La régression multiple pondérée de la courbure d`une membrane

1
La régression multiple pondérée de la courbure d’une membrane dans un
hyperespace sous l’influence du champ vectoriel homogène
Stefan von Weber1
Hochschule Furtwangen University
Alexander von Eye
Michigan State University
Cet article est la version française du article original
Multiple Weighted Regression Analysis of the Curvature of a 3D Brane in a 4D
Bulk Space under a Homogenous Vector Field
paru 2010 chez InterStat (http://interstat.statjournals.net/YEAR/2010/articles/1007003.pdf )
1
Address correspondence concerning this article to Stefan von Weber, Department of Mechanical and
Environmental Engineering, Hochschule Furtwangen University, 78120 Furtwangen, GERMANY; [email protected]
2
La régression multiple pondérée de la courbure d’une membrane dans un hyperespace sous
l’influence du champ vectoriel homogène
Résumé
La régression multiple pondérée se montre comme un instrument approprié afin de calculer le
vecteur normal d’espace incliné. Le produit vectoriel est défini seulement dans l’espace
tridimensionnel. L’usage de ce produit vectoriel dans un espace avec plus que trois
dimensions demande une généralisation pour dimensions supplémentaires. Les deux
méthodes de calcul, la régression multiple et la généralisation du produit vectoriel, utilisent le
produit en croix des matrices, et, de cette manière, les deux méthodes sont mathématiquement
similaires. L’usage de la régression multiple pondérée a cependant l’avantage qu’il surmonte
les deux tâches en même temps: (1) Le calcul du vecteur normal du hyper-plan ajusté
localement, et (2) moyenner sur charges dispersées. Les auteurs voient l’usage de cette
méthode, entre autres, dans le cas d’une surface perturbée stochastiquement, et dans le cas du
ajustement local d’un plan à une surface courbée, particulièrement dans les cases des espaces
plus que trois dimensions. L’exemple de la mécanique traité dans cette article appartient à
cette classe.
Mots-clés: Régression multiple pondérée, vecteur normal, surface courbée, membrane
élastique
3
Introduction
La régression multiple pondérée se montre comme un instrument approprié afin de calculer le
vecteur normal du espace incliné. Le produit vectoriel est défini seulement dans espace
tridimensionnel. L’usage de ce produit vectoriel dans un espace avec plus que trois
dimensions demande une généralisation pour dimensions supplémentaires. Les deux
méthodes de calcul, la régression multiple et la généralisation du produit vectoriel, utilisent le
produit en croix des matrices, et, de cette manière, les deux méthodes sont mathématiquement
similaires. L’usage de la régression multiple pondérée a cependant l’avantage qu’il surmonte
les deux tâches en même temps: (1) Le calcul du vecteur normal du hyper-plan ajusté
localement, et (2) moyenner sur charges dispersées. On peut imaginer une kyrielle
d’applications intéressantes dans la physique, par exemple, la déformation d’une surface
électrostatiquement chargé d’une liquide diélectrique sous l’influence d’un champs électrique,
ou la deformation des surfaces libres des gouttes liquids sous l’influence d’un courant de gaz,
ou, comme dans cet article, la deformation d’une 3d-membrane élastique dans un 4d-hyperespace. Si un champs vectoriel homogène agit verticalement sur une membrane tendue et la
champs vectoriel agit seulement sur matière, mais ne réagit pas sur la membrane même, puis
la courbure qui s’exerce de la membrane dépend de la distribution de la matière. Le cas le
plus simple est le cas de symétrie sphérique. Le champs vectoriel agit sur une masse centrale
et cause un entonnoir gravitationnel avec une symétrie radiale (ou sphérique). Il est
remarquable qu’une 3d-membrane déformée dans un 4d-hyper-espace fournisse exactement
cette courbure demandée par la loi de la gravitation universelle de Newton. On peut décriere
la courbure d’espace par la formule w(r) = 1/r. Ici, r est la x-y-z-distance de la masse centrale,
et w est la déviation de la membrane dans la quatrième dimension. On peut trouver aussi la
même expréssion w(r) = 1/r par une dérivation analytique de la équation différentielle
ordinaire (EDO) de la courbure d’espace et la solution de cette équation différentielle.
Comme une demonstration de la véracité de l’affirmation mentionnée ci-dessus on peut
calculer l’orbite d’un point matériel (par example d’une planète dans le entonnoir
gravitationnel du soleil). Si on assume que la courbure de la membrane est très plate dans la
quatrième dimension, puis le calcul fournit les orbites elliptiques, comme prédit
théoriquement. Comme un exemple d’un système non newtonien les auteurs ont calculé la
courbure d’une 2d-membrane (par exemple un blanchet tendu) dans le 3d-espace ordinaire xy-z. La courbure obéit à la formule w(r)= ln(r). On peut trouver la même expréssion par une
dérivation analytique de la équation différentielle ordinaire de la courbure et la solution de
4
cette équation différentielle. Le movement d’un point matériel sur cette 2d-membrane courbée
fournit des cycloïdes typiques comme des orbites dans un potentiel non newtonien.
On peut calculer le vecteur normal d’un plan dans un 3d-espace avec le produit vectoriel, si
on a trois points non alignés sur cet plan. Cependant, dans le cas d’une hyper-plan pdimensionnel dans un espace de p+1 dimensions on a besoin de une généralisation du produit
vectoriel [14, 18]. La généralisation du produit vectoriel utilise le produit en croix des
matrices. La régression multiple est une méthode du calcul d’un hyper-plan p-dimensionnel
dans un espace de p+1 dimensions. La méthode utilise le produit en croix de la matrice
coordonnée avec soi-même. La matrice contient les coordonnées des points qui fixent le plan.
La régression multiple peut manipuler aussi des systèmes surdéterminées, par contraste de
produit vectoriel. La méthode des moindres carrés trouve ce hyper-plan qui est optimalement
adapté [7, 17, 23]. Si les poids se distinguent, puis on peut utiliser la régression multiple
pondérée pour le cas qu’on trouve l’adaption locale d’un plan, ou d’une autre fonction locale,
dans l’environnement d’un point (point de développement). Dans ces cas, points dans le
environnement du point de développement obtiennent plus petites poids comme le poids du
point de développement. Avec les coefficients de la régression on peut calculer le vecteur
