Chapitre 3 : Annexe 1 : Les choix patrimoniaux en univers incertain I

Chapitre 3 :
Annexe 1 : Les choix patrimoniaux en
univers incertain
I)
Les choix en univers incertain: L'aversion
au risque
II) L'épargne de précaution: la prudence
III) Choix de portefeuille et risque multiple:
la tempérance
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Introduction: la Méthodologie
• Les préférences: les notions d'aversion au
risque, de prudence, de tempérance
• Les modèles théoriques: modèle d'épargne,
théorie des choix de portefeuille
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• La mesure empirique des variables de risque
• Econométrie: test des prédictions des
modèles
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Prélude: Le paradoxe de St Petersbourg
Ce paradoxe porte sur le calcul des probabilités et le
concept abstrait d'espérance mathématique. Il est dû à
Nicolas Bernoulli, dit Nicolas II dans la brillante dynastie
des Bernoulli, qui le présenta dans une lettre à un ami alors
qu'il était en poste à Saint-Petersbourg.
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• Deux joueurs A et B jouent à "pile" ou "face". A
commence et rejoue tant que "face" n'apparaît pas.
Suivant que "face" apparaît au 1er, 2ème, 3ème, 4ème ...,
n-ème coup, B devra donner 1 ducat, 2 ducats, 4 ducats,
8 ducats, ..., 2
n-1
ducats à A. Quelle somme A devrait-il
verser à B (mise) pour que le jeu soit équitable ? A va-til se risquer ?...
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 Le problème se résout aisément en termes d'espérance
mathématique de gain: la probabilité de l'événement ["face"
n'apparaît qu'au n-ème coup] est :
(1/2)
n-1
*(1/2)
= (1/2)
n
L'espérance E de gain du joueur A est donc la somme :
E=1*1/2 + 2*(1/2)2 + 4*(1/2)3 + 8*(1/2)4 +...+ 2n-1*(1/2)n +
...
Tous les termes de la somme égalent 1/2. C'est dire
finalement que l'espérance de gain du joueur A est infinie!
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L'explication de ce paradoxe donnée par Bernoulli est que
les agents ont un utilité marginale décroissante pour la
richesse et évaluent une loterie par l'espérance de l'utilité
des différentes conséquences. Bernouilli a proposé comme
fonction d'utilité sur les conséquences Log (.) d'où:
∞
U =∑
n=1
1
2
n
Log2
n−1
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€
= Log4(≈ 1,39)
I. Le modèle statique: Aversion au risque
(absolue ou relative), tolérance au risque
On suppose que les préférences des individus sont
représentées par une fonction d'utilité u(.) croissante et
concave qui ne dépend que du montant initial de richesse
W:
u(W) > 0 or < 0 ; u' > 0 ; u'' < 0
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W est connue avec certitude. Introduisons un risque
y˜
"additif" de moyenne nulle:
E y˜ =0
Exemple: une loterie avec y=a ou -a avec des
probabilités de 1/2
• Comme l'utilité u est concave, l'individu qui maximise son
espérance d'utilité, Eu(.), préfère ne pas prendre de risque. Il
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préfère toujours prendre l'espérance de la loterie, E W˜ , plutôt
que de participer au jeu. En d'autres termes, le
consommateur est averse au risque (Figure 1):
Eu(W + y˜ ) < u(W)
:
˜ = E(W + y˜ )=1/2*(W+a)+1/2*(W-a)= W
EW
Avec
L'individu est indifférent entre payer la prime de risque, P, ou
participer au jeu:
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˜ - ∏)=u(W - ∏)=u(CEW˜ )
Eu(W + y˜ )=u(E W
Où CE W˜ désigne l'équivalent certain du jeu. La prime de
risque définit le montant que l'individu est prêt à payer pour
éviter le risque.
De la même manière, on peut définir la prime de risque
compensatoire ∏*:
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L'aversion au risque
u(.) : fonction d'utilité
u(W+a)
)
Π∗
u(W)
˜)
Eu(W+ y
Π
u(W-a)
W-a
W-Π
W
W+Π∗
W: richesse initiale ; a: perte ou gain ; Π: prime de risque
Π∗: prime de risque compensatoire
W+a
Eu(W˜ + ∏*) = Eu(W+ y˜ + ∏*)
= u(EW˜ ) = u(W)
Figure 1
La prime de risque compensatoire ∏* est le montant minimum
qu'il faut donner à l'individu pour qu'il joue.
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Si le risque est petit (σy petit, proche de la moyenne),on
peut montrer (avec une approximation de Taylor) que la
prime de risque est au premier ordre ("risk aversion in the
small", Pratt, 1964):
2
∏(W, y˜ ) =∏*(W, y˜ ) = (-u''/u')σ y /2 = Aσ
/2
avec : A = -u''/ u' > 0
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2
y
A est l'aversion absolue pour le risque (Pratt, 1964). La
tolérance pour le risque est définie comme l'inverse de A:
τ=1/Α. Elle représente la propension de l'individu à
prendre des risques..
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Pour des "gros risques", on peut montrer qu'un individu
moins averse au risque (avec une fonction d'utilité u1)
qu'un autre individu (avec une fonction d'utilité u2) aura
besoin, toutes choses égales par ailleurs, une prime de
risque plus faible pour participer à la lotterie ("risk
aversion in the large", Pratt, 1964)):
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A1 < A2, ∀ W ⇒∏1 < ∏2, ∏*1 < ∏*2, ∀ W
Avec u2 une transformation concave ρ de u1:
u2=ρ(u1)
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Le théoreme de Arrow-Pratt: pour un individu avec une
aversion pour le risque décroissante (DARA), [A'(W) < 0],
la prime de risque décroît avec la richesse: ∏'(W) < 0.
On peut aussi définir l'aversion relative pour le risque :
u''
γ (W ) = −W
u'
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Application :
Le modèle de choix de portefeuille à deux actifs: l'un
certain, l'autre risqué.
R˜ r : rendement de l'actif risqué
ER˜ r = Rr (Rr > R)
σ R˜ r = σ (petit risque)
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€
˜
MaxEu(W )
˜
˜
utc. W = W [R + ω ( Rr − R)]
• Montant investi en actif risqué :
M(W ) =
(Rr − R)
2
σ A(W )
A(W) = aversion absolue pour le risque
W : richesse initiale
ω : part du patrimoine investie en actif risqué
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Le montant investi en actif risqué M(.) est proportionnel à
la tolérance vis-à-vis du risque de l'individu τ.
Pour des gros risque, on peut montrer qu'un agent moins
tolérant vis-à-vis du risque qu'un autre investira, toute
choses égales par ailleurs, un montant d'actif risqué
moindre (Arrow, 1965).
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τ1 < τ 2, ∀ W ⇔ A1 > A2 ⇔ M1(W) < M2(W)
M(W) est croissant avec le montant de la richesse si u(.) est
DARA.
La part du patrimoine investi en actif risqué est
proportionnelle à l'aversion relative pour le risque γ.
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