Chapitre 7 : Systèmes de repérage en astronomie de position

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Chapitre 7 : Systèmes de repérage en Pr. Ali Idlimam
astronomie de position ENS – UCA- Marrakech
1. Introduction
Lorsque l'on regarde le ciel depuis le sol terrestre, comment trouver les astres
du système solaire, les étoiles, comment savoir où nous nous trouvons dans
l'espace ? Nous voyons une voûte céleste constellée de points brillants dont
certains en mouvement, mais nous n'avons pas la sensation de nous mouvoir
nous-mêmes dans l'espace. L'idée d'une Terre fixe au centre de l'univers
s'impose tout naturellement, mais, à la réflexion, les choses ne sont pas si
simples que cela. Voyons comment comprendre comment ça marche à partir de
nos observations.
Tout d'abord nous devons constater que les étoiles et les planètes ne restent
pas fixes sur la voûte céleste. Leurs mouvements proviennent soit du
mouvement de la Terre autour de son axe (mouvement diurne), soit du
mouvement de la Terre autour du Soleil (mouvement apparent des corps du
Soleil et des planètes), soit du mouvement propre de ces astres (insignifiant
pour les étoiles mais régulier et très détectable pour les planètes).
L'astronomie de position va nous aider à démêler tous ces mouvements qui se
superposent.
2. Sphère céleste
Tout d'abord, notre perception du ciel est celle d'une sphère : étoiles et
planètes sont toutes -apparemment- à la même distance de nous. Notre
perception du relief, en effet, s'arrête à quelques dizaines de mètres de
nous : au-delà, nous ne percevons plus de relief, donc plus de distances mais
seulement des angles.
Nous sommes donc, chacun d'entre nous, le centre d'une sphère sur laquelle
nous voyons les corps célestes : on l'appelle la sphère céleste et on va mesurer
des angles sur cette sphère.
Mais comment s'y retrouver ? D'autant plus que cette sphère semble
tourner : au-dessus d'un lieu donné, on ne voit pas toujours les mêmes
étoiles...
On va procéder comme sur la surface de la Terre : on va tracer des méridiens
et des parallèles, choisir un méridien origine et un équateur. Pour cela il y a
plusieurs façons d'aborder le problème.
Master Spécialisé d’Enseignement de Physique Chimie
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La sphère céleste équatoriale définie par
l'équateur (A) et le pôle céleste (P)
La sphère céleste locale définie par le
plan horizontal (H) et le zénith (Z)
3. Les systèmes de coordonnées
Ne s'intéressant qu'à la direction des astres, l'astrométrie utilise pour repérer
ceux-ci des systèmes de coordonnées polaires, chaque astre étant représenté
par un point sur la surface d'une sphère de rayon unité. La position de ce point
sera repérée par rapport à deux plans perpendiculaires passant par le centre
de la sphère, à l'aide des deux angles O′OA′ et A′OA ou, ce qui revient au
même, des angles sphériques O′A′ et A′A. Les calculs faisant intervenir la
position des astres s'effectueront alors à l'aide de la trigonométrie sphérique
ou en utilisant les matrices de rotation.
Repérage d'une étoile sur la sphère
céleste. La position de l'étoile A est
déterminée par l'angle sphérique AA'
que fait la direction de l'étoile avec le
plan de référence et par l'angle O'A'
entre la projection sphérique de A sur
ce plan et un point O' fixe sur le cercle
de référence.
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Pour un observateur terrestre, il est commode de choisir les plans de
références fixes par rapport aux objets qui l'entourent. Le plan fondamental le
plus aisé à définir est le plan horizontal. Il est déterminé soit par la surface
d'un liquide au repos, soit comme plan perpendiculaire à la verticale définie
par le fil à plomb. La sphère ainsi définie sera la sphère locale. Le grand cercle
du plan horizontal est l'horizon. La verticale ascendante coupe la sphère au
zénith Z, et le point diamétralement opposé au zénith est le nadir N.
Par suite du mouvement de rotation de la Terre, les astres ne sont pas fixes
sur la sphère locale au cours de la journée. Pour représenter ce mouvement
diurne, on suppose l'existence d'une autre sphère, la sphère céleste, qui tourne
en glissant sur la sphère locale. Cette rotation, uniforme en première
approximation, se fait autour d'un axe appelé axe du monde. Ce dernier coupe
la sphère locale au-dessus de l'horizon au pôle céleste P. Lors du mouvement
diurne, les astres décriront sur la sphère locale des petits cercles de pôle P. Le
plan passant par P et par la verticale du lieu est appelé plan méridien. L'angle
qui sous-tend l'arc PN est par définition la latitude astronomique du lieu.
Enfin, l'équateur céleste est le grand cercle de pôle P.
3.1.
Coordonnées horizontales
Dans la sphère locale présentée au
paragraphe précédent, on définit les
coordonnées horizontales (azimut et
distance zénithale). Celles-ci forment un
système fixe par rapport à la sphère
locale, et dépendent donc de la position
de l'observateur à la surface de la Terre.
Soit un astre A sur la sphère céleste. Le
grand cercle passant par A et Z est le
plan vertical de l'astre. Il coupe
l'horizon en A′. L'angle SA′ est l'azimut
du point A, noté a. Il est compté de 0 à
