ENPC BAEP1 2011 - SEANCE 6 [Mode de compatibilité]

Béton armé et précontraint I
MODELES BIELLES-TIRANTS
Jean Marc JAEGER
Setec TPI
E.N.P.C. module B.A.E.P.1
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 1
Sommaire
15.1 - Introduction
15.2 - Régions B de type Bernoulli et D de type discontinuité
15.3 - Équilibre général – Efforts aux frontières d’une région
15.4 - Régions de discontinuité
15.5 - Conception des modèles bielles et tirants
15.6 – Exemple d’un modèle bielles et tirants
15.7 - Eurocodes
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 2
15.1 MODELES BIELLES-TIRANTS - Introduction
• Modèle du treillis de Ritter Mörsch (1899)
Ce modèle ne peut représenter que les
zones de structure ou le principe de
Bernoulli s ’applique.
• Modèle « bielles et tirants » de l’Eurocode 2
Ce modèle propose une généralisation de
l ’analogie du treillis permettant l ’étude de
l’ensemble de la structure en béton armé
(y compris les zones de discontinuité ).
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 3
Généralités
Un modèle en treillis de type Ritter-Mörsch est traditionnellement utilisé pour
expliquer le transfert des efforts dans une poutre en béton armé soumise à des
forces concentrées.
z
θ
α
Cette méthode date de la fin du siècle dernier (Ritter, 1899 et Mörsch, 1902), elle
modélise l’ensemble de la poutre par un réseau de bielles de béton comprimé,
avec des diagonales inclinées d’un angle θ=45°, et de tirants représentant les
aciers transversaux et les aciers longitudinaux inférieurs.
L’analyse avec modèle bielles et tirants fait l’objet du §5.6.4 du chapitre 5.6
« Analyse plastique » de la norme NF EN 1992-1-1. Ce modèle propose une
généralisation de l ’analogie du treillis permettant l ’étude de l ’ensemble de la
structure en béton armé y compris l’étude des régions de discontinuité où le
principe de Bernoulli ne s’applique pas (appuis, voisinage de charges
concentrées, discontinuité géométriques). L’article [1] du Dr Ing. Jörg Sclaich PCI
journal (Prestressed Concrete Institute) Mai, juin 1987 vol. 32 n°3 pose les bases
de cette méthode.
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15.1 MODELES BIELLES-TIRANTS – Principe général
• Structure en béton,
Transport des charges par des flux de
contraintes de compression distribués
et interconnectés avec des zones
tendues.
• Modèle « bielles-tirants »
Le modèle concentre les flux en :
- barres comprimées (béton),BIELLES
- barres tendues (acier), TIRANTS
et les rejoint par des NŒUDS
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Principes généraux du modèle bielles et tirant
La norme NF EN 1992-1-1 définit les principes généraux comme suit:
«La modélisation par bielles et tirants consiste à définir des bielles, qui
représentent des zones où transitent les contraintes de compression, des tirants,
qui représentent les armatures, et des nœuds, qui assurent leur liaison.
Il convient de déterminer les efforts dans ces éléments de telle sorte qu'à l'étatlimite ultime, ils continuent à équilibrer les charges appliquées ». Un modèle
bielles et tirants d’une partie ou de l’ensemble de la structure doit être en équilibre.
« Une modélisation par bielles et tirants peut être utilisée pour le
dimensionnement à l'ELU des régions sans discontinuité (état fissuré des poutres
et des dalles) ainsi que pour le dimensionnement à l'ELU et la définition des
dispositions constructives des régions de discontinuité ».
Une région de discontinuité est une région ou le principe de conservation des
sections planes ne s’applique plus.
« Des modèles bielles-tirants adaptés peuvent être définis par exemple à partir
des isostatiques de contrainte et des répartitions de contraintes obtenues en
application de la théorie de l'élasticité linéaire, ou bien encore, ils peuvent être
obtenus en appliquant la méthode basée sur le cheminement des charges. Tous
les modèles bielles-tirants peuvent par ailleurs être optimisés en faisant appel à
des critères d'énergie». Il existe plusieurs modèles pour une même situation.