normal du plan adapté localement au la position du point de développement. Ce vecteur
normal est un moyen important pour beaucoup des applications, par exemple, si on veut
décomposer une force en ses composantes cartésiennes. Le calcul d’une membrane elastique
tendue sous l’influence des forces extérieures est une application du vecteur normal reposant
sur la régression.
On utilise des membranes (ou branes), des champs de vecteurs et des potentials dans quelques
théories de la gravitation. La quasi-totalité des cette théorie utilise plus de nos trois
dimensions spatiales. Le paradigme de membrane d’espace est utilise par [2, 9]. On trouve la
gravitation dilatationnelle (dilation gravity) dans [2], et champs de vecteurs sont utilisé par
[11, 13, 19].
Les suppositions du modèle membranaire qui sont utilisé dans cet article sont: (1) La
membrane est un 3d-objet avec élasticité idéale; (2) la membrane est tendu dans toutes trois
dimensions avec la même tension Fo; (3) la membrane non troublée n’est pas courbée bien
que beaucoup des theories cosmologiques existent avec topologies courbées [1]; (4) le champ
vectoriel homogène a la propriété qu’il produise une force, si le champ interagit avec matière
encastrée dans la membrane; (5) le champ vectoriel homogène agit de la quatrième dimension
5
et agit perpendiculairement à la membrane non trouble; (6) la force produiceé par le champ
vectoriel homogène est proportionnelle à la matière et posée parallèlement à le champ
vectoriel; (7) toute matière est mobile librement dans la membrane.
Une exemple est le champ électrique entre les deux plates d’un condensateur et leur effet sur
des particules chargées. Nous ne demandons pas à la origine du champs vectoriel dans cette
article. Au lieu de cela, nous réclamons à la discussion actuelle des questions cosmologiques
[6, 8, 13], et nous focussons nos intèrêt sur les methodes et les instruments de la simulation.
Les cibles de simulation présentées dans cette article sont (1) la démonstration de l’usage de
la régression multiple pondérée pour le calcul du vecteur normal d’un hyper-plan, et (2) nous
pouvons indiquer la véracité des résultats. Pour cette raison, nous comparons les résultats
calculée avec la dérivation analytique de la équation différentielle ordinaire de la courbure et
la solution de cette équation différentielle. La est aussi la raison, pourquoi on n’ajuste pas la
courbure théorique à la courbure calculée, ou pourquoi on n’utilise pas les dérivées partielles
comme un fondement pour la décomposition des forces. Au lieu de cela, nous utilisions la
solution numérique sur le fondement d’un réseau spatial, et nous ajustions un hyper-plan
incliné à la réseau spatial deformé à le lieu de la masse se mouvant afin de trouver le vecteur
normal de la membrane pour ce point d’espace.
Cette article est structuré de cette manière: La équation différentielle ordinaire (EDO) de la
courbure dans le cas bidimensionnel et tridimensionnel est donné dans le chapitre 1. Les
methods et les instruments sont décrit dans le chapitre 2. Les résultats numériques sont abrégé
dans le chapitre 3. Le chapitre 4 contient la discussion et les conclusions.
1.
La equation différentielle ordinaire de la courbure dans le cas symmétrique
Dans le cas bidimensionnel nous utilison la modèle d’une 2d-membrane fine infinie (par
exemple un blanchet ou la surface d’une liquide [10, 16, 26]), quelle est tendue dans un 3despace. Dans le cas tridimensionnel nous utilison la modèle d’une 3d-membrane (par exemple
un bloc de gomme), quelle est tendue dans un 4d-hyper-espace (bulk space). Un poids central
qu’agit de la troisième dimension dans le cas bidimensionnel, ou qu’agit de la quatrième
dimension dans le cas tridimensionnel, produit dans les deux cases un entonnoir
gravitationnel. Dans le cas bidimensionnel on a une symétrie de révolution, dans le cas
tridimensionnel une symétrie spherique. La ténsion de la membrane non troublée est Fo. Dans
le cas bidimensionnel la ténsion a l’unité de mesure d’une force par unité de longueur, soit
[N/m]; dans le cas tridimensionnel l’unité de mesure d’une force par unité de surface, soit
6
[N/m2]. La décomposition de la force radiale Fr et d’élément de ligne est montré dans la fig.
1.
Fig. 1. La décomposition de la force radiale Fr (a)
et d’élément de ligne ds (b)
La tension de la membrane courbée est supérieur à Fo dans l’entonnoir gravitationnel. Leur
valeur absolue radiale est Fr au point P. La décomposition de Fr fournit la composante
horizontale Fo et la composante verticale Fn. Du point de vue de la physique, c’est
évidemment, que la composante horizontale Fo ne se modifie pas, puisque une force qu’agit
verticalement à Fo ne peut produire pas une composante horizontale (non dans un espace sans
points d’appui pour les forces de contraintes). La décomposition d’élément de ligne ds furnit
ds = dr 2 + dw 2 .
(1)
Sous la condition d’elasticité idéale on trouve
ds
=
dr
dr 2 + dw 2 Fr
=
.
dr
F0
(2)
Fr est la tension radiale au point P avec le rayon r du centre d’entonnoir gravitationnel. Ici, w
est l’axe des ordonnées. On trouve avec dw / dr = w’
Fr
= 1 + w′2 .
F0
(3)
La décomposition de la force Fr furnit
Fr2 = F02 + Fn2 ,
(4)
Fn = Fr2 − F02 ,
(5)
ou
7
et avec Fr = F0 1 + w′ 2 on obtient
(
)
Fn = F02 1 + w′ 2 − F02 = F0 w′ .
(6)
Maintenant, nous faisons une incision horizontale, qui tourne autour du centre d’entonnoir
gravitationnel en rayon r. Cette incision a le contour d’un cercle. La somme des composantes
verticales des forces qui tirent au cercle est égale en valeur absolue au poids central.
L’intégrale curviligne sur un cercle entier du rayon r est 2πr. On trouve
2 π r Fn = L ,
(7)
cependant L est le poids central. La dérivée est
d
(2π r Fn ) = 0
dr
ou
0=
d
(2π r F0 w′) .
dr
(8)
ou
w′′ = −
w′
.
r
(9)
On trouve
0 = 2π F0 w′ + 2π r F0 w′′
C’est l’équation différentielle ordinaire (EDO) d’une 2d-membrane courbée par un poids
central dans un 3d-espace (le cas symmétrique). Une solution est w(r) = ln(r) avec w’= 1/r et
w’’= −1/r2.
Si on passe du 2d-cas au 3d-cas on utilise le même calcul. Cependant, dans le 3d-cas une
incision horizontale qui tourne autour du centre d’entonnoir gravitationnel en rayon r n’est
pas un cercle, mais la surface d’une sphère. Ainsi, nous n’avons pas une intégrale curviligne,
mais une intégrale de surface sur la surface d’une sphère, c’est-à-dire, la somme des