360° en allant vers l'ouest. L'angle A′A
est la hauteur, notée h ; il est compté de
0 à 90°, positivement vers le zénith,
négativement vers le nadir. La hauteur
est
souvent
remplacée
par
son
complément, la distance zénithale ZA.
On définit enfin le cercle de hauteur, ou
almicantarat, de l'astre comme le petit
cercle de pôle Z passant par A.
3.2.
Coordonnées horizontales
Sphère locale et système de
coordonnées horizontales.
Coordonnées horaires
Les coordonnées horizontales d'un
astre ne sont pas constantes. Par
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suite de la rotation de la Terre, elles
varient au cours du temps ; les étoiles
apparaissent à l'est (lever), s'élèvent
dans le ciel puis disparaissent sous
l'horizon à l'ouest (coucher). Pour
rendre compte de ce mouvement
diurne, on définit le système de
coordonnées
horaires
qui
sont
également des coordonnées locales.
Lors du mouvement diurne, le pôle P
et l'équateur céleste sont des
éléments invariables de la sphère
locale. On peut donc adopter ce
dernier comme plan de référence d'un
nouveau système de coordonnées.
Coordonnées horaires
Sphère locale et système de
coordonnées horaires.
3.3.
Coordonnées équatoriales
La déclinaison d'un astre est la même
quel que soit le lieu d'où on l'observe.
En revanche, son angle horaire est
variable. C'est pour éviter cet
inconvénient que l'on définit un
troisième système de coordonnées qui
est lié à la sphère des fixes.
Le plan de référence choisi est encore
l'équateur céleste, et l'une des
coordonnées sera, comme dans le
système horaire, la déclinaison δ.
L'autre,
l'ascension
droite,
est
mesurée le long de l'équateur céleste
à partir d'un point fixe, le point
vernal. L'ascension droite, notée α,
est comptée en heures et fractions
sexagésimales
de
l'heure,
positivement dans le sens direct de 0
à 24 heures, ou encore en degrés de 0
à 360°.
Coordonnées équatoriales
Sphère des fixes et système de
coordonnées équatoriales.
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Le point vernal est situé sur l'intersection de l'équateur avec l'écliptique, qui
est le plan de l'orbite terrestre autour du Soleil ou, ce qui revient au même, le
plan du mouvement apparent du Soleil par rapport à la Terre. Des deux points
d'intersection, le point vernal (généralement noté γ ) est celui qui est traversé
par le Soleil à l'équinoxe de printemps. À cet instant, la déclinaison du Soleil
est nulle. L'angle entre l'équateur et l'écliptique est appelé obliquité de
l'écliptique. Il vaut environ 23° 27′.
3.4.
Coordonnées écliptiques
Il sert pour repérer la position du
Soleil, qui varie au cours de l’année
sur l’écliptique, et celles des planètes,
qui se déplacent toujours au voisinage
de l’écliptique. Les éléments de
références sont :
le plan de l’écliptique, et le point
vernal γ .
Dans ce système de coordonnées la
direction d’un astre est définie par :
• sa longitude écliptique L
• sa latitude écliptique λ .
ε : obliquité de l’écliptique = 23°27’
4. Passage d’un système de coordonnées à un autre
Les coordonnées d’un astre dans les différents systèmes peuvent être
obtenues :
• Soit par le calcul en utilisant des relations trigonométriques
• Soit au moyen d’un instrument : l’astrolabe.
4.1.
Eléments de trigonométrie sphérique
Grand cercle – On appelle grand cercle de la sphère tout cercle de centre
O et de même rayon que celui de la sphère. Par deux points A et B de la
sphère, distincts et non diamétralement opposés, on peut faire passer un et un
seul grand cercle. Il y a donc deux arcs de grand cercle qui relient A et B. Le
plus court des deux est aussi le plus court chemin joignant ces deux points.
Les grands cercles sont donc les géodésiques de S (les équivalents des droites
dans ce monde courbé).
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La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique traduit la
relation qu'il existe entre un angle du triangle et les trois côtés. Prenons une
sphère de rayon égal à l'unité.
Soit le triangle sphérique ABC; joignons les trois sommets au centre O de
la sphère et projetons orthogonalement les sommets B et C en P et Q sur OA.
Les vecteurs OB , OC , tous deux égaux à l'unité, sont respectivement les
sommes géométriques des vecteurs OP , PB d'une part, OQ , QC d'autre part.
De plus, les vecteurs OP et QC sont rectangulaires, ainsi que les vecteurs OQ et
PB ; leurs produits géométriques sont donc nuls et, par suite, le produit
géométrique des deux vecteurs OB et OC est égal à la somme des produits
géométriques des vecteurs OP , OQ d'une part, PB , QC d'autre part. En
désignant par a, b, c les côtés et par A, B, C les angles du triangle sphérique,
on a :
OQ = cos ( b ) , QC = sin ( b ) , OP = cos ( c ) , PB = sin ( c )
Calculons le produit scalaire des deux vecteurs OB et OC :
(
)(
OB.OC = OP + PB . OQ + QC
)
cos( a ) = OP.OQ + PB.QC
⌢
cos( a ) = cos(b).cos(c ) + sin(b).sin(c).cos( A)
Car l'angle des directions positives des deux vecteurs PB et QC est précisément
⌢
égal à l'angle A .
En faisant une permutation circulaire sur les éléments a, b, c, A, B, C, on a le
groupe :
Page 6
⌢
cos(a) = cos(b).cos(c) + sin(b).sin(c).cos( A)
⌢