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15.2 MODELE BIELLES-TIRANTS : Régions B et D
Régions B:
Les régions de la structure ou
l ’hypothèse de Bernoulli d ’une
distribution plane des
déformations élémentaires est
acceptable.
Régions D:
Les régions ou la distribution
des déformations est non
linéaire telles que :
- les zones d’appui,
- les zones d ’application de
forces concentrées,
- les zones de discontinuité
géométrique (encastrement,
corbeau,…)
- les ouvertures.
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Régions de discontinuité – définition géométrique
L’article en référence [1] distingue, dans une structure en béton armé deux types
de régions, les régions de type B ou le principe de Bernoulli s’applique et les
régions de type D ou régions de discontinuité où ce principe ne s’applique pas.
L’hypothèse de Bernoulli s’exprime comme suit : «Lorsqu’une poutre est soumise
à des actions qui la déforment, les sections droites se gauchissent mais deux
sections droites voisines restent superposables entre elles après déformation ».
Cette hypothèse doit être associée au principe de St Venant qui s’ énonce ainsi :
«Les effets locaux créés par l ’application d ’une charge sur la structure se
régularisent dans des régions qui sont suffisamment loin du point d ’application de
la charge». Les calculs usuels de béton armé se font dans les zones où les
contraintes sont régularisées. Les régions D correspondent aux zones où il existe
une distribution non-linéaire des déformations relatives : zones d’appui, zones d’
application de forces concentrées et zones de discontinuité géométrique.
La norme précise : «En général, les régions de discontinuité s'étendent jusqu'à
une distance h de la discontinuité (h hauteur de la section de l'élément)», tel que
représenté ci-dessus.
L’étude de ces régions de discontinuité, par exemple nœud d’encastrement d’une
poutre sur un poteau, n’était pas normalisée auparavant, chacun appliquait des
« règles de l’art » plus ou moins correctement. La méthode bielles et tirants de la
norme NF EN 1992-1-1 apporte une réponse rigoureuse à l’étude de ces régions.
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15.3 MODELE BIELLES-TIRANTS : Equilibre général
• Une analyse structurelle d ’ensemble
préalable est nécessaire pour obtenir :
- les réactions d ’appui,
- les sollicitations dans les régions B et aux limites
des régions D.
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Etude des régions D – Efforts appliqués
La construction du modèle bielles et tirant d’une région de discontinuité passe par
la détermination des efforts appliqués soit directement sur la région en question,
soit aux frontières de cette région.
Ces efforts sont soit des réactions d’appui, soit des efforts extérieurs, soit des
efforts internes béton armé résultant des sollicitations appliqués au droit d’une
frontière avec une région de type B. Dans ce dernier cas les calculs usuels de
béton armé s’appliquent (c’est une région type B) et nous donnent la résultante
des contraintes de compression et sa position ainsi que la résultante des tractions
dans les aciers passifs et sa position.
Le torseur global des efforts appliqués sur le modèle bielles et tirant doit être en
équilibre, cela implique une analyse structurelle d’ensemble préalable, pour la
combinaison ELU considérée, qui donne les réactions d’appui et les sollicitations
internes dans chaque section droite. Il y aura un modèle bielles et tirants
particulier associé à chaque combinaison considérée. Ce modèle n’est pas
unique.
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15.4 THEOREMES DE LA PLASTICITE
• Théorème de la BORNE INFERIEURE
Un champs de contrainte qui satisfait les
conditions d ’équilibre et qui ne dépasse les
critères limites en aucun point donne une
estimation de la borne inférieure
de la capacité élasto-plastique parfaite des
matériaux.
• Attention : le béton est loin d ’être un matériau
élasto-plastique parfait
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Bases théoriques de la méthode bielles et tirants
Les hypothèses de construction d’un modèle bielles et tirants sont : équilibre de la
région étudiée, résistance du béton tendu négligée, forces axiales dans les bielles
et tirants, forces extérieures appliquées aux nœuds.
