Estimation des ressources

Estimation des ressources
Septembre 2008
1
Plan
Influence de la densité
Méthode polygonale
Méthode des triangles
Inverse de la distance
Méthode des sections
Manuelle
Logiciels de CAO
Critique des méthodes
Calcul de densité théorique
2
Influence de la densité
t2,v2,d2
t1,v1,d1
v1 * d1 + v 2 * d 2
d=
v1 + v 2
V=v1+v2
d, t ?
t=
t1 * v1 * d1 + t 2 * v 2 * d 2
v1 * d1 + v 2 * d 2
La quantité de métal dans un bloc est t*v*d = t*masse du bloc
Pour une même teneur et un même volume, il y a plus de métal dans un bloc à forte densité
Souvent, les variations de densité peuvent être considérées comme
négligeables par rapport aux variations des teneurs ou des volumes
3
Quand épaisseur et/ou densité varient :
Généralement on estime la quantité de métal dans un volume donné et on
divise par le tonnage estimé pour ce même volume
Soit
ti = teneur au point i
si*= facteur de pondération dépendant de la méthode utilisée
ei = épaisseur au point i
di = densité au point i
∑t s
=
∑s
i i
À un point « 0 », on estime la teneur par
t0
i
j
où
j
si
Facteur total de pondération :
= si*
quand « t » varie
= si* x ei
quand « t » et « e » varient
= si* x ei x di
quand « t », « e » et « d » varient
4
Méthode polygonale (plus proche voisin)
Principe : la teneur estimée en un point est égale à la teneur du
point connu le plus proche
=> définit des polygones (polygones de Voronoï) à teneur constante
Même principe est appliqué pour l’épaisseur
5
Exemple
Méthode des polygones
100
90
80
70
y
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
x
6
Exemple
Méthode des polygones
100
90
80
70
y
60
Le seul paramètre à
spécifier est la règle de
fermeture pour les
polygones externes
50
40
30
20
Souvent: distance max
10
0
0
20
40
60
80
100
x
7
Teneur
Méthode des polygones
100
9
90
8
80
7
70
6
y
60
Design de la mine, la
teneur moyenne est
la moyenne
pondérée par les
« surfaces »
5
50
40
4
30
3
20
2
10
1
0
0
20
40
60
80
100
0
x
8
Pour une zone donnée
si
∑ t i si
t moy = i
∑sj
j
Facteur de pondération :
- surface
- surface x épaisseur
- surface x épaisseur x densité
9
Comment obtenir les polygones?
Triangulation de Delaunay
Triangles les + équilatéraux possibles
Perpendiculaires au milieu des côtés des triangles
Les points d’intersection des perpendiculaires définissent les
polygones
10
Méthode des polygones
100
Note : pour points d’un même
triangle => polygones de Voronoi
se touchent
90
80
70
y
60
Polygones de Voronoi et
triangulation de Delaunay sont deux
opérations duales
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
x
11
Dans une triangulation de Delaunay
Cercle défini par 3 points d’un triangle de Delaunay n’inclut aucun autre point
Plusieurs algorithmes très efficaces pour le programmer
B
A
B
A
D
C
D est dans le cercle ABC. Le triangle ABC n’est
pas Delaunay
D
C
D n’est pas dans le cercle ABC. Le triangle ABC
est Delaunay
Méthode des polygones : estimation ponctuelle et blocs
Tous les points dans un polygone reçoivent la teneur de la donnée associée au
polygone
histogramme des données
15
10
Ex. grille régulière =>
polygones sont des carrés
Méthode des polygones
100
5
80
0
y
60
Estimés des blocs => même
distribution statistique que les
données
1
1.5
2
2.5
3
histogramme des blocs (estimés)
40
15
20
0
10
0
50
x
100
5
0
1
1.5
2
2.5
3
Est-ce réaliste d’un point de vue statistique ?
13
Méthode des triangles
Triangulation de Delaunay
Hypothèse: ce qui varie linéairement
Teneur (triangle)
- Accumulation = Teneur x épaisseur
- Épaisseur (Si)
Σ tiSi / Σ Si
- Teneur
- Épaisseur
(moyenne pondérée)
(Σ
Σ ti + Σ ti Si / Σ Si) /4
(méthode des %)
Note, si la densité varie aussi, on l’inclut dans le facteur de pondération Si
14
Méthode des triangles : estimation ponctuelle et de blocs
Points : interpolation linéaire
t3
b
t13*
a
t1
c
t13*= t1+a/(a+b)*(t3-t1)
t0*=t13*+c/(c+d)*(t2-t13*)
+
t0*
d
t2
Blocs : moyenne des teneurs ponctuelles estimées dans le bloc
15
Comparaison
1
100
Triangles
100
90
80
90
0.8
80
0.6
70
0.4
60
0.2
50
0
40
-0.2
30
-0.4
20
-0.6
10
-0.8
0
0
70
20
40
60
80
100
-1
60
50
40
100
30
90
Polygones
20
80
10
70
0
60
0
20
40
Réalité
60
80
100
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
16
Inverse de la distance
L’estimateur est de la forme :
n
ti
∑
b
i =1 d i
t= n
= ∑ t is i
1
i
∑
b
i =1 d i
avec
1 / d ib
si = n
1
∑
b
j=1 d j
où di est la distance entre le point à estimer et le i ème point observé
17
Exemple
Estimation au point A avec b=2
#
1
distanc
e
40
teneur
%
1
2
40
1
3
30
1.5
4
35
1.5
5
20
3
t=
(1/40 2 + 1/40 2 + 1.5/30 2 + 1.5/35 2 + 3/20 2 )
2
2
2
2
2
(1/40 + 1/40 + 1/30 + 1/35 + 1/20 )
= 2.05%
18
Note:
- Défini pour une estimation ponctuelle
- bloc: moyenne des estimations ponctuelles dans le bloc
- Si épaisseur (et/ou densité) varie, habituellement estimer
accumulation (a*) et épaisseur (e*) séparément et calculer
t*=a*/e*.
19
Influence de « b »
b=3
b=2.5
b=2
b=1.5
b=1
b=0.5
b=0.25
b=0
Estimation
Le coefficient « b »
contrôle la forme de
l’interpolation
Plus « b » est élevé,
plus l’influence du
point le plus près est
grande; plus
l’estimation apparaît
comme une série de
plateaux coupés par
de forts gradients.
Forme des interpolations en fonction de l'exposant b
Coordonnée
20
b=1
b=3
t=2
Interpolation en 2D, b=3
1.1
1
0. 8
1. 2
1.1
1.1
1
1
0.9
0.8
0.7
1
0 0.8
0 .7
0.5 .6
0.4
0.
3
0
0
1
0
t=1
0.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
1
0.9
1
0.5
0.8
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
0.1
0.6
0. 9
0.4
1
Coord. x
t=0
1.9
1.8
1.7
1
1.5 .6
1.4
1.2
1.3
1.2
1
1.1
0.
9
1
0
.8
0.60.7
0.80.5
0.4
0.3
0.6
0.2
0.1
0.4
0.2
0.5
0.2
1.6
0. 2
0.
6
0.8
0. 7
0.6
0.4 0.5
0.4
0.2 0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0
0.6
1.9
1.4
1.2
0.9
1.81.9
1.4
1.3
1.3
1.2
0. 9
1. 4
0.4
Cooerd. y
0.8
1.6
1.5
1.4
1.3
1.5
Cooerd. y
1.6
2
2
0. 9
1.7
1.5
1.4
2
1. 7
1. 8
6
1.
1.81. 4
1.2
1
1
1.9
1.8
2
1.6
Interpolation en 2D, b=1
0.6
0.7
0.8
En 2D
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Coord. x
Note: l’inverse de la distance ne permet pas une interpolation linéaire
21
La distance peut être anisotrope
2
d = x + ay
2
« a » >1 indique qu’un écart donné sur le terrain correspond à une
distance + grande en « y » qu’en « x »
B
strates
A
C
A est plus près de B que de
C, pourtant il est logique de
considérer C plus
semblable à A (que B)
22
Paramètres de contrôle avec l’inverse de la distance
- Exposant « b »
- Importance et orientation d’une éventuelle anisotropie
- Distance maximale utilisée pour sélectionner les données lors de l’estimation
et/ou nombre de données
Outil pour déterminer ces paramètres ?
Principe : réestimer les points connus en se servant des
voisins
Validation croisée
- Enlever une observation Zi et effectuer l’estimation avec les
autres => Zi*
-Calculer l’erreur d’estimation ei = Zi – Zi*
-Répéter le processus pour les autres observations et
calculer une statistique globale sur l’erreur
e.g.
1
| ei |
∑
n i
ou
1
2
e
∑ i
n i
23
Exemple
Sol contaminé à l’arsenic (données de l’EPA)
Validation croisée
0.6
0.59
Moyenne |e|
0.58
0.57
0.56
0.55
0.54
b=2.5 procure en
moyenne l’erreur
absolue minimale
0.53
0.52
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Exposant b
24
Comparaison
1
100
90
0.8
80
0.6
70
0.4
60
0.2
50
0
40
-0.2
100
30
-0.4
90
20
-0.6
80
10
-0.8
70
0
«b»=1
60
50
100
40
90
«b»=2
30
70
10
60
0
50
20
40
Réalité
60
80
100
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
-1
80
20
0
0
40
30
20
10
0
25
100
90
80
Validation croisée
70
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
100
100
1
100
100
90
90
0.890
90
80
80
0.680
80
70
70
0.470
70
60
60
0.260
60
50
50
0 50
50
40
40
40
-0.2
40
30
30
30
-0.4
30
20
20
20
-0.6
20
10
10
10
-0.8
10
0
0
0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
-1
0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
Polygone
Triangles
Inv dist, b=1
Inv dist b=2
17
13
22
16
26
100
Méthode des sections (« manuelle »)
1.
2.
3.
4.
Obtenir une série de sections parallèles avec les forages projetés
sur les sections
Identifier à partir des forages les intersections de minerai et
dessiner la forme présumée du gisement sur chaque section
Estimer la teneur sur la section (e.g. polygonale, i.e. étendre la
teneur de chaque forage à mi-distance du forage voisin)
Se donner une règle pour combiner 2 sections consécutives et
ainsi définir un volume minéralisé
e.g. Changement brusque, linéaire, cône tronqué ou obélisque
5.
Calculer la teneur moyenne du volume selon la règle choisie et
selon les teneurs sur chaque section
27
A
B
C
D
28
Hypothèses pour le calcul des volumes
L
S2
A:
V=
S1
S2
B:
V=
(S1 + S 2 )L
2
(S1 + S 2 )L
2
S1
C:
V=
S2
S1
(S1 + S 2 +
)
S1 S 2 L
3
a2
D:
b2
a1
b1
S1
V=
(2S1 + 2S 2 + a1b2 + a 2 b1 )L
6
S2
29
Nb<=0.4
0.4<Nb<=0.5
0.5<Nb<=0.7
0.7<Nb<=0.9
0.9<Nb
Section perp a x=160, epaisseur=15
100
9722
9718
9741
9739
9744
9735
9505
9506
9738
0
9746
Coordonnée z (m)
-100
-200
9752
-300
Surface=47800 m2
Teneur=0.70%
-400
-400
-300
-200
-100
Coordonnée y (m)
0
100
Section perp a x=145, epaisseur=15
Nb<=0.4
0.4<Nb<=0.5
0.5<Nb<=0.7
0.7<Nb<=0.9
0.9<Nb
100
97219718
9745
9744
9508
9507
0
9724
Coordonnée z (m)
9725
9741
-100
-200
Surface=57900 m2
Teneur=0.575%
-300
-400
-400
-300
-200
-100
Coordonnée y (m)
0
100
31
Ayant la teneur et la surface de chaque section, on peut calculer le