composantes verticales des forces qui tirent à la spère est égale en valeur absolue au poids
central. On trouve
4π r 2 Fn = L .
(10)
La dérivée est
d
(
4π r 2 Fn ) = 0
dr
On trouve
or
0=
d
(
4π r 2 F0 w′) . (11)
dr
8
0 = 8π r F0 w′ + 4π r 2 F0 w′′
ou
w′′ = −
2 w′
. (12)
r
C’est l’équation différentielle ordinaire (EDO) d’une 3d-membrane courbée par un poids
central dans un 4d-hyper-espace (le cas symmétrique). Une solution est w(r) = −1/r avec w’=
1/r2 et w’’= −2/r3. On peut voir que la solution est équivalent fonctionnellement au potentiel
gravitationnel de Newton.
2.
Les methods et les instruments
Dans cet chapitre, les auteurs expliquent de point en point le calcul d’orbite du mouvement
d’un point matériel sur une membrane courbée. Les points sont: (1) la construction du réseau;
(2) la détermination des conditions aux limites et des forces extérieures; (3) le calcul de la
courbure de membrane sous l’influence du poids central; et (4) l’integration des équations de
mouvement du point matériel.
2.1.
La construction du réseau et les conditions aux limites dans le cas bidimensionnel
Dans le cas bidimensionnel, le modèle de la membrane est un blanchet élastique tendu dans le
3d-espace ordinaire avec les trois dimensions x-y-w. Pour le calcul avec le calculateur on
modele le blanchet élastique tendu par un 2d-réseau. Une topologie simple du réseau est
défini par l’empilement le plus dense de cercles de même rayon, l’epilement hexagonal. On
obtient le contour désiré de forme circulaire par le calcul d’un réseau de forme quadratique.
Puis, on sélectionne seulement les points qui sont positionné dans le cercle de rayon R du
point central (x=0 et y=0). Les numéros de points sont enregistrés dans une liste. Le
programme utilise un point de référence positioné près du point central pour le calcul d’une
suite ascendante de rayons. Une deuxième liste contient les numéros des six points qui sont
les voisins d’un point (la liste de connexions ou connectivity list) pour tous les points du
réseau. L’algorithme de tri rapide utilise trois vecteurs temporaires [24]. Seulement les points
au bord ont moins de six voisins. Les points sont fixés à la position initiale. Le choix d’un
point de référence qui n’est pas identique au point central permet le calcul d’une suite
ascendante de rayons en direction tangentiale, c’est-à-dire le déroulement de points sous le
rayon tournent. Si on connecte les centres de cercles qui se touchent par des lignes droites,
9
puis on obtient un réseau de triangles équilatérales. Maintenant, on suppose que les lignes
droites représentent cordes avec une élasticité idéale, c’est-à-dire si on allonge la corde, puis
la force de traction est proportionnel à la longeur. Chaque corde du réseau a la même longeur
ds.
Chaque modèle dans un calculateur a une grandeur finie. Ici, la grandeur du réseau est défini
par le nombre N de nœuds qui sont ordonnés au diamètre du cercle qui délimite le réseau. Les
points au bord, c’est-à-dire les nœuds qui sont ordonnés près du bord, sont fixés à la position
initiale au plan x-y avec l’altitude w=0. Cette détermination est la cause d’érreurs (Bejanov et
al. [3]), pouquoi la membrane faut posséder proprement une grandeur infinie, et la wcoordonnée des points avec une distance finie au point central ne faut pas être nulle.
2.2.
Le calcul de la courbure dans le cas bidimensionnel
Le première pas du calcul de la trajectoire orbitale consiste au calcul de la déformation de la
membrane élastique tendu sous l’influence du poids central. L’équations de nœuds demandent
que la somme de forces qui agissent sur un nœud est nulle dans l’état d’équilibre. Chaque cas
de déséquilibre force le nœud à ce qu’il prend une autre position. La direction du mouvement
du nœud est la de la force résultante. On décompose les forces élastiques de cordes (strings)
pour motifs pratiqués en x-, y- et w-composantes, et on contrôle que la somme est nulle pour
chaque nœud. En cas de déséquilibre, on décompose la force résultante. La décomposition est
la spécification directe pour la direction, à qui le nœud doit se mouvoir pour l’atteindre l’état
d’équilibre.
Le calcul de la courbure démarre avec un réseau plat. Chaque cord (string) a la même
tension, Fo, avec la dimension d’une force. Le point central avec la position initiale
(x,y,w)=(0,0,0) est exposé à la force du poids L dans la direction négative de l’axe w
additionnellement aux forces exercée par les nœuds adjacentes. Cette force L est la force
centrale et elle cause l’entonnoir gravitationnel.
Les valeurs initiales de la simulation du mouvement d’un point matériel dans l’entonnoir
gravitationnel sont: la position initale (xo , yo) et la vitesse initiale vo. On ne peut pas assigner
librement l’hauteur initiale wo puisque elle dépend de la deformation w(r) de l’entonnoir
gravitationnel. Ce ne fait pas un problème dans la simulation. Le point matériel change
localement seulement la courbure de la membrane, comme le rapport des poids ( le poids du
10
point matériel et le poid central) est assigné de cette façon que l’influence du point matériel
sur la courbure reste insignifiante.
Le calcul de la courbure correcte dans le cas statique demande la solution de chaque
équation de nœuds sous les conditions aux limites et sous l’influence du poids central. La
littérature mathématique moderne numérique contient force des méthodes. Une solution
directe est désavantageuse ici en vertu du grand nombre de nœuds.
Méthodes itératives comme l’algorithme de Jacobi ou de Gauss-Seidel utilisent les erreurs
des équations de nœuds pour la correction de la solution. Dans le cas présent, la erreur est la
déviation de la force résultante de zéro. La solution se corrige par le changement des positions
de nœuds dans les directions des axes x, y et w si et seulement si la force résultante
s’amoindrit.
Les trois points suivantes sont inportantes pour le succès de la méthode [5]: (1) la relation
entre l’erreur et leur correction; (2) l’ordre de nœuds; (3) et le critère de stop. Si le
changement de positions de nœuds est tro grande, puis l’iteration peut diverger. Si le
changement de positions de nœuds est tro petit, puis le calcul peut prendre trop du temps.
L’ordre de nœuds fixe quand quel nœud est traité. Un ordre maladroit peut produire le bruit
ou autre artifacts, c’est-à-dire il diminue l’efficacité de la méthode.
