŽalisation minimale.
Pour illustrer la mŽthode gŽnŽrale dÕattribution de variables auxiliaires, nous
allons partir dÕune matrice des phases reprŽsentative dÕun circuit gŽnŽrant le bit
de paritŽ d'un code DCB (chiffre compris entre 0 et 9) se prŽsentant poids
faibles en t•te.
1
0/00
1/00
2
0/00
3
1/00
4
0/00
5
0/00
1/00
0/00
8
9
10
0/10
1/01
0/01
0/01
1/00
6
1/00
7
0/00
1/00
0/00
1/00
11
12
13
14
15
0/10
0/01
1/10
0/10
0/10
0/01
1
Figure 5.3.1 : Graphe des phases dÕun gŽnŽrateur de paritŽ des digits dŽcimaux codŽ en ASCII.
Si la sortie se limitait ˆ une seule valeur donnant le bit de paritŽ, on ne pourrait
pas distinguer lÕinstant o• le circuit a fini dÕŽchantillonner les 4 bits (instant o•
la sortie devient pertinente). On va donc utiliser 2 sorties A et B. A recevra la
valeur de paritŽ, alors que B indiquera la validitŽ de A en prenant la valeur
complŽmentaire.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
7
2
4
5
6
7
1
1
3
5
4
7
6
1
1
00
00
00
00
00
10
01
00
00
00
00
00
01
10
Figure 5.3.2 : Matrice des phases associŽe apr•s simplification
Page5.13
Le graphe reprŽsentatif du fonctionnement de ce circuit et la matrice des
phases simplifiŽe sont respectivement donnŽs en figure 5.3.1 et 5.3.2.
Ce tableau des phases simplifiŽ comportant 7 Žtats, le nombre minimal de
variables auxiliaires (donc de bascules) permettant dÕen effectuer le codage est
de 3. Parmi les huit configurations disponibles, 7 seront affectŽes aux Žtats
existants, la huiti•me inutilisŽe sera affectŽe ˆ un Žtat indiffŽrent.
Ainsi quÕil a ŽtŽ dit, aucune mŽthode dÕaffectation nÕŽtant dŽfinie pour rŽaliser
lÕaffectation des combinaisons, la mŽthode la plus brutale consiste ˆ affecter les
combinaisons successives des variables auxiliaires aux Žtats successifs. Ce qui
conduit au tableau dÕaffectation de la figure 5.3.3.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C Etat
1
0
2
1
3
0
4
1
5
0
6
1
7
0
1 N.A.
Figure 5.3.3 : Affectation des variables auxiliaires
Il est alors possible de procŽder ˆ la rŽŽcriture du tableau des phases (figure
5.3.4).
Etat
PrŽsent
ABC
000
001
010
011
100
101
110
111
Etat Suivant
E=0
E=1
Sortie
E=0
E=1
ABC ABC S1 S2 S1 S 2
001 010 00 00
011 100 00 00
100 011 00 00
101 110 00 00
110 101 00 00
000 000 10 01
000 000 01 10
--- --- -- --
Figure 5.3.4 : Remplacement des Žtats par les V.A dans la matrice rŽduite
5.3.1 Les diverses bascules utilisables.
Il existe plusieurs types de bascules pouvant •tre utilisŽes pour synthŽtiser les
circuits sŽquentiels synchrones. Ces bascules ont en commun dÕ•tre commandŽes par un signal dÕhorloge. Ce signal peut •tre un niveau ou un front.
Page 5.14
5.3.1.1. La bascule RS.
Il sÕagit dÕune bascule ˆ deux entrŽes Set et Reset, masquŽes par un signal
dÕhorloge permettant la prise en compte du signal ˆ un moment bien prŽcis
dans le temps (figure 5.3.5)
R
Q
R
S
Q
S
H
H
Figure 5.3.5 : SchŽma de principe et symbolique de la bascule RS
* Lorsque lÕentrŽe S (set) est active, ˆ lÕapparition du signal dÕhorloge,
la sortie Q est activŽe.
* Lorsque lÕentrŽe R (reset) est active, ˆ lÕapparition du signal dÕhorloge,
la sortie Q est dŽsactivŽe.
* Lorsque aucune des deux entrŽes nÕest activŽe, lÕapparition du signal
dÕhorloge ne provoque aucun changement sur la sortie.
5.3.1.2. La bascule JK
K
S
K
J
S
J
H
H
Figure 5.3.6 : SchŽma de principe et symbolique de la bascule JK
Il sÕagit dÕune bascule ˆ deux entrŽes, commandŽe par un signal dÕhorloge actif
sur un front descendant (figure 5.3.6).
* Lorsque lÕentrŽe J est active, ˆ lÕapparition du front descendant du
signal dÕhorloge, la sortie est activŽe.
* Lorsque lÕentrŽe K est active, ˆ lÕapparition du front descendant du
signal dÕhorloge, la sortie est dŽsactivŽe.
* Lorsque aucune des deux entrŽes nÕest activŽe, lÕapparition du front
descendant du signal dÕhorloge ne provoque aucun changement sur la
sortie.
* Lorsque les deux entrŽes J et K sont simultanŽment activŽes,
lÕapparition du front descendant du signal dÕhorloge provoque une
complŽmentation de la sortie.
Page5.15
5.3.1.3. La bascule T
J
T
S
K
H
Figure 5.3.7 : SchŽma de principe de la bascule T ˆ partir dÕune JK
CÕest une utilisation spŽcifique de la bascule JK dans laquelle les entrŽes J et K
sont simultanŽment commandŽes (figure 5.3.7).
Dans ces conditions :
* Lorsque lÕentrŽe T est active, ˆ lÕapparition du front descendant du
signal dÕhorloge, la sortie est complŽmentŽe.
* Lorsque lÕentrŽe T est inactive, lÕapparition du front descendant du
signal dÕhorloge ne provoque aucun changement sur la sortie.
5.3.1.4. La bascule D
D
S
H
Figure 5.3.8 : SchŽma de la bascule D
La bascule D est en fait une mŽmoire qui, ˆ lÕapparition du front montant de
lÕhorloge, prend systŽmatiquement en compte lÕinformation quÕon lui prŽsente
pour la mŽmoriser (figure 5.3.8).
* Lorsque lÕentrŽe D est ˆ lÕŽtat haut, d•s lÕapparition du front montant
du signal dÕhorloge, la sortie passe ˆ lÕŽtat haut.
* Lorsque lÕentrŽe D est ˆ lÕŽtat bas, d•s lÕapparition du front montant
du signal dÕhorloge, la sortie passe ˆ lÕŽtat bas.
5.3.2. Utilisation des diverses bascules.
Pour terminer lÕexemple de la figure 5.3.1, il nous faut Žcrire 6 fonctions,
une fonction set et une fonction reset pour chacune des trois bascules du
circuit. Pour chacune dÕelle, la fonction dŽpendra des transitions ˆ assurer entre
lÕŽtat prŽsent et lÕŽtat suivant.
5.3.2.1. Utilisation de bascules RS.
o La bascule est dans lÕŽtat 0 (Žtat prŽsent) et doit transiter vers un Žtat 0 (Žtat
suivant) deux possibilitŽs de commande sÕoffrent ˆ nous :
¦ ne rien faire, dans ces conditions la sortie reste donc ˆ 0 ;
¦ commander un reset, dans ces conditions la sortie est forcŽe ˆ 0, et
donc en dŽfinitive ne bouge pas. On dira que lÕon est en prŽsence dÕun
reset optionnel que lÕon reprŽsentera sur le diagramme de
Karnaugh par la lettre r.
Page 5.16
¦ commander un set, dans ces conditions la sortie est forcŽe ˆ 1, et
donc en dŽfinitive ne bouge pas. On dira que lÕon est en prŽsence dÕun
set optionnel que lÕon reprŽsentera sur le diagramme de
Karnaugh par la lettre s.
suivant) Nous nÕavons pas de choix possible, la commande reset doit
impŽrativement •tre activŽe. On est en prŽsence dÕun reset obligatoire que
lÕon reprŽsentera sur le diagramme de Karnaugh par la lettre R.
suivant) Nous nÕavons pas de choix possible, la commande set doit
impŽrativement •tre activŽe. On est en prŽsence dÕun set obligatoire que
lÕon reprŽsentera sur le diagramme de Karnaugh par la lettre S.
Les Žtats non utilisŽs apparaissent quant ˆ eux comme des indiffŽrents
classiques. LÕapplication de ces principes ˆ la table de la figure 5.3.4 conduit
pour la bascule A aux deux diagrammes de la figure 5.3.9.
AB
CE
00
00
01
11
S
01
11
10
S
10
AB
CE
00
s
00
r
s
01
r
S
-
11
S
-
10
01
11
10
R
r
r
R
-
R
-
R
Figure 5.3.9 : Table de commandes pour bascule RS
Par exemple, Žtant dans lÕŽtat codŽ 010, on doit pour une entrŽe de valeur 0,
atteindre lÕŽtat codŽ 100 et pour une entrŽe de valeur 1, atteindre lÕŽtat codŽ
011. Donc, dans le premier cas, la bascule A devra subir un set obligatoire,
alors que dans le second cas, on pourra lui appliquer un reset optionnel.
La synth•se sÕop•re pour chacune des entrŽes en prenant en compte les
commandes obligatoires (lettres majuscules) et en ne considŽrant les
commandes optionnelles (lettres minuscules) que lorsquÕelles induisent une
simplification. On obtient ainsi :
S A = ABE + ACE
R A = AB + AC
Une Žtude identique pour les bascules B et C conduit aux Žquations :
S c = ABE + ABCE + ABCE
S B = ABCE + ACE + ABCE
R B = AB + BE
et
R c = AC + CE
Page5.17
5.3.2.2. Utilisation de bascules JK.
Lˆ encore, il nous faut Žcrire 6 fonctions, une fonction J et une fonction K pour
chacune des trois bascules du circuit. Pour chacune dÕelle, la fonction dŽpendra
des transitions ˆ assurer entre lÕŽtat prŽsent et lÕŽtat suivant.
¦ commander un K, dans ces conditions la sortie est forcŽe ˆ 0, et donc
en dŽfinitive ne bouge pas. On dira que lÕon est en prŽsence dÕun reset
optionnel que lÕon reprŽsentera sur le diagramme de Karnaugh par la
lettre k.
¦ ne rien faire, dans ces conditions la sortie reste donc ˆ 1.
¦ Commander un J, dans ces conditions la sortie est forcŽe ˆ 1, et donc
en dŽfinitive ne bouge pas. On dira que lÕon est en prŽsence dÕun set
optionnel que lÕon reprŽsentera sur le diagramme de Karnaugh par la
lettre j.
suivant). Dans ces conditions, il est impŽratif dÕactionner la commande K
afin de forcer la transition, mais en parall•le, il est possible dÕactiver la
commande J, la combinaison Žventuelle des deux ayant pour effet de
complŽmenter la sortie et donc de la faire passer de 1 ˆ 0. Ainsi, sur le
diagramme de Karnaugh reprŽsentatif de la fonction K on fera appara”tre un
K majuscule dans la case correspondante et sur le diagramme de Karnaugh
reprŽsentatif de la fonction J on fera appara”tre un j minuscule dans la case
correspondante.
suivant). Dans ces conditions, il est impŽratif dÕactionner la commande J afin
de forcer la transition, mais en parall•le, il est possible dÕactiver la
commande K, la combinaison Žventuelle des deux ayant pour effet de
complŽmenter la sortie et donc de la faire passer de 0 ˆ 1. Ainsi, sur le
diagramme de Karnaugh reprŽsentatif de la fonction J on fera appara”tre un
J majuscule dans la case correspondante et sur le diagramme de Karnaugh
reprŽsentatif de la fonction K on fera appara”tre un k minuscule dans la case
correspondante.
