2016_2nde_DS6

Devoir commun no 6 - Correction
10 février 2016
Exercice 1 : On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
Saisir X
Si X � 0
Alors X prend la valeur −X
Sinon
X prend la valeur X + 3
X prend la valeur 2X
Afficher X
Qu’affiche cet algorithme lorsqu’on saisit 4 puis quand on saisit 0 et enfin quand on saisit −5 ?
Correction : Lorsqu’on saisit 4, l’algorithme affiche −8. Pour 0, il affiche 0 et pour −5, il retourne la
valeur −4.
Exercice 2 : Le tableau suivant indique la composition d’une assemblée.
Ont des enfants
N’ont pas d’enfant
Total
Hommes
61
11
72
Femmes
42
6
48
Total
103
17
120
1) On choisit au hasard une personne dans cette assemblée. Quelle est la probabilité que cette personne :
a) soit un homme ?
b) soit une femme qui a des enfants ?
c) n’ait pas d’enfant ?
d) soit un homme ou ait des enfants ?
2) On choisit au hasard une femme de cette assemblée. Quelle est la probabilité qu’elle ait des enfants ?
3) On choisit au hasard une personne qui a des enfants. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?
Correction :
72
42
1) a)
= 0, 60 soit 60 %
b)
= 0, 35 soit 35 %
120
120
72
103
61
114
d)
+
−
=
= 0, 95 soit 95 %.
120 120 120
120
42
2)
= 0, 875 soit 87,5 %
48
61
3)
≈ 0, 59 soit environ 59 %
103
c)
17
≈ 0, 14 soit environ 14 %
120
Exercice 3 : On tire au hasard une carte dans un jeu composé de 52 cartes. On considère les événements
suivants :
— A : " la carte tirée est un trèfle "
— B : " la carte tirée est une figure "
— C : " la carte tirée est un nombre pair "
1) Définir par une phrase les événements suivants :
a) A ∪ B
b) C
2) Les événements B et C sont-ils incompatibles ? Justifier.
c) A ∩ C
Correction :
1) a) A ∪ B : " la carte tirée est un trèfle ou une figure "
b) C : " la carte tirée n’est pas un nombre pair "
Ou encore C : " la carte tirée est un nombre impair ou est une figure "
c) A ∩ C : " la carte tirée est un trèfle et un nombre pair "
2) B ∩ C = ∅ donc B et C sont bien incompatibles.
En effet, une carte à figure ne peut pas avoir de valeur numérique.
Exercice 4 :
1) On considère une fonction affine f telle que f (−6) = −1 et f (2) = 21.
Déterminer l’expression f (x).
2) Déterminer le tableau de signes de la fonction g définie sur R par g(x) = 7 − 3x.
1
3) Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x − 5. Dresser son tableau de variation.
2
4) Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction k définie sur R par k(x) = 2x − 4.
Correction :
21 − (−1)
22
11
=
=
= 2, 75 donc f (x) = 2, 75x + b.
2 − (−6)
8
4
f (−6) = −1 et f (−6) = 2, 75 × (−6) + b ⇐⇒ −1 = 2, 75 × (−6) + b ⇐⇒ −1 = −16, 5 + b ⇐⇒
−1 + 16, 5 = b ⇐⇒ b = 15, 5.
D’où : f (x) = 2, 75x + 15, 5.
1) a =
−7
7
2) g(x) = 0 ⇐⇒ 7 − 3x = 0 ⇐⇒ −3x = −7 ⇐⇒ x =
=
3
�
� −3
�
�
7
7
Or a = −3 � 0 donc g est positive sur −∞,
et est négative sur
, +∞ .
3
3
x
Signes de g
3) a =
−∞
+
7
3
0
+∞
−
1
� 0 donc la fonction h est croissante sur R.
2
x
Variation de h
−∞
+∞
�
4)
Exercice 5 : Un vidéo club pratique les tarifs suivants :
Tarif A : 2,50 euros par DVD loué ;
Tarif B : abonnement annuel de 30 euros et 1,50 euro par DVD loué ;
Tarif C : abonnement annuel de 90 euros pour un nombre de DVD loués illimité.
1) On note x le nombre de DVD loués. Donner, directement et sans calculs, les expressions f (x),
puis g(x) et enfin h(x) du prix payé en euros en fonction de x respectivement aux tarifs A, B et C.
2) Dans le repère ci-dessous, les droites représentent les fonctions f , g et h.
Associer à chaque fonction sa courbe représentative.
3) En utilisant le graphique ci-dessus, et en laissant les traits de construction, répondre aux questions
suivantes :
a) Si un client emprunte en moyenne 45 DVD par an, quel tarif doit-il choisir ?
b) Pour un budget de 50 euros, quel tarif est le plus avantageux ? Combien de DVD pourra-t-on
louer au tarif le plus avantageux ?
4) Dans quels cas le tarif B est-il le plus intéressant ? Justifier.
Correction :
1) f (x) = 2, 50x, g(x) = 1, 50x + 30 et h(x) = 90.
2) C1 est la courbe représentative de la fonction h, C2 celle de la fonction f , et enfin C3 celle de la
fonction g.
3) a) Graphiquement, on constate que pour x = 45, la courbe C1 est en dessous des autres courbes.
Ainsi, si un client emprunte en moyenne 45 DVD par an, le tarif le plus attractif est le tarif C.
b) Il suffit de rechercher les antécédents de 50 pour chacune des fonctions et de distinguer celle
qui possède l’antécédent le plus élevé. Ainsi, on remarque que pour 50 euros, on ne peut emprunter
aucun DVD avec le tarif C. Avec le tarif B, on peut en emprunter environ 13,33, soit 13 DVD. Le
tarif A est donc plus attractif car pour cette même somme, on peut en emprunter 25.
Ainsi, pour un budget de 50 euros, le tarif le plus avantageux est le tarif A. On pourrait ainsi louer
au total 25 DVD.
4) Le tarif B est représentée par la courbe C2 . Il est le plus intéressant lorsque C2 est en dessous de C1
et C3 . Ainsi, le tarif B est le plus intéressant pour un nombre de DVD loués compris entre 30 et 40.