VOITURE: On étudie 6 différents paramètres mécaniques (les

VOITURE:
On étudie 6 différents paramètres mécaniques (les variables), exprimées dans des unités différentes,
de 24 modèles de voitures (les individus).
Modèle
Cylindre
Puissance
Vitesse
Poids
Longueur
Largeur
Honda_Civic
Renault_19
Fiat_Tipo
Peugeot_405
Renault_21
Citroen_BX
Bmw_530i
Rover_827i
Renault_25
Opel_Omega
Peugeot_405_Break
Ford_Sierra
Bmw_325iX
Audi_90_Quattro
Ford_Scorpio
Renault_Espace
Nissan_Vanette
VW_Caravelle
Ford_Fiesta
Fiat_Uno
Peugeot_205
Peugeot_205_Rallye
Seat_Ibiza_SX_I
Citroen-ax-sport
1396
1721
1580
1769
2068
1769
2986
2675
2548
1998
1905
1993
2494
1994
2933
1995
1952
2109
1117
1116
1580
1294
1461
1294
90
92
83
90
88
90
188
177
182
122
125
115
171
160
150
120
87
112
50
58
80
103
100
95
174
180
170
180
180
182
226
222
226
190
194
185
208
214
200
177
144
149
135
145
159
189
181
184
850
965
970
1080
1135
1060
1510
1365
1350
1255
1120
1190
1300
1220
1345
1265
1430
1320
810
780
880
805
925
730
369
415
395
440
446
424
472
469
471
473
439
451
432
439
466
436
436
457
371
364
370
370
363
350
166
169
170
169
170
168
175
175
180
177
171
172
164
169
176
177
169
184
162
155
156
157
161
160
Il y a 24 individus en ligne (les modèles de voitures) et 6 variables en colonnes (paramètres
mécaniques).
Tableaux:
Matrice de corrélation
Cylindre
1.0000000
-0.1263430
0.1328763
0.1811516
0.2104440
0.1989323
Cylindre
Puissance
Vitesse
Poids
Longueur
Largeur
Puissance
-0.1263430
1.0000000
0.1224042
0.1668750
0.1938588
0.1832543
Vitesse
0.1328763
0.1224042
1.0000000
-0.1755041
-0.2038833
-0.1927305
Poids
0.1811516
0.1668750
-0.1755041
1.0000000
-0.2779563
-0.2627515
Longueur
0.2104440
0.1938588
-0.2038833
-0.2779563
1.0000000
-0.3052386
Valeurs propres
val1
val2
val3
val4
val5
val6
2.1577815 0.9566721 0.4903373 0.3204833 0.2542759 0.1447788
Les deux premiers vecteurs propres
Comp.1
Comp.2
Cylindre
-0.4442019
0.03396424
Puissance
-0.4144904
0.42122241
Vitesse
-0.3435401
0.66343624
Poids
-0.4303213
-0.25516926
Longueur
-0.4302088
-0.29558404
Largeur
-0.3776328
-0.47831913
Largeur
0.1989323
0.1832543
-0.1927305
-0.2627515
-0.3052386
1.0000000
Coordonnées des individus
INTERPRETATION
1) Choix du nombre d’axes à retenir
Le critère de Kaiser nous conduit à sélectionner 1 axe d'après le tableau suivant (nous choisissons 1
axe car dans la colonne Inertie totale, seule 1 valeur est supérieure à l'inertie moyenne) . L'inertie
moyenne étant de environ 0,16 ( 1/6 ), on sélectionne quand même un deuxieme axe qui est proche
de cette inertie (cet axe représentetout de même 15% de l'inertie, ce qui n'est pas négligeable). Ces 2
axes retiennent ainsi environ 93% de l'inertie totale, ce serait donc intéressant de l'étudier si on
arrive à l'interpréter.
Inertie totale
Inertie totale
cumulée
0.776003536
0.7760035
0.152536914
0.9285404
0.040071770
0.9686122
0.017118255
0.9857305
0.010776042
0.9965065
0.003493484
1.0000000
On constate que le critère du coude nous conduit également à choisir 2 axes en regardant le
graphique ci dessous ( il y a une décroissance régulière à partir du 3ème axe).
Le critère du Scree Test nous conduit à sélectionner 3 axes, mais on peut remarquer que la 3ème
différence 2nd est proche de 0.
Differences
Differences Secondes
-3.74079973
-0.67479086
3.066008870
-0.13772109
0.537069767
-0.03805328
0.099667814
-0.04369535
-0.005642069
Comme on obtient 93% de l'inertie totale avec 2 axes , et si on peut analyser le 2nd axe, il paraît
judicieux d'en sélectionner 2.