Reprenant la matrice de la figure 5.3.4, nous obtenons, pour la bascule A, les
diagrammes de Karnaugh reprŽsentŽs en figure 5.3.10.
AB
CE
00
00
01
11
10
AB
CE
00
01
11
J
j
j
00
k
k
K
j
j
01
k
k
K
J
-
j
11
k
k
-
K
J
-
j
10
k
k
-
K
01
11
10
J
10
Figure 5.3.10 : Table de commandes pour bascule JK
La synth•se se fait pour chacune des entrŽes en prenant en compte les
commandes obligatoires (lettres majuscules) et en ne considŽrant les
commandes optionnelles (lettres minuscules) que si elles conduisent une
Page 5.18
simplification. On obtient ainsi :
J A = BE + CE
KA = B + C
Pour les bascules B et C, on obtient respectivement :
J C = ABE + ABE + ABE
J B = ACE + ACE + ACE
et
KB = A + E
KC = A + E
5.3.2.3. Utilisation de bascules T.
Il nous faut Žcrire 3 fonctions, une pour chacune des bascules. La commande T
doit •tre activŽe chaque fois quÕune transition 0 -> 1 ou 1 -> 0 appara”t entre
lÕŽtat prŽsent et lÕŽtat suivant et ne doit pas lÕ•tre lorsque la bascule ne change
pas dÕŽtat. Dans ces conditions, il nÕy a pas de possibilitŽ de commande
optionnelle. Par contre les Žtats indiffŽrents peuvent •tre utilisŽs pour la
simplification.
Le diagramme de Karnaugh obtenu pour la bascule A est reprŽsentŽ en figure
5.3.11.
AB
CE
00
00
01
11
T
T
01
11
10
T
T
10
T
-
T
T
-
T
Figure 5.3.11 : Table de commandes pour bascule T
La fonction TA obtenue est la suivante :
TA = AB + AC + BE + CE
La m•me Žtude conduit pour B et C aux fonctions :
TB = AB + BE + ACE + ACE + ABCE
TC = CE + AC + ABE + ABE + ABCE
5.3.2.4. Utilisation de bascules D.
Il nous faut, lˆ aussi, Žcrire une fonction pour chacune des trois bascules, la
r•gle Žtant que lÕon ne se prŽoccupe pas de lÕŽtat prŽsent, on doit prŽsenter sur
lÕentrŽe D la valeur que lÕon veut voir appara”tre pour lÕŽtat suivant.
Ainsi, pour la bascule A le diagramme de Karnaugh est celui reprŽsentŽ en
figure 5.3.12.
Page5.19
AB
CE
00
00
01
11
D
D
01
11
10
10
D
D
D
-
D
-
Figure 5.3.12 : Table de commandes pour bascule D
La fonction obtenue pour la bascule A est :
D A = ABC + ACE + ABE
Et pour les bascules B et C :
D B = ABE + ACE + ABCE + ABCE
DC = ACE + BCE + ABCE
5.3.3. Les partitions.
5.3.3.1. Partition de lÕensemble des Žtats
Une partition de l'ensemble des Žtats est un ensemble formŽ de sous ensembles
de l'ensemble des Žtats tel que chaque Žtat appartienne ˆ un sous ensemble et ˆ
un seul. La partition formŽe d'un seul ŽlŽment (c'est ˆ dire regroupant la totalitŽ
des Žtats s'appelle la partition unitŽ. La partition comportant autant d'ŽlŽments
qu'il y a d'Žtats (chaque ŽlŽment ne contenant qu'un seul Žtat) s'appelle la
partition zŽro.
Le produit de deux partitions est une partition composŽe des intersections de
chacun des ŽlŽments de la premi•re partition avec chacun des ŽlŽments de la
seconde.
Exemple : {{1,3},{2,4,5},{6,7}} ¥ {{1,2,4},{3,5,6,7}} = {{1},{3},{2,4},{5},{6,7}}
Soient y1Éyk les variables qui codent les 2 n Žtats dÕun circuit donnŽÉ
o yi induit une partition Qi ˆ 2 ŽlŽments Qi0 et Qi1 ou
* Qi0 = { y1,É, yi-1, 0, yi+1,É, yn }
* Qi1 = { y1,É, yi-1, 1, yi+1,É, yn }
o yi et yj induisent une partition P ˆ 4 ŽlŽments
P00 , P01 , P 10 , P 11 o•
PklÊ=Ê{Êy 1 ,É, yi-1, k, yi+1,É, yj-1, l, yj+1,É, yn }
On a PklÊ=ÊQik Ç Qjl et donc P = Qi ¥ Qj.
o De fa•on gŽnŽrale, yi1,É, yip induisent une partition P ˆ 2p ŽlŽments telle que
P = Qi1¥É¥Qip.
R e m a r q u e : Chaque ŽlŽment de la partition P est identifiŽ par une
combinaison yi1, É, yip.
Page 5.20
5.3.3.2. Simplification des Žquations dÕŽtat
Soient :
¥ y1 , É, yn les variables qui codent les Žtats.
¥ Y1 ,É, Y n les valeurs des variables y1 ,É, yn au temps suivant.
¥ E1 ,É, Ep les diffŽrentes combinaisons d'entrŽe.
De mani•re gŽnŽrale, Yi= Fi(y1,É, yn, E1 ,É, Ep).
p
Plus prŽcisŽment, Yi =
æ
ö
å çè å Cilk .E k ÷ø
k =1
o• chaque C ilk reprŽsente une combinai-
l
son des y1 ,É, yn qui code un Žtat dont le successeur pour l'entrŽe Ek est codŽ
par une combinaison des Y1,É, Y n telle que Yi = 1.
Par exemple, la figure 5.3.13 reprŽsente une partie dÕun tableau des phases.
Etat
PrŽsent
00
01
11
10
Etat Suivant
(
)
Y1 = C111 + C121 .E 1 +¼ avec
E1
01
10
10
00
C111 = y 1 y 2 et C121 = y 1 y 2
2
Y2 = C11
.E 1 +¼ avec
2
C11
= y1 y 2
Figure 5.3.13 : Exemple
Yi est Žgal ˆ une fonction qui dŽpend strictement de yj s'il existe une entrŽe Ek
pour laquelle :
¶ Il existe un C ilk Žgal ˆ z 1 ,É, zj,É, zn ;
· tous les autres C ilk sont diffŽrents de z 1 ,¼z j ,¼, z n
avec z h = y h ou z h = y h .
ìï¥ÊsoitÊ å C
í¥ÊsoitÊ å C
ï¥ÊsoitÊ å C
î
i
lk
=1
i
lk
= yi
i
lk
= yi
l
Si " k on a
l
alors Yi = F(y i , E 1 ,..., E p )
l
Etats Suivants
Etat PrŽsent
. . . . . . 0. . . . . .
......0......
Qi1
Qi0
......0......
......1......
......
......1......
......0......
......
Qi1
......1......
......1......
......1......
......
Qi0
Ek3
......
......
Qi1
......1......
......
. . . . . . 0. . . . . .
Q
. . . . . . 1 . . . . . . i1
Ek2
......
......
Qi0
Ek1
. . . . . . 1. . . . . .
......1......
......1......
......0......
y1ÉÉyiÉÉyn
Y1ÉÉYiÉÉYn
Y1ÉÉYiÉÉYn
Y1ÉÉYiÉÉYn
a
b
c
Figure 5.3.14 : Cas o• Y i = F(y i , Ei, ..., Ep)
Page 5.21
En dÕautres termes, pour toute entrŽe Ek, on a :
¥
soit tous les Žtats ont comme successeurs des Žtats de Qi1 (figure
5.3.14 a) ;
¥
soit tous les Žtats de Qi0 et eux seuls, ont comme successeurs des Žtats
de Qi0 (figure 5.3.14 b) ;
¥
soit tous les Žtats de Qi0 et eux seuls, ont comme successeurs des Žtats
de Qi1 (figure 5.3.14 c) ;
Ainsi, on aura Yi = F(y i , E 1 ,..., E p ) si pour chaque Ek les Žtats suivants dÕune
classe de la partition Qi se trouvent tous dans une m•me classe.
La partition Qi poss•de alors la propriŽtŽ de substitution.
DŽ f init io n : Une partition de lÕensemble des Žtats est u n e pa rt it io n ˆ pr o priŽ t Ž de s u bs t it u t io n
( P P S) si tous les Žtats figurant dans une classe ont pour successeurs, po u r c h ac u n e
de s c o mbinais o ns dÕentrŽe, des Žtats situŽs t o u s dans une m•me classe.
ThŽor•me :
Pour yi1,..., yin , si P = Qi1,..., Qim est une P.P.S. alors :
ÊÊYi1Ê=ÊFi1(yi1,...,Êyim ,Ê...,ÊE 1 ,Ê...,ÊE p );ÊÊ
ÊÊ----------------------------------------;ÊÊ
ÊÊY im Ê=ÊFi m (ÊÊy i1,...,Êyim ,Ê...,ÊE 1 ,Ê...,ÊE p )ÊÊÊ
DŽmonstration :
Supposons quÕil existe i h tel que Yi h dŽpende strictement, pour une entrŽe Ek ,
i
i
dÕun yj Ï {y i1, ..., yi m }. Soit le C lkh = z 1 ... z j ... z n tel que tous les autres C lkh soient
diffŽrents de z 1 ... z j ... z n o• z t = y t ou y t .
On a z 1 ... z j ... z n et z 1 ... z j ... z n qui appartiennent ˆ une m•me classe de P, alors
que Succ Ek( z 1 ... z j ... z n ) et Succ Ek( z 1 ... z j ... z n ) appartiennent ˆ deux classes
diffŽrentes de P car :
SuccEk( z 1 ... z j ... z n )Ê=Êr1 ...yih ...rnÊ
et
SuccEk( z 1 ... z j ... z n )Ê=Ê s1 ... y ih ...s n
Donc P nÕest pas une Partition ˆ PropriŽtŽ de Substitution
Si nous reprenons lÕexemple du gŽnŽrateur de paritŽ (figure 5.3.15)
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
7
2
4
5
6
7
1
1
3
5
4
7
6
1
1
00
00
00
00
00
10
01
00
00
00
00
00
01
10
Figure 5.3.15 : Reproduction de la figure 5.3.2
Page 5,22
Appelons x le bloc {1}, y le bloc {2,3}, z le
bloc {4,5} et w le bloc {6,7}.
Avec le bloc y, on vŽrifie que pour une
entrŽe ˆ 0, le successeur de 2 est 4 alors
que celui de 3 est 5. 2 et 3 forment un
bloc ; 4 et 5 forment un bloc ; le successeur de tout Žtat du bloc y lorsque l'en trŽe passe ˆ 0 se trouve dans le bloc z.
Par un raisonnement analogue, on constate que pour une entrŽe ˆ 1, le succes seur de tout Žtat du bloc y est dans z.
Donc, P = { {1} {2,3} {4,5} {6,7} } est une
PPS.
Sur les trois variables nŽcessaires pour coder les Žtats du circuit, deux peuvent
•tre utilisŽes pour induire le codage de la partition P.
