Exercices d`Électromagnétisme

Exercices - Électromagnétisme ∣ PTSI
2009-2010
Exercices d’Électromagnétisme
Aurores boréales sur l’Ersfjord, Kvaløya, à Tromsø, Norvège
■ Loi de Coulomb et champ électrostatique
Ex-EM1.1
EM1
Quelles sont les
symétries de la
distribution circulaire ci-contre ?
Ex-EM1.2 Un cylindre infini d’axe (𝑂𝑧)
comportant une
partie cylindrique
évidée d’axe (𝑂′ 𝑧) porte une charge volumique 𝜌 uniforme.
Quelles sont les symétries de cette distribution de charges ?
Ex-EM1.3
Soit un cube d’arête a. Les côtés 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷′ portent des charges surfaciques uniformes opposées +𝜎 et −𝜎. Quelles sont les symétries de cette distribution ?
Ex-EM1.4
Calculer le champ créé par un disque de rayon 𝑅 portant la charge surfacique
uniformément répartie de densité 𝜎 en un point de son axe (𝑂𝑧) où 𝑂 est le centre.
Ex-EM1.5 Soit une sphère de centre 𝑂 et de rayon 𝑎 portant des charges réparties uniformément en surface avec la densité surfacique 𝜎.
1) Déterminer le champ au centre 𝑂 de la sphère avec des considérations de symétrie.
→
−
−
→
2) Étudier le champ 𝐸 en tous points extérieur à la sphère (orientation, variable dont 𝐸
dépend).
Ex-EM1.6
Soit une spire circulaire de rayon 𝑅, d’axe (𝑂𝑧), portant une densité linéique de
charge 𝜆 constante.
Calculer le champ créé par cette répartition de charge en un point 𝑀 de son axe à la distance
𝑧 de la spire.
Ex-EM1.7
On considère la distribution de charge de l’exercice Ex-EM1.1 et un point 𝑀
l’axe (𝑂𝑧).
Déterminer la direction du champ créé en 𝑀 . Calculer sa valeur.
de
Ex-EM1.8
Calculer le champ au centre 𝑂 du cube de l’exercice Ex-EM1.3.
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1
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Ex-EM1.9
Champ créé par un segment chargé
2009-2010
1) Calculer en un point 𝑀 de coordonnées cylindriques (𝑟, 𝜃, 𝑧) le champ créé par un segment
de l’axe (𝑂𝑧) de charge linéique uniforme 𝜆, compris entre les points 𝑃1 et 𝑃2 d’abscisses 𝑧1 et
𝑧2 repérés par les angles 𝛽1 et 𝛽2 . → 2) Cas du fil infini uniformément chargé.
Ex-EM1.10
Champ d’un ruban chargé
Le ruban surfacique représenté sur le schéma est infini et porte une charge surfacique 𝜎0 uniforme.
Calculer le champ électrostatique créé par le ruban au point 𝑀 (0, 0, 𝑧).
Ex-EM1.11
Répartition surfacique de charges
Deux sphères de même rayon 𝑅 sont uniformément chargées en volume : l’une porte la densité
de charge −𝜌, l’autre, la densité de charge +𝜌. Leurs centres 𝑂1 et 𝑂2 sont aux abscisses −𝑎 et
+𝑎 sur l’axe 𝑂𝑥, avec 𝑎 ≪ 𝑅.
Montrer que l’on peut considérer que le système ainsi formé constitue approximativement une
couche sphérique chargée surfaciquement, la densité de charge en un point 𝑀 étant alors donnée
−−→
→
par 𝜎 = 𝜎0 cos 𝜃, où 𝜃 est l’angle que fait 𝑂𝑀 avec −
𝑒𝑥 , et 𝜎0 une constante que l’on exprimera
en fonction des données.
Ex-EM1.12
Tracé approché des lignes de champ — Cet exercice ne demande aucun calcul.
Deux charges positives identiques 𝑞 sont distantes de 2𝑎.
−
→
1) Quelle est la direction du champ 𝐸 sur la droite qui joint les deux charges ?
−
→
2) Quelle est la direction du champ 𝐸 dans le plan médiateur ?
−
→
3) Quelle est l’expression approchée du champ 𝐸 à grande distance des deux charges ? (On
−−→
suppose 𝑟 = ∣∣𝑂𝑀 ∣∣ ≫ 𝑎, où 𝑂 est le milieu du segment défini par les deux charges.)
4) Effectuer, finalement, un tracé approché des lignes de champ dans un plan contenant les
deux charges ?
EM2
■ Potentiel électrostatique
Ex-EM2.1
Demi-anneau chargé
Un demi-anneau de rayon 𝑅 porte une charge uniformément répartie avec la densité linéique 𝜆.
Soit 𝑂𝑥 l’axe perpendiculaire au plan de l’anneau en son centre 𝑂.
1) Calculer le potentiel électrostatique créé en un point 𝑀 de 𝑂𝑥, à la distance 𝑥 de 𝑂.
2) Calculer le champ électrostatique créé en un point 𝑀 de 𝑂𝑥, d’abscisse 𝑥.
Ex-EM2.2
Fil infini
Déterminer le potentiel associé à un fil rectiligne infini portant la charge linéique uniforme 𝜆.(cf.
Ex-EM1.9).
Ex-EM2.3
Une
sphère de centre 𝑂 et de rayon 𝑅 porte une charge 𝑄 répartie avec la
répartition surfacique 𝜎 = 𝑓1 (𝜃) 𝑓2 (𝜑) en coordonnées sphériques. Évaluer le potentiel créé par
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la sphère en son centre.
