t - Université Claude Bernard Lyon 1

Transcription

Garanties planchers sur les contrats en UC
Engagement et couverture
Sépia
10 juin 2008
Frédéric PLANCHET
Actuaire Associé
[email protected]
Réunion
du 10/06/2008
www.winter-associes.fr
Sommaire
1.Introduction
2 L’évaluation
2.L
évaluation de ll’engagement
engagement
3.La gestion de la couverture
Réunion du 10/06/2008
Page 2
1. Introduction
La future norme IFRS « assurance », comme le projet « solvabilité 2 »
i
imposent
t l’évaluation
l’é l ti
d provisions
des
i i
pour des
d risques
i
réplicables
é li bl dans
d
une
logique de couverture née de la finance de marché.
Cette logique s’applique essentiellement à la composante financière des
risques portés par les assureurs et les conséquences suivantes :
- le calcul de la provision s’assimile à la détermination du prix d’une
couverture ;
- une gestion efficiente du risque impose que la provision soit investie
et gérée dans un portefeuille de couverture.
Page 3
1. Introduction
Dès lors se posent les questions pratiques suivantes :
- comment identifier dans un contrat la part réplicable et la part non
réplicable du risque ?
- quel modèle pour évaluer la provision ?
- quelle couverture mettre en place ?
Une fois traitées ces questions dans le cadre des hypothèses simplificatrice
usuelles en finance (temps continu,
continu absence de frais de transactions,
transactions etc.)
etc ) les
conséquences de la prise en compte d’imperfections doivent être examinées.
Page 4
1. Introduction
Cette démarche générale est illustrée ici dans le cadre de garanties plancher
en cas de
d décès
dé è sur un contrat
t t en unités
ité de
d comptes.
t
Pour un montant initial investi S 0 ll’assuré
assuré se voit garantir,
garantir en cas de décès à
la date t le versement :
Max ( St , S0 )
D’autres formes de garanties sont possibles : indexées, cliquet, en cas de vie,
etc.
Les méthodes d’évaluation et de gestion sont identiques, seule diffère la
complexité
l ité technique.
t h i
Page 5
Sommaire
1.Introduction
2 L’évaluation
2.L
engagement
Page 6
2. Evaluation de ll’engagement
engagement
2.1. Principe de base
Le calcul de l’engagement se fonde sur 2 observations :
- le flux financier en cas de décès peut s’écrire
Max ( St , K ) = St + [ K − St ]
+
en notant
t t K = S 0 ett St estt le
l montant
t t du
d compte
t du
d participant.
ti i
t
- en supposant les décès parfaitement mutualisés,
mutualisés le flux associé à la
garantie pour un associé d’âge initial x à la période i est :
px × qx +t −1 × [ K − St ]
+
t −1
Page 7
engagement
2.1. Principe de base
De manière plus formelle, le flux associé à la garantie pour un assuré d’âge x
à la souscription est :
e
− rTx
+
⎡ K − ST ⎤ 1T ≤T
x ⎦
x
⎣
et donc sous l’hypothèse de parfaite mutualisation :
V =E
P a ⊗Q F
⎡e − rTx ⎡ K − S ⎤ + 1 ⎤
Tx ⎦
Tx ≤T ⎥
⎣
⎢⎣
⎦
T
F
+
= ∑ n −1 px × qx + n −1 × EQ ⎡e − rn [ K − S n ] ⎤
⎣
⎦
n=1
QF
On reconnait dans le terme E
prix d
d’exercice
exercice K et de maturité
⎡e− rn [ K − Sn ]+ ⎤ le prix d’une option de vente de
⎣
⎦
n
n.
Page 8
engagement
2.2. Mise en œuvre pratique
Tout se ramène à calculer :
F
+
P ( K , Sn , n ) = EQ ⎡e− rn [ K − Sn ] ⎤
⎣
⎦
Il convient donc de définir un modèle pour le sous-jacent et d’évaluer dans ce
modèle le prix d’une option de vente.