Les BIELLES comprimées remplissent deux fonctions : membrure comprimée qui
résiste à des efforts de flexion, diagonale comprimée qui transfert l ’effort
tranchant. les diagonales sont généralement orientées parallèlement à la direction
présumée des fissures. Les TIRANTS correspondent aux aciers longitudinaux
tendus, aux étriers et à tous les renforcements d ’acier. Les dispositions assurant
l ’ANCRAGE des aciers doivent être impérativement mises en œuvre. Si ces
dispositions ne sont pas correctes la sécurité attendue ne sera pas atteinte.
La base théorique de la méthode BIELLES et TIRANTS est le théorème de la
borne inférieure (plasticité). Ce théorème nous indique que si nous trouvons un
modèle respectant l’équilibre général et les critères limites alors nous sommes en
sécurité vis-à-vis de la rupture (il existe au moins un chemin possible). Le béton a
cependant une capacité limitée à subir des déformations plastiques. La norme NF
EN 1992-1-1 limite le taux de compression des bielles et définit les principes de
construction des modèles. L ’orientation des bielles doit être aussi proche que
possible de l ’orientation des flux de compression initiaux (élastiques).
L ’orientation des bielles conditionne directement leur taux de compression et
l ’importance du ferraillage.
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15.5 MODELE BIELLES-TIRANTS : Noeuds
• Les NŒUDS correspondent aux points de
convergence des BIELLES comprimées et
des TIRANTS tendus.
C compression
T traction
Différents types
de nœuds :
CCC
CCT
CTT
TTT
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Géométrie des nœuds de jonction
Les nœuds assurent la jonction des bielles et des tirants. Dans le cas classique
d’un modèle en treillis, trois barres arrivent à un nœud. La norme distingue trois
type de nœuds selon la nature des efforts qui convergent vers le nœud:
- le nœud de type CCC soumis à compression sans tirant, c’est le cas par
exemple de l’appui intermédiaire d’une poutre continue (deux bielles inclinées et
une réaction d’appui),
- le nœud de type CCT soumis à compression et à traction avec armature dans
une direction, c’est le cas par exemple de l’appui de rive d’une poutre (une bielle
inclinée, un tirant correspondant aux armatures longitudinales et une réaction
d’appui),
- le nœud de type CTT soumis à compression et à traction avec armatures dans
deux directions c’est le cas par exemple de la zone d’encastrement d’une poutre
dans un poteau (une bielles inclinée et deux tirants).
Un nœud de jonction n’est pas ponctuel, chacune des facettes supportant une
compression amenée par une bielle sera caractérisée par une surface d’appui de
cette bielle sur le nœud. La surface d’appui des deux nœuds d’about d’une bielle
donnée conditionnera les dimensions transversales de cette bielle.
La contrainte de compression des bielles de béton sera plus ou moins limitée
selon le type de nœud.
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15.5 MODELE BIELLES-TIRANTS : Conception du modèle
• Analyse du cheminement des charges
• Les charges appliquées d ’un coté trouvent
leur « équivalent » de l ’autre coté
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Conception d’un modèle bielles et tirants : méthode du cheminement des charges
La norme NF EN 1992-1-1 indique (§5.6.4 (5)) que « Des modèles bielles-tirants
adaptés peuvent être définis par exemple à partir des isostatiques de contrainte et
des répartitions de contraintes obtenues en application de la théorie de l'élasticité
linéaire, ou bien encore, ils peuvent être obtenus en appliquant la méthode basée
sur le cheminement des charges».
La méthode basée sur le cheminement des charges consiste à identifier, dans un
premier temps, tous les efforts appliqués aux frontières de la région à modéliser.