cos(b) = cos(a).cos(c) + sin(a).sin(c).cos( B)
⌢

cos(c) = cos(b).cos(a ) + sin(b).sin(a).cos(C )
(1)
La considération du triangle polaire permet d'écrire immédiatement le
système :
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
cos( A) = − cos( B).cos(C ) + sin( B).sin(C ).cos(a)
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢

cos( B) = − cos( A).cos(C ) + sin( A).sin(C ).cos(b) (2)
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢

=
−
+
cos(
C
)
cos(
B
).cos(
A
)
sin(
B
).sin(
A
).cos(c)

En éliminant successivement les angles a, A puis b, B enfin c, C entre les
équations (1) on établit encore le système :
sin( a ) sin(b) sin(c)
⌢ =
⌢ =
⌢
sin( A) sin( B ) sin( A)
(3)
Nous avons :
⌢
⌢
cos(b) = cos(a ).cos(c) + sin(a ).sin(c).cos( B)
En remplaçant cos(a) par sa valeur dans la seconde équation :
{
}
⌢
⌢
cos(b) = cos(c) cos(b).cos(c) + sin(b).sin(c).cos( A) + sin(a ).sin(c).cos( B )
En multipliant les deux membres par sin(c), on trouve :
⌢
cos(b) sin(c) = cos(b) cos 2 (c) sin(c) + sin 2 (c) sin(b) cos(c) cos( A)
⌢
+ sin 2 (c) sin(a) cos( B)
⌢
⌢
cos(b) sin(c) 1 − cos 2 (c )  − sin 2 (c ) sin(b) cos(c ) cos( A) = sin 2 (c ) sin( a ) cos( B )
⌢
⌢
sin( a ) cos( B ) = cos(b) sin(c ) − sin(b) cos(c) cos( A)
(
)
⌢
⌢
En inter changeant a, A et ( b, B ) , on obtient :
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⌢
⌢
sin(b) cos( A) = cos(a ) sin(c) − sin( a ) cos(c ) cos( B )
Les 3 principales formules de trigonométrie sphérique constituent le groupe de
Gauss :
⌢
⌢
⌢ =
⌢ =
⌢
⌢
En résumé : Les formulaires de changement de repères en coordonnées
polaires font appel à la trigonométrie sphérique. Pour cela il faut utiliser les
formules de trigonométriques sphériques classiques.
Il est inutile de connaître ces formules
par cœur, il suffit de savoir qu’elles
existent et de s’y rapporter lorsque l’on
a un calcul à faire.
Considérons un triangle sphérique ABC
formé par des arcs de grands cercles de la
sphère, ce triangle possède trois angles
aux sommets A, B et C et trois angles «
côtés » a, b, c. A, B et C sont les angles
entre les arcs de grands cercles et a, b et c
sont les longueurs angulaires des arcs de
grands cercles. Entre ces six angles, on a
les relations trigonométriques suivantes :
⌢ =
⌢ =
⌢
⌢
⌢

⌢

cos(
c
)
=
cos(
b
).cos(
a
)
+
sin(
b
).sin(
a
).cos(
C
)

⌢
⌢
sin(a ) cos( B) = cos(b) sin(c) − sin(b) cos(c) cos( A)
⌢
⌢

sin(a ) cos(C ) = cos(c) sin(b) − sin(c) cos(b) cos( A)
⌢
⌢

sin(b) cos( A) = cos(a ) sin(c) − sin(a ) cos(c) cos( B)
⌢
⌢

sin(b) cos(C ) = cos(c)sin(a ) − sin(c) cos(a ) cos( B)
sin(c) cos( A⌢ ) = cos(a ) sin(b) − sin(a ) cos(b) cos(C⌢ )