Exemple : modèle de B&S
T
Vx = ∑ t −1 px × qx + t −1 × ⎡⎣ Ke − rt Φ ( − d 2 ( t ) ) − S0 Φ ( − d1 ( t ) ) ⎤⎦
t =1
d2 (t ) =
(
)
ln S0 K + r − σ 2 2 t
σ t
d1 ( t ) = d 2 ( t ) + σ t
Page 9
engagement
2.2. Mise en œuvre pratique
Dans la réalité, l’évaluation du prix de l’option peut s’avérer sensiblement plus
complexe du fait de la présence du plusieurs supports :
d
⎛
i ⎞
K
−
ω
S
∑
i t +1 ⎟
⎜
i =1
⎝
⎠
+
Le
ep
prix de l’option
opt o peut da
dans
s ce cas êt
être
e app
approché
oc é pa
par le
e formule
o u e de Ge
Gentle
te
(GENTLE [1992]).
Au-delà de ces aspects techniques se pose la question du financement de la
garantie. Prélever initialement la totalité du coût est pénalisant, aussi choisiton plutôt de lisser cette charge sur la durée de vie du contrat.
Page 10
engagement
2.3. Tarification
En choisissant de financier la garantie par un prélèvement annuel sur
encours, le flux à la charge de l’assureur en cas de décès entre t et t+1 se
trouve modifié de la manière suivante :
t +1 +
t
k
r t +1− k )
Gt = ⎡ K − St +1 (1 − α ) ⎤ − ∑ α (1 − α ) S k e (
⎣
⎦ k =0
En actualisant au taux sans risque et en prenant l’espérance sous Q on
obtient, avec la propriété martingale du prix de l’actif actualisé :
vt (α ) = e
(
− r ( t +1)
t
⎡⎡
t +1 +
k
r t +1− k ) ⎤
⎤
− ∑ α (1 − α ) Sk e (
E ⎢ K − St +1 (1 − α )
⎥
⎦ k =0
⎣⎣
⎦
Q
)
t +1
t +1
= P S0 (1 − α ) , K , t + 1 − ⎡1 − (1 − α ) ⎤ S0
⎣
⎦
Page 11
engagement
2.3. Tarification
Le taux de tarification « naturel » pour un assuré d’âge x est obtenu en
résolvant l’équation implicite :
T
∑ v (α )
t
t =0
t
px qt +i = 0
Le
e rachat
ac at (st
(structurel)
uctu e ) peut êt
être
e a
aisément
sé e t p
pris
s e
en co
compte
pte e
en remplaçant
e p aça t la
a
probabilité de présence en t par :
t
t
px ∏ (1 − τ k )
k =0
Page 12
Sommaire
1.Introduction
2 L’évaluation
2.L
engagement
Page 13
3. Gestion de la couverture
3.1. Principe
Le montant de la provision correspond au montant nécessaire pour constituer
un portefeuille de couverture destiné à supprimer le risque supporté :
Gérer est indispensable :
Page 14
3.1. Principe
Dans la situation idéalisée d’un marché parfait et de décès parfaitement
mutualisés,il suffit de couvrir parfaitement chaque option de vente.
Dans le cas du modèle de B&S déjà cité en posant :
W = − P( S 0 , T , K , r , σ ) + α 0 S 0 + β 0
les conditions d’autofinancement et d’insensibilité (locale) aux variations du
sous-jacent conduisent à déterminer la composition initiale du portefeuille de
couverture:
α 0 (T ) = −Φ ( − d1 (T ) )
β 0 ( T ) = P( S 0 , T , K , r , σ ) − α 0 ( T ) S 0
L mise
La
i en place
l
d ce portefeuille
de
t f ill génère
é è un coût
ût c0 = γ × (α 0 S0 + β 0 )
Page 15
3.1. Principe
Ce portefeuille doit ensuite être réajusté régulièrement ; il est commode de
recourir aux techniques de simulation pour déterminer la distribution du
surcoût généré par :
- le caractère discret des réallocations ;
- les frais de transactions.