Le critère de stop doit garantir, que la solution est correcte et près à la solution théorétique.
Dans le cas présent, la solution théorétique est connue.
Deux formes de force apparaissent pour chaque nœud: la tension de cordes (strings) entre de
nœuds, et éventuellement un poids. La tension d’une corde est orientée toujours du nœud
considéré à son voisin. Dans le 2d-modèle, chaque nœud a six voisins. La valeur absolue de la
tension est en fonction de longueur. Dans le réseau non-déformé chaque cordes ont la même
longueur ds et la même tension Fo. Si la position change du nœud, puis la longueur de la
corde change aussi, et, de façon conséquente, sa tension aussi. En raison de l’élasticité idéale,
on trouve l’équation simple
Fx , i =
( xi − x 0 )
ds
F0
(13)
pour la composante en direction x de la force Fi , orientée du nœud 0 (le nœud considéré) à
son voisin, i. On peut calculer les composantes en direction y et en direction w avec le même
calcul. On trouve le valeur δx de la correction de la position du nœud 0 par
δ x = K P Fx
avec
Fx = ∑ Fx , i .
(14)
11
On fait la sommation sur les voisins directes du nœud. En le calcul de la composante Fw, un
poids additionnel peut apparaitre pour le nœud, en particulier, le poids central dans le centre
du entonnoir gravitationnel, ou le poids distribué du point matériel se mouvant.
Il existe différentes méthodes pour la détermination du facteur de proportionnalité KP. Dans
le programme décrits ici, on trouve la valeur de KP par la commande du processus de
l’iteration. Une valeur optimale est KP = 0.01 ds. Le risque d’une itération divergente
augmente pour plus grandes valeurs de KP.
Le critère de stop, utilisé dans le programme, repose sur le changement d’énergie elastique,
dE, qui est accumulée dans le réseau courbe entre deux passes d’itération. Si le changement
dE d’énergie est plus petit que un ε donné, puis l’itération s’arrête. Un pas d’itération dans ce
programme représente quatre fois le traitement pour tous de nœuds mobiles par ordre (1)
radialement à l’extérieur, (2) radialement à l’intérieur, (3) tangentement en sense horaire, et
(4)en sense antihoraire. L’algorithme utilise deux listes avec les numéros de nœuds dans
l’ordre desirée.
2.3.
L’intégration des équations de mouvement dans le cas bidimensionnel
On peut faire la simulation du mouvement d’un point matériel dans le réseau courbe de
manières différentes. La méthode la plus simple pourrait être peut-être l’ajustement d’une
fonction W(r) avec symmétrie radiale à les coordonnées calculées pour l’obtention d’un
expression global de la courbure d’entonnoir gravitationnel. On pourrait dériver l’expression
et on obtiendrait les composantes du vecteur gradient. Le vecteur gradient est conjoinement
avec le champ vectoriel homogène la base pour le calcul de l’accélération du point matériel en
mouvement. On obtient le changement du vecteur vitesse de l’accélération. Théoriquement,
W(r) a la forme W(r) = b ln(r) avec une constante b qui est estimée. Cette méthode ne
fonctionne pas dans tous les cases de l’asymmétrie. Pour cette raison, on ajuste un plan
tangential à les nœuds du voisinage direct du point matériel en mouvement par la régression
multiple pondérée. L’algorithme calcule les poids des trois angles de ce triangle ou se trouve
momentanément le point matériel en mouvement. Ce calcul inclut la solution du système
suivante d’équations linéaires:
12
x1 g1 + x 2 g 2 + x3 g 3 = x 0 LP
y1 g 1 + y 2 g 2 + y 3 g 3 = y 0 LP
g1 + g 2 + g 3 = LP
(15)
On trouve les poids g1, g2, g3 par la position actuelle du point matériel en mouvement, et par
les positions x1, y1, x2, y2, x3, y3 de les trois angles du triangle. On utilise ces poids comme des
poids de la régression multiple pondérée de les voisins directes de les trois angles du triangle
(cf. la fig. 2).
Fig. 2. Distribution du poids
La symétrie radiale d’entonnoir gravitationnel est perturbée dans la voisinage du point
matériel en mouvement. Pour cette raison, on peut modèler seulement inexactement la
courbure d’entonnoir par le réseau, et la analyse de la régression produit des plans avec des
vecteurs normales qui ont un biais, soit une erreur systématique. Pour cette raison, nous ne
utilisent pas les coordonnées x-y-w du réseau perturbé, mais les coordonnées non troublées,
soit les coordonnées du réseau après le premier calcul d’entonnoir. La régression multiple
pondérée [12] calcule les coefficients d’inclinaison, bx et by, du plan adjusté, W(x, y) = w0 +
bx (x−x0) + by (y−y0) par la solution du systéme d’équations (16):
( X ′X ) βˆ = X ′ Y
(
.
(16)
)
Il est ici βˆ ′ = βˆ1 , ..., βˆ p = (bx , by ), et X est la matrice, qui se recompose de les deux vecteurs
de coordonnées des coordonnées spatiales, x et y, et Y est le vecteur de w coordonnées. Un
élément de la matrice, Xij, a la forme X ij = g i (xij − x j ) , et un élément du vecteur, Yi , a la
forme Yi = g i ( yi − y ) avec i=1, …, n et j=1,2… Les poids, gi, sont les trois poids
calculées ci-dessus, g1, g2, et g3. On utilise le poids g1 pour tous les six voisin du point p1 et
13
pour le point p1 même, le poids g2 pour tous les six voisin du point p2 et pour le point p2
même, et le poids g3 pour tous les six voisin du point p3 et pour le point p3 même. Ce schéma
de la pondération inclure que les trois points p1, p2, et p3 de 12 points impliquées ont une
pondération triple, trois autres points la plus proche à les trois premiéres points ont une
pondération double, et le reste a une pondération simple. Le schéma de la pondération est
entendue de cette manière [21, 22], mais on peut imaginer aussi autres schémas de la
pondération, par example, une réduction de poids comme une fonction de la distance r entre
des points du réseau et le point matèriel en mouvement, par exemple, de la forme
g (r ) = g 0e − k r . Les points p1, p2, et p3 sont les points les plus importantes pour l’ajustement
2
du plan local. Les autres points qui entourent les points p1, p2, et p3 sont moins importantes, et
les points encore plus lointaines feraient augmenter l’erreur d’ajustage. Si les coefficients
d’inclinaison sont petites, puis les forces latérales, qui agissent sur le point matériel en
mouvement, sont Fx = −bxLP et Fy = −byLP. La constante LP est le poids du point matériel en
mouvement. Les forces latérales sont la cause des accélérations latérales ax et ay. Les
équations du mouvement sont
r r
a = F / mP