⌢
⌢
sin(c) cos( B) = cos(b) sin(a ) − sin(b) cos(a ) cos(C )
Page 8
4.2.
Applications
1. Calcul de distance par avion de la distance « a » séparant la ville B de la
ville C. On utilise la propriété de l'arc d'un grand cercle qui est le chemin
le plus court d'un point d'une sphère à un autre point de la sphère (voir les
mots géodésique, orthodromie).
Longitude et latitude d’un point M sur la sphère
Géodésique
En géométrie,
une géodésique désigne
la généralisation d'une
ligne droite sur une
surface. En particulier,
le chemin le plus court,
ou l'un des plus courts
chemins s'il en existe
plusieurs, entre deux
points d'un espace
pourvu d'une métrique
est une géodésique.
La formule de trigonométrie sphérique à utiliser est :
Orthodromie
⌢
L'orthodromie désigne
la géodésique (le
• L'angle A est la différence des longitudes L1 et L2.
chemin le plus court)
• L'arc b est la différence entre 90°et la latitude λ1 de
entre deux points
la ville C.
d'une sphère, c'est-à• L'arc c est la différence entre 90°et la latitude λ2 de
dire le plus petit des
la ville B.
deux arcs de grand
cercle qui passe par ces
deux points.
2. Calcul de la déclinaison du Soleil. En considérant que le 20 avril, la
longitude écliptique est de 30° calculer la déclinaison du Soleil.
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•
•
•
•
•
•
Le point C correspond à la position du Soleil le 20 avril.
Le point A correspond à la position du Soleil le 21 mars.
L'angle A est l'obliquité de la Terre soit 23,45°
La longitude écliptique b est égale 30°
L'angle B fait 90°
⌢
⌢
sin( a ) sin( B ) = sin(b) sin( A)
3. Calcul de l'ascension droite du Soleil. En considérant que le 20 avril, la
longitude écliptique est de 30°, calculer l'ascension droite du Soleil.
•
•
•
•
•
•
Le point C correspond à la position du Soleil le 20 avril.
Le point A correspond à la position du Soleil le 21 mars.
L'angle A est l'obliquité de la Terre soit 23,45°
La longitude écliptique b est égale 30°
L'angle B fait 90°
⌢
⌢
4. Calcul de l'azimut Az du lever du Soleil le 21 juin à la latitude j de 50°. On
prendra pour la déclinaison δ du Soleil le 21 juin 23,45° à laquelle on
rajoutera 0,5° pour la réfraction.
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•
•
•
•
•
Le point C correspond à la position du Soleil le 21 juin. Z est le zénith de
l'observateur, N est la direction du pôle Nord, Nh est l'horizon nord de
l'observateur. Le point A correspond à l'Est de l'observateur. L'arc de
cercle passant par Nh, N, Z et Sh est le méridien du lieu.
L'angle A est l'angle entre le plan de l'observateur et l'équateur. A= 90°latitude de l'observateur.
L'angle B fait 90°
L'azimut Az cherché correspond à la longueur de l'arc entre l'horizon
nord (Nh) et le Soleil. Az= 90° - b
⌢
⌢
• sin( a ) sin( B ) = sin(b) sin( A)
5. Examens
Examen1 :
Dans le repère (O, i , j , k ) orthonormé direct, on considère la sphère de S de
centre O et de rayon 1. On note A le point de coordonnées (0, 0, 1), B un point de
la sphère, différent de A appartenant au plan d’équation y = 0 et C un point
quelconque de S, n’appartenant pas au plan OAB. On dessine ainsi sur la sphère
un ”triangle” appelé triangle sphérique. Les cercles de centre O passant
respectivement par B et par C (appelés grands cercles) présentent des tangentes
⌢
en A qui forment un angle A appelé angle sphérique. On définit de même deux
⌢
⌢
autres angles sphériques B et C . Les longueurs des arcs BC, AC et AB sont
notées respectivement a, b et c.
Page 11
Le but de cet exercice est de démontrer les relations des cosinus :
⌢
⌢

⌢

cos(
c
)
=
cos(
b
).cos(
a
)
+
sin(
b
).sin(
a
).cos(
C
)