volume compris entre les 2 sections et la teneur de ce volume
s1=47800 s2=57900 t1=0.70% t2=0.575% L=15m
Méthode
Volume
Teneur
Surface brusque
t varie brusque.
792750 m3
0.6345%
Surface lin.
t varie lin.
792750 m3
0.6024%
Cône tronqué
t varie lin.
791540 m3
0.6165%
32
Méthode des sections (moderne)
Principe : séparer le problème de l’estimation des teneurs de celui de
la définition de la géométrie du gisement
Conserver l’approche géométrique pour définir l’enveloppe du
gisement en 2D
Passage section => 3D par « modélisation solide »
Estimer les teneurs séparément dans un modèle de blocs
(e.g. par krigeage)
Intersection modèle de blocs et géométrie du gisement =>
teneur du solide
33
Section S1 a y=0 apres interpolation
Coord z
1
Points servant à définir le polygone
Le tracé est interpolé en un grand
nombre de points
0.5
0
1
0
0.5
Coord x
1
Section S2 a y=1 apres interpolation
0.8
Coord z
0.7
0.6
0.5
0.5
0.4
0
0
0.5
Coord x
2
1
1
Section S3 a y=2 apres interpolation
Coord z
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
Les points d’interpolation de
deux sections consécutives
sont joints par des triangles
0
0.5
Coord x
1
0.8
Il faut fermer le volume par des sections « de bout »
36
Logiciels de CAO minière
Grand nombre de logiciels permettant d’exécuter la
modélisation 3D des gisements; logiciels dispendieux (10 k$
et +)
- GDM
- Datamine
- GOCAD
- Surpac (Surpac Vision)
- Gemcom (Gems)
- Maptek (Vulcan)
- Mintec (MineSight)
-…
37
Critique des méthodes
Méthode des sections => enveloppe du gisement (aspect
géométrique)
Inverse de la distance => plus de flexibilité
Triangles => bons résultats si données abondantes et de qualité
(ex. représenter une topographie)
Polygonale => à éviter (imprécise et ne fournit pas de teneurs
réalistes pour des blocs)
Localement, polygonale utilise 1 donnée, triangles 3 données et
inverse de la distance : à déterminer, habituellement 5-50
Triangle, polygonale et inverse de la distance : interpolateur exact
choix discutable lorsque les données sont entachées d’erreur
Triangle et polygonale : surtout problèmes 2D (ex. veine; niveau
d’une mine)
Comparer les performances des méthodes par la technique de la
validation croisée
38
Calcul de densité théorique
Certaines mines calculent la densité du minerai à partir des analyses chimiques obtenues
Deux approches :
- formule empirique obtenue par régression;
- calcul basé sur la minéralogie déduite de l’analyse chimique
Exemple : - gisement de Cu
- Cu dans la chalcopyrite (d=4.2, teneur en Cu dans chalco 35%)
- chalco est le seul sulfure présent
- autres minéraux ont une densité voisine de 3
- densité d’un minerai ayant 1% Cu ? 5% Cu ?
1 % Cu => 1/0.35=2.86% chalco
100 g roche=>2.86 g chalco => volume de chalco = 2.86 g / 4.2 g/cm3 => 0.68 cm3
=> 97.14 g gangue => volume de gangue => 97.14 g / 3 g/cm3 => 32.38 cm3
Volume total = 33.06 cm3
Masse volumique théorique = 100g / 33.06 cm3 = 3.02 g/ cm3 => d=3.02
39
5 % Cu => 5/0.35=14.29% chalco
100 g roche=>14.29 g chalco => volume de chalco = 14.29 g / 4.2 g/cm3 => 3.40 cm3
=> 85.71 g gangue => volume de gangue => 85.71 g / 3 g/cm3 => 28.57 cm3
Volume total = 31.97 cm3
Masse volumique théorique = 100g / 31.97 cm3 = 3.13 g/ cm3 => d=3.13
4.5
Densité vs teneur en Cu
Note: 3.13 ≠ 0.857*3+0.143*4.2=3.17
La variation de la densité n’est pas
linéaire en fonction de la teneur en Cu
Densite
4
3.5
3
0
10
20
Teneur en Cu, (%)
30
40
40
Si chalco + pyrite ?
% Cu => % chalco
% S – (%S dans chalco) => % pyrite (suppose que S provient uniquement de pyrite et chalco)
Cas général => système d’équations linéaires Ax=b
A(i,j) = teneur élément « i » dans minéral « j »
connu par la formule chimique du minéral
b(i) = teneur élément « i » dans la roche
connu par l’analyse chimique
x(j)= teneur du minéral « j » dans la roche; x(n) est la gangue à déterminer
On a aussi la contrainte :
∑ x( j) = 1
Pour réduire le nombre d’inconnues, on n’isole que les minéraux ayant
une densité nettement différente de la « gangue ».
41
Exemple : gisement de Cu, Zn,
Cu dans la chalcopyrite (CuFeS2) et la chalcocite Cu2S
Zn dans la sphalérite (ZnS)
la roche contient aussi de la pyrite (FeS2)
il y a en moyenne 2% de Fe dans la gangue mais pas de soufre
Analyse => 6% Cu, 9% Zn, 5% Fe, 10% S
Poids atomique et formule stoechiométrique => 35% Cu dans chalcopyrite
80% Cu dans chalcocite
67% Zn dans la sphalérite
35% S dans la chalcopyrite
20% S dans la chalcocite
33% S dans la sphalérite
53% S dans la pyrite
30% Fe dans la chalcopyrite
47% Fe dans la pyrite
Cu- > 0.35 0.80
0.50
0
0
0 
Zn- >  0
0
0.67
0
0 
S- > 0.35 0.20 0.33 0.53
0 


