Théorie des Graphes [0.2cm] Identification de - LGI

Transcription

Définition du problème
Pertinence des problèmes
Principe d’optimalité
Algorithmes pour déterminer des chemins optimaux
Théorie des Graphes
Identification de chemin optimaux
Vincent Mousseau
Ecole Centrale Paris,
[email protected]
March 14, 2009
Vincent Mousseau
Théorie des Graphes - Identification de chemin optimaux
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Cas des graphes sans circuits
Graphes avec circuits non absorbants
Graphes quelconques
Vincent Mousseau
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Graphes quelconques
Vincent Mousseau
Soit un graphe G = (X , U), sans boucle,
Soit une fonction de valuation v définie de U dans R qui à
chaque arc u associe une valuation v (u),
Soit µ un
Pchemin, on appelle valeur du chemin µ noté
v (µ) = u∈µ v (u),
On distingue 3 types de problèmes :
1
2
3
recherche des chemins optimaux de xk vers xk ′
recherche des chemins optimaux de xk vers tous les autres
sommets
recherche des chemins optimaux entre tous couple de sommets
Il peut exister plusieurs chemins optimaux.
Vincent Mousseau
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Graphes quelconques
Vincent Mousseau
existence d’une solution
Problème A: il existe chemin de xi vers xj
Problème B: xi est racine du graphe
Problème C: G est fortement connexe
Absence de circuit absorbant, i.e., circuit de valeur négative
(positive) pour la minimisation (maximisation).
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Graphes quelconques
Vincent Mousseau
Principe : Tout sous-chemin d’un chemin optimal doit être optimal,
Soit µ un chemin de valeur optimale de xi vers xj ,
Soit µ′ un sous-chemin de µ allant de de xk vers xl ,
µ′ doit être de valeur optimale, sinon ∃ chemin µ′′ de xk vers
xl t.q. µ′′ < µ′ et donc v (µ1 ∪ µ′′ ∪ µ2 ) < v (µ1 ∪ µ′ ∪ µ2 ).
xi
µ1
xk
Vincent Mousseau
µ′
xl
µ2
xj
Théorème
Soit un graphe G = (X , U) avec X = {x1 , ..., xn } dans lequel à
chaque arc (xi , xj ) ∈ U est associé une valuation vij .
Une condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur
(λ1 , ..., λn ) représente les valeurs des chemins de valeur minimale
de x1 à xi est (on pose λ1 = 0) :
λi ≤ λj + vij , ∀(xi , xj ) ∈ U,
Le graphe partiel de G, G ∗ = (X , U ∗ ) avec
U ∗ = (xi , xj ) ∈ U : λj = λi + vij admet x1 comme racine.
Vincent Mousseau
Graphes quelconques
Détermination des chemins optimaux de x1 à tout autre
sommet
Les algorithmes procèdent par ajustement de marques
provisoires λi (valeur temporaire du plus court chemin de x1 à xi ).
Il existe 2 classes d’algorithmes :
1
2
algorithmes qui fixent progressivement des marques λi
définitives (graphes sans circuits où vij ≥ 0),
algorithmes qui corrigent des marques λi provisoires (graphes
quelconques).
Vincent Mousseau
Graphes quelconques
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Graphes quelconques
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Graphes quelconques
Algorithme de Bellman
M : ensemble des sommets marqués,
λi : valeur du chemin le plus court du sommet 1 à i .
début
λ1 ← 0
M ← {1}
tant que ∃i ∈ X \ Mt.q.Γ−1 (i ) ⊆ M faire
Choisir i ∈ X \ M t.q. Γ−1 (i ) ⊆ M
M ← M ∪ {i }
λi ← Minj∈Γ−1 (i ) λi + vij
fin tant que
fin
Vincent Mousseau
Graphes quelconques
Algorithme de Bellman : identification des chemins optimaux
Déterminer le graphe partiel G ∗ = (X , U ∗ ) avec
U ∗ = {(xi , xj ) ∈ U : λj = λi + vij },
dans ce graphe (qui admet admet x1 comme racine) tout
chemin de x1 à xi est optimal,
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Graphes quelconques
Cas des graphes sans circuits : exemple
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λ1 = 0
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λ1 = 0
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λ1 = 0
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λ4 = 5
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λ4 = 5
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λ1 = 0
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λ8 = 5
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Graphes quelconques
λ4 = 5
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λ1 = 0
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Graphe G ∗ =
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(X , U ∗ ) des
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chemins optimaux
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Graphes quelconques
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Graphes quelconques
Graphes avec circuits non absorbants, vij ≥ 0
Algorithme de Dijkstra (plus courts chemins uniquement)
début
S ← {1}, λ1 ← 0
si (1, i ) ∈ U
alors λi ← v1i
sinon λi ← +∞
fin si
tant que S 6= X faire
Sélectionner i ∈ X \ S t.q. λi = Mink {λk }