Si nous choisissons A et B, on aura alors P = QA . Q B et donc les comman des
des bascules associŽes ˆ A et B ne dŽpendent que de A, de B et des entrŽes.
Il est alors possible de procŽder ˆ une attribution des variables (figure 5.3.16)
Partition
{1}
x
A BC
00*
010
011
111
110
100
101
AB
00
{2,3}
y
01
{4,5}
z
11
{6,7}
w
10
Etats
1
2
3
4
5
6
7
Figure 5.3.16 : Attribution des variables induisant une partition.
Qui nous donne la matrice des Žtats de la figure 5.3.17 :
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
ABC
00010
011
111
110
100
101
E=0
Sortie
E=1
E=0
E=1
ABC ABC S1 S2 S1 S 2
010 011 00 00
111 110 00 00
110 111 00 00
100 101 00 00
101 100 00 00
0000- 10 01
0000- 01 10
Figure 5.3.17 : Matrice des Žtats prenant en compte la PPS
DÕo• les Žquations dÕŽtats pour une rŽalisation ˆ partir de bascules RS :
SA = B
RA = B
SB = A
RB = A
S C = BE + BCE
R C = CE
Et les Žquations pour les variables de sortie :
S1 = A BCE + A BCE
S 2 = A BCE + A BCE
Il est facile de constater la simplification considŽrable des Žquations dÕŽtats
quÕapporte la mŽthode. Un examen attentif du tableau dÕŽquivalence de la figure
5.3.16 explique le phŽnom•ne, Dans chacune des lignes de cette table, les deux
premiers bits de lÕŽtat suivant dŽpendent exclusivement des deux premiers bits
de lÕŽtat prŽsent. Ceci a pour consŽquence de ne faire dŽpendre les entrŽes des
Page 5.23
bascules A et B que des sorties de ces m•mes bascules. Les fonctions
correspondantes seront en dŽfinitive des fonctions de deux variables au lieu
dÕ•tre des fonctions de quatre variables.
5.3.3.3. Recherche des PPS.
La recherche des PPS pour une matrice des phases donnŽe ne peut sÕeffectuer
que de mani•re exhaustive.
Pour chaque paire dÕŽtats {Ei,Ej} :
¶ {Ei,Ej} forme une classe.
· Pour chaque classe, on produit les classes dÕŽtats successeurs :
Si Q = { Ei 1,..., Ei p } est une classe, chaque entrŽe ek dŽtermine une
classe dÕŽtats successeurs QSek = { Succek(Ei1), ..., Succek(Eip) }.
¸ Fusionner les classes qui ont un ŽlŽment en commun.
¹ SÕil nÕy a plus quÕune classe qui contienne tous les Žtats ( partition unitŽ)
ou si au moins une classe contient des Žtats incompatibles, alors il y
a Žchec dans la recherche de PPS ; Ei et Ej sont incompatibles.
sinon sÕil existe des Žtats qui ne sont dans aucune base, aller en ·
sinon, on a alors une partition. On vŽrifie quÕelle poss•de la
propriŽtŽ de substitution. Si ce nÕest pas le cas, Ei
et Ej sont
incompatibles.
Nous allons appliquer la mŽthode sur le tableau des phases de la figure 5.3.15.
+
Initialisons la recherche avec le bloc {1-2}.
Lorsque lÕentrŽe prend la valeur 0, les successeurs de 1 et de
2 sont 2 et 4.
D'apr•s la dŽfinition, 2 et 4 doivent se trouver dans le m•me bloc, 2 faisant dŽjˆ
partie d'un bloc, 4 doit impŽrativement faire partie du m•me bloc pour que la
propriŽtŽ de substitution soit vŽrifiŽe.
Nous crŽons donc le bloc {1-2-4}
Par ailleurs, lorsque l'entrŽe prend la valeur 1, les successeurs de 1 et 2 sont 3
et 5 qui doivent former un nouveau bloc, ce qui nous donne {1-2-4} , {3-5}
E.P.
1
2
3
4
5
6
7
E.S.
0
2
4
5
6
7
1
1
1
3
5
4
7
6
1
1
Classe
PrŽsente
Classe Suivante
E=0
E=1
{1,2}
{2,4}
{3,5}
{1,2,4}
{2,4,6}
{3,5,7}
{3,5}
{5,7}
{4,6}
{1,2,4,6}
{3,5,7}
{2,4,6,1} {3,5,7,1}
{5,7,1}
{4,6,1}
{1,2,3,4,5,6,7}
Echec : Partition UnitŽ
Figure 5.3.18 : Recherche dÕune PPS avec initialisation {1,2}
Si nous considŽrons maintenant les successeurs de 3 et de 5 , nous trouvons
pour une entrŽe de valeur 0, les Žtats 5 et 7 ce qui revient ˆ crŽer le bloc {3-5-7}
puisque {3-5} Ç {5-7} ¹Ê¯. Ce qui nous donne {1-2-4} , {3-5-7}
Pour une entrŽe de valeur 1, les Žtats 3 et 5 ont pour successeurs 4 et 6 dÕo•
crŽation dÕun nouveau bloc {1-2-4-6} , {3-5-7}.
Page 5,24
Finalement, lÕexamen des successeurs de 5 et 7 pour une entrŽe de valeur 0,
soit 7 et 1, conduit ˆ la partition unitŽ {1-2-3-4-5-6-7}
La tentative de crŽer une PPS en partant du bloc {1-2} se solde par un Žchec.
+
Nouvel essai ˆ partir du bloc {1-3}.
v e = 0 â {{1-3} , {2-5}}
v e = 1 â {{1-3-4} , {2-5}}
3 et 4 dans le premier bloc donnent :
v e = 0 â {{1-3-4} , {2-5-6}}
v e = 1 â {{1-3-4-7} , {2-5-6}}
4 et 7 dans le premier bloc conduisent ˆ :
v e = 0 â {1-2-3-4-5-6-7}. Echec
Classe
PrŽsente
Classe Suivante
E=0
E=1
{1,3}
{2,5}
{3,4}
{1,3,4}
{2,5,6}
{3,4,7}
{2,5}
{4,7}
{5,6}
{1,3,4,7}
{2,5,6,1}
{2,5,6}
Echec : 1 et 2 ne peuvent
appartenir ˆ une m•me classe
Figure 5.3.19 : Recherche PPS avec init {1,3}
Nouvelle tentative ˆ partir de {1-4}
v e = 0 â {{1-4} , {2-6}}
v e = 1 â {{1-4} , {2-6} , {3-7}}
Avec le bloc 2-6
v e = 0 â {{1-4} , {2-6} , {3-7}}
v e = 1 â {{1-4-5} , {2-6} , {3-7}}
Avec le bloc 3-7
v e = 0 â {{1-4-5} , {2-6} , {3-7}}
v e = 1 â {{1-4-5} , {2-6} , {3-7}}
Avec le couple 1-4
v e = 0 â {{1-4-5} , {2-6-3-7}}
v e = 1 â {{1-4-5} , {2-6-3-7}}
Avec le couple 2-7
v e = 0 â {{1-4-5} , {2-6-3-7}}
v e = 1 â {{1-4-5} , {2-6-3-7}}
Classe Suivante
Classe
PrŽsente
E=0
E=1
{1,4}
{2,6}
{3,7}
{1,4}
{2,6}
{3,7}
{2,6}
{1,4}
{1,5}
{3,7}
{1,5}
{1,4}
{1,4,5}
{2,6,7}
{3,6,7}
{2,6}
{1,4}
{1,5}
{3,7}
{1,5}
{1,4}
{1,4,5}
{2,3,6,7}
{2,3,6,7} {2,3,6,7}
{1,4,5}
{1,4,5}
Figure 5.3.20 : Recherche PPS avec init {1,4}
Toutes les possibilitŽs ont ŽtŽ explorŽes, la partition que nous venons de mettre
en Žvidence est une PPS comportant donc 2 classes :
XÊ=Ê{1-4-5}ÊetÊYÊ=Ê{2-6-3-7}
Notons au passage que cette PPS n'est pas unique. Nous avons vu
prŽcŽdemment (¤ 5.3.3.2) que {{2-3} , {4-5} , {6-7} , {1}} est aussi une PPS pour
le circuit ŽtudiŽ.
5.3.3.4. Les Žquations de sortie.
Nous avons jusquÕici ŽtudiŽ plus particuli•rement lÕassignation des variables
auxiliaires conduisant au circuit combinatoire le plus simple pour ce qui est de
la commande des successions dÕŽtats en ignorant le circuit combinatoire qui
doit au bout du compte gŽnŽrer les diffŽrentes sorties du syst•me sŽquentiel.
De fait, cette partie du circuit est gŽnŽralement moins complexe que celle
relative aux changements dÕŽtats. Il nÕen demeure pas moins que la simplification de la logique de sortie contribue ˆ diminuer le cožt gŽnŽral de rŽalisation
du circuit.
Page 5.25
Le probl•me posŽ est identique ˆ celui que nous venons de voir, ˆ savoir
lÕattribution des variables auxiliaires aux diffŽrents Žtats car, d•s lors, la
structure du circuit logique de sortie est enti•rement fixŽe. La mŽthode des
partitions ˆ propriŽtŽs de substitution laisse toutefois certains degrŽs de libertŽ
dans le choix de lÕattribution des variables auxiliaires permettant une
optimisation de la logique de sortie.
q classes (q < p) alors q
Si lÕon doit coder 2 p Žtats et si lÕon a une PPS ˆ 2
q classes et les p-q
variables auxiliaires seront utilisŽes pour coder les 2
variables auxiliaires restantes seront utilisŽes librement pour identifier chaque
Žtat. Ce facteur de libertŽ va nous permettre de procŽder ˆ une simplification
des sorties.
Une partition est une Partition de Groupement de Sorties (PGS) si tous les
Žtats dÕune classe correspondent ˆ une m•me sortie ou ˆ des sorties non
contradictoires.
Remarques :
Une PGS ne peut en aucun cas •tre une PPS, cela signifierait que la matrice des phases
nÕest pas simplifiŽe.
Les sorties ne dŽpendent que des entrŽes et des variables auxiliaires utilisŽes pour coder
les classes de la PGS.
Un circuit sera compl•tement simplifiŽ si on trouve une PPS et une PGS compatibles.
Soit par exemple la matrice des phases de la figure 5.3.21 dans laquelle il est
aisŽ de dŽterminer la PPS {{1-2} , {3-4}}
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
2
1
4
3
4
3
1
2
1
0
0
1
0
1
1
0
PPS = {{1,2},{3,4}}
FigureÊÊ4.3.21Ê:ÊMatriceÊdeÊphasesÊdeÊdŽpart.
La figure 5.3.21 montre quÕune mauvaise attribution des variables (a), conduit ˆ
la matrice codŽe (b).
Etat
PrŽsent
AB
00
01
10
11
1
2
3
4
AB
00
01
10
11
a
Etat Suivant
E=0
E=1
AB AB
01 11
00 10
11 00
10 01
Sortie
E=0
E=1
S
1
0
0
1
S
0
1
1
0
b
Figure 5.3.21 : Exemple de mauvaise attribution des variables.
