Introduction à la théorie des files d`attente

Transcription

Introduction à la théorie des files d’attente
C. Rigault (COFORTIC)
Ancien directeur d'études à Telecom-ParisTech
[email protected]
http://www.cofortic.com
Claude Rigault,
2/12/2012
Introduction à la théorie des files
d'attente
1
Sommaire
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Prologue
Qu’est ce que le trafic ?
Le nombre de clients dans un système
Petits rappels sur les probabilités
Les processus des clients
Les processus à perte
Les processus à attente
Les réseaux de files d’attente
Simulation
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d'attente
2
Prologue
Prologue
Quelques petits rappels sur les probabilités
Simulation
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d'attente
3
Aucune mathématique difficile
•
•
•
•
Ce cours est destiné à donner à des praticiens des outils pour
dimensionner les systèmes qu’ils conçoivent.
Ce n’est pas un cours de mathématiques, même s’il y a des équations à
toutes les pages, ces équations sont élémentaires.
Elles ne servent qu’à comprendre les résultats.
L’accent est mis sur les concepts et leurs significations
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d'attente
4
A peu près tout ce qu’il faut savoir en
mathématiques (1)
•
•
•
Une somme infinie de termes positifs non nuls peut être finie.
C’est ce que n’avait pas pu admettre le grand philosophe Parménide
dans le fameux paradoxe d’Achille et de la Tortue.
En particulier, vous n’aurez aucun mal à montrer que :
1  x  x 2  x3  ...  x N (1  x)  1  x N 1
1 xN
 x  1 x
i 0
N
•
•
•
Donc
i

1
Et si x<1, lorsque N tend vers l’infini :  xi 
C’est probablement
1

x
i 0
la série la plus célèbre.
En annexe on trouvera d’autres séries déduites de celle là.
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5
A peu près tout ce qu’il faut savoir en
mathématiques (2)
•
Une autre série est à connaître :

xi
x 2 x3 x 4
 i!  1  x  2!  3!  4!  ....  e x
i 0
•
On obtient ce résultat en effectuant le développement de Taylor de ex
autour de x=0
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Prologue
Simulation
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Clients et serveurs
•
•
•
•
L clients peuvent être servis par N serveurs. Le but du jeu est que N<L
Les clients « prennent » (seizure) des serveurs.
Les « clients » peuvent être des humains, des appels ou des paquets
Les serveurs peuvent être des guichets, des canaux de transmission ou
des récepteurs (modems, machines de traitement), ou … des humains.
1
1
i
j
L
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N
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8
Le trafic d’une machine (1)
•
•
Nous appelons « machine » tout organe ou tout intervenant qui a la
propriété d’être soit libre (disponible) soit occupé (indisponible).
Le trafic de la machine (ou sa charge)  est la mesure de son
occupation :  est la fraction du temps où la machine est occupée.
C’est donc la probabilité temporelle d’occupation de cette machine.
t1
t2
t3
t4
ti
tn
Période d’observation T
tcum  ti


T
T
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Le trafic d’une machine (2)
•
Si en « moyenne » on a n « prises » de la machine par heure d’une
durée « moyenne »  : tcum  n
•
Le trafic est :
•
On définit le taux de prises de machines (nombre de prises par unité
n
de temps)

T
•
Le taux de service de la machine (nombre maximal de services par
1
unité de temps)


n
T

• Le trafic est donc également :  
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
ou encore :   

d'attente
10
Unités de trafic
•
L’unité de trafic correspond à 3600 secondes d’occupation cumulée
par heure.
t
3600
1
Dans ce cas :   cum 
3600
T
•
L’occupation permanente représente l’unité de trafic. Elle est appelée 1
Erlang, en honneur de Agner Krarup Erlang (1878, 1929), un ingénieur
danois pionnier du calcul de trafic.
•
Les Américains utilisent la CCS (Cent Call Second) :
1 CCS = 100 seconds d’occupation cumulée par heure
1 Erlang = 36 CCS
•
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Le trafic d’un groupe de machines
•
•
•
 tcumi
 tcum 
    
Le trafic du groupe est donné par : A   
 M T  M i T
n
Ou : A 
T
ou A  
ou A 

   M

 M

Dans ces formules  est la somme des taux d’arrivée de toutes les
machines et  est le taux de service pour une machine
M
L
M
3
M
2
M
1
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Remarques sur le trafic :
•
•
Le trafic est aussi le nombre d’arrivées pendant le temps d’un service .
n
En effet, par unité de temps le nombre de prises est :  
T
n
• Pendant le temps  d’un service le nombre d’arrivées est :  
A
T
•
•
Le trafic d’un groupe de machines n’est pas une probabilité
Pour N machines, on a : A  N
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d'attente
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Probabilités temporelles et Probabilités d’ensemble
•
•
•
•
•
•
On peut dire qu’une probabilité est une fraction du poids d’un
ensemble.
La notion de probabilité est donc relative à un ensemble.
Si l’ensemble est le temps, la probabilité est dite Temporelle
tx
Par exemple la probabilité temporelle de l’état x est PT  x  
où tx
T
est le temps cumulé d’existence de x pendant la période d’observation
T
Si l’ensemble est la totalité des N choses qui peuvent avoir l’état x en
question, la probabilité est dite d’Ensemble
n
Par exemple la probabilité d’ensemble de l’état x est P  x   x où nx
N
est le nombre des choses ayant l’état x par rapport au nombre total N
de choses
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Ergodicité
•
On ne peut pas comparer des choses de natures différentes (réverbères
et torchons) mais ont peut établir des relations (la quantité Q de
torchons pour nettoyer N réverbères est Q=5N par exemple)
•
On dit qu’un système est ergodique quand les probabilités temporelles
sont égales aux probabilités d’ensemble
•
L’ergodicité a quelque chose à voir avec la stationnarité mais les deux
notions sont différentes :
* Un système ergodique est stationnaire
* L’inverse n’est pas toujours vrai : un système stationnaire peut ne
pas être ergodique
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Trafic Ergodique
•
•
•
Si le trafic est ergodique les probabilités temporelles sont égales aux
PT  PE
probabilités d’ensemble
x
Dans ce cas :
PT    PE   x  L  A
L
Alors le nombre moyen de machines simultanément occupées est
égal au trafic :
xA
ML

M3
M2
M1
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Arrivées aléatoires des paquets (1)
•
•
λ(t) est le nombre de paquets arrivant par seconde entre t et t+dt
 est le temps moyen de traitement (émission) d’un paquet :  
λ(t)
1

écart 

moyenne
Période d'observation T
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d'attente
t
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•
•
•
•
S'il arrive pendant une courte période plus de  unités de données par
secondes, il faut pouvoir retenir les unités de données de la pointe audessus de  jusqu'au prochain creux pour pouvoir les écouler.
Le nombre maximum d'unités de données à mémoriser dans les
tampons est donc lié à la taille des pointes de la fonction aléatoire x(t).
Normalement la probabilité d'avoir des pointes supérieures à k fois
l'écart type  est inférieure à un nombre petit ε(k) dépendant de k.
Inégalité de Bienaymé Tchebichev :
P x  x  k  
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1
k2
d'attente
18
•
•
•
Si nous dimensionnons la mémoire Mi à une taille ||Mi|| égale à k
unités de données, il existe une probabilité B (inférieure à ε(k)) pour
qu'une pointe de trafic amène dans la mémoire tampon un nombre
d'unités de données supérieur à ||Mi||.
Dans ce cas, toutes les unités de données ne pourront pas être
mémorisées et certaines unités de données seront perdues. Cette
probabilité est la probabilité de perte.
Les réseaux paquets perdent des paquets
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d'attente
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Arrivées aléatoires des appels
•
•
L clients (abonnés) peuvent être servis par N récepteurs ou N canaux. Le but
du jeu est que N<L.
Les clients « prennent » (seizure) des serveurs.
L clients
N serveurs
•
Les réseaux à commutation de circuits perdent des appels.
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Prologue
Simulation
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d'attente
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Nombre de clients dans un système
•
•
•
Taux d’arrivée des clients : 
Nombre de clients dans le système au moment t : x(t)
Nombre de clients arrivés entre 0 et T : n(T)

