5 Vecteurs et translation

5 Vecteurs et translation
Chapitre 9 p 197
1. Définitions
1. 1. Translation et vecteur
Activité 1. 1. 1. Sur Geogebra
A est le point de coordonnées ( 2;-2 )
A' est le point de coordonnées ( 8;1 )
B est le point de coordonnées ( 3;2 )
C est le point de coordonnées ( 5;-1 )
F est le point de coordonnées ( 5;3 )
On définit la transformation t du plan de la manière suivante:
À tout point M du plan on fait correspondre le point M' = t ( M )
défini par:
M' est le symétrique de A par rapport au milieu de [ MA' ].
a. Construire B ' =t  B , C ' =t C  et F ' =t  F 
b. Quelle est la nature du quadrilatère AA'B'B, AA'C'C, AA'F'F
et, de manière générale, AA'M'M?Justifier. Le parallélogramme
AA'F'F sera qualifié de " parallélogramme aplati ".
c. Pourquoi A' est-il égal à t ( A )?
Définition
|| A et A' sont deux points quelconques du plan.
|| La translation transformant A en A' est la transformation qui
||
à tout point M du plan fait correspondre le point M' tel que:
||
AA'M'M est un parallélogramme ( éventuellement aplati ).
|| La famille des couples ( M, M') ainsi construits est un vecteur ( noté 
A A' )
|| Chaque élément de la famille est un représentant de ce vecteur.
Activité 1. 1. 1. ( suite ).
d. Créer le vecteur 
AA '
Retrouver les images de B, de C, de F en utilisant la translation de
Geogebra.
e. Créer le vecteur 
CC ' .
Au lieu de définir la translation avec le couple ( A, A' ), on le définit avec
le couple ( C, C' ). Change-t-on, alors, les images des points D, E, F et M
en général?
Comment, donc, peut on appeler, autrement, la famille 
AA ' ?
Pourquoi peut-on écrire 
AA ' =
CC ' =
DD ' =...=
MM ' ?
Proposition
1
|| La translation de vecteur 
AB est la translation
||
qui transforme A en B.
||
On la note t 
AB
|| Les phrases suivantes sont équivalentes:
||

AB=
CD ,
||
t
t CD ,
AB = 
||
ABDC est un parallélogramme ( éventuellement aplati ),
||
||
[ AD ] et [ BC ] ont le même milieu.
{
( AB ) et ( CD ) ont la même direction
(A,B) et ( C,D) ont le même sens
AB=CD
Notation:
Un vecteur est souvent noté u , v , i , j , 
w , etc... C'est toujours le nom d'une
famille définie par une translation.
Proposition:
|| Le point I est le milieu de [ AB ] si, et seulement si, 
AI =
IB
Exercice 1. 1. 2. a. Soit le triangle RST. On demande de construire le point E ( resp. F ) image de T
( resp. R ) par la translation de vecteur 
RS ( resp. 
TS ).
b. Donner deux vecteurs égaux à 
TR . Justifier.
c. Que peut-on dire de S par rapport à E et F. Justifier.
Exercice 1. 1. 3. ABCD et un carré. K est le milieu de [ BC ]. E est le symétrique de D par rapport
à K. En donnant des arguments uniquement d'ordre vectoriel répondre aux questions suivantes:
a. Que peut-on dire des vecteurs 
EC ?
BD et 
b. Que peut-on dire des vecteurs 
AB et BE ?
c. Que peut-on dire de B par rapport à [ AE ]?
Exercice 1. 1. 4. ABCD est un parallélogramme de centre O et E le point défini par 
BE =
AO .
1. Faire une figure. 2. Démontrer que 
3. Démontrer que 
OE =
AB .
OE =
DC .