DÕo•, les Žquations suivantes, si on dŽcide dÕutiliser des bascules T pour la
rŽalisation finale :
TA = e
TB = e + A
S = A Be + ABe + ABe + A Be
Page 5,26
Une bonne attribution consisterait ˆ mettre en Žvidence le fait que les sorties
des Žtats 1 et 4 et des Žtats 2 et 3 peuvent •tre regroupŽes pour former une PGS
{{1-4} , {2-3}} . Ceci nous permet de procŽder ˆ une attribution des variables
auxiliaires mieux adaptŽe (figure 5.3.22).
AB
00
01
11
10
1
2
3
4
Etat
PrŽsent
AB
00
01
11
10
a
Etat Suivant
E=0
E=1
AB AB
01 10
00 11
10 00
11 01
Sortie
E=0
E=1
S
1
0
0
1
S
0
1
1
0
b
Figure 5.3.22 : Attribution des variables tenant compte de la PGS.
Ce rŽsultat est obtenu en utilisant la variable A pour distinguer les deux blocs
de la PGS ({1,4} et {2,3}), et la variable B pour distinguer les deux blocs de la PPS
({1,2} et {3,4}). Cette attribution nous permet dÕaboutir ˆ la matrice de la figure
5.3.22 et la rŽalisation au moyen de bascules T nous am•ne aux Žquations
suivantes :
TA = e
TB = e + A
o• la sortie S ne dŽpend pas de A.
S = Be + Be
5.4. DŽcomposition fonctionnelle et partitions.
5.4.1 DŽcomposition ˆ lÕaide de PPS
Donnons (ou rappelons) tout dÕabord quelques dŽfinitions :
DŽ f init io n 1 : La partition triviale ne comportant quÕun seul bloc regroupant tous les Žtats est appelŽe
partition unitŽ.
DŽfinition 2 :
DŽfinition 3
La partition triviale comportant autant de blocs que ce quÕil y a dÕŽtats (un Žtat par bloc)
est appelŽe p a rt it io n zŽ ro .
: Le produit de deux partitions est la partition obtenue en prenant les intersections de
chacun des blocs de la premi•re partition avec chacun des blocs de la seconde.
Exemple : {{1, 3}, {2, 4, 5}, {6, 7}} . {{1, 2, 4}, {3, 5, 6, 7}} = {{1}, {3}, {2, 4}, {5}, {6,
7}}
DŽ f init io n 4 : Deux partitions sont o rt h o g o n a le s si leur produit donne la partition zŽro.
Dans lÕexemple ci-dessus, on peut vŽrifier que PPS et PGS sont orthogonales.
5.4.1.1. DŽcomposition en cascade.
ThŽor•me :
L'existence d'une PPS sur l'ensemble des Žtats d'un syst•me sŽquentiel autorise la
dŽcomposition de ce syst•me en deux sous-syst•mes placŽs en cascade. Le premier de
ces sous-syst•mes dŽfini par la PPS n'est fonction que des variables d'entrŽe, le second,
dŽfini par une partition orthogonale ˆ la PPS, est fonction des variables d'entrŽe et de
l'Žtat dans lequel se trouve le premier sous-syst•me.
La figure 5.4.1. donne le schŽma de principe dÕune telle dŽcomposition.
Page 5.27
EntrŽe
Sortie
Machine 1
Machine 2
B
B
Horloge
Figure 5.4.1 : SchŽma de principe dÕune dŽcomposition cascadŽe
Nous allons sur lÕexemple de la figure 5.4.2, montrer comment on peut dŽcom poser le syst•me sŽquentiel et dŽfinir la succession des Žtats pour chacun des
sous-syst•mes composants.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
7
5
7
3
6
1
4
2
4
1
6
3
7
5
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
Figure 5.4.2 : Matrice des phases dÕun circuit ˆ cascader.
La matrice des phases reprŽsentŽe admet une PPS {{1-3-5} , {2-4-6-7}}.
ConsidŽrons un premier sous-syst•me M1 ˆ deux Žtats, chacun correspondant ˆ
un des deux Žtats de la PPS :
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
J
K
J
K
K
J
ïìJÊ=Ê{1-3-5}
ï
avec í
ïÊÊÊÊÊet
ïîKÊ=Ê{2-4-6-7}
Figure 5.4.3 : Matrice dÕŽtats du sous-syst•me M1.
Il est alors indispensable pour rŽaliser la machine M
2 de crŽer une nouvelle
partition qui soit orthogonale ˆ la PPS, par exemple {{1-6} , {4-5} , {2-3} ,{ 7}}
Cette partition qui nÕest pas une PPS, permet de dŽfinir un second sous-syst•me
ˆ 4 Žtats (P, Q, R, S). Elle se doit dÕ•tre orthogonale ˆ la prŽcŽdente afin que leur
produit mettre en Žvidence la partition zŽro, la seule qui isole les Žtats. Ainsi
toute paire formŽe par un Žtat de M 1 et un Žtat de M2 correspond ˆ un Žtat de
M et ˆ un seul, un des Žtats de la matrice des phases rŽduite de dŽpart.
La machine M2, sera pilotŽe par la machine M1. Ses variables d'entrŽe seront les
variables d'entrŽe de M (dans le cas qui nous intŽresse, une seule entrŽe E), et
Page 5,28
les variables reprŽsentatives de l'Žtat de la machine M 1 , selon le tableau de la
figure 5.4.4.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
P
Q
R
S
E=0
E=1
J
K
J
K
Q
P
R
-
Q
P
S
R
Q
S
P
-
Q
R
P
P
avec
ìÊÊPÊ=Ê{1-6}
ïÊÊQÊ=Ê{4,5}
íÊÊRÊ=Ê{2-3}
ï
îÊÊSÊ=Ê{7}
Figure 5.4.4 : Table des Žtats de M2 en fonction des entrŽes et des Žtats de M1
Comment avons nous procŽdŽ pour la construction de ce tableau ?
est
Soit ˆ dŽterminer le successeur de lÕŽtat P dans le cas ou la machine M1
dans lÕŽtat J et que lÕentrŽe prend la valeur 0.
¶ Si la machine M1 est dans lÕŽtat J et que la machine M 2 est dans lÕŽtat
P, cela signifie que lÕŽtat Žquivalent de la machine M correspond ˆ
lÕintersection des classes J et P, soit 1.
· On voit sur le tableau des phases de la figure 5.4.2 que le successeur
de lÕŽtat 1 lorsque lÕentrŽe prend la valeur 0 est lÕŽtat 5.
¸ On constate par ailleurs sur la matrice des phases de la machine M 1
le successeur de lÕŽtat J lorsque lÕentrŽe prend la valeur 0 est J.
¹ La machine M2 doit donc dans ces conditions passer dans un Žtat X
tel que X Ç J = 5 soit X = Q .
Ces opŽrations sont ˆ renouveler pour chacune des cases de la matrice
reprŽsentative de la machine M 2 .
La matrice des sorties est reprŽsentŽe en figure 5.4.5.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
P
Q
R
S
E=0
E=1
J
K
J
K
0
0
0
-
0
0
0
1
1
1
1
-
0
0
0
0
Figure 5.4.5 : Matrice des sorties du syst•me
La construction de ce tableau obŽit aux r•gles suivantes :
Soit ˆ dŽterminer lÕŽtat de la sortie dans le cas o• la machine M1 est dans lÕŽtat
J, la machine M2 est dans lÕŽtat P alors que lÕentrŽe prend la valeur 0.
¶ Si la machine M1 est dans lÕŽtat J et que la machine M 2 est dans lÕŽtat
P, cela signifie que lÕŽtat Žquivalent de la machine M correspond ˆ
lÕintersection des classes J et P, soit 1.
· On voit sur le tableau des phases de la figure 5.4.2 que lorsque la
machine M est dans lÕŽtat 1, la transition associŽe ˆ une entrŽe de
valeur 0, gŽn•re une sortie ˆ 0.
Page 5.29
Ces opŽrations sont ˆ renouveler pour chacune des cases de la matrice de sortie
En conclusion, lÕŽtablissement de ces tables nÕoffre pas de difficultŽ particuli•re.
En effet, toute partition dŽfinit une relation dÕŽquivalence, ce qui signifie que les
Žtats dÕun m•me bloc sont Žquivalents entre eux et que les tables des figures
5.4.3 et 5.4.4 sont relatifs aux classes dÕŽquivalence. Nous terminons par la
rŽalisation qui sera basŽe sur lÕutilisation de bascules T. La figure 5.4.6 montre
lÕŽtude de la machine M1 .
E
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
A
0
1
A
0
1
A
1
0
0ÊÊÊ Ê1
A
0
1
1
1
TA = E
Figure 5.4.6 : RŽalisation de la Machine M 1 en utilisant des bascules T
La figure 5.4.7 reprŽsente la rŽalisation de la partie Žtat de la machine M2
en
fonction des entrŽes (E) de lÕŽtat de M 1 (A) et de lÕŽtat prŽcŽdent de M2 (B et C).
EA
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
BC
E=1
A=0
A=1
A=0
A=1
BC
BC
BC
BC
BC
00
01
11
10
01
00
11
-
01
00
10
11
01
10
00
00
01
11
00
-
EA
00 01 11 10
BC
00
00
1
1
1
1
01
1
1
01
11
1
1
11
-
1
10
10
-
00 01 11 10
TB = EC+EAB
-
1
1
1
1
1
1
-
1
Tc = BC+BA+EA+ABC
Figure 5.4.7 : RŽalisation de la partie Žtat de la machine M2.
Enfin, il ne reste plus quÕˆ rŽaliser la fonction produisant la sortie de M, cÕest ˆ
dire la sortie de M2 en fonction des entrŽes et des Žtats des 2 machines..
EA
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
P
Q
R
S
E=0
BC
E=1
J
K
J
K
0
0
0
-
0
0
0
1
1
1
1
-
0
0
0
0
00 01 11 10
00
1
01
1
11
1
10
-
1
-
S = EBC+EA
Figure 5.4.8 : RŽalisation de la sortie de M2.
Page 5,30
5.4.1.2. DŽcomposition en parall•le.
L'existence de deux PPS orthogonales entre elles dans l'ensemble des Žtats d'un
syst•me sŽquentiel entra”ne l'existence d'une dŽcomposition en deux sous
syst•mes placŽs parall•lement l'un ˆ l'autre, l'Žtat de chacun des sous-syst•mes
n'Žtant fonction que des variables d'entrŽe de la machine initiale.
Le schŽma gŽnŽral d'une telle machine est reprŽsentŽ en figure 5.4.9.
ire
to
C
om
bi
B
Sortie
na
ÊÊ
C
irc
ui
t
Machine 1
EntrŽe
Machine 2
B
Horloge
Figure 5.4.9 : SchŽma de principe dÕune dŽcomposition en parall•le.
Soit par exemple le syst•me sŽquentiel dŽfini par la matrice des phases de la
figure 5.4.10.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
4
6
5
2
1
3
3
3
2
5
4
4
Sortie
0
0
0
1
0
0
Figure 5.4.10 : Matrice des phases
Il est aisŽ de vŽrifier qu'il existe une premi•re PPS {{1-2-3} , {4-5-6}} et une
deuxi•me PPS {{1-6} , {2-5} , {3-4}}
. De plus, ces deux PPS prŽsentent la
particularitŽ d'•tre orthogonales entre elles.
