£ ¢ ¡ £ ¢ ¡

Niveau : première
Fiche méthode : centre de symétrie
F. Demoulin
¡ − →
¢
On rapporte le plan à un repère O ; →
ı , − . Soient A le point de coordonnées (a ; b) et f une fonction
définie sur D f . On note C f sa courbe représentative dans ce repère.
1 Rappels de cours
On donne trois propriétés permettant de prouver qu’un point est centre de symétrie d’une courbe.
Rappel : formules de changement de repère par translation.
¡ − →
¢
¡ − →
¢
Dans le repère O ; →
ı , − , soit M(x ; y). Dans le repère A ; →
ı , − , si on note (X ; Y ) les coordonnées
de M, alors :


x = X +a

y = Y +b
y
Y
×
M
~
j
b
A
X
~
i
~
j
O
a
~
i
x
¡ − →
¢
Propriété 1.1 Dans le repère A ; →
ı , − , C f est la courbe représentative d’une certaine fonction g
et a donc pour équation Y = g (X ).
Le point A(a ; b) est centre de symétrie de C f si, et seulement si, g est impaire.
Propriété 1.2 Le point A(a ; b) est centre de symétrie de C f si, et seulement si, pour tout x de D f :
(i)
(2a − x) ∈ D f .
(ii)
f (x) + f (2a − x) = 2b.
×
f (2a − x)
Cf
A
b
~
j
f (x)
O
M′
M
~
i
×
x
1
a
2a − x
Niveau : première
Fiche méthode : centre de symétrie
F. Demoulin
Propriété 1.3 Le point A(a ; b) est centre de symétrie de C f si, et seulement si, pour tout réel h tel
que (a + h) ∈ D f :
(i)
(a − h) ∈ D f .
(ii)
f (a + h) + f (a − h) = 2b.
2 Méthodes et exemples
2.1 Première méthode : changement de repère
Point méthode 1 Pour montrer que le point A(a ; b) est centre de symétrie de C :
➀ on établit les formules de changement de repère ;
➁ on donne l’équation de C dans le nouveau repère en la mettant sous la forme Y = g (X ) ;
➂ on montre que la fonction g est impaire.
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x 3 + 3x + 4. Montrer que le point A(0; 4) est
centre de symétrie de C f .
➀ On commence par établir les formules de changement de repère.
¡ − →
− ¢, soit M le point de coordonnées (x ; y). On note (X ; Y ) les coordonnées
Dans un repère O ; →
¡ı , →
− ¢. Les formules de changement de repère sont, d’après le rappel :
de M dans le repère A ; −ı , →

x = X

y = Y +4
−ı , →
− .
➁ On donne ensuite l’équation de C f dans le repère A ; →
¡
¢
On a :
M ∈ Cf
⇐⇒
y = f (x)
⇐⇒
Y + 4 = f (X )
⇐⇒ Y = (−X 3 + 3X + 4) − 4
⇐⇒
Y = −X 3 + 3X
¢
−ı , →
− , l’équation de C est Y = g (X ) où g : X 7−→ −X 3 + 3X .
Dans le repère A ; →
f
¡
➂ On montre enfin que g est impaire.
g est définie sur R donc D g est centré en 0.
Pour tout X de R, g (−X ) = −(−X )3 + 3(−X ) = X 3 − 3X = −g (X ).
g est donc impaire.
D’après la propriété 1.1, le point A(0; 4) est donc centre de symétrie de C f .
2.2 Deuxième méthode
Point méthode 2 Pour montrer que le point A(a ; b) est centre de symétrie de C :
➀ on vérifie que (2a − x) ∈ D f ;
➁ on montre que f (x) + f (2a − x) = 2b.
2
Niveau : première
Fiche méthode : centre de symétrie
Exemple. Soit f la fonction définie sur R − {1} par f (x) =
centre de symétrie de C f .
F. Demoulin
x2 − 4
. Montrer que le point A(1; 1) est
2(x − 1)
➀ On commence par vérifier que (2 − x) ∈ D f .
f est définie sur R − {1}. Si x ∈ D f , alors x 6= 1, d’où 2 − x 6= 1, soit (2 − x) ∈ D f .
➁ On montre ensuite que f (x) + f (2 − x) = 2.
Pour tout x de R − {1} tel que (2 − x) ∈ R − {1} :
f (2 − x) + f (x) =
(2−x)2 −4
2[(2−x)−1]
2
x −4
+ 2(x−1)
=
x 2 −4x
2(1−x)
2
=
x 2 −4x−(x 2 −4)
2(1−x)
=
−4x+4
2(1−x)
=
4(1−x)
2(1−x)
x −4
− 2(1−x)
=2
D’après la propriété 1.2, le point A(1; 1) est donc centre de symétrie de C f .
2.3 Troisième méthode
Point méthode 3 Pour montrer que le point A(a ; b) est centre de symétrie de C :
➀ on vérifie que D f est centré en a ;
➁ on montre que f (a + h) + f (a − h) = 2b.
Exemple. Soit f la fonction définie sur R − {2} par f (x) =
centre de symétrie de C f .
x −4
. Montrer que le point A(2; 1) est
x −2
➀ On commence par vérifier que D f est centré en 2.
f est définie sur R − {2}. Pour tout h de R, si (2 + h) ∈ R − {2}, alors 2 + h 6= 2, d’où h 6= 0. On en tire
2 − h 6= 2, soit (2 − h) ∈ R − {2}.
D f est donc centré en 2.
➁ On montre ensuite que f (2 + h) + f (2 − h) = 2.
Pour tout h de R tel que (2 + h) ∈ R − {2} :
f (2 + h) + f (2 − h) =
=
=
=
=
(2+h)−4
(2+h)−2
+ (2−h)−4
(2−h)−2
−2+h
−2−h
h + −h
−2+h
2+h
h + h
2+h+(−2+h)
h
2h
h
=2
D’après la propriété 1.3, le point A(2; 1) est donc centre de symétrie de C f .
3