Ces efforts peuvent être des résultantes d’états de contrainte interne, par exemple
résultante des contraintes de compression équilibrées par le béton, résultante des
contraintes de traction équilibrées par les aciers passifs au droit d’une section
frontière avec une zone B, peuvent être des résultantes de réaction d’appui ou
des résultantes des efforts extérieurs appliqués à la région. Dans un second
temps il s’agit de relier l’ensemble de ces efforts par des bielles qui concentrent le
cheminement des flux de compression et par des tirants qui concentrent les
tractions le long des armatures qui seront effectivement mises en œuvre, en
s’éloignant le moins possible des trajectoires données par l’élasticité.
Dans l’exemple représenté ci-dessus, l’équilibre global de la région donne les
réactions d’appui A et B et la charge uniformément appliquée en partie haute de
cette région est décomposée en deux résultantes de même valeur, les lignes
d’action de ces deux résultantes ont une position précise. Le modèle se construit
naturellement, la seule question concerne la position de la bielle horizontale
médiane.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 16
15.5 MODELE BIELLES-TIRANTS : Conception du modèle
• Analyse aux Éléments Finis
• Un calcul préalable
aux éléments finis
donne la direction des
contraintes principales
de compression et de
traction.
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Conception du modèle bielles et tirants – isostatiques de contraintes
La seconde méthode recommandée par la norme consiste à effectuer un calcul en
élasticité linéaire pour déterminer la trajectoire des isostatiques de contrainte. Les
isostatiques sont les courbes en tout point parallèles aux directions principales
des contraintes. Une analyse aux éléments finis permet de les représenter.
Le tracé des bielles doit suivre autant que se peut la trajectoire des contraintes
principales de compression et les tirants équilibrent les tractions des zones
tendues. Le tirant est positionné au plus bas de la zone tendue pour limiter
l’ouverture des fissures en surface et augmenter son efficacité selon les principes
de base du béton armé. L’angle d’inclinaison des bielles peut être limité comme
dans le cas des bielles inclinées dans une poutre (cf § 6.2.3 (2)).
La meilleure solution est en général obtenue avec une analyse mixte combinant
les deux méthodes précédentes : un modèle ELFI et une réflexion sur le
cheminement des charges. Tous les modèles bielles et tirants peuvent par ailleurs
être optimisés en faisant appel à des critères d'énergie.
La méthode est basée sur une compréhension du fonctionnement structurel en
béton armé. Elle est itérative et graphique. Elle permet de définir les bonnes
dispositions pratiques des armatures: par exemple dans le nœud d’encastrement
d’une poutre sur un poteau les armatures hautes de la poutre (chapeaux) doivent
se recouvrir avec les armatures tendues du poteau.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 18
15.5 MODELE BIELLES-TIRANTS : Conception nœuds/bielles
Nœud CCC
Conditionné par les
dimensions de l’appui
et par l’inclinaison des
deux bielles.
Nœud CCT
Conditionné par les
dimensions de l’appui
et par l’inclinaison de
la bielle.
Nœud CTT
Bielle
Conditionné par
l’orientation des
armatures et leur
rayon de courbure
Conditionnée par le
dessin de chaque
nœud.
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Dessin des nœuds et des bielles
Les deux méthodes exposées ci-dessus donnent la conception d’ensemble du
modèle bielles et tirants, il faut ensuite positionner plus précisément les nœuds et
les axes des tirants et des bielles.
L’axe de chaque tirant est placé au barycentre des armatures qui équilibrent
l’effort de traction. L’axe de chaque bielle est déterminé par le dessin des deux
nœuds de jonction d’about.
Pour des nœuds de type CCC ou CCT le dessin de ces nœuds est en général
conditionné par une des facettes supportant une compression. Par exemple dans
le cas du nœud CCC représenté ci-dessus les dimensions de l’appui intermédiaire
(largeur de l’appareil d’appui, largeur du poteau) fixent la base du triangle; les
deux autres cotés sont, dans la mesure du possible, perpendiculaires à l’axe des
bielles. Cette clause fixe la géométrie du modèle.