S ← S ∪ {i }
pour tout j ∈ (X \ S) ∩ Γ(i ) faire
λj = Min{λj , λi + vij }
fin pour
fin tant que
fin
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Graphes quelconques
Cas des graphes avec circuits non absorbants: exemple
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Graphes quelconques
λ2 = 8
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λ4 = +∞
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
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λ1 = 0
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λ2 = 8
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λ4 = +∞
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λ1 = 0
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• i = 3, S = {1, 3}
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
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λ3 = 1
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λ5 = +∞
S = {1, 3}
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Graphes quelconques
λ2 = 7
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λ1 = 0
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• i = 3, S = {1, 3}
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λ3 = 1
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
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λ5 = 7
• (X \ S) ∩ Γ(3) = {2, 4, 5}
λ2 = Min{8, 1 + 6} = 7
λ4 = Min{+∞, 1 + 2} = 3
λ5 = Min{+∞, 1 + 6} = 7
S = {1, 3}
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Graphes quelconques
λ2 = 7
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
• i = 3, S = {1, 3}
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• (X \ S) ∩ Γ(3) = {2, 4, 5}
λ2 = Min{8, 1 + 6} = 7
λ4 = Min{+∞, 1 + 2} = 3
λ5 = Min{+∞, 1 + 6} = 7
•i = 4, S = {1, 3, 4}
S = {1, 3, 4}
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
• i = 3, S = {1, 3}
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• (X \ S) ∩ Γ(3) = {2, 4, 5}
λ2 = Min{8, 1 + 6} = 7
λ4 = Min{+∞, 1 + 2} = 3
λ5 = Min{+∞, 1 + 6} = 7
•i = 4, S = {1, 3, 4}
•(X \ S) ∩ Γ(4) = {2}
λ2 = Min{7, 3 + 2} = 5
S = {1, 3, 4}
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
• i = 3, S = {1, 3}
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λ5 = 7
• (X \ S) ∩ Γ(3) = {2, 4, 5}
λ2 = Min{8, 1 + 6} = 7
λ4 = Min{+∞, 1 + 2} = 3
λ5 = Min{+∞, 1 + 6} = 7
•i = 4, S = {1, 3, 4}
•(X \ S) ∩ Γ(4) = {2}
λ2 = Min{7, 3 + 2} = 5
•i = 2, S = {1, 3, 4, 2}
S = {1, 3, 4, 2}
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
• i = 3, S = {1, 3}
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• (X \ S) ∩ Γ(3) = {2, 4, 5}
λ2 = Min{8, 1 + 6} = 7
λ4 = Min{+∞, 1 + 2} = 3
λ5 = Min{+∞, 1 + 6} = 7
•i = 4, S = {1, 3, 4}
•(X \ S) ∩ Γ(4) = {2}
λ2 = Min{7, 3 + 2} = 5
•i = 2, S = {1, 3, 4, 2}
•(X \ S) ∩ Γ(2) = {5}
λ5 = Min{7, 5 + 1} = 6
S = {1, 3, 4, 2}
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Graphes quelconques
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
• i = 3, S = {1, 3}
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• (X \ S) ∩ Γ(3) = {2, 4, 5}
λ2 = Min{8, 1 + 6} = 7
λ4 = Min{+∞, 1 + 2} = 3
λ5 = Min{+∞, 1 + 6} = 7
•i = 4, S = {1, 3, 4}
•(X \ S) ∩ Γ(4) = {2}
λ2 = Min{7, 3 + 2} = 5
•i = 2, S = {1, 3, 4, 2}
•(X \ S) ∩ Γ(2) = {5}
λ5 = Min{7, 5 + 1} = 6
•i = 5, S = {1, 3, 4, 2, 5}
S = {1, 3, 4, 2, 5}
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Graphes quelconques
λ2 = 5
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• S = {1}, λ1 = 0, λ2 = 8, λ3 = 1, λ4 = λ5 = +∞
• i = 3, S = {1, 3}
5
λ5 = 6
• (X \ S) ∩ Γ(3) = {2, 4, 5}
λ2 = Min{8, 1 + 6} = 7
λ4 = Min{+∞, 1 + 2} = 3
λ5 = Min{+∞, 1 + 6} = 7
•i = 4, S = {1, 3, 4}
•(X \ S) ∩ Γ(4) = {2}
λ2 = Min{7, 3 + 2} = 5
•i = 2, S = {1, 3, 4, 2}
•(X \ S) ∩ Γ(2) = {5}
λ5 = Min{7, 5 + 1} = 6
•i = 5, S = {1, 3, 4, 2, 5}
S = {1, 3, 4, 2, 5}
•S = X → FIN
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Graphes quelconques
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Graphes quelconques
Vincent Mousseau
Graphes quelconques
Graphes quelconques : Algorithme de Bellman-Kalaba
Début
(0)
k ← 1, λ1 ← 0
si (1, i) ∈ U
(1)
alors λi ← v1i
(1)
sinon λi ← +∞
fin si
répéter
k ←k +1
(k)
λ1 ← 0
(k)
(k−1)
(k−1)
λj ← Min{λj
, Mini ∈Γ−1(j) {λi
+ vij }}, ∀j 6= 1
(k)
(k−1)
jusqu’à (λj = λj
, ∀j) ou (k = n)
si k = n
alors ∃ circuit de longueur négative
(k)
sinon les λj caractérisent les chemins optimaux de 1 à i
fin si
Fin
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λ1 = 0
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λ4 = 7
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λ5 = 7
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λ2
λ3
λ4
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Théorie des Graphes [0.2cm] Identification de - LGI

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