Ex-EM2.4 Soit 4 charges disposées au sommet d’un carré dont la longueur de la diagonale
est 2𝑎. Calculer le champ électrostatique et le potentiel en 𝑂 dans les cas suivants :
a
y
=+q
b
y
x
=-q
c
d
y
x
e
y
x
x
y
x
Ex-EM2.5
Sphère uniformément chargée en surface On considère une sphère de rayon 𝑅,
de centre 𝑂, de densité de charge surfacique uniforme 𝜎. On choisit 𝑉 (∞) = 0.
1) Calculer le potentiel en 𝑂.
2) Calculer le potentiel en un point 𝑀 extérieur à la sphère (𝑂𝑀 = 𝑟 > 𝑅). Pour cela, on peut
choisir la direction 𝑂𝑀 comme origine des angles et découper la sphère en zones couronnes “vues
du centre” entre les angles 𝜃 et 𝜃 + 𝑑𝜃. Exprimer alors 𝑉 à l’aide d’une intégrale élémentaire
portant sur 𝑥, puis la calculer.
3) Reprendre le calcul précédent en supposant cette fois que le point 𝑀 est à l’intérieur de la
sphère. Vérifier ainsi directement que 𝑉 est continu à la traversée de la surface et est constant
à l’intérieur de la sphère.
■ Énergie électostatique
Ex-EM2.6 EM2
1) Les solides et les liquides ont une masse volumique de l’ordre du 𝑘𝑔.𝑑𝑚−3 . En supposant
que les atomes se touchent en déduire la dimension de l’atome. On donne le nombre d’Avogadro
𝒩𝐴 = 6, 022.1023 𝑚𝑜𝑙−1 .
2) L’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène est 13, 6 𝑒𝑉 .
Cette énergie est-elle d’origine gravitationnelle (𝒢 = 6, 67.10−11 𝑆𝐼 et 𝑚proton = 2000 𝑚électron )
ou électromagnétique ?
On définira l’énergie d’interaction gravitationnelle par analogie avec l’énergie d’interaction électrostatique.
On donne 𝑚𝑒 = 9, 1.10−31 𝑘𝑔 ; 𝑒 = 1, 6.10−19 𝐶.
Ex-EM2.7 Énergie potentielle de quatre charges ponctuelles [HP]
Quatre charges identiques 𝑞 sont placées aux quatre sommets d’un carré de côté 𝑎.
→ Quelle est l’énergie potentielle électrostatique de ce système ?
■ Théorème de Gauss
EM3
Ex-EM3.1
uniforme
Nappe plane infinie et−
→
1) Donner l’expression du champ 𝐸 créé par une nappe plane infinie de densité de charge
surfacique 𝜎 uniforme.
2) Reprenant l’expression du champ électrostatique créé sur son axe par un disque de rayon 𝑅
de charge surfacique 𝜎 uniforme (cf. Ex-EM1.4), évaluer la hauteur ℎ maximale pour laquelle
nous pouvons assimiler le disque à un plan infini sans commettre une erreur relative supérieure
à 1% pour le calcul du champ.
Ex-EM3.2
Cylindre infini uniformément chargé en surface
Déterminer le champ électrostatique créé par un cylindre infini de rayon 𝑅, de charge surfacique
uniforme 𝜎. En déduire le potentiel.
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Ex-EM3.3
Sphère uniformément chargée en surface
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Déterminer le champ électrostatique puis le potentiel créés par une sphère de centre 𝑂, de rayon
𝑅 et de densité de charge surfacique 𝜎 uniforme. (Sa charge sera notée 𝑞 = 4𝜋 𝑅2 𝜎).
Ex-EM3.4 Cavité dans une boule uniformément chargée
Une boule de rayon 𝑎 de centre 𝑂1 portant la charge volumique uniformément répartie 𝜌 possède
une cavité sphérique de rayon 𝑏 de centre 𝑂2 vide de charges. Déterminer le champ dans la cavité.
Ex-EM3.5
Détermination d’une répartition de charges
On considère une répartition volumique de charges électriques présentant la symétrie sphérique,
contenue à l’intérieur d’une sphère de centre 𝑂 et de rayon 𝑅. Soit 𝑀 un point intérieur à la
sphère (on pose 𝑂𝑀 = 𝑟 < 𝑅).
Déterminer cette répartition caractérisée par la densité volumique 𝜌(𝑟) pour que le champ à
−
→
→
𝑒𝑟 .
l’intérieur de la sphère soit de la forme 𝐸 = 𝐸0 −
Calculer la charge totale 𝑄 de la sphère et caractériser le champ à l’extérieur de la sphère.
Ex-EM3.6
Nuage électronique et énergie d’ionisation
Un système de charges crée le potentiel à symétrie sphérique :
(
)
𝑞 (
𝑟)
2𝑟
𝑉 (𝑟) =
1+
exp −
avec𝑞 > 0
4𝜋𝜖0 𝑟
𝑎
𝑎
Calculer 𝑄(𝑟), charge comprise dans la sphère de rayon 𝑟.
Caractériser la distribution de charges correspondant à ce potentiel (densité volumique ; singularité).
Définir, puis exprimer l’énergie de liaison de ce système.
Ex-EM3.7
On considère les lignes de champ représentées ci-dessous pour des champs dans le
plan. Préciser pour chacun de ces champs s’il peut s’agir de champs électrostatiques et l’emplacement éventuel de charges électriques.