Soient les blocs
ìïÊÊÊÊââÊÊÊJÊ=Ê{1-2-3}
ÊÊÊKÊ=Ê{4-5-6}
íÊÊâÊÊÊPÊ=Ê{1-6}
ïîÊÊâÊÊÊQÊ=Ê{Ê2-5}
ÊÊâ ÊÊÊRÊ=Ê{Ê3-4}
IlsÊdŽfinissentÊdeuxÊmachines
parall•lesÊM1ÊetÊM2Ê queÊnous
ÊÊÊÊ
pouvonsÊreprŽsenterÊparÊleurs
tableauxÊdesÊphasesÊ(fig.Ê4.4.11)
Page 5.31
ine
ch
Ma
eM1
M
in
ach Etat
Etat Suivant
PrŽsent
E=0
E=1
J
K
K
J
J
K
M2
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
P
Q
R
R
P
Q
R
R
Q
Figure 5.4.11 : Tables des phases des 2 machines dŽterminŽes par les PPS
Le mode de construction de ces tables ne diff•re en rien de ce qui a ŽtŽ vu
jusquÕˆ prŽsent. Ainsi, par exemple, sur la ligne Q pour la colonne E = 1, on
porte la rŽfŽrence du bloc R car tous les successeurs de P lorsque l'entrŽe prend
la valeur 1 se trouvent dans le bloc en question.
LÕattribution des variables auxiliaires peut se faire comme suit :
Machine M1 :
â Etat J -> A = 0
â Etat K -> A = 1
Machine M2 :
â Etat P -> B = 0, C = 0
â Etat Q -> B = 0, C = 1
â Etat R -> B = 1, C = 1
Ce qui nous donne les matrices codŽes de la figure 5.4.12.
M2
ine
h
c
Etat
Ma
eM1
in
ch Etat
Ma
Etat Suivant
PrŽsent
E=0
E=1
A
0
1
A
1
0
A
0
1
.
Etat Suivant
PrŽsent
E=0
E=1
BC
00
01
11
BC
11
00
01
BC
11
11
01
Figure 5.4.12 : Affectation des valeurs des variables
Et une rŽalisation au moyen de bascules T conduit aux Žquations dÕŽtats
suivantes :
TA = E
TB = E + B + C
TC = EB + C
Pour ce qui est de la sortie, il suffit de mettre en application ce qui a ŽtŽ dit au
sujet des partitions orthogonales, ˆ savoir que le produit de deux partitions
orthogonales donne la partition unitŽ. Ainsi, un bloc de la machine M1
et un
bloc de la machine M 2 dŽfinissent un Žtat et un seul, ce quÕil est facile de
reprŽsenter (figure 5.4.13).
M1
M2
J
K
P
1
6
Q
2
5
R
3
4
A
BC
0
1
00
0
0
01 11
0 0
0 1
10
-
Figure 5.4.13 : Table de correspondance des Žtats de M avec ceux de M 1/M2 et matrice de sortie
Page 5,32
Ce qui conduit ˆ lÕŽquation de sortie S = AB.
DÕo• le circuit final de la figure 5.4.14.
M1
E
TA
S
TB
TC
M2
Figure 5.4.14 : RŽalisation du circuit selon le schŽma de la figure 5.4.9.
5.5. DŽcomposition en lÕabsence de PPS.
Nous avons vu jusqu'ˆ prŽsent que l'existence d'une PPS entra”nait la possibilitŽ
d'une dŽcomposition fonctionnelle. Toutefois la probabilitŽ de mettre en
Žvidence une PPS sur un tableau des phases pris au hasard est extr•mement
faible, d'o• lÕintŽr•t de mŽthodes de dŽcomposition applicables en lÕabsence de
PPS.
Lorsque le sous-syst•me, dont l'Žtat ne dŽpend que des variables d'entrŽe, est
donnŽ par avance (utilisation de circuits intŽgrŽs standards) cette procŽdure
rŽv•le tout son intŽr•t.
5.5.1. Le circuit imposŽ est un registre ˆ dŽcalage.
Un registre ˆ dŽcalage est un dispositif simple et peu cožteux reprŽsentŽ en
figure 5.5.1
Xe
Xn
X3
X2
X1
Xs
Figure 5.5.1 : ReprŽsentation gŽnŽrale dÕun registre ˆ dŽcalage.
A un instant donnŽ, une information Xe entre dans le registre, en s'inscrivant
dans la position Xn cette information chasse l'ancien contenu de X n en X n-1 et
ainsi de suite jusqu'en X 1 qui est perdu. En quelque sorte, un registre ˆ
dŽcalage permet de mŽmoriser lÕŽvŽnement actuel et les n-1 ŽvŽnements qui ont
prŽcŽdŽ.
Ainsi, lorsque la sortie dŽpend d'un nombre fini de symboles d'entrŽe successifs,
mŽmoriser ce nombre de symboles permet de rŽduire le circuit sŽquentiel et
Žventuellement de le ramener ˆ un simple syst•me combinatoire.
Page 5.33
Soit une machine qui dŽtecte la sŽquence 1, 1, 0, il est clair que le fait de
conna”tre ˆ tout instant les deux valeurs prises par l'entrŽe aux instants n-1 et
n-2 nous permet lorsque se prŽsente la valeur au temps n de dŽterminer l'Žtat
de la sortie par une simple combinaison de ces trois valeurs (figure 5.5.2).
Xn
Xn-1 Xn-2
Sortie
Figure 5.5.2 : Montage detecteur de sŽquence 110 avec registre ˆ dŽcalage.
Ainsi, sÕil est possible de mettre en Žvidence une telle dŽcomposition sur un
tableau des phases donnŽ, la rŽalisation du circuit correspondant en sera
simplifiŽe.
LÕarbre dÕambigu•tŽ va nous permettre dÕaboutir ˆ ce rŽsultat. Sa racine est
formŽ de l'ensemble de tous les Žtats, et les diverses branches sont obtenues
par partitionnements successifs en fonction de la variable d'entrŽe. Si, un
nombre fini n de partitionnements conduit pour chaque feuille terminale un Žtat
unique, alors le syst•me sŽquentiel se rŽalise en utilisant un registre ˆ dŽcalage
de longueur n et un circuit combinatoire.
Etudions cette dŽcomposition sur un circuit dont le tableau des phases est
donnŽ figure 5.5.3.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
2
4
3
3
2
1
5
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
Figure 5.5.3 : Matrice des phases.
A partir de lÕ'ensemble des Žtats
{1,2,3,4,5}, on constate que l'ensemble des
successeurs de cet ensemble pour E = 0 est {2,3,4}.
En effet pour E = 0,
â le successeur de 1 est 2
De la m•me fa•on, on dŽtermine les successeurs de lÕensemble {1,2,3,4,5} pour
E = 1. Ceux-ci dŽfinissent lÕensemble {1,5}.
En effet pour E = 1,
Page 5,34
â le successeur de 5 est 1.
La racine de l'arbre {1,2,3,4,5} se scinde en deux branches (figure 5.5.5)
{1,2,3,4,5}
E=0
E=1
{2,3,4}
{1,5}
Figure 5.5.5 : Partitionnement de lÕensemble de dŽpart
La construction de lÕarbre sÕach•ve lorsquÕon aboutit ˆ un noeud tel que :
¶
·
ce noeud existe dŽjˆ parmi ses anc•tres
ET
tous les noeuds de m•me niveau que lui ont un nombre
dÕŽtats infŽrieur ou Žgal au sien (figure 5.5.6).
Le nombre minimal dÕŽtats du circuit sŽquentiel est exactement le nombre
dÕŽtats du noeud qui a provoquŽ lÕarr•t. Le nombre dÕŽtage du registre ˆ
dŽcalage sera Žgal au nombre de niveaux de lÕarbre. Si lÕon poursuivait la
construction de lÕarbre, les niveaux suivants contiendraient soit des noeuds
dont le nombre dÕŽtats est au plus Žgal au nombre dÕŽtats du noeud ayant
provoquŽ lÕarr•t (par dŽfinition), soit au noeud lui m•me (car il est son propre
anc•tre).
{1,2,3,4,5}
E=0
Niveau 1
E=1
{2,3,4}
E=0
{1,5}
E=1
{3,4}
E=0
{3}
E=0
{1,5}
E=1
E=0
{1}
{2}
{2}
E=1
E=0
{1}
{4}
Niveau 2
E=1
{1}
E=1
{5}
E=0
E=1 Niveau 3
{2}
{1}
Figure 5.5.6 : Arbre dÕambigŸitŽ total
Dans notre exemple, lÕarbre se termine en 3 niveaux et chaque feuille terminale
est reprŽsentative d'un et un seul Žtat de la machine. Le syst•me peut •tre
rŽalisŽ en utilisant un registre ˆ dŽcalage de longueur 3 et un circuit
combinatoire pour gŽnŽrer la sortie selon le schŽma de principe de la figure
5.5.7.
E
E3
E2
E1
Circuit
Combinatoire
Sortie
Figure 5.5.7 : Principe de rŽalisation du syst•me dŽcrit par la MP fig. 5.5.3
Page 5.35
Pour la rŽalisation, chaque feuille terminale de lÕarbre est dŽfinie par le chemin
qui a permis dÕy aboutir (figure 5.5.8a). Ce qui nous permet de construire le
diagramme de Karnaugh reprŽsentatif de l'Žtat de la sortie (figure 5.5.8b).
3
1
2
1
4
5
2
1
E1E2
E3E
E1 E2 E3
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11
1
10 1 1 1 1
D'o• la fonction :
S = E 1E2E3 + E2E3E + E1 E2 E3 + E3E
Figure 5.5.8 : a)Configuration du registre ˆ dŽcalage pour chacun des Žtats
b) Ecriture de la matrice de sortie en fonction de lÕentrŽe et du registre ˆ dŽcalage
Si, par exemple, nous considŽrons lÕŽtat 1, la sortie prend la valeur 1 pour E =
0. LÕŽtat 1 est atteint selon 3 configurations du registre ˆ dŽcalage : 001, 011 et
111. Dans la matrice de sortie, nous trouverons donc un 1 en 0010, 0110 et
1110. On proc•de de m•me pour complŽter la matrice.
Les circuits qui admettent une dŽcomposition aussi ŽlŽmentaire (registre ˆ dŽcalage + circuit combinatoire) sont extr•mement rares. Toutefois, une dŽcomposition de ce type conduit souvent ˆ une rŽalisation simplifiŽe demandant un
registre ˆ dŽcalage suivi d'un circuit sŽquentiel. Ce type de dŽcomposition sera
aussi mis en Žvidence par un arbre dÕambigu•tŽ, lequel sera construit, ainsi que
nous l'avons dŽjˆ vu, jusqu'ˆ ce que les conditions dÕarr•t soient rencontrŽes.
Soit un circuit gŽnŽrateur de bit dÕimparitŽ sur 4 bits, dŽfini par son tableau des
phases (figure 5.5.9).
Son arbre dÕambigu•tŽ est donnŽ dans la figure 5.5.10
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
7
2
4
5
6
7
1
1
3
5
4
7
6
1
1
Figure 5.5.9 : Matrice des phases
Page 5.36
{1,2,3,4,5,6,7}
E=0
E=1
{1,2,4,5,6,7}
E=0
{1,3,4,5,6,7}
E=1
E=0
E=1
{1,2,4,6,7}
{1,3,5,6,7}
{1,2,5,6,7}
{1,3,4,6,7}
E=0
E=0
E=0
E=0
E=1
E=1
E=1
E=1
{1,2,4,6} {1,3,5,7} {1,2,5,7} {1,3,4,6} {1,2,4,7} {1,3,5,6} {1,2,5,6} {1,3,4,7}
E=0
{1,2,4,6}
Figure 5.5.10 : Table dÕambigu•tŽ du gŽnŽrateur de bit dÕimparitŽ.