4. Que peut-on dire de OC et BE ? de OB et de CE ? de DO et de CE ?
1. 2. Coordonnées d'un vecteur
Activité 1. 2. 1. On reprend les hypothèses de l'activité 1. 1. 1.
1. Pour "aller " de A en A' j'avance de ...? et je "monte" de ...? ( ne pas répondre sur la fiche !!! )
2. Mêmes questions pour aller de B en B', de C en C', de F en F', d'un point M quelconque à son
image t ( F )?
3. Quels sont les coefficient directeurs des droites (AA' ) et ( BB' )? Que peut-on en déduire à
propos des droites concernées? pouvait-on s'y attendre?
5. Quels sont les coefficient directeurs des droites ( AB ) et ( A'B' ).
6. Que peut-on dire à propos du quadrilatère ABB'A'? ( justifier ), du quadrilatère ACC'A'? ( sans
justifier ), du quadrilatère BB'F'F?
Définition
2
|| Si u =
AB alors
{
x u est ce dont j'avance
pour aller de A à B.
y u est ce dont je monte
{
x
= x B− x A
AB
y
= y B− y A
AB
|| u et v sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
Exercice 1. 2. 2. Ex 21, 22 p 212
Exercice 1. 2. 3. Ex 24, 25 p 212
x x
xI = A B
2
Proposition: || Le point I est le milieu de [ AB ] si, et seulement si,
y A y B
y I=
2
Exercice 1. 2. 4.
Exercice 1. 2. 5. Ex 5, 8 p 210
|| Les coordonnées du vecteur 
AB sont les nombres
{
2. Somme de deux vecteurs
2. 1. Définition
Activité 2. 1. Dans Geogebra trouver dans la barre de menu la commande translation. De cette
manière déterminer l'image de E par la translation de vecteur u puis l'image de cette image par la
translation de vecteur v . On dit alors qu'on enchaîne, dans cet ordre, les deux translations t u et t v
Faire la même chose pour F et G. Que peut-on dire, pour les trois points, des vecteurs

Point de départ Point d ' arrivée . Faire la construction à la main, sur la figure ci-dessous. Justifier.
Définition
|| u et v sont deux vecteurs. Le vecteur u + v est le vecteur de la translation
|| composée en enchaînant les deux translations t u et t v :
||
t v u  M =t u v  M =t u t v  M =t v t u  M 
Exercice 2. 1. 1. ABC est un triangle. Construire les
points M et N définis par les égalités vectorielles:

AM =
AB
AC , 
AN =
CB
AB .
3
Propriété
|| A et B sont deux points quelconques.
de Chasles
|| Pour tout point C, 
AB = 
AC + 
CB
Exercice 2. 1. 2.
Illustrer sur la figure ci-dessus.
Deux constructions :
en utilisant deux bipoints consécutifs : Chasles ;
en utilisant deux bipoints de même origine: règle
dite du parallélogramme .
Exercice 2. 1. 3. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ), ( 7; - 1) et
( -1; 2 ).
a. Construire les points E, F et G définis par les égalités suivantes:

AE=
AB
AC , 
CF =
AD
DB , 
DG=
CB
AD .

b. Lire les coordonnées des vecteurs 
,
AB AC et 
AE . Quelle remarque peut-on faire? Y a-t-il la
même relation entre les coordonnées des vecteurs 
CF , 
AD et 
DB .
Proposition || x u v = x u x v et y u v = y u y v .
Exercice 2. 1. 3. ( suite ) Donner les coordonnées de 
CB , 
AD . En déduire celles de 
DG . Vérifier
sur le graphique.
2. 2. Le vecteur nul
Définition:
|| u 0= 
0 
u= 
u:
|| 0 est le vecteur de la translation qui, à tout point M,
||
fait correspondre le point M lui-même.
|| C'est le vecteur 
AA , 
BB , ..., 
MM , ...
|| Les coordonnées de 0 sont ( 0; 0 ).
2. 3. L'opposé
Définition
|| −
u u =u −u = 
0:
|| Si u est le vecteur de la translation qui à M fait correspondre le point M',
|| −u est le vecteur de la translation qui, au point M' fait correspondre le point M.
||
−
AB = 
BA
|| x −u =−x u et y −u=− y u .
4
Exercice 2. 3. 1. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ), ( 7; - 1) et
( -1; 2 ).
a. Construire les points E, F et G définis par les égalités suivantes:

AE=
AB−
AC , 
CF =
AD−
DB , 
DG=
CB−
AD .
b. Déterminer les coordonnées des points E, F et G.
c. Construire le point H défini par 
AH =
BC
AD−
FD d. Déterminer ses coordonnées.
3. Produit d'un vecteur par un nombre réel
3. 1. Définition
Définition
|| u est le vecteur de coordonnées ( x; y ). k est un réel.
|| Par définition, le vecteur k u est le vecteur de coordonnées ( k x; k y ).
Conséquences || k u est un vecteur dont les représentants ont
||
la même direction que ceux de u
||
sens que ceux deu si k 0
{lele même
sens contraire si k0
||
une longueur égale au produit de celle de ceux de u par
0
{−kk sisikk0
Activité 3. 1. 1. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ), ( 7; - 1) et
( -1; 2 ).
a. Représenter les points E et F tels que 
AE=2 
AB , 
CF =3 
CD .
b. Quelles sont les coordonnées des points E et F. Donner une réponse graphique et une réponse
par le calcul.
c. Peut-on voir un rapport entre les distances AE et AB, entre CF et CD. Justifier géométriquement
ces réponses.
Exercice 3. 1. 2. Placer, dans la figure suivante les points M, N et P définis par:
3

BN =
CA− 
BA et 
AM =−2 
AC , 
CP=3 
AB
CA−2 
CB .
2
5
Proposition
|| Le point I est le milieu de [ AB ] si, et seulement si,
•
•
Définition
1

OI = 
OA
OB
2
x x
xI = A B
2
y A y B
y I=
2
{
|| Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si, et seulement si,
||
il existe un réel k tel que v=k u ou u =k v
|| donc si les coordonnées de u et de v sont colinéaires.
Exercice 3. 1. 3. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 1; 7 ), ( 7; - 1) et
( -1; 2 ).
Les vecteurs 
AD et 
CB sont-ils colinéaires?et les vecteurs 
AC ?
DB et 
Exercice 3. 1. 4. A et B sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ). Déterminer
l'ordonnée de C d'abscisse 6 tel que 
AC et 
AB soient colinéaires.
Proposition
||Les vecteurs 
AB et 
CD sont colinéaires si, et seulement si,
||
* soit l'un des vecteurs au moins est nul;
||
* soit les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles.
Conséquences || Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,
||
les vecteurs 
AB et 
AC sont colinéaires.
Exercice 3. 1. 5. Ex 102 et 103 p 220
Exercice 3. 1. 6. Ex 105 p 220
4. Distance de deux points, norme d'un vecteur
On se situe nécessairement dans un repère orthonormé O ; i , j .
Proposition
|| Les points A et B ont pour coordonnées  x A ; x B  et  x X ; y B  .
|| alors la distance AB est égale à
 x
B
−x A2 y B − y A 2 .
|| Ce nombre est aussi appelé norme du vecteur 
AB .
|| De manière générale, on note ∣∣u∣∣ le nombre ∣∣u∣∣=  x 2u y 2u .
Exercice 4. 1. Ex 100 p 219
Exercice 4. 2. Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; i , j . A et B sont les points de
1 3
coordonnées ( 1; 0 ) et ( 0; 0). C est le point de coordonnées ( ;
). Que peut-on dire du triangle
2 2
ABC?
A, B et C sont les points de coordonnées ( 2; 3 ), ( 4; 0 ) et ( 9; 5 ). Que peut-on dire du triangle
ABC?
TD Ex 106 p 220; Ex 107 p 220
6
Correction des exercices vecteurs et translations
1. Définitions
1. 1. Translation et vecteur
Ex 1. 1. 2. a. 
TR=
ES =
SF .En

effet 
donc
TESR
est un
TE= RS
parallélogramme donc TRSE est
un parallélogramme donc

