GEOMETRIE I NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE 1

GEOMETRIE
I NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE
1° Distances, angles orientés
Soit A , B,C et D quatre points distincts deux à deux, d'affixes respectives zA, zB, zC et zD: On a alors :
→
→
→
z –z

→
| zB – zA | = AB
arg (zB – zA ) = ( u,
AB) [ 2 π ]
arg  B A = (AB, CD) [ 2 π ]
zD – zC 
Démonstration
Soit A , B et C trois points distincts deux à deux,
d'affixes respectives zA, zB →
et zC →
.
→
Soit M le point d'affixe zB – zA. Le vecteur AB a pour affixe zB – zA donc OM = AB
→

→

→ →
Ainsi | zB – zA | = OM = AB , et arg (zB – zA ) = arg zM = ( u , OM ) = ( u,AB) [ 2 π ] .
zB – zC
CB
• D'après le module d'un quotient et la propriété précédente : z – z =
A
C
CA
D'après un argument d'un quotient et l'interprétation d'un argument d'une différence
→
→
→
→
→
→
 zB – zC 

→

→

→

→
arg  z – z  = arg (zB –zC ) – arg (zA – zC ) = ( u, CB) – ( u, CA) = ( u, CB) + (CA , u) = (CA , CB)
 A C
2° Points alignés droites perpendiculaires
Les points A , B et C étant distincts deux à deux, on a
 zB – zC 
• les points A , B et C sont alignés si, et seulement si, arg  z – z  = 0
 A C
c’est à dire si et seulement si,
[2π]
zB – zC
∈ IR
zA – zC
 zB – zC  π
• les droites (CA) et (CB) sont perpendiculaires si, et seulement si, arg  z – z  =
[ π]
 A C 2
c’est à dire, si et seulement si,
zB – zC
∈ i IR
zA – zC
3° Représentation paramétrique d'un cercle
a) cercle de centre Ω de rayon r.
Soit Ω(ω) et r > 0
L'ensemble des points M(z) défini par z – ω =r ei θ, où θ décrit [0 ; 2 π [, est le cercle de centre ,Ω et de rayon r.
iθ
 z = ω + r e
 x = r cos θ
ou 
On obtient une équation paramétrique du cercle : 
 θ ∈ [ 0 , 2 π [
 y = r sin θ θ ∈ [ 0 , 2 π [
→
→
Démonstration : Soit M un point du plan, z son affixe et θ la mes de l'angle ( u,
OM) appartenant à [ 0 , 2 π [.
→
 r cos θ 
 c'est à dire que : z – ω = r eiθ
On a alors : M ∈ C si et seulement si Ω M a pour coordonnées 
 r sin θ 
b) cercle de diamètre [AB]
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points d'affixe z vérifiant :
→
→
→
→
M ∈ C ⇔ MA ⊥ MB ⇔ AM ⊥ BM ⇔
z – zA
∈ i IR
z – zB
z – zA
∈ i IR
z – zB
II TRANSFORMATIONS DU PLAN
1° Translation
Soit z , z' et b des nombres complexes, avec b l'affixe d'un point B donné.
La relation z'= z + b traduit que le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la translation de
→
vecteur OB .
Démonstration
En partant de la relation, →
on a : z' = z + b z' – z = b .
Or, z' – z est l'affixe de MM'.
→
→
→
On traduit l'égalité par MM' = OB , c'est-à-dire M'(z') est l'image de M(z) par la translation de vecteur OB .
2° Homothétie
Soit z , z' et w des nombres complexes, où ω est l'affixe d'un point Ω donné et k un réel non nul.
La relation : z' – ω = k (z – ω) traduit que le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par
l'homothétie de centre Ω et de rapport k ≠ 0 .
Démonstration
En partant de la relation, on a : z' – ω = k (z – ω)
→
→
z' – ω est l'affixe du vecteur Ω M et k (z – ω) est l'affixe du vecteur k Ω M
→
→
on a donc ramené à : Ω M = k Ω M
M'(z') est l'image de M(z) par l'homothétie de centre 0 et de rapport k .
3° Rotation
Soit z , z' et ω) des nombres complexes, où ω est l'affixe d'un point ,Ω donné et B un réel.
La relation z' – ω = ei θ (z – ω) traduit que le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la rotation
de centre Ω et d'angle θ .
Démonstration
• Si M = f , alors z = ω ; donc z'– ω = 0 , c'est-à-dire z'= ω ; ainsi M' est confondu avec Ω
• Si M:≠ Ω , alors z ≠ ω .
z' – ω = ei θ (z – ω) ⇔
z' – ω
z' – ω
z' – ω
= ei θ ⇔
= 1 et arg
=θ
z–ω
z–ω
z–ω
→
→
ΩM'
= 1 et (ΩM' ; ΩM)
ΩM
Ce qui signifie que le point M'(z') est l'image de M(z) par la rotation de centre ,Ω et d'angle θ.
⇔
APPLICATIONS
I NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE
1° Distances, angles orientés
Soit A , B et C trois points distincts deux à deux, d'affixes respectives zA, zB et zC :
→
→
→
z –z

→
| zB – zA | = AB et arg (zB – zA ) = ( u,
AB) [ 2 π ] et arg B C = (CA, CB)
zA – zC
[2π]
2° Points alignés droites perpendiculaires
Les points A , B et C étant distincts deux à deux, on a
 zB – zC 
• Les points A , B et C sont alignés si, et seulement si, arg  z – z  = 0
 A C
Les points A , B et C sont alignés si, et seulement si,
[2π]
zB – zC
∈ IR
zA – zC
 zB – zC  π
• Les droites (CA) et (CB) sont perpendiculaires si, et seulement si, arg  z – z  =
[ π]
 A C 2
Les droites (CA) et (CB) sont perpendiculaires si, et seulement si,
zB – zC
∈ i IR
zA – zC
3° Barycentre
Soient A d'affixe zA , B d'affixe zB , C d'affixe zC ….
Le barycentre G de (A,α), (B,β), (C,γ) est le point d'affixe zG =
α zA + β zB + γ zC + ….
α+β+γ+…
4° Représentation paramétrique d'un cercle
Soit Ω(ω) et r > 0
L'ensemble des points M(z) défini par z – ω =r ei θ , où θ décrit [0 ; 2 π [, est le cercle de centre Ω et de rayon r
II TRANSFORMATIONS DU PLAN
1° Translation
Soit z , z' et b des nombres complexes, avec b l'affixe d'un point B donné.
La relation z'= z + b traduit que le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la translation de
→
vecteur OB .
2° Homothétie
Soit z , z' et w des nombres complexes, où ω est l'affixe d'un point Ω donné et k un réel non nul.
La relation : z' – ω = k (z – ω) traduit que le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par
l'homothétie de centre Ω et de rapport k .
3° Rotation
Soit z , z' et ω) des nombres complexes, où ω est l'affixe d'un point ,Ω donné et B un réel.
La relation z' – ω = ei θ (z – ω) traduit que le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la
rotation de centre Ω et d'angle θ .