On supposera dans la suite de l’exercice que ces longueurs sont inférieures à
1. Déterminer, en fonction de c, les coordonnées de B.
2. On note C0 le projeté orthogonal de C sur le plan d’équation z = 0.
a.
Déterminer les coordonnées de C0.
⌢
⌢
b.
En déduire que C a pour coordonnées : cos A sin b, sin A sin b, cos b
(
π
2
.
)
3. En calculant de deux manières différentes le produit scalaire OB.OC , montrer que:
⌢
4. Donner des formules analogues à l’équation précédente pour cos ( b ) et cos ( c ) .
Solution :
1. On se place dans le plan y = 0.
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La sphère ayant un rayon de 1, la longueur de l’arc AB, noté c est aussi la mesure
en radian de l’angle AOB.
Ainsi, en utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on
trouve :
xB = OB sin(c) = sin(c) et z B = OB cos(c) = cos(c)
De plus B est dans le plan (xOz) donc : yB = 0
Ainsi les coordonnées de B sont ( sin(c), 0, cos(c) ) .
⌢
2. a. La mesure de l’angle A est celle entre les deux plans (AOB) et (AOC).
Comme le plan (Oxy) coupe ces deux derniers plans orthogonalement, l’angle
⌢
A et xOC 0 ont même mesure. En se plaçant dans le plan (O, x, y), on peut
alors déterminer les coordonnées de C0.
On obtient :
Page 13
⌢
⌢
xC0 = OC0 cos( A) et yC0 = OC0 sin( A)
De plus C0 est dans (xOy) donc zC0 = 0 .
On se place maintenant dans le plan (AOC).
La sphère ayant un rayon de 1, la longueur de l’arc AC, noté b est aussi la
mesure en radian de l’angle AOC.
On peut alors déterminer OC0,
OC0 = OC sin(b) = sin(b)
Ainsi C0 a pour coordonnées :
⌢
⌢
sin(b) cos( A),sin(b) sin( A), 0
(
)
b. Comme C0 est le projeté de C sur (xOy), C et C0 ont même abscisse et
ordonnée.
On se place maintenant dans le plan (AOC). La sphère ayant un rayon de 1, la
longueur de l’arc AC, noté b est aussi la mesure en radian de l’angle AOC.
On trouve alors que zC = sin(b) . Ainsi les coordonnées de C sont :
⌢
⌢
cos( A) sin(b), sin( A) sin(b), cos(b)
(
)
3. D’une première façon :
⌢
OB.OC = xB xC + yB yC + zB zC = sin(c) sin(b) cos( A) + cos(c) cos(b)
Puis :
OB.OC = OB × OC cos( BOC )
Mais l’angle BOC a pour mesure en radian la longueur de l’arc BC donc :
OB.OC = cos( a )
En résumé :
Page 14
⌢
4. Les formules analogues à l’équation précédente sont :
⌢
cos(b) = cos(a).cos(c) + sin(a).sin(c).cos( B)
⌢
cos(c) = cos(b).cos(a) + sin(b).sin(a).cos(C )
Exercice 1 : Planètes et étoiles
1. Donner deux différences entre une étoile et une planète du système solaire.
Donner deux exemples de chacune de ces catégories d’astres.
2. Les étoiles bougent pendant la nuit pour un observateur terrestre. Expliquer ce
mouvement.
3. Qu’est-ce qu’une étoile filante ? une comète ?
4. Définir les termes suivants : système solaire, galaxie.
Réponses :
1. Les étoiles sont des boules de gaz très chaud (chaleur produite par réactions
nucléaires) qui de ce fait émettent de la lumière. Elles ont été formées par
effondrement d’une masse de gaz. Le soleil est une étoile tout à fait banale. Les
planètes du système solaire gravitent (tournent) autour du Soleil, elles
n’émettent pas leur propre lumière mais diffusent celle qu’elles reçoivent du
Soleil. Elles se sont formées par agrégation de poussières.
2. Le mouvement apparent des étoiles a même cause que le mouvement apparent
du Soleil. Ce ne sont pas les astres qui se déplacent mais bien l’observateur
terrestre qui tourne d’ouest en est, entraîné par la Terre autour de l’axe nordsud. Mais cet observateur a l’impression d’être en position fixe et pour lui ce sont
le Soleil et les étoiles qui semblent tourner dans l’autre sens. Un observateur
regardant vers le sud verra le Soleil mais aussi les étoiles et la Lune se lever
vers l’est et se coucher vers l’ouest.
3. On appelle étoile filante le phénomène lumineux qu’accompagne l’entrée dans
l’atmosphère de poussières qui sont généralement des résidus de comètes. Une
comète est un corps à peu près sphérique qui peut atteindre une dizaine de
kilomètres de diamètre. Ce corps est constitué de glaces et de poussières. Son
nom vient du grec coma qui signifie "queue". En effet, lorsqu'une "boule de neige
sale" s'approche du Soleil, une partie de sa matière se sublime et l'astre
développe une queue de poussières longue de plusieurs millions de kilomètres.
Cette matière réfléchie la lumière du Soleil, ce qui la rend le corps visible depuis
la Terre.
4. Le système solaire est le nom donné au système planétaire composé du Soleil et
des objets célestes gravitant autour de lui : - Mercure, Vénus, la Terre et Mars
sont les planètes dites « telluriques », elles ont un sol. - Les astéroïdes (petits
corps de forme irrégulière) qui gravitent entre Mars et Jupiter. - Les géantes de
gaz ; Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune. Notons ici que les planètes observables
à l’œil nu sont les plus proches de la Terre : Mercure (rarement), Vénus (appelée
parfois par tradition « étoile du berger » mais qui est bien une planète), Mars,
Jupiter et Saturne.
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Une Galaxie est un ensemble d'étoiles (quelques milliards), de poussières et de
gaz interstellaires dont la cohésion est assurée par la gravitation. La galaxie à
laquelle appartient le système solaire est la Voie Lactée. La galaxie la plus
proche de la Voie Lactée est la galaxie d’Andromède qui est située à 2,3 millions
d'années-lumière, elle est observable à l’œil nu dans la constellation du même