TR=
ES . Même démonstration
pour 
TR=
SF .
c. 
ES =
SF donc S est le milieu
de [ EF ].
Ex 1. 1. 3. a. [ BC ] et
[ ED ] ont le même
milieu ( E ) donc

BD=
EC .
b. 
BD=
EC donc
BDCE est un
parallélogramme donc
DCEB est un
parallélogramme donc

BE =
DC . 
AB=
DC
puisque ABCD est un
parallélogramme. Donc

AB=
BE .
c. 
AB=
BE donc B est
le milieu de [ AE ].
7
Ex 1. 1. 4.
2. 
BE =
AO donc
BEOA est un
parallélogramme, donc
OEBA est un
parallélogramme
donc 
OE =
AB .
3. 
AB=
DC puisque
ABCD est un
parallélogramme.

OE =
AB d'après la
question précédente.
Donc 
OE =
DC .


4. OC = AO puisque
O est le milieu de
[ AC ]. 
AO=
BE par
hypothèse. Donc

OC =
BE .

OC =
BE donc OCEB est un parallélogramme donc OBEC est un parallélogramme, donc 
OB=
CE .






DO=OB puisque O est le milieu de [ DE ]. Or OB=CE donc DO=CE .
On peut donc faire plusieurs remarques: ( EO ) coupe [ BC ] en son milieu.

DO=
OE =
CE et par conséquent 
OD=
EO=
EC : la famille peut ici prendre trois noms.


De même pour 
.
AB= DC = OE
1. 2. Coordonnées d'un vecteur
2. 3. L'opposé
Exercice 2. 3. 1. a. 
AE=
AB−
AC=
AB
CA=
CA
AB=
CB , 
CF =
AD
BD , 
DG=
CB
DA
{−22 B {33
1
7

C { A
AB {
5
−1
CA {−5
{−22 
−1
A
8

AB−
AC =
AB
CA=
AE
{1−5=−4
5−1=4
= x E − x A donc x E = x A x 
=2−4=−2 et,
b. x 
AE
AE
=−2 4=2 .
de la même manière, y E = y A x 
AE
c. 
AH =
BC
AD
DF = 
BC 
AF =
AF 
BC
−2
3
7  4
B { C {
AF {
BC {
{−22 F {02 
4
3
−1
−4
2   2
22=4
A {
AF  BC { H {
−2
0
−2−2=−2
A

AF 
BC
4−2=2
{−44=0
3. Produit d'un vecteur par un nombre réel
3. 1. Définition
Exercice 3. 1. 2.
Exercice 3. 1. 3.
A
−3
AD { 4
{−22 D {−12 
C
{−17 B {17
{−12 B {17
A
5
AC { les coordonnées ne sont pas proportionnelles
{−22 C {−17 
1
colinéaires: 
CB =2 
AD .
D
9

DB
{52

CB
AD et 
CB sont
{−68 . Les deux vecteurs 
donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Exercice 3. 1. 4.
A
{−22 B {33

AB
Appelons y l'ordonnée, pour l'instant inconnue, de C.
{15
A
{−22 C {6y

AC
4
Les deux vecteurs sont colinéaires si, et
{ y2
seulement si, les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit si 4×5−1× y2=0
c'est à dire si y2=20 c ' est à dire y=18 .
Exercice 102 p 220
{−33 B {−15 AB {−48
7
3
−4
1. b. D { C { 
DC
{
a
4
4−a
1. a. A
2. ABDC est un trapèze de bases
[ AB ] et [ CD ] si, et seulement si,
( AB ) // ( CD ) et ceci si, et seulement
si, 
AB et 
CD sont colinéaires. Ces
vecteurs sont colinéaires si, et
seulement si, leurs coordonnées sont
8
−4
=
proportionnelles soit si
−4 4−a
−4−4
=2 . Ceci
donc si 4−a=
8
équivaut à 4−2=a ou a=2 .
Exercice 103 p 220
x−5
CD { y−3
{53 D { xy 
5
2 
CA {−3
C { A {
3
−3
−6
1  −1
CA {
−2
3
1