Ex-EM3.8
Cylindre infini non uniformément chargé
Un cylindre infini, d’axe Δ = 𝑂𝑧 et de rayon 𝑅, porte une charge répartie en volume de manière
non uniforme. En un point 𝑃 du cylindre situé à une distance 𝑟 < 𝑅 de l’axe Δ, la densité
volumique de charge s’écrit 𝜌 = 𝐾 𝑟, où 𝐾 est une constante.
1) Déterminer le champ électrostatique créé en tout point 𝑀 de l’espace.
2) Calculer le potentiel électrostatique 𝑉 en tout point 𝑀 de l’espace en faisant un choix
judicieux de la constante du potentiel.
Ex-EM3.9 Symétrie sphérique
On considère une distribution volumique de charges à symétrie sphérique de centre 𝑂.
Les charges sont réparties
en volume avec une densité 𝜌(𝑟), 𝑟 désignant la distance au point 𝑂.
⎧
𝑅

⎨
- nulle entre 𝑟 = 0 et 𝑟 = , et pour 𝑟 > 𝑅 ;
2
La densité 𝜌 est :
𝑅

⎩ - non nulle entre 𝑟 =
et 𝑟 = 𝑅.
2
−
→
La charge totale de la distribution est[𝑄. Le]champ 𝐸 créé par cette distribution vaut :
→
−
𝑅
→
𝐸 = 𝑘.(𝛼.𝑟 − 𝑅).−
𝑒𝑟 dans l’intervalle
;𝑅
2
4
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→
où −
𝑒𝑟 est le vecteur unitaire radial de la base des coordonnées sphériques.
−
→
l) Donner le domaine de définition du champ 𝐸 . Le champ est-il continu partout ?
−
→
𝑅
2) Déterminer 𝐸 =∥ 𝐸 ∥ pour 𝑟 < . En déduire la valeur de 𝛼.
2
−
→
3) Déterminer 𝐸 =∥ 𝐸 ∥ pour 𝑟 > 𝑅. En déduire la valeur de 𝑘.
[
]
𝑅
4) Appliquer le théorème de Gauss pour un point 𝑀 de l’intervalle
; 𝑅 et obtenir une
2
−
→
équation donnant une primitive de la loi 𝜌(𝑟) en fonction de 𝐸 =∥ 𝐸 ∥.
5) En déduire la loi 𝜌(𝑟). Vérifier l’homogénéité de la formule obtenue.
Ex-EM3.10 Dans
une couche
z
M
plane
→
−
On s’intéresse au champ 𝐸 créé
2a
+ρ
par une distribution volumique de
y
O
charges de densité +𝜌 uniforme et
positive, comprise entre les cotes
𝑧 = +𝑎 et 𝑧 = −𝑎.
→
−
1) Déterminer le domaine de définition et la topographie du champ 𝐸 (direction, sens, coordonnée(s) d’espace dont dépend sa norme) en un point 𝑀 .
−
→
2) Déterminer l’expression du champ 𝐸 créé par cette distribution en tout point 𝑀 où il est
−
→
défini, puis tracer la courbe donnant les variations de 𝐸 =∥ 𝐸 ∥ en fonction de la coordonnée
du point 𝑀 .
−
→
3) En déduire l’expression du champ 𝐸 créé par deux distributions volumiques de densités uniformes et opposées, dont l’une de densité 𝜌 occupe l’espace compris entre les plans d’équation
𝑧 = 0 et 𝑧 = 2𝑎, et l’autre de densité −𝜌 occupe l’espace compris entre les plans d’équation
𝑧 = 0 et 𝑧 = −2𝑎.
Ex-EM3.11
Densité linéique
Soit un cercle d’axe (𝑂𝑧), de centre 𝑂 et de rayon
𝑅.
λ
Cette circonférence porte une densité linéique de
charges 𝜆 uniforme.
M
−
→
O
1) Déterminer le champ 𝐸 en tout point 𝑀 de l’axe
z
(𝑂𝑧) où il est défini.
2) On se place maintenant en un point 𝑀 ′ du voiR
sinage du point 𝑀 de l’axe de révolution du cercle.
𝑀 est le projeté orthogonal de 𝑀 ′ sur l’axe et on
note 𝑟 la distance 𝑀 𝑀 ′ , avec 𝑟 ≪ 𝑧.
On admet que la composante axiale 𝐸𝑧 du champ (selon la direction de l’axe) reste constante
entre ces deux points. En 𝑀 ′ , le champ n’est plus purement axial selon (𝑂𝑧) et possède donc
une autre composante à calculer.
a) Quelle est la direction de cette autre composante ?
b) On souhaite calculer l’expression de cette composante en fonction de 𝐸𝑧 . En utilisant un
cylindre élémentaire de hauteur d𝑧 et passant par les deux points 𝑀 et 𝑀 ′ , établir une équation
différentielle reliant les deux composantes du champ.
c) Calculer alors cette seconde composante en fonction des données. Existe-t-il une valeur de 𝑧
pour laquelle cette seconde composante est nulle ? Commenter.
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EM4
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■ Champ magnétique et loi de Biot et Savart
Ex-EM4.1−1Un
fil de cuivre (masse volumique 𝜇 = 8, 9.103 𝑘𝑔.𝑚−3 , masse molaire 𝑀 =
) cylindrique de rayon 1 𝑚𝑚 est parcouru par un courant continu d’intensité 𝐼 =
63, 6 𝑔.𝑚𝑜𝑙
1, 5 𝐴.