,
r r
dv = a dt et
r r
dr = dv dt ,
(17)
r
r
avec le vecteur de l’accélération, a , le vecteur de la force, F , la masse du point matériel en
r
r
mouvement, mP, le changement du vecteur vitesse, dv , le changement du rayon vecteur, dr ,
et le pas de temps, dt.
2.4.
La construction du réseau et les conditions aux limites dans le cas tridimensionnel
Le cas tridimensionnel est la base de quelques théories de la gravitation qui utilisent des
branes, et, pour cette raison, le cas a une importance scientifique. On peut s’imaginer une 3dmembrane tendue dans un 4d-hyper-espace (bulk space) comme une boule de caoutchouc
tendue. La surface de la boule est fixée. De cette manière, le cas tridimensionnel a besoin du
réseau structuré spatialement avec les quatres coordonnées x, y, z, et w. Pour la construction
du réseau, on considére l’empilement le plus dense de sphères de même diamètre. Les deux
empilements les plus fréquentes sont l’empilement cubique et l’empilement hexagonal. On
peut combiner aussi les deux empilements. Chaque sphère est entourée de 12 autres sphères.
Dans cette simulation, nous utilisent l’empilement hexagonal. On reconstruit l’empilement de
14
tétraèdres réguliers avec la longeur d’arête ds. Une couche de sphères a la même
configuration que le réseau dans le cas bidimensionnel, soit, les nœuds sont disposé en séries
à la direction x à distance ds. Les séries se répètent à la direction y. La distance d’une série à
l’axe X est multiple de la hauteur d’une triangle régulière ( htr = 3 / 4 ds ). Chaque série
avec un numéro impair est decalé latéralement par ds/2. De cette manière, les séries forment
une couche x-y en hauteur z=0. Cette couche se répète à la direction z à une distance qui est
multiple de la hauteur du tétraèdre régulier ( hth = 2 / 3 ds ). Chaque couche avec un numéro
impair est decalé doublement latéralement: (1) à la direction x par ds/2, et (2) à la direction y
par htr/3.
Ce réseau a la forme extérieure d’un cube. Maintenant nous construisons un réseau de la
forme extérieure d’une sphère par cette manière qu’on ignore tous les nœuds qui ont une
distance r>Rmax du point central x=y=z=0. Chaque nœud qui a moins que 12 voisins est un
point au board, et il sera fixé à la position initiale w=0. Si on regarde seulement le cas
symétrique on pourrait réduire le programme du calcul de la courbure d’espace en un code
unidimensionnel. Mais dans le cas de plusieurs poids sans symétrie cette méthode ne
fonctionne pas.
2.5.
Le calcul de la courbure dans le cas tridimensionnel
Dans le cas tridimensionnel on ne peut pas trouver un analogon figuratif de l’action d’un
poids central au réseau, mais le calcul reste presque inchangé face au cas bidimensionnel.
L’équations de nœuds sont les mêmes, seulement on faut faire la sommation sur 12 voisins et
dans quatre dimensions. Le calcul démarre avec d’un réseau non déformé, soit tous les nœuds
ont une coordonné w avec w=0. Chaque corde (string) a la même tension Fo avec la
dimension d’une force. Une force additionelle, L, agit dans la direction négative de l’axe w au
point central à la position (x,y,z,w)=(0,0,0,0). La force agit additionnellement aux forces des
12 voisins, et cette force est le poids central qui cause l’entonnoir gravitationnel.
2.6.
L’intégration des équations de mouvement dans le cas tridimensionnel
Les valeurs initiales de la simulation du mouvement d’un point matériel (par example une
planète) dans l’entonnoir gravitationnel ont la position initiale (xo , yo , zo) et la vitesse initiale
15
vo. L’hauteur initiale, wo, on ne peut pas sélectionner librement. L’hauteur initiale obéit la
courbure w(r) d’entonnoir gravitationnel. Le point matériel se meut d’un tétraèdre du réseau à
le tétraèdre prochain. Le poid du point matériel est distribué à les quatre angles (nodes) du
tétraèdre. On trouve les quatre poids g1, g2, g3, et g4 par la solution d’un système similaire de
équations à la dans le cas bidimensionnel, en effet:
x1 g1 + x2 g 2 + x3 g 3 + x4 g 4 = x0 LP
y1 g1 + y 2 g 2 + y 3 g 3 + y 4 g 4 = y 0 LP
z1 g1 + z 2 g 2 + z 3 g 3 + z 4 g 4 = z 0 LP
g1 + g 2 + g 3 + g 4
=
.
(18)
LP
On obtenit les poids g1, g2, g3, g4 avec la position actuelle x0, y0, z0 et le poids LP du point
matériel, et avec les positiones x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, et x4, y4 , z4 des quatre angles du
tétraèdre actuel. Ces poids sont utilisées doublement: (1) comme les poids de nœuds, et (2)
comme la pondération de nœuds en l’analyse de régression du voisinage direct des quatre
nœuds aux quatre angles du tétraèdre actuel. On a besoin des poids aux quatre angles du
tétraèdre actuel pour le calcul de la déformation locale du réseau par le point matériel en
mouvent. Cette deformation n’a pas un effet sur le mouvement. On calcule le vecteur normal
pour la décomposition de la force exercée par le poids du point matériel en mouvent sur
l’hyper-plan tridimensionnel d’entonnoir gravitationnel. On peut calculer le vecteur normal
d’un espace incliné (hyperplane) avec les coefficients de la régression. Comme dans le cas
bidimensionnel, la symétrie d’entonnoir gravitationnel dans le voisinage du point matériel en
mouvent est perturbée fortement aussi dans le cas tridimensionnel. On ne pourrait pas
modeler exactement la courbure d’entonnoir par le réseau de tétraèdres. La régression
fournirait un hyper-plan ajusté avec un vecteur normal qui a une erreur systématique, soit un
biais. Pour cette raison nous n’utilison pas les coordonnées x-y-z-w du réseau qui est perturbé
par le point matériel en mouvent, mais les coordonnées x-y-z-w du réseau non troublé, soit les
coordonnées du réseau après le calcul initial d’entonnoir. La régression multiple pondérée
calcule les coefficients d’inclinaison, bx, by, et bz, du hyper-plan ajusté localement comme
w(x,y,z) = w0 + bx (x−x0) + by (y−y0) + bz (z−z0).
(19)
Les coordonnées x0, y0, et z0 sont les coordonnées actuelles du point matériel en mouvement.
Puisque, le poids du point matériel est distribué à les quatre angles (nodes) du tétraèdre actuel,
nous utilison la régression multiple pondérée. Chaque nœud a son propre hyper-plan. Nous
16
moyennons ces quatres hyper-plans sous considératin des poids. Les quatres poids, g1, g2, g3,
et g4, sont les poids pour les coordonnées de nœuds et de leur voisins.
r
La relation entre le vecteur normal, N , et le hyper-plan ajusté, est
2
2
2 