nom, pour la repérer on cherchera le grand carré de Pégase (au Sud-est en début
de nuit durant l’automne).
Exercice 2 : Les saisons
1. Donner les dates (à deux jours près) des « solstices » et « équinoxes ».
Comment sont-elles définies ? Quelle est leur relation avec les saisons pour la
zone tempérée de l’hémisphère Nord ?
2. Quelle est l’origine du phénomène des saisons ? (produire une explication en
considérant le mouvement relatif de la Terre et du Soleil.)
3. Pourquoi fait – il plus chaud en été qu’en hiver ? (produire une explication en
considérant les caractéristiques du rayonnement solaire.)
Réponses
1. Equinoxe = égalité du jour et de la nuit - 12 heures.
Le 21 mars - équinoxe de printemps : début du printemps
Le 22 septembre - équinoxe d’automne : début de l’automne
Solstice : la plus grande différence entre la durée du jour et celle de la nuit
Solstice d’été : 21 juin : début de l’été
Solstice d’hiver : 21 décembre : début de l’hiver.
2. L’inclinaison de l’axe de la Terre cause l’inégalité des jours et des nuits mais
aussi la variation de l’inclinaison des rayons du Soleil par rapport au sol en
un lieu donné ce que montre le schéma ci-dessus à droite. Le point rouge
représente la ville de Bordeaux à midi solaire au solstice d’été (à gauche) et à
midi solaire au solstice d’hiver (à droite). En été les rayons du Soleil sont plus
hauts, ils fournissent davantage d’énergie au sol (explication : question qui
suit)
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3. Il fait plus chaud en été pour deux raisons :
- Au printemps et en été le jour est plus long : la durée de l’ensoleillement est
plus grande. Le sol reçoit donc davantage d’énergie.
- Lorsque les rayons frappant le sol avec un angle plus grand, l’énergie
apportée au sol est plus importante :
Plus la hauteur du Soleil est proche de 90°, plus l’énergie apportée par un
faisceau de rayons solaires est répartie sur une plus petite surface. L’énergie
reçue par unité de surface est alors plus importante. Le phénomène est
accentué par le fait qu’en ce cas les rayons traversent une couche
d’atmosphère moindre.
Remarque importante : en termes de mouvement apparent et d’énergie
reçue par le sol il n’y a strictement aucune différence entre ce qui se passe le
29 mars (8 jours après le 21 mars) et le 14 septembre (8 jours avant le 22
septembre), pourtant il fait généralement plus chaud le 13 septembre. C’est
un phénomène d’inertie : en mars les masses d’air, les océans et le sol ont été
refroidis à l’automne et en hiver, tandis qu’en septembre tout le système
vient d’être réchauffé. C’est ce phénomène qui rend le climat océanique plus
modéré.
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Exercice 3 : jour et nuit
1. Pourquoi fait-il alternativement jour et nuit ?
2. Faire un schéma du globe terrestre et indiquer : le plan de l’écliptique, la
direction des rayons solaires, l’axe des pôles, l’équateur et la ligne de
séparation entre la journée et la nuit.
3. Pourquoi les journées et les nuits n’ont-elles pas, en général, la même durée?
4. Quand le Soleil est au plus haut dans le ciel, est-il midi à nos montres ?
Donnez une définition du terme « zénith ». Le Soleil passe-t-il toujours au
zénith à midi ?
5. Préciser la définition scientifique du jour solaire.
Réponses :
1. L'alternance des jours et des nuits s'explique par le fait que la terre tourne
sans arrêt sur elle-même devant le Soleil. Elle se retrouve donc
alternativement face au Soleil ou dos au Soleil. Il fait nuit lorsqu'un endroit
de la Terre se trouve à l'opposé de la lumière du soleil. A chaque instant, une
moitié de notre Terre se trouve dans la nuit quand l'autre moitié se trouve
dans le jour. Comme la Terre subit une rotation sur son axe, il fait
alternativement jour et nuit, les deux formant une journée de 24 heures.
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Attention : il ne faut pas dire : « il y a des jours et des nuits, le Soleil possède
un mouvement apparent parce que la Terre tourne autour du Soleil » mais bien
parce que « la Terre tourne sur elle-même ».
2. Schéma du globe terrestre : la ligne bleue représente le plan de l’écliptique
3. La Terre tourne sur elle-même autour de l'axe des pôles, et tourne autour du
Soleil. C'est l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre qui est responsable
de l'inégalité du jour et de la nuit. Cet axe est incliné d'environ 23° par
rapport à la perpendiculaire au plan de l'écliptique (c'est-à-dire le plan que
fait l'orbite de la terre autour du Soleil). Le croquis (partie gauche de la page
précédente) montre la position de la Terre par rapport au Soleil au mois de
juin. Un point A de l'hémisphère Nord a un déplacement plus long dans la
zone éclairée par le Soleil (le jour) que dans la zone dans l'ombre (la nuit). Le
jour dure donc plus longtemps que la nuit. C'est le contraire pour le point B
situé dans l'hémisphère Sud. La partie droite de ce croquis montre la
position de la Terre par rapport au Soleil en décembre. Un point C de
l'hémisphère Nord a un déplacement plus court dans la zone éclairée par le
Soleil (le jour) que dans la zone dans l'ombre (la nuit). Le jour est donc plus
court que la nuit. C'est le contraire pour un point D situé dans l'hémisphère
Sud : la durée de l'éclairement est plus longue que celle de la nuit. Notons
qu’à l’équateur les nuits sont égales aux jours et durent 12 heures toute