0
0
0.47 0.02
Fe- > 0.30
 1
1
1
1
1 
Chalcopyrite 0.06
 Chalcocite  0.09


 
 Sphalérite  = 0.10


 
Pyrite
0.05


 
 Gangue   1 
42
Solution :
Densité chalcopyrite : 4.1
chalcocite : 5.6
sphalérite : 4.1
pyrite :
5.0
gangue :
2.9
Chalcopyrite
 0 
 Chalcocite 
 7.7 




 Sphalérite  = 13.43 %




 Pyrite 
 7.9 
 Gangue 
 71.4 




Volume pour 100 g de roche
chalcopyrite : 0 g/ 4.1g/cm3= 0 cm3
chalcocite :
7.7/5.6 = 1.38 cm3
sphalérite :
13.43/4.1= 3.28 cm3
pyrite :
7.9/5.0= 1.58 cm3
gangue :
71.4/2.9= 24.62 cm3
Volume total: 30.86 cm3
Masse volumique : 100 g/30.86 cm3= 3.24 g/cm3
Densité théorique: 3.24
43
Effet de la porosité sur la densité
Vvide
porosité ≡ n =
Vroche + Vvide
ρ réelle
Vroche ρ théorique
M roche
=
=
= (1 - n)ρ théorique
Vroche + Vvide Vroche + Vvide
44