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LE QUADRILATERE DE VARIGO
Soit ABCD un quadrilatère quelconque et I, J, K et L les
milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
On se propose de démontrer que le quadrilatère IJKL, appelé
quadrilatère de Varignon, est un parallélogramme.
1. Création de la figure
Cliquer sur le menu Affichage puis décocher Axes.
Sélectionner le bouton (3) Polygone et construire ABCD en suivant le protocole de construction défini dans
la barre des boutons. La fenêtre algèbre ressemble à :
Le symbole " = " que l'on voit ici n'est pas le symbole "égal" des mathématiques.
Il est utilisé par souci de lisibilité.
A = (2.11,4.8) signifie : A a pour coordonnées (2,11 ; 4,8)
a = 4.26
signifie : le segment [AB] a pour longueur 4,26
poly1 = 15.65 signifie : le polygone ABCD a pour aire 15,65
Un peu de nettoyage : cliquer droit sur le segment a, il apparaît : Afficher l'étiquette (l'étiquette est le nom
de l'objet), décocher en cliquant gauche dessus. Faire de même pour les autres côtés
Sélectionner le bouton (2) Milieu ou centre et construire les milieux des segments [AB], [BC], [CD] et
[DA] (suivre le protocole).
Cliquer droit sur le milieu de [AB] et il apparaît : Renommer. Cliquer gauche et renommer le point : I.
Renommer également les 3 autres milieux : J, K et L.
Sélectionner le bouton (3) Polygone et construire IJKL. Effacer comme précédemment l'étiquette des
segments.
En cliquant droit sur le polygone ABCD ou IJKL (poly1 ou poly2) apparaît Propriétés… , cliquer gauche
et changer la couleur du remplissage, l'épaisseur des traits …
Pour rendre la figure plus lisible, il faut parfois déplacer l'étiquette des objets. Sélectionner le bouton (1)
Déplacer puis cliquer sur l'étiquette en maintenant enfoncé. Une main apparaît. Déplacer l'étiquette et
lâcher le clic.
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2. Conjecture
Sélectionner le bouton (1) Déplacer. Cliquer en maintenant enfoncé sur A. Une main apparaît. Déplacer A
et lâcher le clic.
Quelle conjecture peut-on faire sur la nature du quadrilatère IJKL ?
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3.
Devoir Maison 01 - Démonstration
Démontrer que IJKL est un parallélogramme.
COJECTURER AVEC GEOGEBRA
ABCD est un carré et ABE et CBF sont des
triangles équilatéraux.
On veut démontrer que D, E et F sont alignés.
1. Création de la figure
Cliquer sur le menu Fichier puis ouveau et décocher Axes dans le menu Affichage.
Sélectionner le bouton (3) Polygone régulier et construire ABCD (suivre le protocole).
Sélectionner le bouton (3) Polygone régulier et construire ABE (cliquer d'abord sur A puis sur B).
Sélectionner le bouton (3) Polygone régulier et construire CBF (cliquer d'abord sur C puis sur B).
Sélectionner le bouton (3) Droite passant par deux points et construire la droite (DF).
Cliquer sur le menu Editer puis Propriétés... Dans Objets, sélectionner Droite et en maintenant la touche
ctrl du clavier de l'ordinateur enfoncée sélectionner Segment. Décocher Afficher l'étiquette.
Déplacer l'étiquette des points si nécessaire.
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2. Conjecture
Déplacer le point A.
Sélectionner le bouton (8) Relation entre deux objets. Cliquer sur la droite (DF) et sur E.
Quelle conjecture peut-on émettre ?
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3.
Devoir Maison 01 - Démonstration
a. Déterminer la mesure des angles du triangle AED.
b. Déterminer la mesure des angles du triangle BEF.
c. En déduire la mesure de l'angle DEF et conclure.
LIEU GEOMETRIQUE AVEC GEOGEBRA
ABC est un triangle rectangle en C. C1 est le cercle de
centre A passant par C et C2 le cercle de centre B
passant par C. Une droite d qui pivote autour de C
coupe C1 en M et C2 en N. On note P le point
d'intersection des droites (MA) et (NB).
On se demande quel est l'ensemble des points P
lorsque d pivote autour de C.
1. Création de la figure
Cliquer sur le menu Fichier puis ouveau et décocher Axes dans le menu Affichage.
Sélectionner le bouton (2) ouveau point et construire les deux points A et B.
Pour que le triangle ABC soit rectangle en C, il faut placer C sur un demi-cercle de diamètre [AB] :
sélectionner le bouton (5) Demi-cercle créé par 2 points et construire un demi-cercle de diamètre [AB],
sélectionner ensuite le bouton (2) ouveau point et construire un point sur ce demi-cercle. Cliquer droit sur
le demi cercle, il apparaît Afficher l'objet, décocher en cliquant gauche dessus.
Sélectionner le bouton (3) Polygone et construire le triangle ABC.
Sélectionner le bouton (5) Cercle (centre-point) et construire les cercles C1 et C2. Les renommer.
Sélectionner le bouton (2) ouveau point et construire un point sur C1, le renommer M.
Sélectionner le bouton (3) Droite passant par deux points et construire la droite (MC).
Sélectionner le bouton (2) Intersection entre deux objets et construire le point d'intersection du cercle C2 et
de la droite (MC). Renommer le point créé N et décocher Afficher l'étiquette du deuxième point
d'intersection (celui qui est en C et que GeoGebra appelle D).
Sélectionner le bouton (3) Droite passant par deux points et construire la droite (MA) et la droite (NB).
Sélectionner le bouton (2) Intersection entre deux objets et construire le point d'intersection des droites
(MA) et (NB). Le renommer P .
Un peu de nettoyage : enlever les étiquettes inutiles. (Menu Editer puis Propriétés)
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2. Conjecture
Cliquer droit sur le point P, il apparaît Trace activée. Cocher en cliquant dessus.
Déplacer M sur le cercle C1 (la droite d pivote alors autour de C).
Sur quelle ligne se déplace P ?
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3.
a.
b.
c.
d.
Devoir Maison 01 - Démonstration
Démontrer que les triangles AMC et CBN sont isocèles.
En déduire que AMC + BNC = 90°.
Démontrer alors que les points A, B, C et P appartiennent à un même cercle. Lequel ?
Sur quelle ligne se déplace le point P lorsque d pivote autour de C ?