1 sur 6 ACADEMIE DE GRENOBLE Baccalauréat Professionnel

ACADEMIE DE GRENOBLE
Baccalauréat Professionnel Systèmes Électroniques Numériques
C.C.F. de Mathématiques
Durée :
2 heures
Date :
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l’appréciation des
copies.
L’usage des calculatrices alphanumérique ou à écran graphique est autorisé à condition que leur
fonctionnement soit autonome (circulaire N°99-186 du 16-11-1999)
L’utilisation du formulaire de mathématiques est autorisé pendant l’épreuve.
Lycée Professionnel L’ODYSSEE – PONT DE CHERUY
Nom(s) du (des) professeur(s) auteur(s) du sujet proposé : M-C SOCCOL
Nom et Prénom de l’élève :
Note :
/20
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PROBLEMATIQUE :
La prise de conscience de la diminution de la couche d’ozone engendrée par l’utilisation des HCFC
ou CFC, a conduit les concepteurs de réfrigérateurs a remplacer ces derniers par le HFC
Le HFC (hydro-fluoro-carbure) est utilisé sous la référence R134a. Il possède pratiquement les
mêmes caractéristiques physiques que le R12. Néanmoins ce gaz est néfaste sur l’effet de serre.
Ceci a poussé certains constructeurs à rechercher un fluide frigorigène réellement écologique.
Ces nouveaux produits sont des gaz à base d’hydrocarbures (HC) comme :
- le propane (R290)
- le n-butane (R600)
- l’iso-butane (R600a)
Pour ses propriétés thermo physiques, seul l’iso-butane (R600a) sera retenu dans le sujet.
PARTIE I : Evolution de la pression d’évaporateur
Un réfrigérateur est un appareil à l’intérieur duquel on doit créer du froid, c'est-à-dire absorber de la
chaleur. On provoque dans l’enceinte à réfrigérer, un phénomène qui absorbe des calories. Ce
phénomène est le passage de l’état liquide à l’état gazeux : la vaporisation. Le fluide utilisé doit se
mettre immédiatement en ébullition en arrivant dans l’enceinte du réfrigérateur.
Par exemple :
Le R12 bout à -30°C à la pression atmosphérique. Si l’on plaçait à l’intérieur d’un réfrigérateur un
flacon de R12 liquide, le contenu entrerait en ébullition en absorbant la chaleur de tout ce qui
l’environne. La température baisserait ainsi jusqu’à -30°C et s’y maintiendrait aussi longtemps qu’il
resterait du liquide dans le flacon de R12.
Dans la pratique, on ne peut laisser les vapeurs s’échapper dans l’atmosphère : on les récupère et on
les ramène hors de l’enceinte à réfrigérer pour que le phénomène de vaporisation se renouvelle. On
parle de cycle thermodynamique.
Aujourd’hui, le R600a a remplacé le R134a qui, lui-même, remplaçait le R12.
Le tableau comparatif ci-dessous donne l’évolution de la température d’ébullition en fonction de la
pression de ces trois fluides dans l’évaporateur.
Température
évaporateur
T
-10°C
-20°C
-30°C
-40°C
Pression d’évaporateur
p
R600a
R134a
R12
1,08 bar
0,71 bar
0,45 bar
0,28 bar
2,01 bar
1,33 bar
0,84 bar
0,51 bar
2,18 bar
1,51 bar
1,00 bar
0,64 bar
-Base froid- WHIRLPOOL France SERVICE, formation technique
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I.1. En utilisant le repère donné en annexe, à rendre avec la copie,
I.1.a. placer les points de coordonnées ( T ; p)
I.1.b. tracer la courbe représentant la pression en fonction de la température, pour les fluides
R600a et R134a.
(la courbe représentant la pression en fonction de la température pour le fluide R12 est tracée)
I.2. Comparer les trois courbes tracées et indiquer le fluide qui permet d’abaisser le plus facilement
la température. Expliquer la réponse.
I.3. Indiquer l’intérêt du fluide R600a par rapport aux deux autres si l’on souhaite atteindre une
température de –10°C.
PARTIE II : Détermination de la température minimale obtenue avec le R600a
II.1. Chacune des courbes (arc de parabole) tracées précédemment est la représentation graphique
d’une fonction définie par l’une des trois expressions mathématiques suivantes :
p1 = 0,0008 T² + 0,09 T + 3,0025
sur [– 40 ; 0]
p2 = 0,0005 T² + 0,0516 T + 1,545 sur [– 40 ; 0]
p3 = 0,0009 T² + 0,0936 T + 2,8575 sur [– 40 ; 0]
Indiquer, dans le tableau ci-dessous, l’expression mathématique de chacune des fonctions
représentées par les courbes tracées. Expliquer le choix par un calcul.
Courbe du fluide
R600a
R134a
Expression mathématique
p = f(T)
Calcul justificatif
R12
II.2. La pression d’un fluide est une fonction f de sa température définie par :
f(x) = 0,0005 x² + 0,0516 x + 1,545 sur [- 60 ; 0]
II.2.a. Donner la fonction dérivée f’ de la fonction f .
II.2.b. Résoudre f’(x) = 0. (on notera cette valeur xmini.)
Déterminer le signe de f’(x) sur [– 60 ; 0]
II.2.c. Compléter le tableau de variation de la fonction f , sur l’annexe, à rendre avec la copie.
II.2.d. En déduire la température minimale que l’on peut atteindre avec ce fluide et indiquer
la pression, en bar, de ce fluide à cette température.
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Partie III : Comparaison des températures en fonction du fluide.
La température du fluide R600a que l’on obtiendrait si la pression était de 1,33 bar est solution de
l’équation 0,0005 x² + 0,0516 x + 0,195 = 0
III.1. Résoudre cette équation. Arrondir chaque solution à 0,01.