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x(t)
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Arrivées et départs
•
Le nombre x(t) de clients dans le système est la différence entre le
processus d’arrivée et le processus de départ
A(t)
D(t)
Processus d’arrivée A(t)
Processus de départ D(t)
w2
w1
w3
w4
x(t)
T
t
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d'attente
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Le trafic arrive par bouffées
•
•
Le nombre de clients x(t) dans le système est une variable aléatoire. Sa
valeur instantanée est très différente de sa valeur moyenne (son
espérance E(x) ). En particulier ce nombre retombe de temps en temps
à zéro.
Il en résulte que le raisonnement sur les moyennes est très délicat. Il
induit à raisonner comme si les temps de service étaient constants (on
dit Déterministes) ce qui conduit à des résultats faux
x(t)
E(x)
t
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Moyennes (Espérances)
•
Le nombre moyen de clients dans le système :
1 T
E  x   lim  xt dt
0
T  T
•
Le taux moyen d’arrivée est :
nT 
  lim
T  T
n T 
•
Le temps moyen dans le système est :
E w  lim
T 
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d'attente
 wi
i 0
nT 
25
Des probabilités de natures différentes
•
•
•
E(x) est une probabilité temporelle
E(w) est une probabilité d’ensemble
La formule de John Dutton Conant Little (professeur au MIT) ou
formule de Little établit un lien entre ces deux quantités de natures
différentes
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La somme des attentes
•
La surface ombrée S est, si l’on s’arrête à un endroit où x(t) = 0 (entre
2 bouffées de trafic) :
S w

i
•
La surface ombrée S est aussi :
A(t)
i
T
S   xt dt  E  x t
0
D(t)
Processus d’arrivée A(t)
Processus de départ D(t)
w2
w1
w3
w4
x(t)
T
t
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d'attente
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Formule de Little
•
On calcule la surface ombrée de 2 façons :
T
S   wi   xt dt
i
•
Ou
T
0
0
et
xt dt
wi

t 
T
•
T
wi

xt dt
S

0
i


nC

T
T
T
T
i
nC t 
En prenant la limite quand T
Formule de Little
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E  x   λE w
d'attente
28
Travail du système (1)
•
Au fil du temps des gens arrivent et attendent un temps wi=xi pour être servis
W()

E(w)
x3
x1 x2
•
xn t
L’espérance temporelle du temps d’attente est appelée le travail du système
t
1
1 n 1 2
E w   w d   xi
t0
t 1 2
•
•
(L’intégrale est la somme des surfaces des triangles)
Si t   , t  nE  x  où E(x) est la moyenne d’ensemble des durées d’attente,
alors que E(w) est la moyenne temporelle des durées d’attente
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Travail du système (2)
1 n 1 2
1 1 n 2
1 1 n 2
E w   xi 
 xi  2 E x  n 1 xi
t 1 2
nE x  2 1
 
1 E x2
E w  
2 E x 
•
 
 
2
2
2
2
2
2
Mais   E x  E  x   E x    E  x 

1  2  E  x 2
E w  
2
E x 
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
d'attente
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Trafic offert, Trafic perdu,
Trafic écoulé ou Throughput
•
•
Nombre de clients arrivant pendant T :
nnC nB
n
n : arrivées offertes  Trafic offert A 
T n 
nB : arrivées perdues  Trafic perdu AB  B
nC
T

A
nC : arrivées écoulées  Trafic écoulé
C
T
B  nB
Fraction d’arrivées perdues ou probabilité de perte :
n
nB  nB et nc  n  nB  n1  B 
•
Le trafic perdu est : AB  A B
•
Le trafic écoulé aussi appelé “Throughput” est :
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d'attente
AC  A1 B 
31
File d’attente
•
•
•
Espérance du temps passé dans la file : E(w)
Nombre de clients dans la file au moment t : x(t)
Nombre de clients arrivés entre 0 et T : n(T)
Serveur
Clients Offerts
Throughput

Serveur
C
B
File d’attente
Clients perdus
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Serveur
c serveurs
d'attente
32
Espérance du temps d’attente
•
•
•
Espérance du temps d’attente : temps moyen passé dans la file, avant
d’être servi : E(w)
Espérance du nombre de clients dans la file d’attente : E(x)
La formule de Little donne :
E w  
Clients Offerts
E x 
Tampon
C
Clients écoulés

C
B
Serveur
E  x  clients en attente
Clients perdus
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Serveur
d'attente
Serveur
c serveurs
33
Espérance du temps de séjour
•
•
Temps de séjour : temps d’attente + temps de service : E s   E w  
Nombre de clients dans le système :
E c   E s   E w    E  x   A
N serveurs
Serveur
Tampon
Clients Offerts
Clients écoulés

Serveur
C
B
E  x  clients en attente
A clients dans les serveurs
Clients perdus
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Serveur
d'attente
34
Ce qu’il nous reste à déterminer
•
•
•
Nous avons découvert une relation très importante entre le nombre de
clients dans le système et leur temps de séjour.
Ce qui nous intéresse vraiment est le temps de séjour ou la probabilité
de perte
Pour l’évaluer il faut d’abord arriver à déterminer le nombre de clients
dans le système
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Diapositive volontairement vide
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d'attente
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Prologue
Simulation
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d'attente
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Processus à temps discret
•
Loi de probabilité (ou fonction (ou loi) de distribution des probabilités) : diagramme en
bâtons : P(xi) = Probabilité que x=xi
P(x)
•
xmax
Moyenne ou Espérance E  x    xP x 
0
1
2
3 4 5
6 7
8
9
x
x 0
•
Variance (moyenne du carré des écarts) :
Var  x  
x max
  x  E x  Px   
x 0
•
x max
Ecart type :
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2
  Var  x 
x 0
x max
x P x   2 E  x   xP x   E  x 
2
x 0
d'attente
2
 Px   E x 2   E x 2
x max
x 0
38
Fonction de répartition, cas discret
•
La fonction de répartition (cumulative distribution function cdf) de x
est la probabilité que la valeur de x soit ≤ t
FX t   P ( x  t ) 
F(t)
1
0
•
1
2
3 4 5
6 7
 Pxi 
xi  t
8
9
t
Probabilité que x soit dans un intervalle [a,b] : Pa  x  b   FX b   FX a 
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d'attente
39
Processus à temps continu
•
•
La loi de probabilité devient une fonction de densité de probabilité
(probability density function pdf)
La probabilité que x soit comprise entre t et t+dt est fX(t)dt
f(t)
Pt  x  t  dt   f X t dt
1
b
Pa  x  b    f X t dt
•
Espérance : E  x    xf X  x dx
0
•
a


Variance : Var  x     x  x 
2
0
•
0
1
2
3 4 5
6 7
8
9
t
 2


f X  x dx   x f X  x dx   x 2


0

Ecart type :   Var  x 
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d'attente
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Fonction de répartition, cas continu
•
Fonction de répartition (cumulative distribution function cdf) de x :
probabilité que la valeur de x soit ≤ t
t
FX t   P0  x  t    f X t dt
F(t)
1
0
0
•
1
2
3 4 5
6 7
8
9
t
Probabilité que x soit dans un intervalle [a,b] : Pa  x  b   FX b   FX a 
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d'attente
41
Fonction de densité de probabilité
•
La fonction de densité est la dérivée de la fonction de répartition :
P x  X  x  dx  
dFX  x 
dx
dx
P x  X  x  dx   F  x  dx   F  x   f  x dx
•
En effet
•
et
•
La fonction de densité de probabilité est :
f X x  
dFX  x 
dx
P x  X  x  dx   f X  x dx
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d'attente
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Probabilité conditionnelle (sachant que…)
•
Probabilité de l’événement A sachant que l’événement B s’est déjà réalisé :
P A  B 
P A | B  
PB 
Ω
B
A
A B
•
•
En général, une probabilité conditionnelle (sachant que) est plus grande qu’une
probabilité ne sachant rien.
(Sachant qu’un homme a déjà atteint 60 ans, son espérance de vie (82 ans en
France) est plus grande que celle de la population totale des hommes (78 ans))
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d'attente
43
PDF de la somme de 2 variables aléatoires
indépendantes
•
•
La fonction de densité de probabilité de la somme de deux variables
aléatoires indépendantes est le produit de convolution des fonctions de
densité de chacune des variables :
Si Z=X+Y et si X et Y sont indépendantes, alors :
f Z z  

