Chapitre 1.6 – L`oscillation vertical d`un système bloc
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Chapitre 1.6 – L`oscillation vertical d`un système bloc
Chapitre 1.6 – L’oscillation vertical d’un système bloc-ressort La dynamique d’un système masse-ressort à la verticale L’application de la 2ième loi de Newton à un système masse-ressort oscillant à la verticale sans frottement sous l’effet de la gravité génère une équation différentielle égale à l’oscillateur harmonique simple OHS dont la solution est le mouvement harmonique simple MHS. La fréquence naturelle d’oscillation 0 associée au système masse-ressort dépend de la racine carrée du rapport entre la constante de rappel k du ressort et de la masse m de l’objet : xt A sin0 t où Systèmes bloc-ressort en oscillation verticale g tel que k m 0 xt : Position de la masse selon l’axe x ( x 0 est à l’équilibre) (m) A : Amplitude du mouvement (m) 0 : Fréquence angulaire naturelle d’oscillation du système masse-ressort (rad/s) k : Constante de rappel du ressort (N/m) m : Masse de l’objet en oscillation (kg) t : Temps écoulé durant l’oscillation (s) : Constante de phase (rad) Preuve : À partir de la 2ième loi de Newton, évaluons la position d’équilibre d’un système masse-ressort oscillant à la verticale sous l’influence de la gravité : Masse sous le ressort g xm Ressort au repos non déformé (sans masse) eeq 0 e0 Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina eeq Masse au-dessus du ressort xm e 0 g eeq 0 eeq Page 1 Masse sous le ressort g xm Fr eeq e e eeq 0 Ressort à l’équilibre ( ax 0 ) Masse au-dessus du ressort g xm Fr eeq e e eeq 0 mg ax 0 Fr mg mg ax 0 Fr mg Remarque : Les positions de la masse x 0 coïncide avec la position à l’équilibre ( Fx 0 ). On utilise le vecteur eeq pour mesurer l’étirement du ressort à l’équilibre. Le point d’équilibre x 0 est toujours sous la position du ressort non déformé. À l’équilibre, nous avons F 0 : Fr mg 0 F 0 ke mg 0 k eeq mg 0 keeq mg (Force du ressort et force gravitationnelle) (Remplacer la force du ressort, Fr ke ) (Remplacer l’étirement à l’équilibre, e eeq ) (Isoler keeq , relation à l’équilibre vectorielle) keeq mg (Relation à l’équilibre en module) De plus, on peut exprimer la force Fr exercée par le ressort par rapport à l’axe x avec eeq mg / k : Définition vectorielle : Fr k x eeq où e x eeq Définition scalaire selon l’axe x : Fr k x eeq où e x eeq N.B. Puisque eeq est toujours orienté vers le bas, il est dans le sens négatif de l’axe x. Masse au-dessus du point d’équilibre : ( a x 0 ) Masse sous le point d’équilibre : ( a x 0 ) g xm Fr e eeq 0 x eeq e 0 eeq xm e eeq eeq 0 x eeq e eeq e 0 em mg ax x 0 Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina e 0 g e x e mg Fr ax eeq em x eeq 0 eeq x 0 Page 2 Appliquons la 2ième loi de Newton à notre masse : F ma Fr mg ma k x eeq mg ma kx keeq mg ma kx mg mg ma kx ma kx ma x k ax x m 2 a x 0 x x A sin 0 t (Force du ressort et force gravitationnelle) (Remplacer Fr k x eeq ) (Distribution de k) (Position d’équilibre, keeq mg ) (Simplifier mg ) (Décomposer selon l’axe x) (Isoler a x ) (Remplacer 0 k / m , forme de l’OHS) 2 ■ (Solution de l’OHS : MHS) Situation 1 : La détermination du champ gravitationnel. Albert fait un naufrage sur une planète inconnue. Il accroche une pierre à un ressort idéal vertical de masse négligeable dont l’extrémité supérieure est maintenue fixe. Il observe que la position d’équilibre de la pierre correspond à un étirement de 50 cm par rapport à la longueur naturelle du ressort. En donnant une impulsion verticale à la pierre, il observe qu’elle oscille verticalement en effectuant 36 oscillations en 1 minute. À partir de ces observations, Albert désire déterminer le module du champ gravitationnel à la surface de la planète. (Il ne connaît ni la constante de rappel, ni la masse de la pierre!) À partir des 36 oscillations par minutes, évaluons la fréquence naturelle f 0 de l’oscillation : nb tours t f0 f0 36 60 f 0 0,6 s 1 Évaluons maintenant la fréquence angulaire naturelle 0 de l’oscillation : 0 2 f 0 0 2 0,6 0 3,77 rad/s Avec l’allongement eeq 50 cm du ressort à l’équilibre, nous pouvons développer la