Ainsi dans le modèle de B&S, pour une discrétisation en N périodes, on aura :
⎛⎛
σ2 ⎞
Si = Si −1 exp ⎜ ⎜ μ −
⎟δ N + σ δ N
2
⎠
⎝⎝
⎞
ε⎟
⎠
δN =
T
N
NB : attention au choix de la probabilité utilisée…
Page 16
3.1. Principe
Au début de la période i, la valeur du portefeuille établi à la période
précédente est :
⎛
⎞
i ⎞
⎛
wi− = − P ⎜ Siδ N , T ⎜1 − ⎟ , K , r , σ ⎟ + α i −1 (T ) Siδ N + βi −1 (T ) exp ( rδ N )
⎝ N⎠
⎝
⎠
Le recalage de ce portefeuille sur le portefeuille d’arbitrage a un coût lié aux
frais de transaction :
(
ci = γ × α i − α i −1 Siδ N + βi − βi −1
)
et dégage une plus ou moins value donnée par :
ε i = − ⎡⎣ Siδ (α i − α i −1 ) + ( βi − βi −1e rδ ) ⎦⎤
N
N
Il est alors possible d’étudier la distribution de la somme de ces flux
N
actualisés :
X = ∑ ( ci + ε i ) exp ( − riiδ N )
i =1
Page 17
3.1. Principe
Exemple :
Taux sans risque : 3 %, Volatilité : 20 %, Capital investi : 100, Frais de gestion : 1 % sur l’actif risqué et 0,1
% sur le sans risque pour une durée de 4 ans :
Le coût est de l’ordre de 2 % du capital investi ; il augmente avec la
fréquence des réallocations, mais sa volatilité est d’autant plus élevée que
cette fréquence est faible.
Page 18
3.2. Mise en oeuvre
Ce principe valable pour une option doit être amendé pour tenir compte du
nombre de sorties par décès pour chaque échéance. La quantité d’actif risqué
à détenir s’exprime alors selon :
at = ∑
N −1
∑
j∈J k =tδ N−1 +1
α t ( kδ N ) kδ p x ( j ) q x ( j ) + kδ
N
N
et pour l’actif sans risque :
bt = ∑
j∈J
N −1
∑
k =tδ N−1 +1
β t ( kδ N ) kδ p x ( j ) q x ( j ) + kδ
N
N
Page 19
3.2. Mise en oeuvre
Le coût supporté à chaque période s’exprime selon :
(
)
(
) (
ct = k × at − at −δ N Stδ N + bt − bt −δ N + Stδ N at − at −δ N + bt − bt −δ N erδ N
)
composé des frais de transaction et de la charge (nette) de réallocation. Au
global, la somme de ces coûts actualisée est de la forme :
⎛
⎞
a
Λ i = ∑ e− rnδ N ⎜ cni δ N + ∑ E P Fji,,nkδ N ⎟
n =0
j∈J
⎝
⎠
N −1
avec
E
Pa
(
( F ) = ⎡⎣ K − S ⎤⎦
i ,k
j ,t
i
t
+
t
)
px( j ) qx( j ) +t
Il est donc là encore possible de construire la distribution empirique de cette
charge additionnelle.
additionnelle
Page 20
3.2. Mise en oeuvre
Cette démarche se généralise dans le cas d’une non parfaite mutualisation
des décès avec :
N −1
at = ∑
∑
j∈J t k = tδ N−1 +1
N −1
Λ i ,k = ∑ e
puis :
n=0
α t ( kδ N ) ( kδ
− rnδ N
N
⎛ i
⎜ cnδ N +
⎜
⎝
−t )
p x ( j ) + t q x ( j ) + kδ N
∑
j∈J nδ N
F
i ,k
j , nδ N
⎞
⎟
⎟
⎠
Si formellement cette expression est très proche de la version précédente,
elle en diffère sur 2 points importants :
i
- le coefficient ct est maintenant une variable aléatoire ;
- l’ensemble J t est également aléatoire.