 f X x fY z  xdx

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44
Espérance et variance d’une somme de variables
aléatoires
•
Qu’elles soient indépendantes ou non, l’espérance de la somme de 2
variables aléatoires est la somme des espérances :
E x  y   E x   E  y 
•
En général la variance de la somme de 2 variables aléatoires n’est pas
la somme des variances, c’est la somme des variance plus 2 fois la
covariance :
Var  x  y   Var  x   Var  y   2Cov  x, y 
•
Si x et y sont indépendantes, alors Cov(x,y)=0 et
Var  x  y   Var  x   Var  y 
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45
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d'attente
46
Prologue
Simulation
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d'attente
47
Arrivées à des temps discrets
•
L’équivalent d’une porte à tourniquet tourne à vitesse constante et
divise le temps en temps élémentaires Δt où ne peut entrer qu’un client
à la fois
File d’attente
•
L’intervalle [0,t] se trouve divisé en N intervalles de durée t/N
t/N t/N
t/N
0
t/N
t
N intervalles
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d'attente
48
Arrivées à des temps discrets
•
On suppose que la probabilité d’arrivée dans un intervalle est :
Pt   t
•
La probabilité de x arrivées sur [0,t=NΔt] est :
P ( x, t )  C Nx t x 1  t N  x
•
•
•
Il s’agit de la loi de probabilité Binomiale ou
de Bernoulli (Jacques)
Nous pouvons poser λΔt=p et (1- λΔt)=q
P ( x, t )  C Nx p x q N  x
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d'attente
49
La loi de Bernoulli est une loi de probabilité
•
Nous devons avoir :
N
N
x 0
x 0
 Px    C Nx p x 1  p N  x  1
N
•
Or :  C Nx p x 1  p N  x est le développement du binôme  p  1  p N
•
Ce binôme est égal à 1. CQFD
x 0
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d'attente
50
Espérance de la loi de Bernoulli
•
Nous pouvons calculer l’espérance de la loi de Bernouilli par la
méthode de la force brute :
E x  
N
 xp x 1  p N  x
x 0
•
Nous faisons le calcul en annexe et nous trouvons : E  x   Np
•
Une méthode plus fine est de dire que nous cherchons l’espérance d’un
ensemble de N variables indépendantes identiquement distribuées (iid)
dont la valeur peut être 1 avec probabilité p et 0 avec probabilité (1-p)
L’espérance d’une de ces variables est :
1 p   0  1  p   p
L’espérance de l’ensemble des N variables est Np
•
•
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
51
Variance de la loi de Bernoulli
•
Nous pouvons également calculer la variance par la méthode de la
force brute :
 N 2 x
N x 
   Np 2

Var  x     x p 1  p 


 x 0
•
•
Nous faisons ce calcul en annexe et nous trouvons : Var  x   Np 1  p 
Nous pouvons aussi utiliser la méthode de l’iid comme nous l’avons
fait pour l’espérance :

 

Var  x   N 12  p  0 2 1  p   p 2  N p  p 2  Np 1  p 
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
52
Temps inter-arrivées dans le cas discret
•
•
•
On appelle x la variable aléatoire donnant le rang de la première arrivée
La probabilité qu’il n’y ait aucune arrivée dans [0,,(N-1) Δt] est :
t 

P0, t  1  1   
N

N 1
 q N 1
La probabilité que la première arrivée soit au temps t =NΔt est :
P x  t   t 1  t N 1  pq N 1
•
•
Il s’agit d’une loi de probabilité géométrique du deuxième type
La fonction de répartition du temps inter-arrivées est la probabilité pour que le temps
inter-arrivées soit ≤ t :
N
N
N
1 qN
F t    P xi    pq i 1  p  q i 1  p
i 1
i 1
F t   1  q N  1  (1  
•
•
i 1
1 q
1 qN
t N
)
N
La loi géométrique est la seule fonction de probabilité discrète à avoir une fonction de
répartition simple
La probabilité que la première arrivée se produise à un temps > t est :
Claude Rigault,
2/12/2012


P x  t   1  P x  t   1  1  q N  q N
d'attente
53
Il y a 2 types de lois géométriques
•
•
•
•
Premier type : p(x)=p(1-p)x
Alors :
1 p
E x  
•
1 p
p2
Deuxième type : p(x)=p(1-p)x-1
Alors :
1
1 p
E  x   et Var  x   2
p
•
p
et Var  x  
p
La loi géométrique du premier type donne les probabilités
d’occupation des files d’attente M/M/1
La loi géométrique du deuxième type donne les temps inter-arrivées
dans le cas discret
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
54
La loi géométrique de deuxième type
•
La loi géométrique
Px   p1  p 
x 1
P(x)
1
p
1 2 34
Claude Rigault,
2/12/2012
x
d'attente
55
La loi géométrique est une loi de probabilité
•
•
Nous supposons que nous observons les inter-arrivées pendant un
temps infiniment long : x varie de 1 à l’infini


Nous devons avoir :  P x    p1  p x 1  1
x 1
•
mais

 p1  p 
x 1
•
x 1
x 1
N
 p  1  p x 1
x 0
En posant y=x-1 et (1-p)=q

 p1  p 
x 1
Claude Rigault,
2/12/2012
x 1

 p qy 
y 0
p
p
 1
1 q p
d'attente
56
Espérance de la loi géométrique
•
Le temps inter-arrivée peut être aussi grand que l’on veut :
P x   p1  p x 1  pq x 1 où p  t et q  1  p 
E x  
1
1

p t
E t   E  x t 
t
1

t 
•
Nous montrons en annexe que l’espérance de x est :
•
L’espérance du temps entre 2 arrivées est :
1
E t  

•
La variance et l’écart type sont :
Var  x  

Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
1 p
p2
1 p
p
57
La propriété de Markov
•
La propriété de Markov est la propriété sans mémoire : la probabilité
conditionnelle d’un état futur sachant l’état présent ne dépend que de
cet état présent et pas des états antérieurs.
•
A la roulette, la probabilité d’avoir un noir
sachant que l’on a déjà eu 8 rouges est la même
que la probabilité d’avoir un noir au premier
lancer (la boule n’a pas de mémoire).
La probabilité d’attendre 2 minutes sachant que
l’on a déjà attendu 8 minutes est la même
que la probabilité d’attendre 2 minutes
sachant que l’on a pas encore attendu
•
Andreï A. Markov
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
58
La loi géométrique possède la propriété de Markov
•
Probabilité d’un temps inter-arrivées ≤ s sachant qu’un temps t s’est
déjà écoulé sans arrivées
Px  t  s | x  t  
P x  t  s | x  t  
•
•
P x  t  s    x  t  P (t  x  t  s )

Px  t 
Px  t 

1 qN M  1 qN
qN
  q N  q N  M  1  q M  P x  s 
qN
La loi géométrique est sans mémoire (propriété de Markov)
C’est la seule loi discrète à avoir cette propriété
P x  t  s | x  t   P x  s 
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
59
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
60
Arrivées à des temps continus
•
•
La porte à tourniquet tourne maintenant à vitesse non constante aussi
rapide que l’on veut (elle n’a pas de frein).
Elle divise le temps en temps élémentaires dt où ne peut entrer qu’un
client à la fois (dt→0)
File d’attente
•
L’intervalle [0,t] se trouve divisé en N intervalles de durée dt
dt dt
dt
0
dt
t
N=t/ dt intervalles
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
61
Proba temporelles, arrivées Poissoniennes
•
•
Divisons l’intervalle [0,t] en N=t/dt intervalles de durée dt
La probabilité d’arrivée d’un client sur cet intervalle est : P(dt )  dt
•
La probabilité de x arrivées sur [0,t] est : P ( x, t )  C Nx dt x 1  dt N  x
•
Lorsque dt  0 , N ∞ la loi de Bernoulli tend vers la loi de Poisson

 t x  t
P ( x, t ) 
e
•
x!
(voir démonstration sur la diapo suivante)
dt dt
dt
0
dt
t
N=t/dt intervalles
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
62
Bernoulli  Poisson
•
N=t/dt, lorsque dt  0 , N ∞
P( x, t )  C Nx dt x 1  dt N  x
N!
dt x 1  dt N  x
x! N  x !
N  N  1... N  x  1
dt x 1  dt N  x
P ( x, t ) 
x!
P ( x, t ) 
 t 
N  N  1... N  x  1  N   
 dt 
x
1  dt 
t
x
dt
x
 e  t
x
 t 
 

t x  t
dt 
x  t

dt  e 
e
P ( x, t ) 
x!
x!
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
Siméon Denis Poisson
63
La loi de Poisson est une loi de probabilité
•
Nous devons avoir :
Ax  A
 P x    x! e  1
x 0
x 0
N
N
 P x   e
x 0
•
•
Mais :
Donc :
N
A
Ax
 x!
x 0
N
Ax
 x!  e A
x 0
N
N
 P  x   e  Ae A  1
x 0
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
64
Espérance de la loi de Poisson
•
Nous utilisons la méthode de la force brute :
A x  A  A x 1  A
E x    x
e  A
e
x  0 x!
x 1  x  1!