 N x   − bx / 1 + bx + b y + bz 


r  N y   − b y / 1 + bx2 + b y2 + bz2 
 ,
=
N =
N z   − bz / 1 + bx2 + b y2 + bz2 

 

 N w   1 / 1 + bx2 + b y2 + bz2 


(20)
r
et la composante Fx de la décomposition d’un vecteur de poids, L = (0, 0, 0, − L)′ , est
présentée dans la fig. 3.
Fig. 3. Vecteur normal et la décomposition de forces
r
r
Dans cette figure le vecteur N est le vecteur normal du hyper-plan ajusté localement, g x est
r
le vecteur unité à la direction du point d’intersection d’hyper-plan et de plan x-w, L est le
r
vecteur de poids à la direction d’axe négative –w, Fgx est la projection du vecteur de poids à
r
r
r
la direction du vecteur g x , et Fx est la projection de Fgx à l’axe x. On peut démarrer une
r
brève dérivation de Fx avec le vecteur gradient du hyper-plan ajusté localement,
r
′
∇w = (bx , b y , bz ) , et avec le vecteur de descente le plus rapide, − ∇w . Puis, un vecteur S
situé dans le hyper-plan ajusté localement à la direction de descente le plus rapide est


r 
S =
 2
− b
 x
− bx


r
− by
2

avec
la
norme
S
= bx2 + b y2 + bz2 + (bx2 + b y2 + bz2 ) .

− bz

− b y2 − bz2 
(21)
17
Sous les suppositions raisonnables physiquesbx<<1, by<<1, et bz<<1, la norme se
r
r
′
réduit à S ≅ bx2 + b y2 + bz2 . Le produit scalaire du vecteur de poids, L = (0, 0, 0, − L ) , par le
r
r
vecteur unité eS (à la direction S ) produise la valeur absolue de la force de traction (force de
pente), soit
r
r r
FS = L ⋅ eS
avec
r
− L(− bx2 − b y2 − bz2 )
FS =
= L bx2 + b y2 + bz2 .
2
2
2
bx + b y + bz
(22)
r
r r
La force de traction (force de pente) est FS = FS eS ou



r
2
2
2
FS = L bx + b y + bz 


 ( −bx2



2
2
2

− b y / bx + b y + bz
.