Page 21
3.2. Mise en oeuvre
De manière classique le poids respectif du risque financier et du risque
d’assurance est mesuré par l’équation de décomposition de la variance :
V [ Λ ] = E ⎡⎣ V ( Λ M ) ⎤⎦ + V ⎡⎣E ( Λ M ) ⎤⎦
La limite pratique de cette approche est liée au volume des calculs à
effectuer. Au surplus, on constate en général que le risque d’assurance
associé
ié à la
l mortalité
t lité estt très
t è faible
f ibl par rapportt au risque
i
fi
financier.
i
A
Aussi,
i
l’hypothèse simplificatrice de parfaite mutualisation des décès est-elle en
pratique justifiée. Au surplus, dans un cas réel il faut pour effectuer les calculs
ci-dessus
ci
dessus être capable de déterminer les coefficients
(α ( T ) , β ( T ) )
i
i
1≤ i ≤ N
cela est possible dans le cas du modèle de Black et Scholes, mais rarement
explicitement dans un modèle plus général.
Page 22
Conclusion (1/2)
La provision « en probabilité risque neutre » n’a de sens que lorsqu’une
stratégie
g de couverture lui est associée.
En pratique la couverture ne peut être parfaite :
- caractère discret des réallocations ;
- imperfection des marchés ;
- risque d’échantillonnage.
Au surplus le volume de calculs oblige à une optimisation et au recours à
des formules fermées approchées autant que faire se peut.
Page 23
Conclusion (2/2)
Les difficultés pratiques se situent :
- pour l’évaluation : choix du modèle pertinent pour les options
(difficulté d’intégrer les décisions de gestion, notamment pour ce qui
concerne la
l PB) ; en présence
é
d’i
d’incomplétude,
lét d identification
id tifi ti du
d risque
i
non
couvert.
- pour la couverture : détermination du portefeuille de couverture et
choix de modalités de gestion.
Au global les imperfections conduisent à la détermination d’un montant de
capital additionnel pour se prémunir des fluctuations dans une logique
« quantile ».
Page 24
Bibliographie
BLACK F., SCHOLES M. [1973] “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, 81 (3), pp. 637-654.
BRENNAN M.J.,, SCHWARTZ E.S. [[1976]] “The Pricingg of Equity-Linked
q y
Life Insurance Policies with an Asset Value Guarantee”,,
Journal of Financial Economics, 3, pp. 195-213.
CHENUT X., FRANTZ C., WALHIN J.F. [2003] “Pricing and capital allocation for unit-linked life insurance contracts with minimum
death garantee”, Colloque AFIR.
DEELSTRA G., LIINEV J., VANMAELE M.,” Pricing of arithmetic basket options by conditioning”, Insurance: Mathematics and
E
Economics,
i 34 (1),
(1) 1-23.
1 23
GENTLE D. [1993] « Basket weaving », Risk, vol. 6, n°6, 51-52.
KARATZAS I., SHREVE S.E. [1988] Brownian motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag.
LAMBERTON D., LAPEYRE B. [1997] Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, 2nde édition, ellipses.
MERLUS S., PEQUEUX O. [2000] “Les garanties plancher des contrats d’assurance vie en unités de compte : tarification et
couverture”, mémoire d’actuaire ENSAE.
PLANCHET F. [2006] « Le risque neutre », la Tribune de l’Assurance (rubrique « le mot de l’actuaire »), n°107 du 04/12/2006.
Documentation sur le sujet sur internet: http://www.ressources-actuarielles.net
Page 25
Contacts
Frédéric PLANCHET
Pierre THEROND
[email protected]
fplanchet@winter
associes.fr
[email protected]
ptherond@winter
associes.fr
ISFA
Université Claude Bernard – Lyon 1
50, avenue Tony Garnier
F-69007 Lyon
WINTER & Associés
Bureau de Paris
43-46 avenue de la Grande Armée
F-75116 Paris
+33-(0)1-45-72-63-00
Bureau de Lyon
18, avenue Félix Faure
F-69007 Lyon
+33-(0)4-37-37-80-90
Page 26

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