CD= 
CA ⇔ x−5=−1 Donc D a
{ y−3=−2
3
x=4
pour coordonnées {
.
y=1
2. C
1
65 11
x E =  x B x C =
=
2
2
2
1
−23 1
y E =  y B y C =
=
2
2
2
{
{
2
6
B est le milieu de [ AF ] ⇔ 
AB=
BF : A −3 B −2 
AB

AB=
BF ⇔
10
x=10
. F {
.
{ x−6=4
y2=1
y=−1
{14 B {−26 F { xy

BF
.
{ x−6
y2
{ {
11
2 
4
3. a. D
E
. DE
1
1
2
{
3
2
4
10 
.D
F
1
−1 DF
−1
2
{ {
10−4=6
{−1−1=−2
3. b. 
DF =4 
DE donc les vecteurs 
DF et 
DE étant colinéaires, les droites ( DF ) et ( DE ) sont
parallèles. Comme elles passent toutes les deux par le point D, elles sont identiques= la droite
( DE ) est la droite ( DF ): les points D, E et F appartiennent à la même droite: les points D, E et F
sont alignés.
Exercice 105 p 220
2.

MN =
MA
AN =−
MA
AN =−
kAB
kAC =k −
AB
AC =k  
BA
AC =
kBC .
3. On sait que ∣∣k 
u∣∣=k ∣∣u∣∣ si k > 0 et ∣∣k 
u∣∣=−k ∣∣
u∣∣ si k < 0.
On rappelle qu'on appelle ∣∣u∣∣ la longueur commune de tous les représentants de u :
Si 
AB=u
AB∣∣= AB .
 alors ∣∣u∣∣=∣∣
{
AM =k AB=2,5×3=7,5
Si k = 2,5 alors AN =k AC =2,5×5=12,5
MN =k BC =2,5×6=15
11
{
AM =−k AB=2
−2
10
Si k =
alors AN =−k AC= .
3
3
MN =−k BC =4
4. Distance de deux points, norme d'un vecteur
Exercice 4. 1. Ex100 p 219
2. a. ABCD est un parallélogramme ⇔

AB=
DC
−3  −3−−1=−2
B {
AB {
{−1
−4
−1
−14=3
x
3
3−x
D { C { 
.
y
3 DC {3− y
3− x=−2
5

AB=
DC ⇔ { 3− y=3 . Donc D {0 .
c. A
3. Pour démontrer que le
parallélogramme ABD est un rectangle
nous allons montrer qu'il a un angle
droit ( un seul suffit car cela entraine
que tous les autres le sont ).
Pour cela nous allons démontrer que le
triangle ABC est rectangle.
2
2
AB=∣∣
AB∣∣=   x B −x A2 y B − y A 2 = x 
 y
=  −2232= 13
AB
AB
2
2
2
 y
=13 .
Mais il est plus facile de calculer AB 2 : AB = x 
AB
AB
De même BC 2= x C − x B 2 y C − y B 2=6 242 =52 et AC 2=4 27 2=65
Or 1352=65 donc AC 2= AB 2 BC 2 . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est
rectangle en B.
Exercice 4. 2.
A
{10 B {00

AB
{−10
AB 2=−120 2=1
{ {
{ {
1
−1
2
2
2 
2
1
−1
3
1 3

2
AC
=
A
C
AC =

=  =1 .
0
3
3


2
2
4 4
2
2
{
1
2 
0
B
C
BC
0
3
2
{
   
1
2
2
2
1
3
13 4

2
BC =

=
= =1
3
2
2
4
4
2
  
On peut conclure que ABC est équilatéral
{23 B {04 AB {−32 AB =2 −3 =13
2
9
7
A { C { 
3
5 AC { 2 AC =494=53
2
A
2
12
2
2
B
{04 C {95

BC
{55
BC 2=2525=50
On ne peut rien dire (!) du triangle: en tout cas il n'est pas rectangle comme il pourrait le sembler
sur la figure
13