•
Nous posons y=x-1 (ou x=y+1) :
•
Donc :
Claude Rigault,
2/12/2012


Ay  A
Ay  A
E x   A 
e mais 
e 1
y
!
y
!
y 0
y 0
E x   A
d'attente
65
Variance de la loi de Poisson
•
Nous utilisons la méthode de la force brute :

  2 Ax  A 
A x 1  A 
2 



Var  x     x
e   A    Ax
e   A2
x!
 x 0

 x 1  x  1!

•
Nous posons y=x-1 (ou x=y+1) :

 
  Ay  A
A y  A 
A y  A 
2 

Var  x   A   y  1
e
e  A
 A  A y
 A2
e
 y 0

 y  0 y!

y!
y  0 y!




•
•
ou
Donc :
Var  x   A2  A  A2
Var  x   A
et
 A
Claude Rigault,
2/12/2012
Pour la loi de Poisson, l’écart type est
la racine carrée de la moyenne
d'attente
66
Temps inter-arrivées
•
•
•
•
•
•
Soit 0 l’instant de l’arrivée i et t l’instant de l’arrivée i+1
Divisons l’intervalle [0,,t] en N=t/dt intervalles
La probabilité qu’il n’y ait aucune arrivée dans [0,,t] est : P0, t   1  dt N
 t
Lorsque dt  0, N  ∞ P0, t   e
Ceci représente la probabilité pour que le temps entre 2 arrivées soit >t
Appelons x le temps entre 2 arrivées.
P  x  t   e  t
• La fonction de répartition du temps inter-arrivées est la probabilité
pour que le temps inter-arrivées soit ≤ t
P x  t   F t   1  e t
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
67
Fonction de densité exponentielle (1)
•
La fonction de répartition du temps inter-arrivées est :
P x  t   F t   1  e  t
•
La fonction de densité de probabilité est :
f t  
•
dF t 
 e  t
dt
C’est la loi de densité de probabilité exponentielle
P (t  x  t  dt )  e t dt
b
P ( a  x  b)   e
a
Claude Rigault,
2/12/2012
 t
dt  
t b

t a
e
 t
d  t  
 
 t t b
 e t a
d'attente

 
 t t  a
e t b
 e   a  e  b
68
La loi exponentielle est une loi de densité de
probabilité
•


0
0
Nous devons avoir :  f  x dx   e  t dt  1

 e
 t
0
•
Nous posons y=λt :

e
0
Claude Rigault,
2/12/2012
 t

dt   e  t dt
0

y
dt   e dy 


y 
e 0
 e0  e  1
0
d'attente
69
Espérance du temps inter-arrivées
•
•


0
0

Espérance : E t    tf t dt   te
On pose : x  t  E t  
1
xe

 t
x
dt 
1

te

 t
dt
0
dx
0
•


On intègre par parties :  xe dx  
0
•
x
Donc
Claude Rigault,
2/12/2012
E t  


xe  x 0


  e  x dx   xe  x
  e 

0
x 
0
1
0
1

d'attente
70
Variance du temps inter-arrivées
  2  t  1
Var t     t e dt   2

 
0

Calculons l’intégrale :

t
2
e
 t
0

x
2 x

e dx  


xe  x 0
0
On obtient :
dt 
1

 t 
2
0
2  t
e
dt 
1

x
2
2 x
e dx
0

 2  xe  x dx  2
0
1
 2 1
Var t    2   2  2

  
Var t  
1
2
 
1

Pour la loi exponentielle, l’écart type est égal à la moyenne
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
71
La loi exponentielle possède la propriété de Markov (1)
•
Probabilité d’un temps inter-arrivées ≤ s sachant qu’un temps t s’est
déjà écoulé sans arrivées
P x  t  s    x  t  Pt  x  t  s 
P x  t  s | x  t  

P x  t 
P x  t 

 

F t  s )  F (t  1  e   t  s   1  e  t e  t  e   t  s 
 s
P x  t  s | x  t  



1

e
 P x  s 
 t
 t
Px  t 
e
e
•
La loi exponentielle est sans mémoire. C’est la seule loi de probabilité
continue qui a cette propriété.
P x  t  s | x  t   P x  s 
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
72
La loi exponentielle possède la propriété de Markov (2)
P0  x  s 
0
s
P x  t  s | x  t 
t
t+s
P x  t  s | x  t   P x  s 
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
73
La propriété PASTA
•
•
PASTA : Poisson Arrivals See Time Average
1  2  t 2 
Nous nous souvenons que le travail est : E w 
•
Dans le cas d’arrivées Poissoniennes , les inter-arrivées suivent une loi
1
1
exponentielle :
E w   ,  


•
On trouve que l’espérance du temps d’attente d’un client dans la file
(s’il n’y a personne avant lui) est :
2
t
1 
 1
 2  2
1
1
E w       
1
2


Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
74
Le paradoxe de l’auto-stoppeur
•
•
•
•
Un auto-stoppeur arrive au bord d’une route. Les voitures passent
selon une loi exponentielle de taux 10 mn
Combien de temps, en moyenne l’auto-stoppeur doit il attendre?
On s’attend à une réponse du genre 5 mn (qui serait vraie si les
arrivées des voitures étaient déterministes)
La propriété PASTA nous dit que la réponse vraie est 10 mn. (Plus de
gens attendent des temps long que des temps courts)
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
75
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
76
Probabilité de x clients simultanés
•
La probabilité temporelle d’avoir simultanément x clients dans le
système est :
tx
 x  
x(t)
T
tx = durée cumulée d’existence de x clients dans le
système
x
Espérance 
Durée d’observation T
t
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
77
Equilibre statistique
•
Pour T très grand, le nombre de transitions de x à x-1est égal au
nombre de transitions de x-1 à x (l’effet de bord devient négligeable)
x(t)
1 service
1 service
x
1 arrivée
1 arrivée
1 arrivée
T
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
78
L’équation d’équilibre
•
•
x1tx1xtx
A l’équilibre :
Si x ≤ N où N est le nombre de serveurs (pas d’attente) , alors
où  est l’espérance du temps de service
x x

x-1 t x-1
x-1
x
x t x
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
79
Cas d’un grand nombre de clients
•
•
x est indépendant de x :
 n
Quand c’est le cas, on parle
T
d’un processus d’arrivées Markovien (le passé, n’a pas d’influence).
S’il n’y a pas d’attente x est :  x  x

x1tx1xtx
•
•
•
L’équation d’équilibre est : n t  x t
x 1
T
 x
t
n t x 1
Elle devient :
x x
T T
T
•
Ou :
Claude Rigault,
2/12/2012
A
x
  x     x  1
d'attente
80
La distribution de Poisson
•
•
Pour un grand nombre de clients :
On calcule P(0) par :


Ax
x 0
x 0
x!
  ( x )   ( 0) 
x!
 ( 0)
 1   0   e  A
Ax  A
 ( x) 
e
x!
•
ou :
•
On obtient (voir annexe)
Claude Rigault,
2/12/2012
 ( x) 
Ax
E  x   A et   A
d'attente
81
Conséquences du trafic Poissonien
•
La fluctuation mesurée par l’écart type ne varie pas linéairement avec
le trafic :
 A
•
•
•
Un réseau n’est pas dimensionné pour le nombre moyen de clients
dans le système mais pour ce nombre plus la fluctuation.
La fluctuation varie comme la racine carrée du trafic  Plus le trafic
est grand, moins la fluctuation est grande (en valeur relative)
Le dimensionnement de réseau n’est pas linéaire :
N  A k A
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
82
La règle de l’accessibilité totale
Taux de service 
Grandes fluctuations ressenties par le client !
Mauvaise solution
Claude Rigault,
2/12/2012
Taux de service 4
Petites fluctuations ressenties par le client !
Bonne solution
d'attente
83
Cas d’un petit nombre de clients
•
•
•
•
•
•
x dépend de x : s’il y a en tout L clients et x-1 sont déjà là, alors
seulement Lx1  L x1 clients peuvent produire des arrivées
Un client a le trafic  
T
Un client libre produit  f  
arrivées par unité de temps
T 
L’équation d’équilibre devient : Lx1  tx1  x tx
T 

L  x  1     x  1
 x  


Ou
x
1   
x
  
et :   x   C Lx 
  0
1   
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
84
La distribution de Bernoulli

• On calcule π(0) par :
L
•
 

Ou :  (0)1 
 1
 1  
• et :
L
x  ρ 
π(x)