2) Graphes
3) Interprétation des axes
Axe 1 :
Variables:
On sait que les variables contribuant le plus à la formation de l’axe 1 sont celles dont les
coordonnées sur cet axe sont proches de 1 en valeur absolue. Pour repérer les contributions
significatives, on compare les valeurs de la colonne Comp1 (voir ci-dessous), coordonnées du
premier axe factoriel, à l'inverse de la racine de la contribution moyenne 1/sqr(6)=40,8%, le signe
donnant le sens de contribution. On obtient:
-
+
Cylindre
Puissance
Poids
Longueur
La vitesse et la largeur contribuent moins que le reste à l'axe 1. En effet, on voit que leurs
projections sur l'axe 1 sont légérement inférieures aux autres.
L'axe 1 oppose les individus ayant de gros cylindres, une forte puissance, un poids élevé et une
grande longueur (éventuellement une grande largeur et, dans une moindre mesure, une vitesse
élevée) à ceux ayant de petits cylindres, une faible puissance, un poids réduit et une faible longueur
(éventuellement une faible largeur et, dans une moindre mesure, une vitesse peu élevée).
L'axe 1, et donc la première composante principale, mesure la répartition entre gros paramètres
mécaniques et paramètres moins élevés (dans un certain sens les «grosses» voitures type berline
(puissantes et imposantes) aux autres voitures ).
On peut dire que les variables ne sont pas bien bien représentées (par exemple la qualité de
représentation de cylindre est de 0,44²=0,20), mais quelles ont toutes à peu près la même qualité de
représentation. Ceci est confirmé par le graphique: en effet toute les variables sont éloignées du
bord du cercle quand on les projette sur l'axe 1.
La première composante principale n'explique donc pas correctement tous les types de voitures par
rapport aux paramètres mécaniques.
Individus:
De même, les individus contribuant le plus à la formation de l’axe 1 sont ceux dont les coordonnées
sur cet axe sont les plus élevées en valeur absolue. On compare les valeurs de la colonne 1 cidessous à la racine carrée de la première valeur propre sqrt(2.15)=1,47, le signe donnant le sens de
contribution. On obtient:
comp1
qual1
Honda_Civic
2.02290470
0.0390622007
Rover_827i
-3.19389720
-0.0616740143
Renault_19
0.77851246
0.0150330414
Fiat_Tipo
1.28979214
0.0249058294
Peugeot_405
0.27382089
0.0052874693
Renault_21
-0.18051197
-0.0034856782
Citroen_BX
0.50464772
0.0097447253
Bmw_530i
-3.94563184
-0.0761899770
Renault_25
-3.43962266
-0.0664189621
Opel_Omega
-1.49956902
-0.0289566117
Peugeot_405_Break
-0.58653072
-0.0113258824
Ford_Sierra
-0.73932528
-0.0142763385
Bmw_325iX
-1.70617780
-0.0329462182
Audi_90_Quattro
-1.41354156
-0.0272954253
Ford_Scorpio
-2.79505659
-0.0539724197
Renault_Espace
-0.91999972
-0.0177651541
Nissan_Vanette
0.02474295
0.0004777852
VW_Caravelle
-1.22199471
-0.0235966641
Ford_Fiesta
3.49885607
0.0675627566
Fiat_Uno
3.75768985
0.0725608256
Peugeot_205
2.61879210
0.0505687601
Peugeot_205_Rallye 2.28877205
0.0441960875
Seat_Ibiza_SX_I
0.0373275476
1.93307264
Citroen-ax-sport
2.65025551
0.0511763171
En vert, ce sont les qualités de représentation bonne(>1/24).
On peut aussi perndre en compte la Seat ibiza qui n'est pas trop éloignée.
Ce qui nous donne:
-
+
Bmw_530i
Rover_827i
Renault_25
Ford_Scorpio
Opel_Omega
Bmw_325iX
Fiat_Uno
Ford_Fiesta
Citroen-ax-sport
Peugeot_205_Rallye
Peugeot_205
Honda_Civic
Seat_Ibiza SX_I
L'axe 1 oppose la Bmw 530i, la Rover 827i, la Renault 25, l'Opel Omega, la Bmw 325iX et la Ford
Scorpio à la Fiat Uno, la Ford Fiesta, la Citroen-ax-sport, la Peugeot 205 Rallye, le Honda Civic, la
Seat Ibiza SX I et la Peugeot 205.
Les autres modèles sont assez bien représentés sur l'axe 1, à part la Nissan Vanette et la Renault 21,
et ils s'échelonnent suivant la hiérarchie automobile (berline=>familiale=>citadine).
Conclusion :
L'axe 1 reflète donc l'opposition qui existe dans les catégories automobiles suivant leur fiche
technique (c'est à dire leur paramètre mécanique), opposant les berlines puissantes aux citadines
avec un moteur peu performant.
Axe 2:
Variables:
Pour repérer les contributions significatives, on compare les valeurs de la colonne Comp2 (voir
tableau), coordonnées du 2nd axe factoriel, à la racine de la contribution moyenne 1/sqr(6)=40,8%,
le signe donnant le sens de contribution. On obtient:
Largeur
+
Puissance
Vitesse
L'axe 2 oppose la puissance et la vitesse (fortement corrélés entre eux) à la largeur et, dans une
faible proportion, à la longueur et au poids(fortement corrélés entre eux).