Sachant que chaque atome de cuivre a un électron de conduction, calculer la vitesse d’ensemble
des électrons.
Ex-EM4.2
Sphère chagée en surface en rotation
Une sphère de rayon 𝑅, de charge 𝑄 répartie en surface uniformément avec la densité 𝜎 tourne
autour d’un axe passant par son centre 𝑂 à la vitesse angulaire 𝜔.
→ Déterminer le vecteur densité surfacique de courant en chaque point et le courant 𝐼 parcourant
un demi-cercle méridien liant les deux points fixes de la sphère tournante.
Ex-EM4.3
Modélisation surfacique de courants
Le demi-espace 𝑧 > 0 est
par un milieu conducteur parcouru par des courants volumiques
( rempli
𝑧)
−
→ −
→
de densité 𝑗 = 𝑗0 exp −
où 𝛿 est une longueur.
𝛿
→ Calculer la densité surfacique de courant équivalente lorsque 𝛿 → 0 avec 𝛿 𝑗0 constant.
Ex-EM4.4
Soit une spire de rayon 𝑅, d’axe (𝑂𝑧) parcourue par le courant 𝐼. Quelles sont les
symétries et invariances de cette distribution ?
Le plan 𝑃 infini d’équation 𝑦 = 0 est parcouru par des courants surfaciques de
Ex-EM4.5
→ −
−
→
densité 𝑗𝑠 = 𝑗0 𝑒𝑥 .
Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution ?
Ex-EM4.6
considère un demi-cylindre creux d’axe (𝑂𝑧) parcouru par des courants surfa
On −
→
−
→
ciques de densité 𝑗𝑠 = 𝑗0 𝑒𝑧 .
Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution ?
Ex-EM4.7
Soit une distribution de courant volumique possédant un plan de symétrie (Π). Montrer à partir
de la loi de Biot et Savart que pour 𝑀 ′ = 𝑆𝑦𝑚(Π) (𝑀 ) symétrique de 𝑀 par rapport à (Π),
−
→
→
−
on a 𝐵 (𝑀 ′ ) = −𝑆𝑦𝑚(Π) ( 𝐵 (𝑀 )).
Ex-EM4.8 Disque de Rowland
Un disque métallique de rayon 𝑅 chargé uniformément en surface avec la densité 𝜎 tourne autour
de son axe (𝑂𝑧) à la vitesse angulaire 𝜔.
→
−
→ Calculer le champ 𝐵 créé en un point 𝑀 de l’axe (𝑂𝑧).
Cette expérience est connue sous le nom d’expérience du disque de Rowland.
On fera l’application numérique pour 𝜎 = 5.10−6 𝐶.𝑚−2 ; 𝑅 = 10 𝑐𝑚 ; 𝜔 = 60 𝑡𝑟.𝑠−1 et à une
distance 𝑧 = 2 𝑐𝑚.
Ex-EM4.9
Champ magnétostatique dans le plan d’une spire
Une spire de centre 𝑂 et de rayon 𝑅 est parcourue par le
courant 𝐼.
−
→
1) Montrer que le champ 𝐵 en un point 𝑀 du plan de la
spire tel que 𝑂𝑀 = 𝑟 ≪ 𝑅 est normal au plan de la spire.
2) Exprimer 𝐵(𝑀 ) sous forme d’une intégrale en utilisant
l’angle 𝜃. Montrer
( que 2pour
) 𝑟 ≪ 𝑅, on a :
𝜇0 𝐼
3𝑟
𝐵(𝑀 ) ≃
1+
2𝑅
4𝑅2
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y
I
P
z
O
R
q
M
x
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Ex-EM4.10
Bobines de Helmholtz
Deux bobines de 𝑁 spires, de rayon 𝑅, parcourues par un courant d’intensité 𝐼, ont leurs centres
distants de 𝑅. Le sens du courant est tel que les champs créés par les deux bobines s’ajoutent
sans l’espace situé entre les deux bobines.
−
→
1) Schéma. Calculer 𝐵 au milieu 𝑂 de l’axe (𝑂𝑥) joignant les deux centres.
→
−
2) Calculer 𝐵 pour un point 𝑀 de l’axe voisin de 𝑂 repéré par 𝑂𝑀 = 𝑥.
𝑥
(Il faudra être courageux et effectuer un DL à l’ordre 4 en 𝑅
.)
𝑥
3) Quelle est la variation relative de 𝐵 entre 𝑂 et 𝑀 pour 𝑅
= 0, 1 ?
par un électron classique
Ex-EM4.11 Champ magnétique créé
−
→
Montrer que le champ magnétique 𝐵 créé par un électron décrivant un cercle de rayon 𝑎 =
0, 053 𝑛𝑚 autour d’un proton au point où est placé le proton a pour intensité :
𝐵=
( 𝜇 )3
0
2
4𝜋
𝑒2 𝑐
√
𝑚𝑎5
(avec 𝜖0 𝜇0 𝑐2 = 1.)
Ex-EM4.12
relation entre le champ électrique et le champ magnétique
−
→
Soit une charge ponctuelle 𝑞 placée en un point 𝑀 animé d’une vitesse 𝑣 dans R. Elle crée en
−−→ →
−
→
−
→
𝑃 tel que 𝑀 𝑃 = −
𝑟 un champ 𝐸 et un champ 𝐵 .