(
0
)
C

 L  1  ρ 


x 0
x 0
x
 1
 (0)  1   L
• donc :
  x   CLx ρ x 1  ρ L  x
• On obtient :
Claude Rigault,
2/12/2012
X  L  A
et :
d'attente
  A1  
85
Comparaison de Bernoulli et de Poisson
•
•
•
•
Pour une moyenne donnée, la loi de Poisson a la plus grande entropie 
Poisson est un modèle pessimiste (worst case)
La fluctuation de Bernoulli est un peu plus petite que celle de Poisson
 Le modèle de Bernoulli est plus précis pour un petit nombre de clients
Quand
Bernoulli  Poisson
L
x

L!
L!  A 
L x
x
 x  
 1   

1  
x!L  x !
x! L  x !  L 
•
et
 
L!  Lx , 1 A
Lx!
L
L x
L x
 e A
x

L x  A A  A
e 
 x  
e
x!
Claude Rigault,
2/12/2012
x!
d'attente
86
Prologue
Simulation
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
87
Processus à pertes
1
L clients
L
Tonalité d’encombrement
1
2
N
N serveurs
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
88
Connexions
•
Les serveurs sont les jonctions (trunks). Combien en faut-il ?
1
2
1
1
1
2
2
J
aj
2
J
Jonctions
L
L
al
al
lignes
lignes
Signalisation
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
89
Combien de serveurs ?
x(t)
N
Ecart type
Nombre de serveurs
Appels perdus

A
Espérance
t
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2/12/2012
d'attente
90
Probabilité de perte et congestion temporelle

N tN
N
B  nB
n
nB L N   tN , ν n ,  C  nC
T  C
L
L
nB  L N  1 tN
n
L 1 nC  T
LT

B
Claude Rigault,
2/12/2012

LN
 N 
L  AC
d'attente
91
La probabilité de perte est égale à la congestion temporelle
dans le cas des clients Poissoniens
B
LN
 N 
L  AC
•
Clients sont Poissoniens  L est infini et :
•
Une autre façon de le démontrer :
n
T
B   N 
est indépendant de N
n
nB t N
nB  λt N  t N  B 

  N 
T
T
n
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
92
Le système M/M/N/N
•
•
•
Il y a N serveurs et on ne peut pas avoir plus de N clients dans le
système (pas de file d’attente)
Les clients sont Poissoniens   est indépendant de x
Il y a N serveurs de capacité  indépendante de x
Serveur
Clients offerts

Pas de file d’attente
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2/12/2012
Serveur
N
serveurs
Serveur
d'attente
93
Probabilité d’avoir x clients
•
•
Ax
Les clients sont Poissonniens   est indépendant de x    x    0
x!
Il ne peut pas y avoir plus de N clients dans le système (pas de file
d’attente)
N Ai
1
 0  1   0 
N Ai
i  0 i!
 i!
i 0
Ax
 x  
x!
N Ai

i 0
Claude Rigault,
2/12/2012
i!
d'attente
94
La première loi d’Erlang ou loi d’Erlang “B”
•
Les clients sont Poissoniens  L est infini 
B   N 
AN
B  E1,N A  N N!x
A

x 0 x!
•
On obtient :
•
Les Européens appellent cette loi “la première loi d’Erlang”, les
Américains l’appellent “loi d’Erlang B”
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
95
Inversion de la loi d’Erlang B
•
On peut écrire une petite boucle de programme pour tirer profit de la
relation de récurrence :
N
1
 1 
E1, N  A
A E1, N 1  A
1
•
Sachant que :
Claude Rigault,
2/12/2012
E1,0  A  1
d'attente
96
La règle de Rigault
AN
B  E1, N ( A)  N ! i
N A

i 0 i !
Si B  10  k alors N  A  k A
Excellente approximation à quelques pour cents près (par excès)
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
97
Trafic écoulé par la Nième jonction
•
La Nième jonction écoule le trafic perdu par le groupe des N-1
premières jonctions et perd le trafic perdu par le groupe des N
jonctions
N-1 jonctions
A
Nième jonction
N  AEN 1AEN A
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
98
La règle de l’utilité marginale (principe de Moe)
•
N
1
1
 1
E1,N ( A)
A E1,N 1 ( A)
Equation ECCS

N

C
a1

N
C
uN 
N < 0,75
C
C'
a2
1  E1,N ( A)
uN 
C'
0,75 E
N 
E1,N ( A)

 N  A1  E
1,N
( A)

( N  A) E1,N ( A)
C
N
C

0,75
C'
aN
C
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2/12/2012
d'attente
99
Construction du réseau : réseaux de transit
•
La construction du réseau se fait en fonction des trafics à écouler
COMMUTATEURS DE TRANSIT
FAISCEAU DE DEBORDEMENT
COMMUTATEURS D'ABONNES
Appelé
Jonctions
Faisceau direct Haut usage
Appelant
LR
LR
Appelant
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2/12/2012
PABX
LS
d'attente
Appelé
100
Trafic de débordement
Transit
A0   Ai E1, N i  Ai 
i
A1E1, N1  A1 
A2 E1, N 2  A2 
Destination 1
A3 E1, N 3  A3 
Destination 2
Destination 3
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2/12/2012
d'attente
101
Faisceau équivalent de Wilkinson (1)
•
•
On cherche un faisceau unique qui aurait un trafic de débordement
dont la moyenne et la variance serait la même que celles que nous
obtenons (o pour Overflow) : A0   Ai E1, N i  Ai 
i
La variance du trafic perdu sur un faisceau où le trafic offert est A est :


A
varB  A  AB 1  AB 
1  N  AB  A 

•
La variance totale du trafic de débordement est donc (nous ne le
démontrons pas) :


A
var0  A0    ABi 1  ABi 




1
N
A
A
B


i

i
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2/12/2012
d'attente
102
Faisceau équivalent de Wilkinson (2)
•
Les formules de Rapp donnent le trafic et le nombre de jonctions d’un
faisceau unique à trafic Poissonien qui aurait le même trafic de
débordement et la même variance de débordement (e pour Équivalent):
 3 var0  A0   var0  A0  

 1
Ae  var0  A0   
A
A


0
0

Ne 
•
Ae
 A0  1
1
1
var  A 
A0  0 0
A0
Faisceau équivalent
Le principe de la méthode de Wilkinson est de dire que si l’on équipe
le faisceau de débordement de m jonctions la perte d’appel serait la
même que la perte d’Erlang appliquée à un faisceau équivalent qui
aurait Ne+m jonctions
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
103
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
104
Prologue
Simulation
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
105
Processus à attente
1
L clients
L
1
2
N
N serveurs
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
106
Paramètres intéressants
•
Processus à perte :
Probabilité de perte :
•
Processus à attente :
Probabilité qu’un certain pourcentage de clients dépasse un
certain délai :
B  nB  
n
 nt    
P
 
 n 
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2/12/2012
d'attente
107
Probabilité d’attente
•
On appelle Probabilité d’attente (Delai) la fraction des arrivées qui
doit attendre :
nD
D
•
n
Les arrivées qui doivent attendre sont les arrivées qui ont lieu quand
tous les serveurs ont occupés
n
nD  tx 
•
Ou :
•
et :
nD  n
x N
  x
t

T
x
x N
x N
D
 x
x N
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2/12/2012
d'attente
108
Deux espérances différentes pour le temps d’attente
•
•
•
•
Soit E(w) l’espérance du temps d’attente (n’incluant pas le temps dans
le serveur) moyennée sur toutes les n arrivées (même celles qui sont
servies sans attente)
Soit E(wD) l’espérance du temps d’attente , moyennée seulement sur
les nD arrivées qui subissent de l’attente
La somme des attentes est : nE w  nD E wD   E w  nD E wD 
n
et :
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2/12/2012
E w  DE wD 
d'attente
109
Classification des systèmes de files d’attente
•
•
Ces systèmes sont désignés par la notation de Kendall* :
Processus Clients/Processus Service /Nombre de Serveurs/Occupation
maximale de la queue/taille de la population de clients/Discipline de service
•
•
•
M = exponentiel
D = Déterministe
G = Général
•
Quand l’occupation maximale (et la population de clients) n’est pas
mentionnée cela veut dire qu’elle est illimitée (le nombre de clients peut être
infini). Si la discipline de service est FCFS (First Come First Serve) on ne met
rien
 David George Kendall (1918 –2007) était un mathématicien et statisticien
anglais de l’université de Cambridge
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
110
La file M/M/1
•
•
•
•
Il n’y a pas de perte  C = 
Il n’y a qu’un serveur de capacité  indépendante de x :
(le serveur ne se dépêche pas plus si la file est longue)
Clients offerts
Serveur