− bz / bx2 + b y2 + bz2

− b y2 − bz2 ) / bx2 + b y2 + bz2 
− bx / bx2 + b y2 + bz2
(23)
Si les valeurs des coefficients sont petites on peut écrire les forces latérales qui agissent sur le
point matériel en mouvement sous la forme Fx = −bxL, Fy = −byL et Fz = −bzL. Ici, la
constante L est le poids du point matériel en mouvement. Les forces latérales sont la cause des
accélérations latérales ax , ay et az. Les équations de mouvement sont
r r
a = F / mP
,
r r
dv = a dt et
r r
dr = dv dt
(24)
r
r
avec le vecteur d’accélération a , le vecteur de la force F = ( Fx , Fy , Fz ) , la masse mP du
r
point matériel en mouvement, le changement du vecteur vitesse dv , le changement du rayon
r
vecteur dr , et le pas de temps dt. On peut faire l’integration des équations de mouvement par
la méthode de Euler-Cauchy avec des pas de temps uniformes.
On peut voir que la régression multiple ponderée est un instrument pour trouver le vecteur
normal d’un espace incliné. Le produit vectoriel de deux vecteurs est défini seulement dans
l’espace tridimensionnel. Si on voudrait utiliser ici, puis le produit demande une
généralisation pour dimensions supplémentaires [14, 18]. Les deux méthodes de calcul, la
régression multiple et la généralisation du produit vectoriel, utilisent le produit en croix des
matrices, et, de cette manière, les deux méthodes sont mathématiquement similaires. Dans ce
contexte, l’analyse de régression a cependant l’avantage, qu’il surmonte les deux tâches en
18
même temps: (1) Le calcul du vecteur normal du hyper-plan ajusté localement, et (2)
moyenner sur charges dispersées.
3.
Les résultats
Les auteurs ont écrit deux programmes en Visual C++. Le première programme calcule dans
le première pas la courbure (la déformation) d’un réseau circulaire comme le modèle d’un
membrane bidimensionnel dans l’espace tridimensionnel avec un poids central. La
déformation est du type z = ln(r) que la théorie demande (cf. la fig. 4). Dans le deuxième pas
le programme calcule le mouvement d’un point matériel en la membrane courbée, et il fournit
l’orbit de la forme d’une cycloïde, typiquement dans le cas du potentiel non newtonien (cf. la
fig. 5).
Fig. 4. L’entonnoir gravitationnel d’une membrane bidimensionnel avec
le petit entonnoir du point matériel en mouvement
19
Fig. 5. L’orbit de la forme d’une cycloïde, typiquement
dans le cas du potentiel non newtonien
Le deuxième programme calcule dans le première pas la courbure (la déformation) d’un
réseau sphérique comme le modèle d’un membrane tridimensionnelle dans d’un espace avec
quatre dimensions (bulk space) avec un poids central. La courbure (la déformation) est de la
forme w = −1/r que la théorie de Newton demande (cf. la fig. 6). La dérivation d’EDO de la
courbure était déjà montré dans le section 1. Dans le deuxième pas le programme calcule le
mouvement d’un point matériel en la membrane tridimensionnelle, et il fournit l’orbit de la
forme d’une ellipse typiquement dans le cas du potentiel newtonien.
Fig. 6: L’entonnoir gravitationnel de la membrane tridimensionnelle.
Il est montré seulement le plan x-y du réseau tridimensionnel.
La courbure a la direction de la quatrième dimension w.
20
Le début et la fin d’une révolution se côtoient suffisamment, et démontrait de cette manière la
exactitude de la méthode (cf. la fig. 7).
Fig. 7: L’orbit de la forme d’une ellipse dans le cas du potentiel newtonien.
4.
La discussion et les conclusions
Nous débuton la discussion par une remarque à l’analyse de residus dans le cas
tridimensionnel, le cas plus importante. L’analyse de residus de la déformation calculée w(r)
dans l’intervalle 0.2 < r <0.8 démontrait, que la fonction théorique, w(r) = −K/r, se
conforme aux données avec une grande exactitude. La déviation absolue moyenne est
1.2×10 −5 dans l’interval. Si on compare cette valeur à la valeur w = −0.7 pour rayon r = 0.5
(c’est environ le rayon d’orbite), cette petite valeur produise une exactitude de presque 10 −5
de la valeur calculée de la déformation w. On trouve les plus grandes déviations près du bord
et dans le centre. À les régions, le réseau est perturbé fortement [16]. Les points aux limites
sont fixées en la coordonnée w=0 pour le rayon r=1.1 environ. Si la fonction théorique n’est
pas fixée de cette manière, on trouve ici des déviations entre la théorie et les résultats
numériques. Au point central la théorie prédit une valeur w → −∞ pour r→0. Mis à part le fait
que un nombre dans l’ordinateur ne peut pas dépasser un nombre maximal, le modèle est
inexact près le centre. Le point central est connecté par douze cordes (strings) seulement avec
ses voisins. Additionellement, le réseau utilisé ici a aux tous les points la même constante ds
21
de réseau. Pour le cas qu’on veuille modèler le centre d’entonnoir avec plus grande
exactitude, on devrait utiliser une autre topologie des réseaux, p. ex. avec une constante de
réseau qui varie en fonction du rayon. C’est pour cette raison que nous avons évité cette
région en le calcul de l’orbite du point matériel en mouvement. De cette manière, les erreurs
du calcul de la déformation (courbure) avaient seulement une petite influence. Pour le cas
qu’on veuille utiliser ces régions perturbées pour des futures investigations, on pourrait
utiliser une méthode d’affinage des mailles [20, 25, 26].
Une autre mesure de l’exactitude de la solution numérique est la distance entre la position
initiale et le point de mire d’orbite du point matériel en mouvement. La théorie de Newton
postule une exacte ellipse. Le resultat de la solution numérique montre une petite déviation
entre les coordonnées initiales x0= −0.5, y0=z0=0 et les coordonées exactement après une
révolution avec x1= −0.49788, y1=0, et z1=0.00005. On peut expliquer la différence entre x0 et
x1 par une erreur de la méthode numérique, soit par l’ajustement des plans tangentiales
locales, par une violation des suppositions bx<<1, by<<1, et bz<<1, et par des erreurs
d’intégration par la méthode d’Euler-Cauchy. La petite déviation en la coordonnée z résulte
de une petite asymétrie d’entonnoir gravitationnel. Nous n’avons pu pas découvrier la cause
de la asymétrie, mais nous supposons que l’ordre de nœuds joue un rôle capital, soit l’ordre,
comment l’algorithme manipule tour à tour le nœuds. Peut-être, que un ordre par accident
pourrait aider à l’élimination de cette asymétrie. L’erreur d’intégration par la méthode
d’Euler-Cauchy est négligeable petite. L’erreur est de l’ordre de dt2 [15]. Nous avons calculé
l’orbite dans un calcul comparatif avec une valeur de dt de dt = 0.001, une vitesse initiale de
v0 = 0.07, un rayon de l’orbite de r = 0.5, et avec 50.000 steps d’intégration. L’exactitude de
l’orbite avait été 10−8. La raison pour une utilisation d’une méthode plus complexe