En déduire la température que l’on peut prévoir dans l’enceinte du réfrigérateur.
Comparer cette température à celle du R134a sous la même pression.
III.2. Calculer la pression qu’il faut pour obtenir une température T de –15°C avec le fluide R600a.
Arrondir le résultat à 0,01.
PARTIE IV : Listéria et date limite de consommation
La prolifération des bactéries de Listéria dépend en grande partie de la température de conservation
des aliments. A 20°C, on observe une division toutes les 20 heures, alors qu’à 0°C, la première
division cellulaire a lieu au bout de 62h, et à – 5°C c’est au bout de 131h que commence le
développement bactérien.
Au-delà de 100 bactéries par gramme d’aliment, ce dernier est déclaré impropre à la consommation.
La prolifération bactérienne se déroule selon le schéma suivant :
o
o
o
o
Bactérie
souche
o
o
o
u1
u2
u3
On définit par (un) la suite formée par le nombre de bactéries à l’issue de chaque division. On
considère que dans un gramme d’aliment frais, il n’y a qu’une seule bactérie souche. Ainsi, on
prendra u1 = 1.
IV.1. Donner les 5 premiers termes de la suite.
IV.2. Déterminer la nature de la suite et préciser sa raison.
IV.3. Calculer le nombre de bactéries obtenues lors de la 10ème division.
En déduire le nombre total de bactéries dans 1g d’aliment au bout de la 10ème division.
IV.4. Montrer que le seuil des 100 bactéries est franchi au bout de la 8ème division.
IV.5.. Déterminer, en heures puis en jours, la durée de consommation de cet aliment lorsqu’il est
conservé :
IV.5.a. à la température de 20°C
IV.5.b. à la température de 0°C,
IV.5.c. à la température de – 5°C.
IV.5.d. conclure sur l’importance de ne pas rompre la chaîne du froid.
IV.6. On peut diminuer la vitesse de prolifération de la listéria en acidifiant le milieu de
conservation.
Le pH doit être abaissé à 4,3. On rappelle que pH = – log [H3O+] où [H3O+] représente la
concentration d’ions H3O+.
Calculer la concentration d’ions H3O+.
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ANNEXE : Pression d’évaporateur
Pression en bar
2
1
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0 Température
10en °C
Tableau de variation :
x
Signe de f’(x)
Variation de f
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FORMULAIRE BACCALAUREAT PROFESSIONNEL
Métiers de l'électricité
Fonction f
f (x)
ax + b
Dérivée f '
f '(x)
a
2x
2
x
x3
1
x
3x 2
1
- 2
x
1
x
ln x
ex
ex
e ax + b
ae ax + b
sin x
cos x
sin (ax +b)
cos (ax +b)
u(x) + v(x)
a u(x)
u(x)v(x)
cos x
-sin x
a cos (ax +b)
-a sin (ax +b)
u'(x) + v'(x)
a u'(x)
u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
1
u( x )
u( x )
v( x )
u' ( x)
[u( x )]2
u ' ( x )v( x ) − u ( x )v ' ( x )
[v( x )]2
−
Equation du second degré
ax 2 + bx + c = 0
∆ = b 2 − 4 ac
- Si ∆ > 0, deux solutions réelles :
−b + ∆
−b − ∆
et x 2 =
2a
2a
- Si ∆ = 0, une solution réelle double :
x1 =
x1 = x2 = −
b
2a
- Si ∆ < 0, aucune solution réelle
Si ∆ ≥ 0, ax + bx + c = a( x − x1 )( x
Suites arithmétiques
Terme de rang 1 : u1 et raison r
Terme de rang n : un = u1 + (n–1)r
Somme des k premiers termes :
2
u1 + u2 + ... + uk =
k (u1 + u k )
2
Suites géométriques
Terme de rang 1 : u1 et raison q
Terme de rang n : un = u1qn–1
Somme des k premiers termes :
1− qk
u1 + u2 + ... + uk = u1
1− q
− x2 )
Logarithme népérien : ln
ln (ab) = ln a + ln b
ln (
a
) = ln a – ln b
b
ln (an) = n ln a
Equations différentielles
y' - ay = 0
y = k eax
y" + ω2y = 0
y = a cos ωx + b sin ωx
Trigonométrie
sin (a +b ) = sina cosb + sinb cosa
cos (a +b ) = cosa cosb – sina sinb
cos 2a = 2 cos2 a – 1
= 1 – 2 sin2a
sin 2a = 2 sina cosa
Nombres complexes (j2 = -1)
forme algébrique
forme trigonométrique
z=x+jy
z = ρ (cosθ + j sinθ )
z =x-jy
z = ρ (cosθ - j sinθ )
ρ = z
2
2
z= x + y
θ = arg(z)
Calcul vectoriel dans le plan
r r
v . v' = xx' + yy'
r
v = x2 + y2
r r
r r
Si v ≠ 0 et v ' ≠ 0 :
r r
r
r
r r
v . v ' = v × v ' cos(v , v ' )
r r
r r
v . v ' = 0 si et seulement si v ⊥v '
Aires dans le plan
$
Triangle : 12 bc sin A
Trapèze : 12 ( B + b ) h
Disque : πR2
Aires et volumes dans l'espace
Cylindre de révolution ou prisme droit d'aire de base B et de
hauteur h : Volume Bh
Sphère de rayon R :
Aire : 4πR2
Volume : 43 πR3
Cône de révolution ou pyramide de base B et de hauteur h :
Volume 13 Bh
Calcul intégral
* Relation de Chasles :
c
b
a
b
a
c
∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt
* ∫ ( f + g)(t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ g(t )dt
* ∫ kf (t )dt = k ∫ f (t )dt
6 sur 6
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a