On constate que pour la feuille {1,2,4,6} le successeur lorsque E vaut 0 est
{1,2,4,6}. L'arbre dÕambigu•tŽ se termine donc au niveau 3 car l'adjonction d'un
niveau ne permet pas la levŽe d'une ambigu•tŽ supplŽmentaire. Par ailleurs,
l'ensemble des feuilles comporte quatre Žtats.
E
E3
E2
E1
Circuit
SŽquentiel
Sortie
Ainsi, le syst•me sŽquentiel sera rŽalisŽ
en utilisant un registre ˆ dŽcalage ˆ trois
Žtages et un circuit sŽquentiel ˆ quatre
Žtats selon le schŽma de principe de la
figure 5.5.11.
Figure 5.5.11 : SchŽma de principe
Si nous appelons P,Q,R,S les Žtats de ce circuit sŽquentiel, en suivant dans
l'arborescence le chemin qui m•ne ˆ chaque ensemble, il est possible de
dŽterminer en fonction de l'Žtat dans lequel se trouve la machine quel est la
configuration de sortie qui doit appara”tre.
La table d'attribution ou les Žtats P,Q,R,S auront ŽtŽ distribuŽs arbitrairement ˆ
chacun des ensembles figurant sur les feuilles de l'arbre est indiquŽe en figure
5.5.12.
E 1E2 E3
Žtats
000 001 010 011 100 101 110 111
P
1
1
1
1
1
1
1
1
Q
2
3
2
3
2
3
2
3
R
4
5
5
4
4
5
5
4
S
6
7
7
6
7
6
6
7
Figure 5.5.12 : Etats du circuits sŽquentiel en fonction du registre ˆ dŽcalage.
Page 5.37
Les tableaux des figures 5.5.9 et 5.5.12 permettent de dŽterminer le
fonctionnement de la machine sŽquentielle M1 (figure 5.5.13) dont les Žtats P, Q,
R et S dŽpendent des Žtats du registre ˆ dŽcalage et de lÕentrŽe.
E.P
Etat
E=0
suivant
E=1
000 001 010 011 100 101 110 111 000 001 010 011 100 101 110 111
P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
Q R R R R R R R R R R R R R R R R
R S S S
S S S S S
S S S
S S S S S
S P P P
P P P P P
P P P
P P P P P
Figure 5.5.13 : Table des phases du circuit ayant pour Žtats P, Q, R et S.
La construction de ce tableau obŽit aux r•gles dŽjˆ exposŽes pour la
dŽcomposition fonctionnelle au moyen des PPS. Soit ˆ dŽterminer le successeur
de lÕŽtat P dans le cas ou le registre ˆ dŽcalage contient la valeur 000 et que
lÕentrŽe prend la valeur 1.
Œ Si M1, le registre ˆ dŽcalage contient la valeur 000 et que la machine
M2 est dans lÕŽtat P, cela signifie que lÕŽtat Žquivalent de la machine M
correspond ˆ lÕintersection des classes 000 et P, soit, en fonction du
tableau de la figure 5.5.12, lÕŽtat 1.
• On voit sur le tableau des phases de la figure 5.5.9 que le successeur
Ž Par ailleurs, le registre contient la valeur 000 et lÕentrŽe qui se
prŽsente est ˆ la valeur 1, au temps suivant cette valeur de lÕentrŽe
sera prise en compte et le registre contiendra la valeur E3 E2 E1= 100.
• La machine M2 doit donc dans ces conditions passer dans un Žtat X
tel que X Ç 001 = 3, soit X = Q. (E1E2 E3= 001).
Ces opŽrations sont ˆ renouveler pour chacune des cases de la matrice
Dans ce cas particulier, on constate que toutes les colonnes sont identiques. Le
circuit sŽquentiel obtenu M2, ne dŽpend donc pas des diverses entrŽes (sauf de
lÕhorloge). Un tel circuit est qualifiŽ de circuit sŽquentiel autonome. Ici, il se
rŽsume en fait ˆ un compteur modulo 4 dont le tableau des phases est reprŽsentŽ en figure 5.5.14.
Etat
PrŽsent
Etat
Suivant
P
Q
R
S
Q
R
S
P
Figure 5.5.14 : Tableau des phases dÕun compteur modulo 4
Le gŽnŽrateur de bit de paritŽ se compose finalement d'un compteur modulo
quatre associŽ ˆ un registre ˆ dŽcalage et d'un circuit combinatoire. DÕo• le
schŽma de la figure 5.5.15.
Page 5.38
M
M 1 : Registre ˆ DŽcalage
E3
E
E2
E1
Horloge
Circuit
Combinatoire
M2 : Compteur
modulo 4
Sortie
Figure 5.5.15 : SchŽma de principe du gŽnŽrateur de paritŽ
La rŽalisation de la machine M2 et la synth•se de la sortie ne prŽsentent aucune
difficultŽ majeure.
âÊPÊ®ÊAÊ=Ê0,ÊBÊ=0
âÊQÊ®ÊAÊ=Ê0,ÊBÊ=Ê1
âÊRÊ®ÊAÊ=Ê1,ÊBÊ=Ê1
âÊSÊ®ÊAÊ=Ê1,ÊBÊ=Ê0
Affectation des variables auxiliaires :
Etat
PrŽsent
Etat
Suivant
AB
AB
00
01
11
10
01
11
10
00
Figure 5.5.16 : Matrice des phases codŽe de la machine M 2
DŽtermination de lÕŽtat de la sortie (figure 5.5.17) en fonction des sorties (E1 E2
E3) de la machine M1 , le registre ˆ dŽcalage, des variables dÕŽtat de la machine
M2 (A et B) et de lÕentrŽe de donnŽes (E).
E1E2E3
000 001 010 011 100 101 110 111
EAB
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
000
001
010
011
100
101
110
111
00
00
00
10
00
00
00
01
00
00
00
01
00
00
00
10
00
00
00
01
00
00
00
10
00
00
00
10
00
00
00
01
00
00
00
01
00
00
00
10
00
00
00
10
00
00
00
01
00
00
00
10
00
00
00
01
00
00
00
01
00
00
00
10
Figure 5.5.17 : Matrice des sorties de la machine compl•te.
Page 5.39
5.5.2. DŽcomposition avec une machine imposŽe.
Il existe une autre possibilitŽ de dŽcomposition d'un circuit sŽquentiel,
consistant ˆ utiliser un circuit existant, dŽfini par son tableau des phases.
Soit ˆ rŽaliser la machine M dŽfinie par le tableau des phases de la figure
5.5.18a en utilisant la machine M1 dŽfinie par le tableau des phases de la
figure 5.5.18b.
Etat Suivant
Sortie
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
2
3
5
2
4
5
6
3
4
3
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
J
K
L
K
L
K
L
J
J
Figure 5.5.18 : a) Matrice des phases de M ; b) Matrice des phases de M 1
Le premier probl•me est bien Žvidemment de dŽterminer si une telle rŽalisation
est possible, cÕest ˆ dire si lÕon peut mettre en Žvidence pour les deux machines
des cycles compatibles. La procŽdure ˆ suivre pour parvenir ˆ cette
dŽtermination est la suivante.
On suppose qu'ˆ un instant donnŽ, les deux machines se trouvent dans un Žtat
arbitrairement dŽsignŽ comme initial. Dans le cas qui nous intŽresse nous
choisissons les Žtats 1 pour la machine M et J pour la machine M 1 . Cette
Žquivalence d'Žtats sera notŽe 1-J.
Dans ces conditions, pour E = 0 la machine M passe dans l'Žtat 2 alors que la
machine M 1 passe dans l'Žtat K, soit l'Žquivalence 2-K.
De m•me, pour E = 1 l'Žquivalence telle que
nous venons de la dŽfinir sera 6-L.
Nous aurons ainsi obtenu une premi•re ligne
du tableau que nous dŽsirons construire
(figure 5.5.19)
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
1-J
2-K
2-K
3-L
6-L
3-J
Figure 5.5.19 : Premi•res Žquivalences
Les deux Žquivalences que nous venons de faire appara”tre vont permettre de
poursuivre la construction du tableau, c'est ˆ dire de dŽterminer les
successeurs de 2-K et de 6-L pour E = 0 et E = 1 (figure 5.5.20).
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
1-J
2-K
6-L
3-L
2-K
3-L
5-K
5-K
6-L
3-J
1-J
4-J
Figure 5.5.20 : Poursuite de l'extraction des Žquivalences.
Les quatre nouvelles Žquivalences qui viennent dÕappara”tre doivent ˆ leur tour
•tre ŽtudiŽes et ainsi de suite jusquÕˆ exploration compl•te de toutes les
Žquivalences qui auront ŽtŽ mises en Žvidence. Au bout du compte, nous
obtenons le tableau de la figure 5.5.21.
Page 5.40
.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
1-J
2-K
6-L
3-L
3-J
5-K
4-J
4-L
2-K
3-L
5-K
5-K
5-K
4-L
2-K
2-K
6-L
3-J
1-J
4-J
4-L
1-J
3-L
3-J
Figure 5.5.21 : Table compl•te des Žquivalences.
Cette table nous permet de constater que l'Žtat J est associŽ au bloc [1,3,4], que
l'Žtat K est associŽ au bloc [2,5] et que l'Žtat L est associŽ au bloc [3,4,6].
En dŽfinitive, si 1 est l'Žtat initial de la machine M et que J est l'Žtat initial de la
machine M 1 , en envoyant la m•me sŽquence de symboles sur les entrŽes de M et
de M1 , il sera possible en observant l'Žtat de M de dŽduire l'Žtat de M1 , et
inversement en observant l'Žtat de M1 de dŽterminer dans quel bloc se trouve la
machine M.
â
â
â
Si M1 se trouve dans l'Žtat J, M se trouve dans l'un des Žtats 1, 3 ou 4.
Si M1 se trouve dans l'Žtat K, M se trouve dans l'un des Žtats 2 ou 5.
Si M1 se trouve dans l'Žtat L M se trouve dans l'un des Žtats 3, 4 ou 6.
Le r™le de la machine M2, qui reste ˆ construire, sera de lever lÕambigu•tŽ et,
comme chacun des blocs comporte un maximum de trois Žtats, le nombre
d'Žtats de M2 sera Žgal ˆ trois. Appelons les P, Q, R.
L'attribution de P, Q, R aux Žtats des diffŽrents blocs est parfaitement arbitraire,
toutefois, on obtiendra un rŽsultat optimal en attribuant, autant que possible,
un m•me Žtat de M2 ˆ un Žtat donnŽ de M (figure 5.5.21).
