Typologie-problemes - Circonscription d`Argenteuil nord

TYPOLOGIE
DES PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES
Jean-Paul Laurent, Argenteuil novembre 2010
Qu’est-ce qu’un problème arithmétique ?
Un problème peut se définir comme une situation, concrète
ou simulée, qui pose question et pour laquelle la réponse
n’est pas directement accessible.
Résoudre un problème arithmétique, c’est trouver une
réponse adaptée à la question posée en mettant en œuvre
des procédures de calcul.
Trois contextes différents peuvent être envisagés :
le contexte cardinal (quantités discrètes ou continues)
le contexte ordinal (rang et déplacements)
le contexte de mesure (grandeurs)
Classification et catégorisation
Un problème possède une structure mathématique. Cette
structure correspond aux relations entretenues entre la
question et les données de l’énoncé.
Les énoncés relevant d’une même structure mathématique
appartiennent à une même classe de problèmes.
En fonction de la donnée recherchée, une même classe de
problèmes se subdivise en plusieurs catégories.
On peut, par exemple, relever 6 catégories de problèmes additifs
dans la classe « transformation d’un état ».
TYPOLOGIE DES PROBLÈMES ADDITIFS
d’après « L’enfant, la mathématique et la réalité », Berne, ©Peter Lang 1983
Gérard VERGNAUD, directeur de recherche émérite CNRS 1999
Deux structures mathématiques dynamiques
Transformation d’état
Composition de transformations
Deux structures mathématiques statiques
Comparaison d’états
Composition d’états
TRANSFORMATION D’ ÉTAT
Situation dynamique
Un état initial Ei subit une transformation
positive ou négative T qui aboutit à un état
final Ef.
T±
Ei
Ef
Gérard possède x billes (Ei) avant d’entrer dans l’amphi.
Pendant la conférence, il joue aux billes avec son copain
Roland. Il en gagne/en perd T. À la fin de la conférence,
Gérard a y billes (Ef).
En fonction des données fournies, on peut chercher :
T±
x
y
l’état final Ef (valeur de y) après perte ou gain
l’état initial Ei (valeur de x) avant perte ou gain
la transformation positive ou négative (valeur de T)
COMPOSITION DE TRANSFORMATIONS
Situation dynamique
T1±
Un état initial inconnu subit deux ou
plusieurs transformations pour aboutir
à un état final lui aussi inconnu.
T2±
T1± o T2±
Pendant la conférence, Gérard joue aux billes avec ses
copains. Il gagne/perd x billes en jouant contre Guy et en
gagne/perd ensuite y avec Rémi. Finalement, Gérard a
gagné/perdu z billes pendant la conférence.
En fonction des données fournies, on peut chercher :
La transformation composée z (bilan terminal)
la valeur d’une composante (x ou y)
COMPARAISON D’ÉTATS
Situation statique
Deux états E1 et E2 font l’objet d’une
comparaison. Leur écart peut être
positif ou négatif en fonction de l’état
référent choisi.
E1
-C
+C
E2
Gérard a x billes (E1). Roland a y billes (E2).
Gérard a c billes de plus / de moins que Roland.
x
-C
+C
y
En fonction des données fournies, on peut chercher :
Le nombre de billes de Gérard (valeur x de E1)
le nombre de billes de Roland (valeur y de E2)
L’écart C entre x et y
COMPOSITION D’ÉTATS
Situation statique
Deux états E1 et E2 sont composés
pour en former un troisième E1 o E2.
E1
E2
}
E1 o E2
Le conférencier PJ a confisqué les x billes de Gérard
(E1) et les y billes de Roland (T2) parce qu’ils jouaient
pendant son exposé. Finalement, PJ a confisqué x + y
billes aux deux copains.
y
x
En fonction des données fournies, on peut chercher :
}
x+y
Le nombre de billes confisquées (E1 o E2)
le nombre de billes de Gérard (valeur x de E1)
Le nombre de billes de Roland (valeur y de E2)
TYPOLOGIE DES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS*
5 structures mathématiques retenues
Problèmes de configuration spatiale
Problèmes de comparaison d’états
Problèmes de proportionnalité simple
Problèmes de proportionnalité simple composée
Problèmes de proportionnalité double
*d’après la revue « Grand N n°36 », 1994-1995
Jean-Pierre LEVAIN, I.R.E.M de Besançon
Gérard VERGNAUD, Directeur de Recherche C.N.R.S, Université Paris V
PROBLÈMES DE CONFIGURATION SPATIALE
Structure mettant en jeu quatre
quantités appartenant à deux
espaces de mesure différents m1
et m2 (rapportée ici à une situation
de proportionnalité simple).
m1
m2
1
f(1)
x
f(x)
L’équipe de circonscription prépare la salle pour la
conférence de Gérard et Roland. 15 rangées de 25
chaises sont installées. La salle peut ainsi offrir 375
places assises.
m1 mesure unité rangée
m2 mesure unité chaise
m1
m2
1
25
15
375
En fonction des données fournies, on peut chercher :
Le nombre total de chaises (multiplication)
le nombre de rangées (division quotition)
le nombre de chaises par rangée (division partition)
PROBLÈMES DE COMPARAISON D’ÉTATS
Deux états E1 et E2 sont comparés.
L’écart entre les deux états se traduit
en terme de fois plus / fois moins en
fonction de l’état référent retenu.
E1
E1
÷c
X
E2
E2
c
Le mercredi, Jean-Paul met 45mn pour arriver à l’antenne.
