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MC458 - Projeto e An´
alise de Algoritmos I
Lista de Exerc´ıcios 3
1. Implemente o algoritmo for¸ca bruta Θ(n2 ) e o algoritmo recursivo Θ(n log n) para o problema
maximum-subarray e reporte para que tamanho de vetor o algoritmo recursivo passa a ser mais
r´apido do que o algoritmo for¸ca bruta. Relembrando: No problema maximum-subarray temos
como entrada um vetor v[1, . . . , n] com n n´
umeros racionais e devemos achar um sub-vetor
definido por posi¸c˜
oes i e j, tal que i ≤ j e
j
X
v[k]
k=i
seja m´aximo. Se este m´
aximo for menor que zero ent˜ao o sub-vetor vazio ´e a solu¸c˜ao ´otima.
2. Projete por indu¸c˜
ao um algoritmo para o problema maximum-subarray utilizando a seguinte
ideia: Dado uma posi¸c˜
ao i ≥ 1, um sufixo de v[1 . . . i] ´e um sub-vetor v[j . . . i] para 1 ≤ j ≤ i
ou o vetor vazio. Mostre, projetando um algoritmo por indu¸c˜ao, que ´e poss´ıvel computar
o maximum-subarray de um vetor com n elementos, e tamb´em o seu sufixo de maior valor.
Projete o algoritmo para o maximum-subarray com complexidade de tempo linear Θ(n). Fa¸ca
a an´alise de seu algoritmo para mostrar esta complexidade.
3. No algoritmo de Strassen as matrizes A e B s˜ao divididas em 2×2 blocos de sub-matrizes cada, e
obtˆem-se a multiplica¸c˜
ao A · B fazendo-se 7 multiplica¸c˜oes de sub-matrizes n/2 × n/2. Suponha
que A e B sejam divididas em 3 × 3 blocos e possamos computar A · B com k multiplica¸c˜oes de
sub-matrizes. Qual o maior valor poss´ıvel para k tal que a complexidade do algoritmo resultante
com m´etodo seja o(nlog2 7 )?
4. Considere o problema maximum subarray product: temos como entrada um vetor v[1, . . . , n]
com n n´
umeros racionais e devemos achar um sub-vetor definido por posi¸c˜oes i e j, tal que
i≤j e
j
Y
v[k]
k=i
seja m´aximo. O vetor vazio possui valor 1. Projete um algoritmo por indu¸c˜ao para este problema
e analise a complexidade de tempo do mesmo.
5. Mostre como multiplicar dois n´
umeros complexos a + bi e c + di usando trˆes multiplica¸c˜oes de
n´
umeros reais. O seu algoritmo deve tomar os coeficientes a, b, c e d como entrada e produzir
os componentes resultantes (ac − bd) e (ad + bc).
6. Considere o problema: Dado um n´
umero x > 0, encontre a maior potˆencia de 2 que seja menor
ou igual a x, ou seja, encontrar maior inteiro j tal que 2j ≤ x. Escreva um algoritmo para
resolver este problema onde vocˆe n˜
ao pode usar a fun¸c˜ao logar´ıtmica. Qual o tamanho da
entrada e qual a complexidade de tempo do seu algoritmo?
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