Žtat M2
Žtat M1
Žtat M
J
1,3,4
K
2,5
L
3,4,6
P
Q
R
1
3
4
2
5
6
3
4
Figure 5.5.21 : Correspondance entre les Žtat de M et ceux de M 1 et M2
M•me si la r•gle qui vient dÕ•tre ŽnoncŽe ne peut •tre respectŽe, il est Žvident
que le choix d'un Žtat parmi J, K, L et d'un Žtat pris parmi P, Q, R dŽfinit sans
aucune ambigu•tŽ un Žtat et un seul de M. Ce qui revient ˆ dire que la mise en
cascade de la machine M1 imposŽe et de la machine M2 ˆ rŽaliser doit avoir un
comportement identique ˆ celui de la machine d'origine M. Les deux machines
M1 et M2 seront cascadŽes selon un schŽma classique que l'on a donnŽ en
prŽcŽdemment (figure 5.4.1)
LÕalgorithme de construction du tableau des phases de la machine M 2 a dŽjˆ ŽtŽ
ŽvoquŽ. Si, par exemple, nous cherchons lÕŽtat suivant de Q pour une entrŽe E
de valeur 0 alors que M1 est dans un Žtat L, on dŽtermine lÕŽtat prŽcŽdent de la
machine M sur la table de la figure 5.5.21, au croisement de la ligne Q et de la
Page 5.41
colonne L, soit lÕŽtat 3. la table de la figure 5.5.18a permet dÕobtenir le
successeur de 3 pour une entrŽe E=0, soit lÕŽtat 5. On revient alors sur la table
5.5.21 o• lÕon trouve cet Žtat 5 sur la ligne corresponadant ˆ lÕŽtat R de M2 .
LÕŽtat suivant que lÕon recherchait pour M2 est donc R. En procŽdant ainsi pour
chaque configuration, on obtient le rŽsultat indiquŽ en figure 5.5.22.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
P
Q
R
E=0
J
Q
R
Q
K
Q
R
E=1
L
Q
R
Q
J
P
R
Q
K
Q
P
L
P
R
Q
Figure 5.5.22 : Matrice des phases de la machine M2
5.5.3. DŽcomposition fonctionnelle dans le cas gŽnŽral.
Les syst•mes sŽquentiels pour lesquels une dŽcomposition en PPS est possible
sont peu nombreux car les conditions ˆ remplir sont tr•s strictes et de ce fait
rarement prŽsentes. Il est cependant possible de procŽder ˆ une dŽcomposition
fonctionnelle, y compris en lÕabsence de PPS, en ayant recours ˆ l'utilisation
d'un crit•re beaucoup moins restrictif que nous appellerons couverture avec
propriŽtŽ de substitution, soit en abrŽgŽ CPS.
D Ž f i n i t i o n 1 : Soit un ensemble formŽ par les Žtats d'un syst•me sŽquentiel, tout ensemble C formŽ
par des sous ensembles de l'ensemble prŽcŽdent tel que chaque Žtat du syst•me
sŽquentiel figure au moins une fois dans un des sous ensembles, est une c o u v e r t u r e
du syst•me sŽquentiel.
Soit un syst•me sŽquentiel ˆ six Žtats (1,2,3,4,5,6).
L'ensemble C = [(1,3);(2,4,5);(4,6)] est une couverture et, par analogie avec les
PPS, nous appellerons bloc chaque ŽlŽment de C en le reprŽsentant entre
parenth•ses pour le diffŽrencier des partitions.
D Ž f i n i t i o n 2 : Si pour une couverture, chaque paire d'Žtats pris ˆ l'intŽrieur d'un m•me bloc, a comme
successeur, pour chacune des combinaisons d'entrŽe, des paires dÕŽtats situŽs tous les
deux ˆ l'intŽrieur d'un m•me bloc, on dit que la couverture est une c o u v e r t u r e a v e c
pro priŽ t Ž de s u bs t it u t io n , ou en abrŽgŽ CPS.
L'existence d'une CPS entra”ne naturellement l'existence d'une dŽcomposition
en cascade, composŽe de :
Œ un sous-syst•me M1 dont l'Žtat ne dŽpend que des variables d'entrŽes
et ayant autant d'Žtats que ce qu'il y a de blocs ;
• un sous-syst•me M2 ayant un nombre d'Žtats Žgal au nombre d'Žtats
du bloc en possŽdant le plus grand nombre.
D Ž f i n i t i o n 3 : Toute couverture pour laquelle aucun bloc n'est un sous ensemble d'un autre bloc est
une c o u v e rt u re rŽ du it e .
Il est important de noter que bien que les couvertures rŽduites ne conduisent
pas nŽcessairement ˆ la rŽalisation la plus Žconomique, leur nombre est tel qu'il
est impossible de les utiliser de mani•re raisonnable. Dans tout ce qui suit,
nous ne parlerons que de couverture rŽduite et toute mention du terme
couverture devra, de ce fait, •tre interprŽtŽe comme couverture rŽduite.
5.5.3.1. Recherche d'une CPS.
Il est aisŽ de rechercher les CPS ; tout syst•me sŽquentiel en poss•de un grand
nombre. Le probl•me est plut™t liŽ ˆ la dŽtermination des CPS prŽsentant un
intŽr•t, celles comportant un nombre de blocs aussi rŽduit que possible.
Page 5.42
Tout syst•me sŽquentiel ˆ n Žtats poss•de deux CPS triviales (celle qui comporte
un bloc de n Žtats et celle qui comporte n blocs de 1 Žtat) et au moins n-2 CPS
non triviales, car pour tout m (1 < m < n), lÕensemble formŽ par tous les blocs de
m Žtats est une CPS (Žventuellement non rŽduite).
Ceci est Žvident si on consid•re que les successeurs de m Žtats d'un bloc sont
au plus au nombre de m et forment par consŽquent nŽcessairement l'un des
blocs de la couverture (figure 5.5.23).
m Etats
E=0
m Etats
E=1
m Etats
Figure 5.5.23 : EgalitŽ de la cardinalitŽ des Žtats dans les transitions.
Ce type de couverture que l'on appelle couverture universelle ne prŽsente
qu'un intŽr•t rŽduit. En pratique, c'est par essais successifs que l'on recherche
les CPS. Reprenons, par exemple, le tableau des phases de la figure 5.5.18a afin
d'expliquer le principe de cette recherche.
Si on tente de former le bloc (1,2), on dŽtermine de fait les blocs (2,3) et (3,6),
(2,3) conduit de son cotŽ ˆ (3,5) et (3,4) alors que (3,6) donne (1,4). En fin de
compte nous aboutissons ˆ la couverture :
[ (1,2);(2,3);(3,6);(3,5);(3,4);(1,4);(4,5);(2,5);(2,4);(1,3);(4,6)] Ê
Au niveau de la rŽalisation, cela nous conduit ˆ un premier sous-syst•me M1 ˆ
onze Žtats et un second sous-syst•me M2 ˆ deux Žtats.
Prenons comme dŽpart le bloc (2,5) la couverture obtenue dans ces conditions
est : [(2,5);(3,4);(1,3);(4,6)] Soit en dŽfinitive une machine M1 ˆ quatre Žtats, et
une machine M 2 ˆ deux Žtats.
Le bloc (1,3,4) conduit ˆ la couverture [(1,3,4);(2,5);(3,4,6)], celle qui avait ŽtŽ
trouvŽe apr•s constitution de la table 5.5.21.
5.5.3.2. DŽcomposition en sŽrie.
Pour une CPS donnŽe, la dŽcomposition en sŽrie ne pose aucun probl•me
particulier. sur l'exemple que nous venons de voir avec la CPS [(2,5);(3,4);(1,3);
(4,6)], en appelant les quatre blocs A, B, C, D selon la convention :
*ÊAÊ:Ê(2,5) *ÊBÊ:Ê(3,4) *ÊCÊ:Ê(1,3) *ÊDÊ:Ê(4,6)
La machine M1 serait dŽcrite par le tableau des phases de la figure 5.5.24a. La
machine M2 est une machine ˆ deux Žtats P et Q, pour lequel nous dŽfinirons le
tableau de correspondance de la figure 5.5.24b.
Page 5.43
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
A
B
C
D
B
A
A
A
C
B
D
C
A B C D
2 4 1 4
5 3 3 6
P
Q
Figure 5.5.24 : a) Table des phases de M1 ; b) Table de correspondance de M 2 .
Des deux tables prŽcŽdentes nous dŽduisons le tableau des phases de la
machine M 2 dŽcrit en figure 5.5.25.
Etat
PrŽsent
P
Q
Etat Suivant
E = 0
E = 1
A
Q
P
B
P
Q
C
P
Q
D
P
Q
A
Q
P
B
Q
P
C
Q
P
D
Q
P
Figure 5.5.25 : Matrice des phases de la machine M2
Ce tableau se construit comme tous ceux que nous avons rencontrŽs lors de la
rŽalisation de machines cascadŽes. Soit ˆ dŽterminer lÕŽtat suivant de P pour
une valeur de lÕentrŽe prenant la valeur 0, la machine M1 Žtant dans lÕŽtat A.
Œ Le tableau de la figure 5.5.24b nous dit que lorsque la machine M1 est
dans lÕŽtat A et la machine M 2 dans lÕŽtat P, lÕŽtat Žquivalent pour la
machine M est lÕŽtat 2.
• On voit sur le tableau des phases de la machine M, que le successeur
Ž Par ailleurs, pour la machine M1 le successeur de lÕŽtat A lorsque
lÕentrŽe prend la valeur 0 est lÕŽtat B.
• La machine M2 doit donc dans ces conditions passer dans un Žtat X
tel que X Ç B = 3 soit X = Q.
Ces opŽrations sont bien entendu ˆ renouveler pour chacune des cases de la
matrice reprŽsentative de la machine M 2 .
5.5.3.3. DŽcomposition en parall•le.
Nous avons dŽjˆ vu, lors de l'Žtude des PPS, que chaque fois qu'il Žtait possible
de mettre en Žvidence deux PPS orthogonales, la machine pouvait se rŽaliser en
mettant en parall•le deux syst•mes indŽpendants.
Un rŽsultat identique est applicable aux CPS, car si le produit de deux CPS
donne la CPS zŽro, (celle qui comporte N blocs de un Žtat chacun), alors la
dŽtermination de deux blocs, l'un pour la machine M1 , l'autre pour la machine
M2, permet dÕisoler sans ambigu•tŽ un Žtat et un seul de la machine M.
Soit une machine M dŽfinie par son tableau des phases (figure 5.5.26).
Page 5.44
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
1
2
3
4
5
6
2
3
2
5
6
5
1
4
3
6
3
4
Figure 5.5.26 : Matrice des phases de M.
Sur cette matrice, il est possible de mettre en Žvidence les CPS suivantes :
C 1 Ê=Ê[ (1,3,4);(2,5);(1,3,6)]
Ê
C 2 Ê=Ê[ (1);(3,5);(2,4,6)]
C 3 Ê=Ê[ (1,3);(2,6);(3,5);(4,6)]
Ê
C 4 Ê=Ê[ (1);(2,5);(3,6);(3,4)]
On constate que les CPS C1 et C2 , d'une part, C3 et C4 , d'autre part, sont
orthogonales.
Ainsi donc en considŽrant sur C3 et C4 les affectations suivantes :
+C
Ê
3
ìï PÊ®Ê(1,3)
ï ÊQÊ®Ê(2,6)
íÊÊRÊ®Ê(3,5Ê)
ï
ïî SÊ®Ê(4,6)
+C
Ê
4
ìï AÊ®Ê(1)
ï BÊ®Ê(2,5)
íÊCÊ®Ê(3,6)
ï
ïî DÊ®Ê(3,4)
On obtient pour les machines M1 et M2 les tableaux des phases de la figure
5.5.27.
Machine M1
Machine M2
Etat Suivant
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
P
Q
R
S
Q
R
Q
R
P
S
P
S
A
B
C
D
B
C
B
B
A
D
D
C
Figure 5.5.27 :Matrices des phases des machines M1 et M 2 .
Ce qui correspond ˆ deux machines en parall•le selon le schŽma que nous
avons dŽjˆ dŽcrit sur la figure 5.4.9.
