TD : Matrices, Pivot de Gauss

TD : Matrices, Pivot de Gauss
Exercice 1:
A l’aide du pivot de Gauss déterminer si les matrices suivantes sont inversibles, et le cas échéant calculer
leur inverse.




−1 2 −1
8 4 −16
1. A = −4 5 −3
3. C = 0 4 −8 
−2 2 −1
4 4 −12




1 1 1
1 −1 2
2. B = 2 −1 1
4. D =  1 −1 −1
1 0 1
−1 2 −1
Exercice 2:
Discuter, selon les valeurs du paramètre réel λ, l’existence et le nombre de solutions des systèmes
suivants. Dans chaque cas on donnera l’ensemble des solutions du système.


 −(2 + λ)x − 2y − 6z = 0
 −λx + y − z = 0
x − (1 + λ)y + z = 0
x − (2 + λ)y + z = 0
1.
2.


x + 3y + (5 − λ)z = 0
2x − (1 + λ)z = 0
Exercice
 3:


 n
a 0 0
a
0 0
Soit D = 0 b 0. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, D n =  0 bn 0 .
0 0 c
0 0 cn
Exercice 4:
On considère les matrices suivantes :






2 −1 −1
1 1 1
−1 2
2
1
1
A =  2 −1 2  P = −1 2 −1 Q = 1 1 1
3
3
−1 −1 2
1 1 1
2
2 −1
1. Calculer P 2 , Q2 , P Q, QP .
2. Déterminer deux réels a et b tels que A = aP + bQ.
3. Montrer que ∀n ∈ N, An = an P + bn Q.
Exercice 5:




−4 −6 0
2
1 0
5 0 et P = −1 −1 0.
On considère les matrices A =  3
3
6 5
0
1 1
1.
2.
3.
4.
5.

 
x


Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l’équation AX = λX où X = y  admet
z
une infinité de solution. Dans chaque cas on donnera l’ensemble des solutions de l’équation.
Montrer que P est inversible et calculer son inverse.
Expliciter la matrice D définie par A = P DP −1.
Montrer que pour tout n ∈ N, An = P D n P −1.
Expliciter alors An .
ECE2
Page 1
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Correction
Exercice 1:
1.
2.


−1 2 −1
A = −4 5 −3
−2 2 −1
↓


−1 2 −1
 0 3 −1
L2 ← 4L1 − L2
0 2 −1
L3 ← 2L1 − L3
↓


L1 ← 3L1 − 2L2
−3 0 −1
 0 3 −1
L3 ← 2L2 − 3L3
0 0 1
↓


−3 0 0
L1 ← L1 + L3
 0 3 0
L2 ← L2 + L3
0 0 1
 ↓ 
1 0 0
L1 ← −1
L1
3
1
0 1 0
L2 ← 3 L2
0 0 1


1 0 −1
A est donc inversible et A−1 = 2 −1 1 .
2 −2 3


1 1 1
B = 2 −1 1
1 0 1
 ↓ 
1 1 1
0 3 1
0 1 0
 ↓ 
1 1 1
0 1 0
0 3 1
 ↓ 
1 0 1
0 1 0
0 0 1
 ↓ 
1 0 0
0 1 0
0 0 1

1
1
−1

1
0
B est donc inversible et B =
−1 −1
ECE2
L2 ← 2L1 − L2
L3 ← L1 − L3
L2 ↔ L3
L1 ← L1 − L2
L3 ← L3 − 3L2
L1 ← L1 − L3


1 0 0
I =  0 1 0
0 0 1
↓


1 0
0
4 −1 0 
2 0 −1
↓


−5 2 0
 4 −1 0
2 −2 3
↓


−3 0 3
 6 −3 3
2 −2 3
↓


1 0 −1
2 −1 1 
2 −2 3


1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
↓


1 0
0
2 −1 0 
1 0 −1
↓


1 0
0
1 0 −1
2 −1 0
↓


0
0
1
1
0 −1
−1 −1 3
↓


1
1 −2
1
0 −1
−1 −1 3

−2
−1.
3
Page 2
TD : Matrices, Pivot de Gauss
3. On remarque que dans C on a L1 + L2 = 2L3 donc on sait à l’avance que C ne sera pas inversible.


8 4 −16
C = 0 4 −8 
4 4 −12
↓


8 4 −16
0 4 −8 
0 4 −8
↓


8 4 −16
0 4 −8 
0 0 0
L3 ← 2L3 − L1
L3 ← L2 − L3
C est équivalente à une matrice triangulaire possédant un 0 sur sa diagonale donc C n’est pas
inversible.
4.

1 −1 2
D =  1 −1 −1
−1 2 −1
↓


1 −1 2
0 0 3
L2 ← L1 − L2
0 1 1
L3 ← L1 + L3
↓


1 −1 2
0 1 1
L2 ↔ L3
0 0 3
 ↓ 
1 0 3
L1 ← L1 + L2
0 1 1
0 0 3
 ↓ 
1 0 0
L1 ← L1 − L3
0 3 0
L2 ← 3L2 − L3
0 0 3
 ↓ 
1 0 0
0 1 0
L2 ← 13 L2
L3 ← 31 L3
0 0 1


1
1
1
Donc D est inversible et D −1 = 2/3 1/3 1
1/3 −1/3 0
ECE2

Page 3


1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
↓


1 0 0
1 −1 0
1 0 1
↓


1 0 0
1 0 1
1 −1 0
↓


2 0 1
1 0 1
1 −1 0
↓


1 1 1
2 1 3
1 −1 0
↓


1
1
1
2/3 1/3 1
1/3 −1/3 0
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