Buffer infini
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2/12/2012
d'attente
111
Équation d’équilibre pour la file M/M/1
•
L’équation d’équilibre devient :
ou :
  x      x  1
et :
  x    x  0 
 tx1  tx


x 0
x 0
  ( x )   ( 0)   x  1
•
On obtient P(0) par :
•
•
1
Donc Si   1, la somme 1     2   3  ... vaut
1 
Et  (0)  1 -  
  x    x 1 -  
•
Il s’agit d’une loi géométrique du premier type
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
112
Espérance et variance du nombre de clients dans le
système M/M/1 (file + serveur)
•
Nous calculons en annexe l’espérance d’une loi géométrique de
deuxième type : P x   p x 1  p   qp x où q  1  p 
p
E x  
1 p
•
Ici p=ρ donc l’espérance du nombre de clients dans le système est :
E x  
•

1 


 -
La variance et l’écart type sont :
Var  x  

Claude Rigault,
2/12/2012

1   2

1   
d'attente
113
Temps de séjour moyen dans la file M/M/1
•
•
•
Selon la formule de Little, le temps de séjour moyen dans le système
(temps dans la file + temps de service) est :
E x  1 
1
E t  



    -
E t  
1
 -
et
aussi :
E t  
1

1- 
L’attente moyenne (dans la file uniquement) est :
E wM / M / 1  E t    
Claude Rigault,
2/12/2012

1 
d'attente

114
Nombres moyens de clients dans la file et dans le serveur
•
L’espérance du nombre de clients total dans le système (serveur + file)
est :

E x  
1 
•
L’espérance du nombre de clients dans la file est : nD  E w  


1- 
2
nD 
1- 
•
Ou :
•
L’espérance du nombre de clients dans le serveur est :

2
 1   


E ns   E  x -n D 

1  1 
1 
On aurait pu retrouver ce résultat par la formule de Little : E ns   λ  
•
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
115
Sensibilité du temps de séjour au trafic
•
•
•
Il est impossible d’avoir un trafic de 1.
=0,1 : Une variation de charge de 0,7 à 0,9 Erlangs multiplie le délai par 3 !
Une variation de charge de 0,1 à 0,3 Erlangs multiplie le délai par 1,2
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
116
Sensibilité du nombre de clients total au trafic
•
Le nombre total de clients (file + serveur) :
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
c  E x  

1 
117
Sensibilité du nombre de clients en attente au trafic
•
Le nombre de clients en attente (dans la file) :
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
2
nD 
1- 
118
Multiplexage statistique
•
Le multiplexage statistique donne toute la capacité du canal à tout le
monde. L’espérance du délai est :
1
E t S  
 -
•
En TDM on divise la capacité en N intervalles de temps de capacité
T 
•
•

N
Dans ces intervalles le taux d’arrivée est :
Le délai en TDM devient :
E tT  

N
•
1

T  

N
 NE t S 
N
Le délai est N fois plus petit en multiplexage statistique !
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
119
La file M/M/N
•
•
•
Il n’y a pas de perte  C = 
Il y a N serveurs de taux  indépendant of x
Serveur
Clients offerts
Serveur

Buffer infini
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
N
serveurs
Serveur
120
Taux de service dans la file M/M/N
• Il y a 2 cas :
1) Si x  N alors
d’un serveur
2) Si
xN
alors
μx  x  x

où  est le taux de service
μx  N

x
N
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
x
121
Equations d’équilibre pour la file M/M/N
1) Si
ou
xN
 x  
alors
Ax
x!
 tx1  x tx
A
et   x     x  1
x
P 0 
2) Si x  N  j  N
x1 tx1  N tx
alors
 N  j  
et
A
  N  j  1
N
j
ou
Claude Rigault,
2/12/2012
 A
 N  j      N 
N
d'attente
122
π(0) dans la file M/M/N

•
  ( x)  1
On obtient π(0) par :
x 0
•
A
N
 ( 0) 
x 0
N
mais  ( N ) 
et :
x 0
x
x 0
A
N!
 ( 0) 
Ax

j
 A
  (N )    1
x!
j 1 N 
 A 
  ( N )
 1

x!
N
A


 ( 0)
1
N 1 A x

x 0
Claude Rigault,
2/12/2012
N
  ( x )   ( 0) 
Ce qui donne :
ou

N 
 N 1 A x
A
N
 1
donc :  (0) 


 x  0 x! N  A N ! 


N
A
N


x! N  A N !
d'attente
123
Probabilités d’état dans la file M/M/N
Ax
 x  
1) Si
xN
2) Si
x  N j  N
x!
N 1 A x
AN
N
 x!  N  A  N !
x 0
 N  j  
 A
 
N
AN
N!
N 1 A x

x 0
Claude Rigault,
2/12/2012
j
AN
N


x! N  A N !
d'attente
124
Probabilité d’attente
•
•
Nous avons défini la probabilité d’attente “Delay probability D”
comme la fraction des arrivées qui subissent de l’attente :
D  nD
n
Les arrivées retardées sont celles qui se produisent quand tous les
serveurs sont occupés :
n
nD  tx 
x N
•
•
ou :
soit :
nD  n
D
t

T
x
x N
  x
x N
  x
x N
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
125
La loi d’Erlang “C”
 A
• La probabilité d’attente D est : D     x  et   N  j     N   
N
x N
j


A
N
 
 N 
• On obtient : D     N  j     N     
NA
j 0
j  0 N 
N
A
N 
 A N!
D  E2,N A  N 1 N
x
N
A
A
 N 

N  A N!
x 0 x!
•
Ou :
•
Aussi appelée “la deuxième loi Erlang”
Claude Rigault,
2/12/2012
j
d'attente
126
Relation entre les 2 lois ‘Erlang
•
Posons
S N 1 
N 1

i 0
N
1  B  A
S N 1  

 B  N!
Ai
i!
alors :
B
AN
N!
AN
S N 1 
N!
•
Et
•
En introduisant cette expression dans celle de D :
N
N AN
NB
NA
N  A N!


D
N  A  AB
N AN 1  B  N
1  B AN

B
NA
B N! N  A N!
D
NB
N  A  AB
D
N
B
NA
•
Normalement AB est très inférieur à N-A donc :
•
•
La probabilité d’attente est plus grande que la probabilité de perte

A  k
En appliquant la règle de Rigault :
10
D  1 
Claude Rigault,
2/12/2012

d'attente
k 
127
Espérance du nombre de clients en attente dans la file M/M/N
•
Le nombre moyen de clients en attente est :
A
 A
N
E  j    j ( N  j )    N  j   
 N 
2
N
 
A
j 1
j 1 
1  
 N
1
 N 
On a montré sur la diapos précédente que : D 
A

1  
 N
A
A
donc : E  j    N A  D et :
E j 
D
1  
NA
 N

•
•
Claude Rigault,
2/12/2012

j
 
d'attente
128
Temps d’attente et temps de séjour dans la file M/M/N
•
De la formule de Little : E  j   E w
•
avec : E  j  
•
soit : E w 
•
Le temps de séjour est : E t   E w  τ 
•
Nous avons aussi : E wD  
Claude Rigault,
2/12/2012
A
D
NA

NA
E w  
E j



NA
D
D

NA
D 

NA
d'attente
129
Comparaison entre les files M/M/1 et M/M/N
•
•
E j 
Pour M/M/N nous avons obtenu :
Si ρ est le trafic de chaque serveur A= Nρ

A
D
NA
N
E j  
D
N  N
•
Nous en déduisons :
•
Calculons D si N=1. Dans ce cas A= ρ
ou :
E j  

1 
D
1
AN
N





1
N  A N!



D
N
1
N 1 A x




1
A
N
 x!  N  A  N! 1  1    
x 0
•
2
Nous trouvons que, pour M/M/1, D= ρ et comme prévu : E  j   nD 
1 
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
130
Comparaison entre les files M/M/1 et M/M/N (suite)
•
•
•
E w  

D
Pour M/M/N nous avons obtenu :
NA
Où A=λ avec =1/µ étant le temps de service d’un serveur.
Mais on a aussi A=λ/µ , donc :
1
E w  
•

 N 




D
D
N  
ou :
E w  
D
N  
•
Dans le cas où N=1 (file M/M/1) nous avons vu que D=ρ
•
Alors :
•
Ce qui est bien le résultat que nous avions obtenu pour la file M/M/1
Claude Rigault,
2/12/2012
E w  

 


 1 -  
ou :
d'attente
E w  


1 -  
131
Retour sur l’accessibilité totale
Taux de service N
Taux de service 
Arrivées λ/N
Arrivées λ
E w1  
E W2  
D
N  
Bonne solution
Claude Rigault,
2/12/2012
1