d’intégration, par exemple la méthode de Runge-Kutta, serait seulement une plus haute
vitesse d’intégration.
La violation des suppositions bx<<1, by<<1, et bz<<1, cause un’erreur de 10−6. On
peut montrer ce par deux calculs comparatifes avec et sans le facteur de normalisation
1 + bx2 + b y2 + bz2 en les dérivées partielles de la courbure. Ici, nous avons utilisé le même
programme comme dans le cas des calculs comparatifs de l’erreur d’intégration d’EulerCauchy.
Vu de cette façon, l’erreur de 2×10 −3, qui avait apparu en la solution numérique, c’est une
résultante de la constante de réseau. Avec un réseau plus fin, on obtiendrait des résultats plus
exactes, mais le nombre augmentait exponentiellement des nœuds de réseau et aussi la durée
de calcul. Ici, il faut trouver l’equilibre entre l’exactitude et l’effort. Nous travaillions avec de
22
n=400.000 des nœuds de réseau dans nos calcul et nous prenions environ 3 heures pour la
durée de calcul pour les resultats montrées ci-dessus.
Les resultats de la simulation montrent, que le modèle (paradigma) du champ vectoriel
homogène agissant perpendiculairement sur une membrane tendue, c’est une idée fertile. Si le
champ vectoriel agit sur la matérie, mais n’agit pas sur la membrane, on obtient une
déformation spéciale (courbure) de la membrane qui dépend de la distribution de matérie.
Dans le cas le plus simple, le champ vectoriel agit sur une masse centrale et cause un
entonnoir gravitationnel avec symétrie sphérique. La courbure trouvée par la simulation c’est
exactement la courbure demandée par la loi d’attraction universelle de Newton. La courbure
obéit à la formule w(r) = 1/r, où r est la distance de la masse centrale et w est la flèche de la
membrane dans la quatrième dimension. Nous obtient la même expression en la dérivation
analytique d’équation différentielle ordinaire (EDO) de la courbure. Comme une
demonstration nous avons calculé l’orbite d’un point matériel et nous avons trouvé en fait
l’orbite elliptique comme prédit théoriquement. Comme un exemple d’un système non
newtonien les auteurs ont calculé la courbure d’une 2d-membrane (par exemple un blanchet
tendu) dans le 3d-espace ordinaire x-y-z. Le movement d’un point matériel sur cette 2dmembrane courbée fournit des cycloïdes typiques comme des orbites dans un potentiel non
newtonien.
Cette article montre que la régression multiple pondérée est un instrument approprié afin de
calculer le vecteur normal du espace incliné. Les deux méthodes de calcul, la régression
multiple et la généralisation du produit vectoriel, utilisent le produit en croix des matrices, et,
de cette manière, les deux méthodes sont mathématiquement similaires. L’usage de la
régression multiple pondérée a cependant l’avantage, qu’il surmonte les deux tâches en même
temps: (1) Le calcul du vecteur normal du hyper-plan ajusté localement, et (2) moyenner sur
charges dispersées. En recherches futures, on pourrait utiliser la simulation des membranes
courbées sous l’influence d’un champ vectoriel homogène pour l’investigation des effets
spéciales d’une interaction entre le champ vectoriel et la membrane courbée [4]. Telles
simulations pourraient être d’un grand secours pour des recherches cosmologiques concernant
la matérie noire.
Références
[1] R. Aurich, A spatial correlation analysis for a toroidal universe, Class. Quantum Grav. 25
(2008) 225017 (12 pp)
23
[2] S. Bhattacharyya, A, Kumar, S. Mukhopadhyay, “Curved Membrane Solutions in D=11
Supergravity”, Int.J.Mod.Phys. A17 (2002) p. 4647-4660
[3] B. Bejanov, J. L. Guermond, P.D. Minev, “A grid-alignment finite element technique for
incompressible multicomponent flows”, J. Comp. Phys. 227 (2008) p. 6473–6489
[4] O. Bertolami, J. Páramos, On the non-minimal gravitational coupling to matter, Class.
Quantum Grav. 25 (2008) 245017 (16 pp)
[5] J. Brannan, W. Boyce, “Differential Equations with Boundary Value Problems: An
Introduction to Modern Methods and Applications”, John Wiley (2009)
[6] D. Brill, “(2+1)-dimensional black holes with momentum and angular momentum”, Ann.
Phys. 9, 217, 2000
[7] T. C. Cierzynski, S. v. Weber: Simualtion Experiments with a Stable Regression
Algorithm, Syst. Anal. Model. Simul. 7 (1990) 2, 155-160
[8] F. David, E. Guitter, “Crumpling transition in elastic membranes: renormalization group
treatment”, Europhys. Lett. 5, p. 709-713 (1998)
[9] C. Deffayet, Spherically symmetric solutions of massive gravity, Class. Quantum Grav. 25
(2008) 154007 (11 pp)
[10] J. Einfeldt, K. H. Kutschke, S. v. Weber: Zur Berechnung der Gestalt freier
Flüssigkeitsoberflächen in rotationssymmetrischen Gefäßen, Monatsberichte der Deutschen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Bd. 11 (1969) 8/9, 610-615
[11] L. H. Ford: “Inflation driven by a vector field”, Phys. Rev. D 40, p. 967-972 (1989)
[12] A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, and M. Charlton, Geographically weighted regression:
the analysis of spatially varying relationships, Wiley 2002.
24
[13] M. Gogberashvili, “Brane gravity from bulk vector field”, Phys. Lett. B 553 (2003), p.
284-288
[14] R. N. Goldman (1992) : “Cross product in four dimensions and beyond”, Academic Press
Professional, San Diego
[15] E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations I”,
Springer, 2000.
[16] A. Jafari, S. M. Mousavi, P. Kolari, “Numerical investigation of blood flow. Part I: In
microvessel bifurcations”, Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 13 (2008) p. 1615–1626
[17] Ram B. Jain, “Comparison of three weighting schemes in weighted regression analysis
for use in a chemistry laboratory”, Clinica Chimica Acta (411) Issues 3-4, 2 (2010) p. 270279
[18] A.W. McDavid, C. D. McMullen, “Generalizing Cross Products and Maxwell’s
Equations to Universal Extra Dimensions”, arXiv:hep-ph/0609260v4, (2006)
[19] J. W. Moffat, “Scalar-Tensor-Vector Gravity Theory”, JCAP 0603 (2006) 004
[20] Keri R. Moyle, Yiannis Ventikos, “Local remeshing for large amplitude grid
deformations”, J. Comp. Phys. 227 (2008) p. 2781–2793
[21] James R. Knaub, Jr., Practical Methods for Electric Power Survey Data, InterStat, July
2006, http://interstat.statjournals.net/
[22] J. R. Knaub, Jr., Weighted Multiple Regression Estimation for Survey Model Sampling,
InterStat, April 2007, http://interstat.statjournals.net/
[23] T. Ryan, “Modern Regression Methods”, Wiley (1997)
[24] Kiran Kumar Sundararajan and Soubhik Chakraborty, A New Sorting Algorithm,
InterStat, July 2006, http://interstat.statjournals.net/
[25] Yasunori Watanabe, Ayumi Saruwatari, David M. Ingram, “Free-surface flows under
impacting droplets”, J. Comp. Phys. 227 (2008) p. 2344–2365
25
[26] Xun Zhu, P. C. Sui, Ned Djilali, “Three-dimensional numerical simulations of water
droplet dynamics in a PEMFC gas channel”, J. Power Sour. 181 (2008) p. 101–115