l’année.
4. En astronomie, le zénith est un des points d'intersection de la verticale d'un
lieu donné et de la sphère céleste. Le point d'intersection qui se trouve audessus de la Terre est le zénith tandis que celui qui se trouve au-dessus des
antipodes est le nadir. Autrement dit le zénith est le point sur la verticale
au-dessus de notre tête. Le Soleil ne culmine jamais au zénith sous nos
latitudes. Le Soleil ne monte au zénith qu’entre les deux tropiques du Cancer
et du Capricorne. A midi solaire quand le Soleil est au-dessus du Sud il n’est
pas midi à la montre. La relation entre heure solaire et heure légale n’est pas
si simple. L’heure solaire est une heure locale.
5. Le Jour solaire est la durée entre deux midis solaires successifs. On pourrait
en déterminer la valeur en mesurant la durée entre deux passages de
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l’ombre d’un gnomon au méridien. La Terre n’ayant pas une vitesse
constante sur son orbite autour du Soleil, le jour solaire n’est pas constant.
Le temps de notre montre est basé sur sa valeur moyenne : Jour solaire
moyen dont la valeur est par définition 24 heures. Un diagramme (hors
programme) appelé équation du temps permet de passer du temps solaire
vrai (celui du cadran solaire ou du gnomon) au temps solaire moyen. Il y a
donc trois corrections à effectuer pour passer de l’heure solaire (vraie) à celle
de la montre :
• Temps solaire vrai : Temps indiqué par un cadran solaire
• Temps solaire moyen : Temps solaire vrai corrigé avec l'équation du
temps pour tenir compte du fait que le jour solaire n’est pas constant
• Temps universel UT : Temps solaire moyen tenant compte de la
correction due à la longitude (4 minutes par degré de longitude)
• Temps légal : Temps universel prenant en compte le décalage dû aux
heures d'hiver (+1 h) ou d'été (2h).
Pour mieux connaître la relation entre l’heure solaire et l’heure légale :
http://atelier.tournesol.free.fr/athsvhm.htm
http://www.meridienne.org/index.php?page=heure
Exercice 4 :
La ville de Bordeaux est située sur le méridien de Greenwich (banlieue de
Londres). Ce méridien sert de référence pour mesurer la longitude de tout point
de la Terre. Bordeaux a donc une longitude nulle.
Nous souhaitons connaître la longitude de la ville d’Anglet (Pyrénées
atlantiques).
Un jour donné, le Soleil passe au méridien de Bordeaux à 13h 14 min (heure
légale).
Le même jour, le Soleil passe au méridien d’Anglet à 13h 20min (heure légale).
1. Rappeler la définition du mot méridien.
2. Décrire le mouvement apparent du Soleil dans le ciel. Quelle particularité
présente la position du Soleil lorsqu’il traverse le méridien ?
3. D’après les informations de l’énoncé, indiquer si Anglet est à l’ouest ou à l’est
de Bordeaux.
4. Calculer la durée nécessaire à la Terre pour effectuer une rotation de 1 degré
autour de son axe polaire.
5. En déduire la longitude d’Anglet.
Réponses :
1. Le schéma ci-dessous permet de se rappeler des définitions de base
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• Le méridien d’un point A est le demi-cercle
imaginaire passant par les pôles Nord et Sud
et le point A.
• Le parallèle d’un point A est le cercle centré
sur l’axe nord-sud, passant par A et dans un
plan parallèle au plan de l’équateur.
• En partant du méridien de Greenwich origine,
on peut graduer chaque demi - parallèle en
180° vers l’est et 180° vers l’ouest pour
déterminer la longitude d’un point sur ce
parallèle.
2. Le soleil se lève vers l’est et se couche vers l’ouest ; dans l’hémisphère nord il
culmine au-dessus du sud au milieu du jour, à ce moment appelé « midi
solaire l’ombre d’un gnomon vertical est exactement dirigée vers le pôle nord.
On dit que le Soleil passe au méridien à midi solaire.
3. Plus on est à l’est plus le Soleil se lève tôt et se trouve donc en avance dans
son mouvement apparent. Le Soleil passe au méridien à Anglet 6 min après
y être passé à Bordeaux, Anglet se situe donc à l’ouest de Bordeaux.
4. La Terre fait un tour sur elle-même en 24 heures. Elle effectue donc une
rotation 360° en 24 heures, soit 15° par heure ce qui équivaut à 15° pour 60
minutes. Pour une rotation de 1° 60 / 15 = 4 min.
5. Le midi Anglet possède 6 minutes de retard sur Bordeaux qui est située sur
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le méridien origine. Sa longitude est donc : 1° x (6 /4) = 1,5 °
Exercice 5 :
On se propose de calculer la plus petite distance, ou géodésique, entre deux
points P1 et P2 sur notre planète de centre C.
1. Exprimer les coordonnées cartésiennes x, y, z d’un point P dont les
coordonnées sphériques sont (R, L, G). on positionnera sur une figure ce
point dans le référentiel choisi d’origine C.
2. Donner l’expression de l’angle θ entre les vecteurs CP1 ( R1 , L1 , G1 ) et
CP 2 ( R2 , L2 , G2 ) .
3. Quelle est la longueur de l’arc de grand cercle reliant le centre de la ville
d’Oujda à Agadir et celle de l’arc de grand cercle reliant le centre Guyanais
de Kourou à Toulouse Blagnac.
Données :
Agadir
L1 = 30°30 ' N
G1 = 9°40 'W
Oujda
L2 = 34°40 ' N
G2 = 1°45 'W
Toulouse
L2 = 43°38 ' N
G1 = 1°22 ' E
Kourou
L1 = 5°14 ' N
G2 = 52°45 'W
Réponses :
1.
La projection de P sur le plan équatorial est p
CP = R et Cp = R cos( L )
Les coordonnées cartésiennes de P sont :
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 x = R cos( L) cos(G )