−
→
En admettant que 𝐸 a la même expression qu’en électrostatique, trouver la relation qu’il y a
−
→ −
→ →
entre 𝐸 , 𝐵 et −
𝑣.
Ex-EM4.13
Circuit carré
x
Un circuit carré de côté 2𝑏 est parcouru par un courant d’intensité 𝐼.
1) Calculer le champ magnétique créé en un point 𝑀 de l’axe
perpendiculaire au plan du carré en son centre, à une distance
𝑥 de celui-ci.
2) Examiner le cas où 𝑥 ≫ 𝑏. Conclure.
M
A
b
x
ePM
a1
p-b
2
B
x
M
M
y
I
eq /AB
a
C
O
Rq : suggestion de notations pour le seul côté 𝐴𝐵
eq /AB b
z
D
y
a2
z
a
O
A I
P
B
z
O
b
A
b
y
P
I
B
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EM5
2009-2010
■ Théorème d’Ampère
Ex-EM5.1
Déterminer le champ créé par une couche plane infinie, contenue entre les plans d’équation
𝑒
𝑒
−
→
→
𝑧 = − et 𝑧 = , de courant volumique uniforme 𝑗 = 𝑗0 −
𝑒𝑥 .
2
2
Ex-EM5.2 Cavité cyindrique
Un cylindre conducteur d’axe (𝑂𝑧) possède une cavité cylindrique d’axe (𝑂′ 𝑧). On note 𝑅 le
rayon du cylindre et 𝑅′ celui de la cavité. Hors de la cavité, circule un courant constant de
→
−
→
densité 𝑗 = 𝑗0 −
𝑒𝑧 .
En utilisant le principe de superposition, déterminer le champ créé par le cylindre évidé à
l’intérieur de la cavité.
Ex-EM5.3 Soit un fil rectiligne confondu avec le demi-axe (𝑂𝑧)
avec 𝑧 > 0. Il est parcouru par un courant d’intensité
js,D
js,C
𝐼.
I
Arrivé en 𝑂, le courant circule sur les surfaces d’un
O
z
disque de centre 𝑂 et de rayon 𝑅 et d’un cylindre
R
conducteurs (voir la figure). On suppose les épaisseurs
du disque et du cylindre négligeables.
1) Calculer le champ dans les demi-espaces 𝑧 < 0 et
𝑧 > 0.
−−→
2) Déterminer les vecteurs densités de courant surfaciques sur le disque (𝑗𝑠,𝐷 ) et sur le cylindre
−−→
(𝑗𝑠,𝐶 ).
3) Vérifier les relations de passage du champ magnétique entre l’extérieur et l’intérieur du
cylindre.
Ex-EM5.4
Solénoı̈de
Soit un solénoı̈de à section circulaire de rayon 𝑅, de longueur 𝑙 formé de 𝑁 spires parcourues
par un courant 𝐼. L’axe (𝑂𝑧) constitue l’axe du solénoı̈de.
1) Montrer qu’on peut remplacer la distribution filiforme par un courant surfacique dont on
−
→
déterminera la densité de courant 𝑗𝑠 .
2) Montrer que le champ magnétique en un point 𝑀 de l’axe du solénoı̈de s’écrit
−
→ 𝜇0
→
𝐵 =
𝑛𝐼 Ω𝑖𝑛𝑡 −
𝑒𝑧
4𝜋
où Ω𝑖𝑛𝑡 est l’angle solide sous lequel on voit la surface intérieure du solénoı̈de depuis le point 𝑀
et 𝑛 le nombre de spires par unité de longueur.
3) Étudier le cas du solénoı̈de infini. Retrouver ce résultat à l’aide du théorème d’Ampère.
Ex-EM5.5
Reprendre l’exercice Ex-EM3.7 et indiquer les lignes de champ pouvant provenir d’un champ
magnétique.
Ex-EM5.6
Cable coaxial
On considère un cable coaxial infini cylindrique de rayons 𝑅1 , 𝑅2 et 𝑅3 (𝑅1 < 𝑅2 < 𝑅3 ).
Le courant d’intensité totale 𝐼 passe dans un sens dans le conducteur intérieur (∀ 𝑟 ≤ 𝑅1 :
−→
→
𝑗𝑖𝑛𝑡 = 𝑗 −
𝑒𝑧 , 𝑗 > 0) et revient dans l’autre sens par le conducteur extérieur (∀ 𝑅2 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅3 :
−→
→
′
𝑗𝑒𝑥𝑡 = 𝑗 −
𝑒𝑧 , 𝑗 ′ < 0).
→
−
1) calculer 𝐵 en tout point.
2) Représenter 𝐵(𝑟), 𝑟 étant la distance du point considéré à l’axe du cylindre.
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Ex-EM5.7
Pour une certaine distribution de courants, en coordonnées cylindriques (𝑟, 𝜃, 𝑧) d’axe (𝑂𝑧), le
−
→
→
champ magnétique créé en un point 𝑀 de l’espace est 𝐵 (𝑀 ) = 𝐵(𝑟) −
𝑒𝜃 avec :
𝐵(𝑟) = 𝐵1
( 𝑟 )2
𝑎
pour 𝑟 < 𝑎
et
𝐵(𝑟) = 𝐵2
𝑎
𝑟
pour 𝑟 > 𝑎
𝐵1 et 𝐵2 étant deux constantes a priori quelconques.
→ Déterminer la distribution de courants qui crée un tel champ magnétique.