La variable Cylindre est mal représentée sur cet axe.
On peut expliquer cet axe par l'opposition des performances du moteur aux contraintes physiques.
Individus:
De même, les individus contribuant le plus à la formation de l’axe 2 sont ceux dont les coordonnées
sur cet axe sont les plus élevées en valeur absolue. On compare les valeurs de la colonne ci-dessous
à la racine carrée de la deuxième valeur propre sqrt(0,9566)=0,97, le signe donnant le sens de
contribution. On obtient:
Comp.2
Qual2
Honda_Civic
0.31994275
0.0139347099
Renault_19
-0.13290412
-0.0057884742
Fiat_Tipo
-0.43420734
-0.0189113624
Peugeot_405
-0.46469601
-0.0202392585
Renault_21
-0.63714766
-0.0277501764
Citroen_BX
-0.20760635
-0.0090420373
Bmw_530i
0.83538674
0.0363842336
Rover_827i
0.77143595
0.0335989362
Renault_25
0.60924224
0.0265347902
Opel_Omega
-0.77567731
-0.0337836636
Peugeot_405_Break
0.14316260
0.0062352698
Ford_Sierra
-0.43459960
-0.0189284465
Bmw_325iX
1.36274195
0.0593525363
Audi_90_Quattro
1.08933238
0.0474445214
Ford_Scorpio
-0.12172675
-0.0053016576
Renault_Espace
-0.88853769
-0.0386991573
Nissan_Vanette
-1.82044478
-0.0792872155
VW_Caravelle
-2.38484782
-0.1038690898
Ford_Fiesta
-0.90432558
-0.0393867796
Fiat_Uno
-0.01491689
-0.0006496866
Peugeot_205
0.41507470
0.0180780642
Peugeot_205_Rallye
1.47879322
0.0644070053
Seat_Ibiza_SX_I
0.90142067
0.0392602598
Citroen-ax-sport
1.29510468
0.0564066786
En bleu, ce sont les variables pas trop mal représentés.Il semble pertinent de les ajouter à l'analyse
de l'axe, car on voit ainsi que les grosses berlines (Bmw_530i et Rover_827i) sont assez bien
représentées sur l'axe ainsi que la catégorie grosse familiale (Renault_Espace et Opel_Omega).
Nissan_Vanette
VW_Caravelle
+
Citroen-ax-sport
Peugeot_205_Rallye
Bmw_325iX
Audi_90_Quattro
Le 2ème axe oppose la Nissan Vanette et la VW Caravelle à la Citroen-ax-sport, la Peugeot 205
Rallye, la Bmw 325iX et à l'Audi 90 Quattro, qui sont bien représentées.
Cet axe oppose donc les voitures qui ont le plus mauvais rapport contraintes
physiques/performances du moteur à celles qui ont le meilleur.
Conclusion :
Cet axe reflète la puissance réelle des voitures en conduite c'est à dire la puissance du moteur par
rapport aux contraintes physiques.
Synthèse:
D'après le graphique, on remarque 3 groupes de points:
-la Citroen-ax-sport, la Peugeot 205 Rallye, la Seat Ibiza SX I qui sont de petites voitures mais
qui ont un moteur puissant (d'où une conduite «sport»),.
-la Bmw 530i, la Rover 827i, la Renault 25 qui sont de grosses berlines très puissantes.
-la Bmw 325iX et l'Audi 90 Quattro, des berlines un peu moins puissantes
-tout un groupe au centre assez équilibrés ( puissance/contraintes physiques) mais assez mal
représenté sur les 2 axes.
Notre analyse regroupe 93% de l'inertie totale, ce qui est très bien, et les 2 axes retenus ont pu être
analysé, ce qui nous permet de regrouper les modèles en groupes (berlines puissantes, berlines,
normales (au centre des graphiques), sportives, grosses familiales et petite citadine)
Annexe script R
#chargement du DataFrame
voiture=read.table(file="voiture.txt",header=T,row.names=1)
cor(voiture)
#Utilisation de princomp
acp=princomp(x=voiture, cor = TRUE)
summary(acp)
loadings(acp)
#Graphes
plot(acp)
biplot(acp, cex=0.5)
biplot(acp,col=c("black","White"))
a=seq(0,2*pi,length=100)
plot( cos(a), sin(a), type='l',lty=3,xlab='comp 1',ylab='comp 2',main="Cercle
des corrélations" )
v =t(acp$loadings)[1:2,]
arrows(0,0, v[1,], v[2,], col='red')
text(v[1,], v[2,], colnames(v))
#Calcul pour les 3 test
acp$sdev^2 /6
diff(acp$sdev^2)
diff(diff(acp$sdev^2))