Corrigé DM6 - Pagesperso

Première ES2
Corrigé devoir maison n°6
À remettre le jeudi 12/05/2011
Exercice 1 : études de fonctions économiques
L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une
longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x
par la formule : C x=15x 3 − 120x 2500x750
Le graphique de l’annexe 1 donne la représentation graphique de la fonction C.
Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes
Partie A : Étude du bénéfice
Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise
CoTon pour la vente d’une quantité x est égal à R  x=px .
1. Voir graphique de l’annexe 1.
L’entreprise CoTon réalise des bénéfices lorsque la droite D 1 est au dessus de la courbe
représentative de la fonction C. Or, elle est toujours au dessous de cette courbe.
L'entreprise ne peut réaliser de bénéfice en vendant son tissu 400 euros le kilomètres.
2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
a. Voir le graphique de l’annexe 1
En vendant le tissu 680 euros, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice pour une quantité x telle que :
x ∈[2,05 ; 8,65]
b. On considère la fonction B définie sur l’intervalle [ 0 ; 10 ] par : B x=680x − C x
B x=680x − C x
B x=680x − 15x3 − 120x 2500x750 
3
2
B x=− 15x 120x 680x−500x−750
3
2
B x=− 15x 120x 180x−750
c. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [ 0 ;10 ] on a :
3
2
2
B x=− 15x 120x 180x−750 ⇒ B' x=−15×3x 120×2x 180
On en déduit que :
B 'x =− 45x 2240x180
d. Étudions le signe de B ' sur l'intervalle [0;10]
Calculons le discriminant : ∆=b 2−4ac On a a=-45, B=240 et c=180, donc :
∆=2402−4×−45×180=90000
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Le discriminant est positif donc la fonction B' admet 2 racines distinctes:
−b− ∆
−b ∆
x 1=
et x 2=
. D'où :
2a
2a
−b− ∆ −240− 90000 −240−300 −540 540 54
x 1=
=
=
=
=
= =6
2a
2×−45
−90
−90
90
9
−240 90000 −240300 60
6
2
=
=− =−
x 2=
=
2×−45
−90
−90
9
3
Proprité : Soit f  x=ax 2bxc . Si le discriminant est strictement positif alors f a la signe de (-a)
entre ces racines.
Dans ce cas, le discriminant est strictement positif et a est négatif donc -a est positif.
2
B '  x ≥0 ⇔ x ∈[− ; 6] Dans ce cas, comme x ∈[0 ; 10 ] . On en déduit que :
3
B '  x ≥0 ⇔ x ∈[0 ; 6]
On en déduit le tableau de variations de B
x
0
6
10
f '(x)
+
0
–
1410
f(x)
-750
-1950
B0=−750
B6=1410
B10=−1950
Le bénéfice maximum est réalisé pour une quantité de 6 kilomètres de tissu . et il vaut 1410 euros
Partie B : Étude du coût moyen
On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite.
C x
On considère la fonction CM définie sur l’intervalle [ 0 ; 10 ] par : CM  x=
x
1. Pour tout x appartenant à l’intervalle ] 0 ; 10 ] on a :
C x
15x3 − 120x 2500x750 15x3
x 2 500x 750
CM  x=
donc : CM  x=
=
−120 

x
x
x
x
x
x
750
CM  x=15x 2−120x500
Donc :
x
750 30x×x 2−120×x 2−750 30x 3−120x 2−750
C 'M  x=30x−120− 2 =
=
x
x2
x2
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30x3−120x 2−750
C 'M x =
x2
u  x
On aurait pu remarquer que C(x) s'écrit C x=
avec : u x =15x 3 − 120x 2500x750 et
v  x
v  x=x
u
u ' v−uv '
Propriété :   '=
v
v2
On a démontré que :
On a u x =15x 3 − 120x 2500x750 et u ' x=15×3x 2−120×2x 2500=45x 2−240x500
v  x=x et v ' x=1
 45x2 −240x500×x −15x 3 − 120x 2500x750×1
C 'M  x=
2
x
 45x3−240x 2500x−15x 3 − 120x2 500x750
C 'M  x=
x2
3
3
2
2
45x −15x 240x −120x −750
C 'M  x=
2
x
30x3−120x 2−750
C 'M x =
x2
Développons l'expression
2
2
2
30× x−5× x x5=30× x×x x×xx×5−5×x −5×x−5×5
30× x−5× x2 x5=30× x 3x 25x−5×x 2−5x−25
30× x−5× x2 x5=30× x 3x 2−5×x 25x−5x−25
30× x−5× x2 x5=30× x 3−4×x 2−25
30× x−5× x2 x5=30×x 3−30×4×x2 −30×25
2
3
2
30× x−5× x x5=30×x −120×x −750
On en déduit que : C 'M x =
30×x−5× x 2x5
2
x
2. a. Étudions le signe de x 2x5 pour x appartenant à l’intervalle ] 0 ;10 ].
On a : ∆=b 2−4ac avec a=1 , b=1 et c=5 Donc : ∆=1 2−4×1×5=1−20=−19
Le discriminant est strictement négatif, la fonction du second degré a toujours le signe de a, qui est
positif.
∀ x∈ ]0;10] x 2x50
]0;10]
30×x−5×x 2x5
On a montré que C 'M  x=
Or 30; x 2x5 et x 2 étant strictement
x2
positif sur l'intervalle ] 0 ;10 ]. C 'M  x est le produit d'un nombre positif et de x−5 .
C 'M  x a donc le signe de x−5
b. Tableau de variations de la fonction CM sur l’intervalle ] 0 ; 10 ].
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x
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0
5
C' M x
−
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10
0
+
C M  x
415
CM 5=
15×53−120×52500×5750 2125
=
=415
5
5
c. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum?
Le coût moyen est minimal pour une quantité produit de 5 kilomètres
Dans ce cas CM 5=415 et C5=2125
Exercice 2 : pile ou face
On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On note le côté obtenu à chaque lancer
(Pile : P, Face : F)
a) Reproduire et compléter l'arbre ci-dessous pour déterminer tous les résultats.
Lancer n°1
Lancer n°3 Résultat
P
PPP
Lancer n°2
P
P
F
P
PPF
PFP
F
PFF
P
FPP
F
FPF
P
FFP
F
FFF
F
P
F
F
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b) On a 8 résultats possibles.
c) Calculer la probabilité des événements suivants :
A: « On obtient face au deuxième lancer » A={PFP;PFF;FFP;FFF}
4 1
P A= = =0,5 P A=0,5
8 2
B : « On obtient 3 fois pile » : B={PPP}
1
P B= =0,125 ¨ P B=0,125
8
C : « On obtient 2 fois face » C={PFF;FPF;FFP}
3
P C= =0,375 C est aussi l'évènement « On obtient une seul fois pile » et on a trois solutions
8
possibles.
6 3
D: « Les deux côtés sont apparus » P D = = =0,75 Dans ce cas, c'est plus facile de compter les
8 4
 , « une seule face est apparue » D
 ={PPP;FFF}
issues de D
d) L'évènement A∩D : « on obtient face au deuxième lancer ET les 2 côtés sont apparus » .
3
A∩D= PFP; PFF; FFP P A ∩D= =0,375
8
e) L'évènement A∪D est : « On obtient face au deuxième lancer OU on obtient les 2 faces »
7
P A∪D= =0,875 Seule l'issue {PPP}n'appartient pas à A∪D
8
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ANNEXE 1
Fin du corrigé
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