N

N
N

N
N
 E w1 
N   D
Vraiment très mauvaise solution
d'attente
132
La file M/G/1
• Les clients sont Poissoniens   est indépendant de x
• Il n’y a pas de perte  C = 
• Il n’y a qu’un serveur de capacité  dont la distribution des
temps de service n’est pas connue :
Clients offerts
Serveur

Buffer infini
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
133
M/G/1 : temps d’attente
•
•
•
•
•
Un client qui arrive attend en moyenne que le nombre moyen de gens
dans la file avant lui soient servis (n) plus la moyenne du temps
résiduel de service r du client en train d’être servi
w=n+r
Mais d’après la formule de Little n=λw
Donc w=wλ+r = wρ+r
et
r
w
1 
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
134
M/G/1 : calcul du temps résiduel
•
Calculons l’espérance des temps résiduels à chaque fois qu’un
nouveau client arrive
r()
r
t
1  2
3
n
t
1
1 n 1 2
r    t dt    i
t0
t 1 2
•
L’espérance des temps résiduels est :
•
•
•
(L’intégrale est la somme des surfaces des triangles)
Le nombre n de triangles pendant t est n=λt
1 n 1 2 n11 n 2
donc :
r   i 
 i
Claude Rigault,
2/12/2012
t
d'attente
1
2
t 2n
1
135
Formule de Pollaczek Khinchin
•
•
n

Quand t→∞
t
Et la moyenne des temps résiduels est :
E ( 2 )
11 n 2
r
i  

2n 1
2
 
r
 E  i2
E w  

1  1  2
•
Le temps d’attente est :
•
Mais d’après la formule de la variance :
2

  2
 2 
1 

 1  2 
2 


       

1 
2
1 
2
•
2
2
Donc : E w      
•
On pose Cv=/ (Coefficient de variation) :
1 
Claude Rigault,
2/12/2012
2
 
E  2   2  E  2
d'attente
E w  

1 
1  Cv2 
2
136
Nombre de clients en attente dans la file M/G/1
•
E n   E w
On utilise la formule de Little
E n   E w 

1 
1  Cv2 
2

 2 1  Cv2
E n  
1 
2
Claude Rigault,
2/12/2012

d'attente
137
Applications de la formule de Pollaczek Kinchin
•
Pour des temps de service Poissoniens (File M/M/1) :  = 
•
On retrouve : E wM / M / 1 
•
Pour des temps de service déterministes :  = 0
•
On trouve :
•
Pour un trafic donné le temps d’attente minimum est donné dans un
réseau où la taille des paquets est fixe (ATM)
Claude Rigault,
2/12/2012
E wM / D / 1 

1 

1 
1  1   
2
1 
1  0   
2
1  2
d'attente
138
Prologue
Simulation
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
139
Le théorème de Burke
•
Soient 1file M/M/1 en série avec une autre file ?/M/1
•
•
•
La première file a un taux d’arrivée λ et un taux de service µ1
La deuxième file a un taux de service µ2
A l’équilibre, il sort autant de client qu’il en entre par unité de temps.
Les arrivée dans la deuxième file sont également Poissoniennes de
même taux λ.
Donc la deuxième file est également une file M/M/1 et avec le même
taux d’arrivées que la première file.


2 
1 
2
1
•
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
140
Equations d’équilibre
•
•
x est le nombre de clients dans la première file, y est le nombre de
clients dans la deuxième file
Il y a 4 équations d’équilibre
c
y
x-1
λ
µ2 b
y-1
x-1
λ
y
x
µ1
λ
µ1
λ
µ2
d
a
  x  1, y  1  1  x, y  1
b
  x  1, y  1   2  x  1, y 
c
y-1
x
d
  x  1, y   1  x, y 
  x, y  1   2  x, y 
a
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
141
Forme produit
• On considère que les 2 processus sont indépendants, donc :
P x, y     x   y   1  1 1x 1   2  2y
• On constate que cette forme produit satisfait les 4 équations d’équilibre
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
142
Réseau de Jackson
• Lorsqu’un client peut visiter la même file d’attente plusieurs fois, le
processus d’arrivée n’est plus Poissonien.
• Il y a des arrivées extérieures et des rebouclages intérieurs
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
143
Réseau de Jackson
1) Toutes les arrivées extérieures doivent être Poissoniennes
2) Tous les temps de services doivent suivre une distribution
exponentielle.
3) Toutes les files d’attente doivent être de capacité infinie.
4) Quand un client quitte un nœud, la probabilité qu’il aille à un autre
nœud doit être indépendante de son histoire passée et indépendante de
la localisation d’un autre client.
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
144
Le théorème de Jackson
1. Le nombre de clients dans la file d’attente de chaque nœud est
indépendant des autres nœuds et les arrivées peuvent être considérées
comme Poissoniennes.
2. Les probabilités stationnaires de chaque noeuds sont celles d’une file
M/M/1 ou M/M/s.
3. Les délais moyens à chaque nœud peuvent être additionnés pour
déterminer le délai total de traversée du réseau.
Dans ces conditions le réseau est à forme produit
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
145
Réseau de Jackson fermé
• Exemple d’un système de transmission
émetteur
transmission
récepteur
• Dans les réseaux de Jackson fermés le calcul de la constante de
normalisation (π(o)) est difficile. On utilise la méthode MVA (Mean
Value Analysis).
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
146
Simulation
Prologue
Simulation
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
147
Principaux programmes de simulation (1)
• Il est déconseillé d’écrire son propre simulateur. On en trouve de très
bons et gratuits.
• Opnet (coûteux), dispose de bibliothèques de modèles préconstruits.
(www.opnet.com)
• NS : Network Simulator. Apprécié du monde académique et gratuit.
Mais ne tourne que sur Linux. (www.isi.edu/nsnam)
• OMNeT++ : gratuit sur Windows, interface graphique. Semblable à
Opnet mais pas de bibliothèques préconstruites. Plutôt orienté
simulation de protocoles. (www.omnetpp.org)
• En France Modline/Qnap2 a été développé par l’INRIA et Bull dans
les années 80. Qnap2 est le moteur de simulation et Modline est un
interface graphique. Malheureusement il n’est plus maintenu.
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
148
JMT : Java Modelling Tools
• JMT (Java Modeling Tools) : un logiciel plus récent mais qui suit le
même modèle que QNap2, développé par Polytechnique de Milan.
(http://jmt.sourceforge.net/)
• Gratuit sur Windows, interface graphique. Orienté simulation de
réseaux, bien adapté à la pédagogie et la recherche.
• Download installer :
http://sourceforge.net/projects/jmt/files/jmt/JMT-0.8.0/JMT-installer0.8.0.jar/download
• JMT user manual :
http://jmt.sourceforge.net/Papers/JMT_users_Manual.pdf
• Une bonne petite vidéo pour démarrer :
http://www.youtube.com/watch?v=YuJ3eDTYAp0
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
149
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
150
Installation de JMT
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Il faut avoir Java sur sa machine. L’installer d'abord.
Ensuite télécharger JMT-installer-0.8.0.jar
Le ranger dans le répertoire racine de la machine C:
(pas dans program file)
Passe en console de commande et taper :
java -jar JMT-installer-0.8.0.jar
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
151
JMT: définir le système à simuler
• -Ouvrir JSIMGraph
• File New
• -Construire le système à simuler
• Par exemple 3 sources (Source 0, Source 1, Source 2, une file
d'attente Queue Stat 0, 1
puit, Sink 0)
•
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
152
Définir les trafics
•
•
•
•
•
•
-Définir les trafics : dans Class faire Add Class
Class0 type : open puis cliquer sur edit : définir lamda=3 pour distribution
exponentielle, cliquer sur mean qui va se mettre automatiquement à 1/3, puis
OK, Reference Station : affecter à source 0.
Refaire Add Class
Class1 type : open puis cliquer sur edit : définir lamda=3 pour distribution
exponentielle, cliquer sur mean qui va se mettre automatiquement à 1/3, puis
OK, Reference Station : affecter à source 1 en cliquant sur le nom de la source
Refaire Add Class Class 2 type : open puis cliquer sur edit : définir
lamda=3 pour distribution exponentielle, cliquer sur mean qui va se mettre
automatiquement à 1/3, puis OK, Reference Station : affecter à source 1 en
cliquant sur le nom de la source
Finir la définition des trafics par Done
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
153
Définir ce qu’on veut observer
• Définir ce que vous voulez observer en cliquant sur Define
Performance Indices :
• Pour Number of Customers choisir All Classes, Cliquer sur
Station/Region sélectionner Queue Stat 0 pour que le nombre de
clients observés soit celui dans la file, prendre un intervalle de
confiance de 0.95 et une erreur max de 0.05
• Ajouter un autre paramètre à observer : sélectionner Queue Time puis
clique sur Add Selected index, Station/Region Queue Stat 0, même
intervalle de confiance et erreur
• Finir la définition de ce que vous voulez observer par Done
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
154
Définir les paramètres de simulation
•
•
•
•
•
•
•
•
-Définir les paramètres de la simulation en cliquant sur Define Simulation
Parameters
Simulation random seed : definition du nombre servant à générer des nombres
aléatoires. Cocher Random
Maximum Duration : Décocher infinite, mettre 600
Maximum number of Samples : décocher no automatic stop, mettre 1000000
Cocher Animation. Mettre 2 secondes.
Done
- surtout de pas Cliquer sur What if . l'analyse What if enclanche N
simulations successives avec à chaque fois une augmentation du trafic. Pour
faire des courbes des paramètres observés en fonction du trafic.
C'est intéressant mais cela ne nous intéressera que plus tard.
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
155
Définir les paramètres du modèle
• - Définir les paramètres du modèle. Cliquer sur Define Default's
values of model parameters
• Station parameters : Vérifier que l'on a bien :
• Queue Capacity 1 (pas de file d'attente dans les sources)
• Queue Strategy FCFS (First Come First Serve)
• Drop Rule : Drop
• Simulation parameters : ne pas toucher, on retrouve ce qu'on a déjà
défini
• Finite Capacity Region parameters : vérifier que le paramètre Drop est
bien sur True
• Okay
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
156
Définir les paramètres de la file d’attente
• Maintenant sur le graphe Sélectionner la file d'attente et double cliquer
dessus
• Aller à l'onglet service section pour définir le taux de service (mu)
pour chaque trafic (classe)
• Pour chacune des classes que nous avons défini cliquer sur édit. le
paramètre est noté lambda mais nous devons comprendre mu. Mettre la
valeur 10.
• Nous aurons ainsi un trafic total du serveur de 3*3/10 = 0.9 Erlang
• Done
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
157
La simulation est prête
• On peut la lancer
• Quand elle se termine, vérifiez que l'on a bien une espérance du
nombre de clients dans la file de 9 et une espérance du temps d'attente
de 0,9 seconde conforme à la théorie
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
158
Annexes
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
159
Quelques sommes
•