■ Mouvement de particules chargées
Ex-EM6.1 Particule chargée accélérée par une différence de potentiel
EM6
Une particule (𝑚, 𝑞), de vitesse initiale nulle, issue d’un point 𝑂, est accélérée par une différence
de potentiel 𝑈0 établie entre deux grilles planes parallèles distantes de 𝐿 = 5 𝑐𝑚. Le potentiel
est supposé varier linéairement sur cette distance L.
1) Calculer la vitesse v de la particule au moment de son passage à travers la deuxième grille et
la durée 𝜏 du trajet entre les deux grilles. Quels sont les signes respectifs possibles de q et U 0 ?
Calculer v et 𝜏 numériquement dans les deux cas suivants :
2) 𝑈0 = 100 𝑉 ; 𝑞 = −1, 6.10−19 𝐶 ; 𝑚 = 9, 1.10−31 𝑘𝑔 (électron) ;
3) 𝑈0 = −3000 𝑉 ; 𝑞 = 1, 6.10−19 𝐶 ; 𝑚 = 6, 64.10−26 𝑘𝑔 (ion argon).
Ex-EM6.2
Expérience de Millikan (1907-1911)
On considère deux plaques métalliques 𝐴 et 𝐵 horizontales, parallèles, distantes de d entre lesquelles
A O
on peut appliquer une ddp 𝑈 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 > 0.
Dans l’espace limité par ces plaques règne une atmosphère gazeuse de masse volumique 𝜌0 .
g
U
De la glycérine y est pulvérisée sous la forme de
gouttelettes sphériques de rayon r et de masse volumique 𝜌 ; de plus un faisceau de rayons X ionise l’atB x
mosphère ce qui provoque des transfert de charges
sur les gouttelettes.
Le mouvement de celles-ci est observé avec un microscope muni d’un micromètre.
On rappelle que la force de frottement fluide qui s’exerce sur une particule sphérique de rayon r
−
→
→
→
et de vitesse −
𝑣 est donnée par la formule de Stockes : 𝑓 = −6𝜋𝜂𝑟−
𝑣 , 𝜂 étant le coefficient de
viscosité.
1) Dans une première phase la tension U est nulle, la plupart des gouttes se déplacent verticalement vers le bas avec une vitesse 𝑣0 constante. Expliquer et donner l’expression littérale de
cette vitesse en fonction de r, 𝜌 , 𝜌0 , 𝜂 et g (intensité du champ de pesanteur).
2) Dans une seconde phase, on applique la tension 𝑈 = 𝑈1 . Un certain nombre de gouttes sont
alors immobiles. En déduire la charge 𝑞0 portées par celles-ci en fonction de 𝜂, 𝑣0 , 𝑈1 , 𝑑, 𝜌, 𝜌0
et g.
3) Dans une troisième phase, après une durée plus longue d’exposition aux rayons X, une
proportion non négligeable de gouttes a un mouvement vertical ascendant uniforme de vitesse
𝑣1 . Interpréter et calculer la charge 𝑞1 de chaque goutte en fonction de 𝜂, 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑈1 , 𝑑, 𝜌, 𝜌0 et
g.
4) Calculer numériquement 𝑞0 et 𝑞1 . conclusion ?
Données : 𝑔 = 9, 81 𝑚.𝑠−2 ; 𝜂 = 1, 8.10−5 𝑃 𝑎.𝑠 ; 𝑑 = 2 𝑐𝑚 ; 𝑈1 = 37440 𝑉 ;
𝜌 = 1, 2513.103 𝑘𝑔.𝑚−3 ; 𝜌0 = 1, 3 𝑘𝑔.𝑚−3 ; 𝑣0 = 4, 91.10−4 𝑚.𝑠−1 ; 𝑣1 = 4, 9.10−4 𝑚.𝑠−1 .
Ex-EM6.3
→
→
Un proton de masse m et de charge q arrive à la vitesse −
𝑣 = 𝑣−
𝑒𝑥 dans une région où règne un
−
→
−
→
−
→
→
−
→
champ magnétique uniforme 𝐵0 = 𝐵0 𝑒𝑧 , avec 𝐵0 > 0 et (𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , −
𝑒𝑧 ) base du repère cartésien
(𝑂𝑥𝑦𝑧).
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9
PTSI ∣ Exercices - Électromagnétisme
2009-2010
1) Montrer que la trajectoire du proton est plane et que l’énergie cinétique est une constante
du mouvement.
𝑞𝐵0
2) Déterminer les coordonnées du proton à l’instant t. On posera 𝜔𝑐 ≡
et on considère la
𝑚
particule à l’origine du repère à l’instant initial.
3) Préciser les caractéristiques de la trajectoire du proton.
4) Le mouvement du proton sur sa trajectoire crée un courant d’intensité I.
On définit le moment magnétique 𝜇 par le produit de l’intensité avec l’aire intérieure de la
trajectoire. Exprimer 𝜇 en fonction de 𝑚, 𝑣 et 𝐵0 .
Ex-EM6.4
1) On étudie le mouvement d’une particule chargée dans un repère cartésien (𝑂𝑥𝑦𝑧) où règne
→
−
→
un champ magnétique uniforme 𝐵 = 𝐵 −
𝑒𝑧 avec 𝐵 > 0.
→
→
a) La particule part de 𝑂 avec la vitesse −
𝑣 =𝑣 −
𝑒 , où 𝑣 > 0. → Trajectoire ?