Le dimanche, il ne lui faudrait que 15mn. Jean-Paul mettrait
donc 3 fois moins de temps pour arriver à l’antenne s’il
faisait ses animations le dimanche.
15
÷3
45
En fonction des données fournies, on peut chercher :
la valeur C de la comparaison entre les deux états
la valeur de E1 ou de E2.
PROBLÈMES DE PROPORTIONNALITÉ SIMPLE
Structure mettant en jeu 4 quantités appartenant à deux espaces
de mesure m1 et m2. (Quatrième proportionnelle et règle de 3)
Premier cas :
m1
m2
Une quantité est égale à 1.
1
f(1)
x
f(x)
L’animateur JP a sélectionné 5 structures multiplicatives de
Gérard pour son animation pédagogique. Il a consacré en
moyenne 12mn à chaque structure. Ainsi lui a-t-il fallu 60mn
pour présenter toutes les structures retenues.
m1
m2
En fonction des données fournies, on peut chercher :
1
12
la durée totale de traitement f(x) (multiplication)
le temps f(1) accordé à une structure (division partition)
5
60
le nombre x de structures (division quotition)
m1 mesure structures
m2 mesure minutes
Deuxième cas :
Aucune des quantités n’est égale à 1.
m1
m2
x
f(x)
y
f(y)
L’animateur JP vend des lots de résultats de recherches
didactiques en mathématiques. Il propose 4 informations
pour un prix de 24€ ou 7 informations pour 42€ .
m1
m2
4
24
7
42
En fonction des données fournies, on peut chercher :
le prix d’un lot de 4 ou de 7 informations f(x) ou f(y)
le nombre d’informations d’un lot x ou y
la valeur d’une information
m1 mesure informations
m2 mesure euros
PROBLÈMES DE PROPORTIONNALITÉ SIMPLE COMPOSÉE
Cette structure traduit la composition
de deux proportions simples mettant
en jeu trois espaces de mesure m1,
m2, m3.
m1
m2
1
f(1)
1
x
m3
f’(1)
f’o f(x)
Dans le cadre de la formation continue, 8 groupes scolaires
sont conviés à la conférence de Gérard & Michel. Chaque
groupe scolaire compte 4 écoles et en moyenne 12
enseignants travaillent dans chaque école. 384 enseignants
vont ainsi assister à cette conférence.
m1
m2
1
4
1
8
m3
m1 mesure groupes scolaires
12
384
m2 mesure écoles
m3 mesure enseignants
PROBLÈMES DE PROPORTIONNALITÉ DOUBLE
Structure correspondant à la composition
cartésienne de deux espaces de mesure
m1 et m2 en un troisième espace m3.
m1 x m2
1
1
f(1,1)
y
z
f(y,z)
Cas général : f(1m1,1m2) = xm3
Jean-Paul prépare des documents de travail pour son
animation de 3 heures sur la résolution de problèmes devant
regrouper 26 collègues. Il compte traiter en moyenne 5
documents par heure qu’il distribuera à chaque enseignant.
Jean-Paul doit donc prévoir 390 photocopies pour ses
collègues.
m1 x m2
1
1
5
26
m1 mesure enseignant
3
390
m2 mesure heure
f(1m1,1m2) = 5m3
f(26m1,3m2) = 390m3
m3 mesure photocopie
m1 x m2
1
Produit cartésien
1
1
f(1m1,1m2) = 1m3
y
z
f(y,z)
L’animateur JP se prépare pour son animation pédagogique. Il
doit choisir un pantalon parmi les 4 qu’il possède et se
déterminer pour une chemise parmi les 5 suspendues dans
son armoire. JP sera nécessairement en retard s’il essaie les
20 tenues possibles.
m1 x m2
1
1
1
4
5
20
m1 mesure pantalon
m2 mesure chemise
m3 mesure tenue
En fonction des données fournies, on peut chercher :
le nombre total de tenues
le nombre de chemises
le nombre de pantalons
m1 x m2
1
Produit de mesures
1
1
f(1m1,1m2) = 1m3
y
z
f(y,z)
La salle retenue pour accueillir la conférence de Guy et
Rémi a une forme rectangulaire d’une longueur de 21m
sur une largeur de 12m. La superficie de cette salle est de
252 m2.
m1 x m2
1
1
1
21
12
En fonction des données fournies, on peut chercher :
l’aire de la salle
sa longueur ou sa largeur
252
m1 mesure longueur
m2 mesure largeur
m3 mesure aire
Configuration spatiale
f(1m1,1m2) = 1m3
m1 x m2
1
1
1
y
z
f(y,z)
L’équipe de circonscription prépare la salle pour la conférence
de Gérard et Denis. 375 chaises sont disposées sur 25 lignes
et 15 colonnes.
m1 x m2
1
1
1
25
15
375
m1 mesure ligne
m2 mesure colonne
m3 mesure chaise
En fonction des données fournies,
on peut chercher :
dans
un contexte cardinal :
le nombre total de chaises
le nombre de lignes ou de colonnes
un contexte ordinal (nième place) :
le rang de l’auditeur assis ligne x, colonne y
dans
Perspectives pédagogiques
Connaître les typologies de problèmes fournit une clé de
lecture des énoncés et invite dans le même temps à proposer
les situations les plus variées possibles.
La fréquentation régulière d’énoncés diversifiés et leur
traitement doivent conduire progressivement les apprenants
à construire des catégories de problèmes et à s’approprier
les procédures standardisées de résolution correspondantes.