relation suivante avec la 2ième loi de Newton selon l’axe y : F y 0 Fr mg 0 (Force du ressort et force gravitationnelle) ke mg 0 (Remplacer la force du ressort, Fr ke ) k mg eeq (Isoler k et remplacer e eeq , équilibre) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3 Avec l’expression de la fréquence angulaire en fonction de k et m, nous pouvons évaluer le champ gravitationnel g : k m 0 mg / e 0 0 0 2 g eeq 0 g 0,53,77 g 7,11 N/kg (Remplacer k eq m g eeq mg ) eeq (Simplifier m et manipulation) g eeq (Mettre au carré) 2 (Isoler g) 2 (Remplacer valeurs numériques) (Évaluer g) L’énergie d’un système masse-ressort à la verticale Analysons l’énergie d’un système masse-ressort oscillant à la verticale avec les équations du mouvement suivantes selon la convention x y 0 : xt A sin t v x t et k /m où Situation 1 : A eeq 0 Condition d’équilibre : x y 0 lorsque e eeq et mg keeq Hauteur maximale E K Ur Ug xm d xt A cos t dt vx 0 E Ur Ug E g e ( K 0 , car v 0 ) 1 2 ke mgy 2 1 2 E k A eeq mgA 2 1 2 E k A 2 2 Aeeq eeq mgA 2 1 1 2 E kA 2 keeq kAeeq mgA 2 2 1 1 2 E kA 2 keeq Amg keeq 2 2 1 1 2 E kA 2 keeq 2 2 Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina (Définition de U r et U g ) ( e x eeq et x y A ) (Distribution du carré) (Distribution de 1 k) 2 (Factoriser A) (Utiliser mg keeq ) Page 4 Situation 2 : Vitesse maximale et position d’équilibre E K Ur Ug xm A g v x v x max eeq e 0 E K Ur E Situation 3 : ( U g 0 , car y 0 ) 1 2 1 2 mv ke 2 2 1 1 2 2 E m A k eeq 2 2 1 1 2 E mA 2 2 keeq 2 2 1 k 1 2 E mA 2 keeq m 2 2 1 1 2 E kA 2 keeq 2 2 Situation quelconque E K U r U g (Définition de K et U r ) ( v v max A , e eeq ) (Distribution du carré) (Remplacer 2 k / m ) (Simplifier m) et W t E K Ur Ug 1 2 1 2 mv ke mgy 2 2 1 1 2 E mv 2 k x eeq mg x 2 2 1 1 2 E mv 2 k x 2 2 xeeq eeq mgx 2 2 1 1 1 2 E mv 2 kx 2 kxeeq keeq mgx 2 2 2 1 1 1 2 E mv 2 kx 2 keeq xmg keeq 2 2 2 1 1 1 2 E mv 2 kx 2 keeq 2 2 2 1 1 1 2 2 2 E m A cosW k A sin W keeq 2 2 2 1 1 1 2 E mA 2 2 cos 2 W kA 2 sin 2 W keeq 2 2 2 1 1 1 2 E kA 2 cos 2 W kA 2 sin 2 W keeq 2 2 2 1 1 2 E kA 2 cos 2 W sin 2 W keeq 2 2 1 1 2 E kA 2 keeq 2 2 E Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina (Déf. de K , U r et U g ) ( e x eeq et y x ) (Développer le carré) 1 (Distribuer k ) 2 (Factoriser x) (Utiliser mg keeq ) (Remplacer x et v) (Développer le carré) 1 1 ( mA 2 2 kA 2 ) 2 2 1 (Factoriser kA 2 ) 2 ( cos 2 sin 2 1 ) Page 5 L’énergie d’un système masse-ressort sans frottement à la verticale Avec le théorème de la conservation de l’énergie, nous pouvons affirmer que l’énergie totale d’un système masse-ressort oscillant sans frottement à la verticale est définie par l’équation suivante selon la convention x y 0 : E 1 2 k A2 eeq 2 où k / m où E ou 1 2 m 2 A2 eeq 2 Condition d’équilibre : x y 0 lorsque e eeq et mg keeq E : Énergie total du système masse-ressort à la verticale (J) k : Constant du ressort (N/m) A : Amplitude maximale de l’oscillation (m) eeq : Étirement ou compression du ressort à l’équilibre (m) L’énergie et l’association à l’amplitude Pour avoir un système masse-ressort oscillant à la verticale sous l’effet de la gravité ayant une énergie totale égale à E ½ kA 2 , il faut établir une relation particulière entre x et y ( x y 0 ). Ainsi, la position y 0 n’est pas située au centre de l’oscillation x 0 . Ceci est une conséquence de l’équation U g mgy qui possède une position y 0 arbitraire. Relation classique1 ( x y eeq / 2 ) 1 1 E kA2 m 2 A2 tel que 2 2 1 1 E m 2 x 2 mv 2 où x = 0 à l’équilibre. 2 2 À l’équilibre : U U g U r 0 xm A eeq 0 vx 0 e eeq 2 0 x 1 A E 1 2 k A2 eeq tel que 2 1 1 E mgy ke 2 mv 2 où y = 0 à l’équilibre. 2 2 1 2 À l’équilibre : U U g U r keeq 2 xm ym g Relation précédente ( x y ) A eeq 0 vx 0 g e ym A 0 eeq 2 La preuve est disponible dans le livre de référence à la page 63. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 6 Situation 2 : Une chute sur un ressort. Un ressort idéal de 40 cm de longueur, dont la constante de rappel est de 25 N/m, est placé dans un tube vertical sans frottement dont le rôle est de le maintenir en position verticale (schéma ci-contre). On laisse tomber un bloc de 0,25 kg dans le tube : au moment où il entre en contact avec le ressort, il se déplace à 1 m/s. On a appliqué un peu de colle sous le bloc : par conséquent, il demeure collé au ressort et oscille verticalement. On désire déterminer la longueur du ressort (a) au point le plus haut et (b) au point le plus bas de l’oscillation. Évaluons la compression du ressort eeq lorsque le bloc est à l’équilibre à l’aide de la 2ième loi de Newton selon l’axe y. La compression eeq correspond à la compression du ressort lorsque le bloc est au centre de son MHS : F N.B. y ma y Fr mg ma y (Remplacer forces) Fr mg 0 ( a y 0 , car équilibre) ke mg 0 k eeq mg 0 (Remplacer Fr ke ) (Remplacer e eeq , car équilibre) 25eeq 0,259,8 0 (Remplacer valeurs num.) eeq 0,098 m (Évaluer eeq ) Puisque le bloc tombe sur le ressort, cette mesure est une compression. Évaluons l’énergie totale E du système au moment où le bloc entre en contact avec le ressort. Prenons comme convention x y 0 à la position d’équilibre : v 1 m/s (vitesse du bloc au contact) y eeq 0,098 m (au-dessus du point d’équilibre) e0 (ressort à longueur naturelle) E K U E K U r U g E K 0 U g (Remplacer U U r U g ) ( U r 0 , car e 0 ) 1 (Remplacer K et U g ) E mv 2 mgy 2 1 2 E 0,251 0,259,80,098 (Remplacer valeurs num.) 2 E 0,3651 J (Évaluer E) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 7 Évaluons l’amplitude A des oscillations à partir de l’énergie en choisissant l’équation appropriée à notre convention x y 0 à la position d’équilibre : E 1 2 k A 2 eeq 2 A 2E 2 eeq k (Isoler A) A 20,3651 2 0,098 25 (Remplacer valeurs num.) A 0,1400 m (Évaluer A) Au point le plus haut, le ressort sera très étiré. Évaluons la longueur maximale Lmax du ressort à l’aide de la longueur naturelle Lnat , de la compression à l’équilibre eeq et de l’amplitude A : Lmax Lnat eeq A P.S. Lmax 0,40 0,098 0,1400 Lmax 0,4420 m (a) Si le ressort était étiré à l’équilibre, l’équation serait Lmax Lnat eeq A Au point le plus bas, le ressort sera très comprimé. Évaluons la longueur minimale Lmin du ressort à l’aide de la longueur naturelle Lnat , de la compression à l’équilibre eeq et de l’amplitude A : Lmin Lnat eeq A P.S. Lmin 0,40 0,098 0,1400 Lmin 0,1620 m (b) Si le ressort était étiré à l’équilibre, l’équation serait Lmin Lnat eeq A Résumé de la situation : Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 8 Situation 4 : Une chute sur un ressort, prise 3. Dans la situation 2, on désire calculer la longueur du ressort 2 s après l’instant où le bloc est entré en contact avec lui. Évaluons la fréquence angulaire naturelle d’oscillation du système : 0 k m 25 0 0 10 rad/s 0,25 À partir des informations recueillies à la situation 2, exprimons les informations disponibles à l’instant où le bloc entre en contact avec le bloc : eeq 0,098 m (compression à l’équilibre) A 0,1400 m (amplitude des oscillations) 0 10 rad/s (fréquence angulaire) x A sin 0 t (équation position) vx dx A 0 cos 0 t dt x0 eeq 0,098 m v x 0 1 m/s (chute sur le ressort, donc v x 0 0 vers le bas) t0 (débuter le MHS à t 0 ) (équation vitesse) (au-dessus du point d’équilibre x 0 , donc x 0 ) Évaluons la constante de phase à partir de l’équation de la position à t 0 : x A sin 0 t 0,098 0,1400sin 100 (Remplacer pour t = 0) 0,7 sin (Simplification) Nous pouvons obtenir les constantes de phase admissibles : 0,7 sin y 0,7 sin ... , 3,917, 0,7754, ... P.S. Calculatrice : 0,7754 rad 1 0,7 0,7754 x -3,917 Évaluons la vitesse à t = 0 pour ces deux constantes de phase : v x A 0 cos 0 t v x 0,1400 10 cos100 3,917 v x 1,003 m/s v x 0,1400 10 cos100 0,7754 v x 1,000 m/s Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 9 Puisque le bloc se déplace dans le sens négatif de l’axe x ( v x 0 0 ), nous choisissons la constante de phase suivante : 3,917 rad (équivalent à 2 3,917 2,366 rad ) Évaluons la position du bloc à t 2 s : x A sin 0 t x 0,1400 sin 10 2 3,917 x 0,0513 m Évaluons la longueur du ressort t 2 s : L Lnat eeq x L 0,40 0,098 0,0513 L 0,2507 m Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina LC Lnat eeq Page 10 Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 11 Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 12