 y = R cos( L) sin(G )
 z = R sin( L)

2.
CP1 = R1 cos( L1 ) cos(G1 )i + R1 cos( L1 ) sin(G1 ) j + R1 sin( L1 )k
CP 2 = R2 cos( L2 ) cos(G2 )i + R2 cos( L2 )sin(G2 ) j + R2 sin( L2 )k
On effectue leur produit scalaire :
CP1.CP 2 = R1 R2 [ cos( L1 ) cos( L2 ) cos(G1 ) cos(G2 ) + cos( L1 ) cos( L2 ) sin(G1 ) sin(G2 ) + sin( L1 ) sin( L2 )]
CP1.CP 2 = R1 R2 [ cos( L1 ) cos( L2 ) cos(G1 − G2 ) + sin( L1 ) sin( L2 ) ]
De même :
CP1.CP 2 = R1 R2 cos(θ )
En identifiant, on obtient finalement la relation :
cos(θ ) = cos( L1 ) cos( L2 ) cos(G1 − G2 ) + sin( L1 ) sin( L2 )
3.
• Distance Kourou-Toulouse
d = Rθ
 L1 = +43, 63°
 L2 = +5, 23°
Toulouse 
et Kourou 
G1 = −1,37°
G2 = +52, 75°
cos(θ ) = 0, 485348
d = 6786 km
• Distance Agadir-Oujda
 L1 = +30,5°
 L2 = +34, 67°
Agadir 
et Kourou 
G1 = +9, 67°
G2 = +1,75°
cos(θ ) = 0,98878
d = 956 km
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Chapitre 7 : Systèmes de repérage en astronomie de position

Transcription

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