Le circuit combinatoire CC fournit, en fonction de l'Žtat simultanŽ de M 1 et M2 ,
le signal de sortie de la machine M.
Page 5.45
5.5.3.4. Les machines Permutation - Reset.
D Ž f i n i t i o n s : Une machine est une m a c h i n e p e r m u t a t i o n - r e s e t si et seulement si les colonnes
de son tableau des phases sont soit des colonnes permutations soit des colonnes reset.
Une colonne d'un tableau des phases est une c o l o n n e p e r m u t a t i o n si cette colonne
contient tous les Žtats de la machine.
Une colonne d'un tableau des phases est une c o l o n n e r e s e t si toutes les lignes de
cette colonne contiennent le m•me Žtat.
Par exemple vŽrifions si la machine dŽcrite par le tableau des phases de la figure
5.5.28 est une machine permutation - reset.
Etat
PrŽsent
1
2
3
4
5
6
Etat Suivant
E = 00 E = 01
2
3
5
4
1
6
3
6
5
4
1
2
E = 11
2
2
2
2
2
2
E = 10
1
3
5
3
4
2
Figure 5.5.28 : Matrice des phases dÕune machine Permutation-Reset.
â
â
â
â
La
La
La
La
colonne
colonne
colonne
colonne
E
E
E
E
=
=
=
=
00
01
11
10
est une
est une
est une
nÕest ni
colonne permutation.
colonne permutation.
colonne reset.
une colonne permutation ni une colonne reset.
Cette machine n'est donc pas une machine permutation - reset.
Les machines permutation - reset (que l'on dŽsignera maintenant sous le nom
de machine P-R) jouent un r™le important dans la rŽalisation des syst•mes
sŽquentiels. On montre que tout syst•me peut •tre rŽalisŽ en mettant en sŽrie
un nombre fini de machines P-R. Si ce type de machines joue de fait un r™le
canonique dans la logique sŽquentielle, elles nÕont dÕintŽr•t que sur un plan
purement thŽorique car la rŽalisation dÕun syst•me donnŽ ˆ partir de machines
P-R conduit rarement ˆ un rŽsultat satisfaisant du point de vue Žconomique.
DŽmontrons que toute machine sŽquentielle peut •tre dŽcomposŽe en une
cascade de machine P-R. Pour cela, nous allons mettre en Žvidence les points
suivants :
Œ Toute machine ˆ 2 Žtats est une machine P-R.
• Toute machine ˆ n Žtats peut •tre dŽcomposŽe en une machine P-R en
sŽrie avec une machine ayant au plus n-1 Žtats
La premi•re assertion est Žvidente, les deux colonnes du tableau des phases
d'une telle machine ne peuvent contenir que deux Žtats diffŽrents (colonne
permutation) ou deux Žtats identiques (colonne reset).
Pour montrer la seconde assertion, nous allons supposer qu'une machine M
nÕest pas une machine P-R. Cette machine poss•de au moins une colonne qui
n'est ni une colonne permutation ni une colonne reset (si plusieurs colonnes
rŽpondent ˆ cette dŽfinition, on travaillera sur celle qui poss•de le plus grand
nombre d'Žtats diffŽrents). Soit P le nombre d'Žtats distincts de cette colonne, on
a P £ n-1 sinon la colonne serait une colonne permutation.
Page 5.46
Si nous considŽrons la CPS formŽe par tous les blocs ayant P Žtats de telle
mani•re que les P Žtats distincts de la colonne qui nÕest pas une colonne
permutation figurent dans l'un des blocs. Une telle couverture permet de
dŽcomposer la machine M en une sous machine M1 mise en sŽrie avec une sous
machine M 2 . Il reste maintenant ˆ prouver que M1 est bien une machine P-R.
Une colonne permutation de M faisant correspondre ˆ deux blocs distincts de P
Žtats deux autre blocs distincts de P Žtats, la colonne qui dans M1 est l'image
d'une colonne permutation de M, fait correspondre ˆ deux Žtats distincts de M1
deux autres Žtats distincts de M 1 et forme par consŽquent une colonne
permutation. Une colonne qui n'est pas une colonne permutation de M fait
correspondre ˆ tous les blocs de P Žtats le bloc comportant les P Žtats distincts
de cette colonne (cÕest vrai pour la colonne comportant le plus grand nombre d'Žtats distincts,
et ˆ fortiori pour toute colonne ayant Q Žtats distincts avec QÊ£ÊP).
La colonne correspondante de M 1 est ainsi une colonne reset. Une CPS
correctement dŽterminŽe conduisant soit ˆ une colonne permutation soit ˆ une
colonne reset, on peut affirmer que la machine M1 est une machine P-R.
Dans ces conditions, la machine M2 aura P Žtats, c'est ˆ dire autant d'Žtats qu'il
y a d'ŽlŽments dans chaque bloc. Mais comme P £ n-1, la machine M2 aura au
plus n-1 Žtats. Ainsi, si M 2 n'est pas une machine P-R il suffira de rŽpŽter
l'algorithme qui, dans le cas le plus dŽfavorable, sera appliquŽ n-2 fois ce qui
conduira ˆ une cascade de n-1 machines.
Soit la machine dŽcrite par le tableau des phases de la figure 5.5.29.
On constate immŽdiatement que la colonne E =
0 est une colonne permutation, alors que la
colonne E = 1 n'est ni une colonne permutation,
ni une colonne reset.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
1
1
2
4
2
1
La colonne E = 1 comportant trois Žtats
distincts, on cherche une couverture formŽe de
blocs de trois Žtats incluant les trois Žtats qui
apparaissent dans la colonne en question soit le
bloc (1,2,3).
Figure 5.5.29 : Matrice des phases.
On arrive ˆ :
[(1,2,4);(2,3,5);(1,3,4);(2,4,5);(1,3,5)]
Les blocs peuvent •tre rŽfŽrencŽs :
ÊPÊÐ>Ê(1,2,4) QÊÐ>Ê(2,3,5) RÊÐ>Ê(1,3,4) SÊÐ>Ê(2,4,5) TÊÐ>Ê(1,3,5)
Ce qui permet de dŽterminer pour la machine M 1 le tableau des phases de la
figure 5.5.30.
Etat Suivant
Etat
PrŽsent
E=0
E=1
P
Q
R
S
T
Q
R
S
T
P
P
P
P
P
P
Figure 5.5.30 : Matrice des phases de M1 .
Cette machine M1 est une machine P-R. La colonne pour E=0 est une colonne
permutation, lÕautre est une colonne reset.
Page 5.47
La machine MA comportera trois Žtats, que nous pouvons affecter selon le
tableau de la figure 5.5.31.
P
1
2
4
A
B
C
Q
2
3
5
R
1
3
4
T
1
3
5
S
2
4
5
Figure 5.5.31 : Table de correspondance de M2.
Pour obtenir toujours selon lÕalgorithme de dŽfinition des machines cascadŽes le
tableau des phases de la figure 5.5.32. Les entrŽes de cette machine sont :
Œ LÕentrŽe gŽnŽrale E du circuit ;
• Les sorties P, Q, R, S et T de la machine M1.
Etat
PrŽsent
A
B
C
Etat Suivant
E = 0
E = 1
P
A
B
C
Q
B
C
A
R
A
B
C
S
B
C
A
T
B
C
A
P
A
B
B
Q
B
C
A
R
A
C
B
S
B
B
A
T
A
C
A
Figure 5.5.32 : Table des phases de la machine MA
Cette machine MA n'Žtant toujours pas une machine P-R, (colonnes P,S et T
pour E = 1), lÕalgorithme sera appliquŽ une nouvelle fois pour crŽer une machine
P-R (M2 ) et une machine cascadŽe M B .
Une nouvelle couverture [(A,B);(B,C);(A,C)] va nous permettre de crŽer la
machine M 2 (figure 5.5.33)
Les colo nnes qui n'Žta ient ni permuta tio n
Etat Suivant
ni reset sont devenues colonn es reset
Etat
E = 0
E = 1
PrŽsent
P
Q
S
T
R
P
Q
R
S
T
(A,B) (A,B) (B,C) (A,B) (B,C) (B,C) (A,B) (B,C) (A,C) (A,B) (A,C)
(B,C) (B,C) (A,C) (B,C) (A,C) (A,C) (A,B) (A,C) (B,C) (A,B) (A,C)
(A,C) (A,C) (A,B) (A,C) (A,B) (A,B) (A,B) (A,B) (A,B) (A,B) (A,C)
Les co lon nes-per muta tio n
le sont restŽes.
Figure 5.5.33 : Table prŽcŽdente transformŽe par la CPS.
Remarquons au passage que pour une machine comportant trois Žtats, cÕest la
seule couverture prŽservŽe possible.
Si nous appelons a,b,g les trois blocs de la couverture [(A,B);(B,C);(A,C)], selon
la convention suivante :
Ê
*ÊÊaÊÐ>Ê(A,B)
ÊÊ*ÊÊbÊÐ>Ê(B,C)ÊÊ
*ÊÊgÊÐ>Ê(A,C)
Ê
Page 5.48
Nous pouvons reprŽsenter le tableau des phases de la machine M2 (figure
5.5.34)
Etat Suivant
E = 0
E = 1
Etat
PrŽsent
P
a
b
g
a
b
g
Q
b
g
a
R
a
b
g
S
b
g
a
T
b
g
a
P
a
a
a
Q
b
g
a
S
a
a
a
R
g
b
a
T
g
g
g
Figure 5.5.34 : Matrice des phases de la machine M2.
Cette machine M2 est une machine P-R. De plus, chaque bloc ne comportant
que deux Žtats, la machine M3 qui reste ˆ construire et qui sera cascadŽe avec
la machine M2 sera une machine ˆ deux Žtats m et n (figure 5.5.35) donc
nŽcessairement une machine P-R.
m
n
a
A
B
b
B
C
g
A
C
Figure 5.5.35 : Matrice des phases deM 3 .
Cette machine M3 qui comportera trois groupes
dÕentrŽes :
Œ LÕentrŽe gŽnŽrale E du circuit.
• Les sorties P, Q, R, S et T de la machine M1
Ž Les sorties a, b et g de la machine M2
La matrice des phases de cette machine (figure 5.5.36) sera construite ˆ partir :
¬ Du diagramme des phases de la machine MA (figure 5.5.32)
- Du diagramme des phases de la machine M2 (figure 5.5.34)
Â De la table de dÕaffectation des Žtats de la machine M 3 (figure 5.5.35)
Etat Suivant
E = 0
Etat
PrŽsent
m
n
E = 1
P
Q
R
S
T
P
Q
R
S
T
abgabg abg abgabg abgabgabgabg abg
m m mm n nm m m m nn m nnm m m m n nm n m n nn m nm
nn nnmm nnn nm mnm mnmn nmmnmn nmmnmm
Figure 5.5.35 : Matrice des phases de la machine M3.
En fin de compte, la machine M a ŽtŽ dŽcomposŽe en trois machines P-R. Une
machine M1 ˆ cinq Žtats, une machine M2 ˆ trois Žtats et une machine M 3 ˆ
deux Žtats. Selon le schŽma de la figure 5.5.36
EntrŽe
Sortie
Machine 1
Machine 2
Machine 3
B
B
B
Horloge
Figure 5.5.36 : SchŽma de principe de la machine obtenue;
Page 5.49

Logique Séquentielle Synchrone - Département Informatique et

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