0
0 𝑥
0
→
→
→
𝑒𝑥 + 𝑣0𝑧 −
𝑒𝑧 . Trouver la relation
b) La particule part maintenant de 𝑂 avec la vitesse −
𝑣0 = 𝑣0𝑥 −
liant z au temps pour t > 0. Quelle est la nature de la trajectoire suivie par la particule chargée ?
−
→
→
2) La particule chargée est maintenant soumise au champ électrique uniforme 𝐸 = 𝐸 −
𝑒𝑦 , 𝐸 > 0
→
−
−
→
et au champ magnétique uniforme 𝐵 = 𝐵 𝑒 , 𝐵 > 0. Le mouvement s’étudie par rapport au
𝑧
même repère que précédemment. La particule part de l’origine avec une vitesse initiale dans le
plan (𝑥𝑂𝑦), de module 𝑣0 et faisant un angle 𝛼 avec (𝑂𝑥), 𝛼 ∈ [0; 𝜋2 [.
→
a) Écrire les équations différentielles que vérifient les composante de la vitesse −
𝑣 : 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 .
b) En déduire les équations paramétriques 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) et 𝑧(𝑡) de la trajectoire en fonction de 𝑞,
𝑚, 𝐸, 𝐵, 𝑣0 et 𝛼. (On pourra pour cela résoudre l’équation vérifiée par la variable intermédiaire :
𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑗 𝑣𝑦 , , où 𝑗 2 = −1.)
c) Écrire les équations précédentes lorsque la vitesse initiale est nulle. Représenter alors l’allure
de la trajectoire en donnant les coordonnées des points particuliers.
Ex-EM6.5
Cyclotron (1)
Un cyclotron est formé de deux enceintes demi cylindriques (les ‘Dees’) dans lesquels règne un
champ magnétique uniforme (𝐵 = 1, 5 𝑇 ).
Dans l’espace vide entre les Dees , les particules sont soumises à un champ électrostatique de
façon à être accélérées à chaque passage. L’expérience présente porte sur des protons. (𝑞 = 𝑒 =
1, 6.10−19 𝐶 ; 𝑚 = 1, 67.10−27 𝑘𝑔.)
−
→
1) Comment doit être le champ 𝐵 ? Quel est le temps mis pour effectuer un passage dans un
Dee ?
2) Quelle doit être la fréquence de la tension accélératrice alternative ?
3) Quelle est l’énergie maximale des protons sachant que le rayon des Dees est 𝑅 = 0, 8 𝑚.
Par quelle tension aurait-il fallu accélérer le proton pour obtenir la même vitesse (avec, comme
condition initiale : à 𝑡 = 0, 𝑣 = 0) ?
Ex-EM6.6 Cyclotron (2) - CCP 1993
Les protons sont injectés au centre du cyclotron avec une énergie cinétique négligeable. Un
générateur permet d’appliquer entre les Dees une tension alternative à haute fréquence 𝑢𝑐 =
−
→
𝑢𝑐 −
→
𝑈𝑐 sin(𝜔𝑡 + 𝜑), créant un champ électrique uniforme 𝐸 =
𝑒𝑥 . On admettra que les protons
𝑔
sont accélérés une première fois sur la distance g avant de décrire le premier demi-cercle.
1) Calculer la fréquence 𝜈 𝑐 du champ électrique nécessaire (condition de synchronisme) lorsque
𝐵 = 1, 5 𝑇 .
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Exercices - Électromagnétisme ∣ PTSI
2009-2010
2) En négligeant l’épaisseur g de l’espace accélérateur,
calculer le rayon r 𝑛 du 𝑛ème demi-cercle décrit par les
protons. On suppose qu’à la sortie de la source, ils traversent l’espace accélérateur lorsque 𝑢𝑐 = 𝑈𝑐 .
Donnée : 𝑈𝑐 = 50 𝑘𝑉 ; 𝑛 = 400.
3) En réalité les protons traversent le plan médiateur
de l’espace accélérateur à un instant t 𝑐 tel que 𝜔𝑡𝑐 = 0
à 𝑘𝜋 près et avec une phase 𝜑0 .
Cet espace a une largeur g de l’ordre de 1 𝑐𝑚, et il est
nécessaire de tenir compte, au cours de sa traversée, de
la variation du champ accélérateur.
a) Montrer que le gain en énergie pour une orbite située
à une distance r du centre du cyclotron est
𝑔
sin
𝑤 = 𝑒𝑈𝑐 𝑔2𝑟 sin 𝜑0 ,
2𝑟
𝑔
𝑔
≤ 𝑥 ≤ ) on peut écrire 𝑥 = 𝑣𝑡, où 𝑣 = 𝜔 𝑟
2
2
est la vitesse des protons sensiblement constante dans l’intervalle 𝑔 (𝑔 < 𝑟).
b) Quelle valeur s’efforcera-t-on d’obtenir pour 𝜑0 ?
c) En faisant les approximations convenables, calculer l’énergie cinétique ℰ𝑘 obtenue à la sortie
du cyclotron, c’est-à-dire après la 𝑛ème demi-orbite avec la valeur 𝜑0 obtenue à la question 3)b).
On l’exprimera en joules, puis en mégaélectronvolts.
d) Les protons arrivent à la sortie par paquets séparés les uns des autres par le même intervalle
de temps, alors que l’injection se fait de façon continue au centre de l’accélérateur. Expliquer
l’origine de ces paquets.
