Intégration et calcul de primitives
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Intégration et calcul de primitives
Intégration et calcul de primitives C. Ducourant September 13, 2007 1 Intégrale d’une fonction continue •Définition : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b]. Rb Le réel noté a f (x)dx est appellé intégrale de a à b de f . •Signe de l’intégrale : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b. Rb - Si f est positive sur [a,b], ⇒ a f (x)dx ≥ 0 Rb - Si f est négative sur [a,b], ⇒ a f (x)dx ≤ 0 •Intégrale et Aire : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b] et soit (Cf ) sa courbe représentative. Soit (D), l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (Cf ) et les droites d’équation x=a et x=b. • Si f est toujours positive sur [a,b] : Rb a f (x)dx = aire(D) (unités d’aire) Rb • Si f est toujours négative sur [a,b] : a f (x)dx = −aire(D) Rb • Si f a un signe variable sur [a,b] : a f (x)dx = aire(D1) − aire(D2) + aire(D3) 1 2 Propriétes des intégrale •Relation de chasle : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Pour tout réel a, b, et c de I : Rb Rc Rc a f (x)dx + b f (x)dx = a f (x)dx •Linéarité de l’intégrale : Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I contenant a et b. Pour tous réels α et β on a : Rb Rc Rc a [αf (x) + βg(x)]dx = α a f (x)dx + β a f (x)dx 3 Intégrales et Primitives •Définition d’une primitive : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute application F dérivable sur I telle que f soit l’application dérivée de F sur I. 0 F est primitive de f sur I ⇔ ∀x ∈ I, F (x) = f (x) Par exemple: F : x → x3 est une primitive de f : x → 3x2 surR Mais G : x → x3 − 12 est aussi une primitive de f. R ⇒ on dit que F est une primitive de f sur R On note l’ensemble des primitives de la fonction f : f (x)dx R f (x)dx = F (x) + C En R particulier : 1 (ax + b)dx = a F (ax + b) + C •Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Soient deux réels a et b de I, alors: Rb b a f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a) •Primitives classiques: R P (x) = Q n+1 (x) + C, n est le degrés du polynome Pn (x) R n ax ax + C R Pn (x)e = Qn (x)e kx [Asin(x) + Bcos(x)]e dx = [Dsin(x) + Ecos(x)]ekx + C 2 4 Méthodes de calcul d’une intégrale •Intégration par partie : 0 0 Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que leurs dérivées u et v soient continues sur I. Pour tout réel a et b de I : Rb a 0 u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba − Rb a 0 u(x)v (x)dx Par : R b nexemple Rb kx x e dx = [ k1 ekx xn ]ba − k1 a nxn−1 ekx ...etc... a Rb 1 kx kx b a sin(x)e dx = 1+k2 [(ksinx − cosx)e ]a •Décomposition en élements simples : R x5 D C + (x+1) + = Pn (x) + (x−3) (x−3)(x+1)2 E (x+1)2 avec n =différence de degrés entre numérateur et dénominateur, ici n=2. Si négatif alors pas de polynome. Exemple : 5 Rb 1 a (x−a)(x−b) = 1 a−b R 1 ( x−a − 1 x−b )dx Intégrales généralisées Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle ouvert I, inégrable sur tout segment contenu dans I. On peut calculer l’intégrale de f sur des segments de plus en plus grands , contenus dans I, dont les bornes se rapprochent de celles de I. Quand l’intégrale a une limite on dit qu’elle est convergente, sinon on la dit divergente. Par exemple : R∞ RB lim a f (x)dx =B→∞ a f (x)dx Ainsi pour k > 0 : R ∞ −kx e dx = k1 0 3 6 Tableau des dérivées usuelles Figure 1: De Y. Villessuzanne - Bordeaux 4