Pour un nœud de type CTT la largeur de la facette comprimée est déterminée par
le rayon de courbure de l’acier, celui-ci doit être tel que la contrainte de
compression qu’exerce l’armature sur le béton soit admissible. D’une manière
générale la largeur des facettes comprimées doit être telle que les contraintes sur
les nœuds et dans les bielles soient admissibles (cf. clauses de la norme NF EN
1992-1-1). La bielle s’appuie sur les deux facettes des nœuds de jonction, sa
largeur moyenne pourrait être la demi somme des largeurs des deux facettes mais
cette bielle va s’épanouir. A cet épanouissement (bulbe de diffusion) va
correspondre un ferraillage dit de « tirant secondaires» présenté en page 29.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 20
15.6 EXEMPLE DE MODELE BIELLES ET TIRANTS
Etude de la console courte supportant les poutres de
pont roulant du projet ITER PF Coils.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 21
Etape 1 : Définition
de la région à étudier
Etape 2 : Equilibre
d’ensemble
FEd
h
Position des
armatures
Région D
h
h
Hauteur de béton
comprimée αd
Région B
Nst
Nc
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Etape 3 : Construction
du modèle filaire
Etape 4 : Géométrie
des nœuds de jonction,
bielles
FEd
FEd
Nœud CTT
Nœud CCT
Nœud CCC
Nst
Nc
Nst
Nc
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Etape 5 : Justifications
selon NF EN 1992-1-1
JUSTIFICATION D'UN CORBEAU PONCTUEL
selon NF EN 1992-1-1 - Annexe J § J.3
Test
DONNEES
Géométrie
Largeur
Hauteur
Profondeur
CDG aciers sup
Hauteur utile
Largeur nœud A
RESULTATS
L
H
b
z
d
a1(B)
0,600
1,000
0,600
0,080
0,920
0,150
m
m
m
m
m
m
fck
γc
fcd
fyk
γs
fyd
45
1,50
30,0
500
1,15
434,8
MPa
Matériaux
Béton
Acier
Charge appliquée
Effort vertical
Effort horizontal
Point d'application
Largeur de l'appui
Profondeur de l'appui
Appui souple ?
Fed
Hed
ac
a1(A)
b(A)
Poids propre du béton
Masse volumique
ρ
Coefficient ELU
γG
SETEC TPI
28/11/11
2 162,00
0,00
0,300
0,350
0,350
non
25,0
1,00
MPa
MPa
MPa
kN
kN
m
m
m
kN/m3
1. Critères de validité
oui
1<tanθ<2.5
oui
ac <z0
2. Bielle
Inclinaison
Hauteur
L moyenne
Effort repris
σ moyen
67,11
0,999
0,437
2 357
11,36
deg
m
m
kN
MPa
3. Nœud supérieur (A)
17,65
σRd,1
17,50
σRd,2
20,91
σRd,max
MPa
MPa
MPa
4. Nœud inférieur (B)
24,12
σRd
24,60
σRd,max
MPa
MPa
5. Tirant principal
Effort repris
916
Section mini
21,08
TIRANTS SECONDAIRES
kN
cm²
Direction longitudinale
Discontinuité partielle
0,600
bef
320
Effort T
Direction transversale
Discontinuité partielle
0,600
bef
245
Effort T
Aciers sup. mis en place
29,46 cm²
Corbeau EC2
m
kN
m
kN
Cadres horizontaux
7,37
A min /élément
29,46
A s à répartir
cm²
cm²
Cadres verticaux
A min /élément
A s à répartir
5,73
cm²
cm²
Epingles transversales
11,29
A s à répartir
cm²
v. 1.0
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 24
15.7 MODELE BIELLES-TIRANTS : Résistances de calcul
• Contraintes limites EC2 §6.5 pour les BIELLES
• Contraintes limites EC2 §6.5 pour les TIRANTS
fyd = fyk/γs
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 25
Critères de vérification des bielles (§6.5.2)
La résistance de calcul d’une bielle de béton est limitée à une valeur notée σRd,max
celle-ci dépend de l’état de contrainte transversal par rapport à l’axe de la bielle.
Dans une région où règnent des contraintes de compression transversales ou
bien où ne règne aucune contrainte transversale : σRd,max = fcd.