1
  qx
Rappelons que
1  q x 0
• En dérivant une fois par rapport à q :
1
1  q 2


 xq x 1
x 1
• En dérivant encore une fois par rapport à q :
21  q 

2
1  q 4 1  q 3
Claude Rigault,
2/12/2012


 xx  1q x  2
x 1
d'attente
160
Espérance de la loi de Bernoulli
• Méthode de force brute :
Ex  
N

x 0
xC Nx
p 1  p 
x
N x
N
N!
N!
N x
x
 x
p 1  p 

p x 1  p N  x
x 1  x  1! N  x !
x 1 x! N  x !
N
• Posons y=x-1, (x=y+1)
 N  1! p y 1  p N 1 y
y  0  y ! N  1  y !
N 1
E  x   Np 
• Or d’après la formule du binôme :
 N  1! p y 1  p N 1 y   p  1  p N 1  1

y  0  y ! N  1  y !
N 1
• Donc :
Claude Rigault,
2/12/2012
E  x   Np
d'attente
161
Variance de la loi de Bernoulli
• Méthode de force brute, en posant comme pour l’espérance y=x-1,
(x=y+1) :
N 1
 N 2 x x
 N  1! p y 1  p N 1 y
N x 
2


Var  x     x C N p 1  p 


Np


Np

1

y



 y !N  1  y !
 x 0

y 1
Var  x   Np  Np  N  1 p   Np 2  Np  Np 2
• Donc :
Var  x   Np1  p 
et
  Np (1  p
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
162
Espérance de loi géométrique du premier type
P x   p x 1  p   qp x


où q  1  p 

E  x    xqp  q  xp  qp  xp x 1
x
x
x 1
1
x 1
• D’après la somme déjà calculée :
E  x   qp
1
1  p 2

p
1  p 
p
E x  
1 p
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
163
Variance de la loi géométrique du premier type
•

Avec cette loi, nous avons : Var  x    x 2 p x q   p 
1  p 
1
2
2 p 2q
1  p 3
• Donc :
• Et :


 xx  1p q 
x 1
 
2
Ex 
 
Var  x   E x 
Claude Rigault,
2/12/2012
x
2
2 p 2q
p
q2
q3


 

 x p q   x p xq  E x2 
2
x 1
x
x 1
p
1 p
p 2 p 2 q  pq 2 2 p 2  pq
 

3
q
q
q2
2 p 2  pq  p 2
q2

p 2  p1  p 
q2
d'attente

p
q2
Var  x  

p
1  p 2
p
1 p
164
Espérance de loi géométrique du deuxième
type
P x   p 1  p x 1  pq x 1 où q  1  p 

x   xpq x 1
1

x   xpq
1
x 1

 p  xpq x 1  p
1
1
1  q 2

1
p
1
x
p
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
165
Variance de la loi géométrique du deuxième type

Var  x    x 2 pq x 1 
• Rappelons nous que
1
1
p2
2 pq
1  q 3
• Donc :

 pq  x x  1q
x2
x 1
 
2
Ex 
 
2 pq
p3


 x pq
x 1
2
x 1
  x pq x 1  E x 2 
x 1
Claude Rigault,
2/12/2012
1
p
1 2 pq  p 2 1  q  2q 1  q
 

 2
3
2
p
p
p
p
1 1 q 1 q
• Et : Var  x   E x 2 
 2

2
2
p
 

p
p
d'attente
Var  x  

1 p
p2
1 p
p
166
Bibliographie
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
167
Bibliographie générale 1
• Toutes les références font appel à la théorie des chaines de Markov, et
très souvent à la transformée en z et à la transformée de Laplace ce qui
exige un niveau mathématique assez élevé
• Le grand classique : Leonard Kleinrock : Queueing Systems, Volume
1 :Theory.
• Une référence que j’ai trouvé bien faite : J. Virtamo. Queueing Course,
from Finland.
http://www.netlab.hut.fi/opetus/s383143/kalvot/english.shtml
• Un excellent livre de probabilités que j’avais ramené des USA et dont
je me sers tout le temps : Alberto Leon Garcia : Probability and
Random Processes for Electical Engineering. Addison-Wesley 1994
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
168
Bibliographie générale 2
• Pour aborder les chaines de Markov de manière très simple : Seymour
Lipschutz : Theory and problems of Probability, Schaums’s Outline
Series, McGraw-Hill
• Un cours en français : Fabrice Valois, Modélisation et performance des
réseaux, http://fvalois.insalyon.fr/courses/mot_1_Chaines_de_Markov_0304.pdf
http://fvalois.insa-lyon.fr/courses/mot_2_Formalisme_FAs_0304.pdf
http://fvalois.insa-lyon.fr/courses/mot_3_Perfs_FAs_0304.pdf
http://fvalois.insa-lyon.fr/courses/mot_4_FAs_simples_0304.pdf
http://fvalois.insa-lyon.fr/courses/mot_5_Reseaux_FA_0304.pdf
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
169
Bibliographie pour le calcul de trafic des
réseaux à attente (réseaux paquets)
• Un livre qui couvre à la fois les performances des réseaux paquets et
circuits : Misha Schwartz : Telecommunication Networks, protocols,
Modeling and Analysis, Madison Wesley
• Un livre en français : Bonald Thomas, Feuillet Mathieu, Performances
des réseaux et systèmes informatiques, Hermes Lavoisier 2011
• Un livre très complet et pas trop difficile : David McDysan, QoS &
Traffic Management in IP & ATM Networks, McGrAw-Hill, 2000
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
170
Bibliographie pour le calcul de trafic des
réseaux à perte (réseaux circuits)
• Dans votre bibliothèque : Rigault C. Principes de commutation
numérique, Hermes, Paris, 1998
• D. Bear. Principles of telecommunications Traffic engineering, Peter
Pergrinus Ltd
• Et aussi Mischa Schwartz déjà mentionné
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
171
Bibliographie pour la simulation
• Pour JMT : http://jmt.sourceforge.net/Documentation.html
• Pour Omnet : http://www.omnetpp.org/documentation
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
172
Pour aller plus loin
• Calculer les réseaux par des bornes supérieures : le Network calculus
http://ica1www.epfl.ch/PS_files/netCalBookv4.pdf
• Un site qui donne une grande liste de références :
http://web2.uwindsor.ca/math/hlynka/qonline.html
Claude Rigault,
2/12/2012
d'attente
173

Introduction à la théorie des files d`attente

Transcription

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