Dans une région où règnent des contraintes de traction transversale, c’est-à-dire
une région caractérisée par des fissures parallèles aux bielles : σRd,max = 0,6 ν’fcd
(avec ν’ = (1-fck/250)).
Critères de vérification des tirants (§6.5.3)
La résistance de calcul des tirants transversaux et celle des armatures est limitée
à fyd = fyk/γs .
Les tirants doivent être ancrés convenablement dans les nœuds. Des dispositions
spécifiques sont prévues pour les nœuds de concentration d’efforts.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 26
15.7 MODELE BIELLES-TIRANTS : Eurocode
• Contraintes limites EC2 §6.5 pour les NOEUDS
σ Rd ,max = k1ν ' f cd
σ Rd , max = k 2ν ' f cd
σ Rd ,max = k 3ν ' f cd
f ck 

ν ' = 1 −

 250 
k 1= 1 k 2 = 0,85 k3 = 0,75
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 27
Critères de vérification des nœuds (§6.5.4)
Les efforts agissant dans les nœuds doivent s'équilibrer. On doit notamment tenir compte
des efforts transversaux de traction perpendiculaires au plan du nœud.
Le dimensionnement des nœuds de concentration d'effort et les dispositions constructives
correspondantes sont déterminants pour l'établissement de la capacité résistante. Les
nœuds de concentration d'effort peuvent apparaître par exemple là où sont appliquées des
charges ponctuelles, au droit des appuis, dans les parties courbes des armatures et enfin
dans les jonctions et angles des éléments.
Les valeurs de calcul des contraintes de compression à l'intérieur des nœuds peuvent être
déterminées de la manière suivante :
- nœuds de type CCC : σRd,max = k1 ν’ fcd avec k1 = 1.00,
- nœuds de type CCT : σRd,max = k2 ν’ fcd avec k2 = 0.85,
- nœuds de type CTT : σRd,max = k3 ν’ fcd avec k3 = 0.75,
avec ν’= (1-fck/250).
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 28
15.7 MODELE BIELLES-TIRANTS : Eurocode
• Tirants secondaires : reprise des efforts de
traction dans un champ de contraintes de
compression avec armatures réparties
b≤H
Pour les zones de discontinuité totale b > H 2
2
Pour les zones de discontinuité partielle
T=
1 b−a
F
4 b
a) Discontinuité partielle
T=
1
a
1
−
0
,
7

4
H

F

a) Discontinuité totale
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 29
Tirants secondaires
Au droit d’un nœud de jonction l’effort de compression véhiculé par une bielle se
resserre sur la facette d’appui du nœud. Entre les deux nœuds de jonction cet
effort va s’épanouir d’autant plus librement qu’il sera en pleine masse du béton
(on parle d’un bulbe de diffusion). La dimension transversale de cet
épanouissement (largeur de la bielle) est plafonnée par la norme à une valeur
notée bef. Un modèle bielles et tirants dans cette zone d’épanouissement montre
la nécessité de placer des armatures dites de « tirants secondaires ». Ces
armatures requises pour équilibrer les forces au nœud peuvent être réparties sur
une certaine longueur le long de la bielle. La norme distingue deux cas:
a) Discontinuité partielle: une région de type B, où les contraintes sont
régularisées, existe entre les deux zones d’about ou l’effort de compression F
s’épanouit. C’est par exemple le cas d’un poteau de largeur b soumis haut et
bas à deux efforts F concentrés sur une largeur d’appui a,
b) Discontinuité totale: ou l’effort F s’épanouit librement entre les deux abouts,
c’est par exemple le cas d’un massif de dimensions transversales larges par
rapport au bulbe de diffusion des compressions qui s’exercent de par et d’autre
du massif.
Les armatures de « tirants secondaires » sont réparties sur la zone où les
isostatiques de compression sont courbes. L'effort de traction T à équilibrer par
ces tirants est obtenu au moyen des expressions données ci-dessus pour chacun
des deux cas a) et b).
ENPC – Module BAEP1 – Séance 6 30