Calculer l’intervalle de temps séparant deux paquets de protons. On garde les valeurs numériques
de la questions 2.
en admettant que dans l’espace accélérateur (−
Ex-EM6.7 Conduction en régime sinusoı̈dal forcé ; conductivité complexe
On étudie la conductivité d’un métal dans le cadre du modèle du cours. Le métal est soumis à
−
→ −
→
un champ électrique sinusoı̈dal 𝐸 = 𝐸0 cos 𝜔𝑡 , l’action du milieu sur un électron se traduisant
−
→
𝑚−
par la force de frottement 𝑓 = − →
𝑣.
𝜏
→
→
On suppose que la vitesse de groupe −
𝑣 des porteurs mobiles (𝑚, 𝑞) est de la forme −
𝑣 =
→
−
𝑣0 cos (𝜔𝑡 + 𝜑) et on adopte la notation complexe.
−
→
→
1) Donner l’expression de −
𝑣 en fonction de 𝐸 . En déduire tan 𝜑 en fonction de 𝜔 et 𝜏 ainsi
−
→
→
que −
𝑣0 en fonction de 𝐸0 et cos 𝜑.
−
→
→
2) En notant 𝑗 = 𝑛𝑞 −
𝑣 la représentation complexe de la densité de courant, montrer que l’on
→
−
→
−
peut écrire 𝑗 = 𝜎 𝐸 .
𝑛𝑞 2 𝜏
𝜎 étant un complexe que l’on exprimera en fonction de la conductivité 𝜎 =
, de 𝜔 et de 𝜏 .
𝑚
Interpréter le résultat en ce qui concerne la validité de la loi d’Ohm en régime non permanent.
Que signifie l’affirmation : “Dans l’ultraviolet, la conductivité d’un métal peut être considérée
comme imaginaire pure”.
Toujours dans l’ultraviolet, comment peut-on qualifier l’état vibratoire relatif de la vitesse et du
champ électrique ?
→
−
−
→
3) Calculer la puissance de la force 𝐹 = 𝑞 𝐸0 cos 𝜔𝑡 exercée par le champ sur un porteur et
en déduire l’expression de < 𝑝 >, moyenne temporelle de la puissance fournie par le champ par
unité de volume conducteur, en fonction de 𝜎, 𝐸0 et 𝜔𝜏 .
Vérifier que cette puissance est opposée à la puissance volumique moyenne < 𝑝′ > des “forces
→
−
de frottement” 𝑓 et expliquer ce résultat.
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PTSI ∣ Exercices - Électromagnétisme
2009-2010
Déduire de l’expression de < 𝑝 > la signification énergétique du caractère imaginaire pur de la
conductivité dans l’ultraviolet.
4) Dans la limite des basses fréquences, déduire du résultat précédent la puissance moyenne
< 𝒫 > fournie à un tronçon cylindrique de section S et de longueur l. exprimer < 𝒫 > en fonction
de I 0 , intensité maximale qui parcourt le tronçon et de la résistance R de celui-ci. Interpréter
ce résultat.
−
→
−
→
Ex-EM6.8
Protons dans des champs 𝐸 et 𝐵 parallèles
Des protons sont émis en 𝑂 origine du repère (𝑂𝑥𝑦𝑧) par une source quasi-ponctuelle, avec une
→
→
vitesse initiale −
𝑣0 = 𝑣0 −
𝑒𝑦 .
Étudier leur mouvement ultérieur en présence de champs électrique et magnétiques uniformes :
→
−
−
→
→
→
𝐸 =𝐸−
𝑒𝑧 et 𝐵 = 𝐵 −
𝑒𝑧 , avec 𝐸 > 0 et 𝐵 > 0.
En particulier, pour quelles dates 𝑡𝑛 le proton est en contact avec l’axe (𝑂𝑧) ?
Montrer qu’en plaçant judicieusement des diaphragmes sur l’axe (𝑂𝑧), on peut mesurer la rap𝑞
port 𝑚
pour les protons.
Comment varie l’angle 𝛼𝑛 que fait le vecteur vitesse avec l’axe (𝑂𝑧), en fonction de la position
du diaphragme ?
Solution Ex-EM4.13
1)
• Symétrie
: Soit le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 parcouru par l’intensité 𝐼, de
:::::::::::
centre 𝑂, placé dans le plan 𝑂𝑦𝑧. Pour tout point 𝑀 (𝑥, 0, 0)
sur l’axe 𝑂𝑥, cette distribution de courants admet les plans :
- (𝑀 𝑥𝑧) = (Π1 ) et
- (𝑀 𝑥𝑦) = (Π2 )
comme plans d’antysimétrie des courants.
−
→
Donc 𝐵 (𝑀 ) ⊂ ((Π1 ) ∩ (Π2 )) = (𝑀 𝑥).
M
z
D
eq /AB b
A
y
B
I
b
x
x
M
ePM
a1
M
a
C
O
eq /AB
Donc :
−
→
→
𝐵 (𝑀 ) = 𝐵(𝑥) −
𝑒𝑥
• Nous avons
établi en cours
(EM4-IV.1) que
la
contribution au champ
magnétique créée
par un segment de
courant s’écrit :
x
p-b
2
y
a2
z
a
O
A I
P
B
z
O
b
A
b
y
P
I
B
−−→
𝜇0 𝐼
−→
𝐵𝐴𝐵 (𝑀 ) =
(sin 𝛼2 − sin 𝛼1 ) −
𝑒−
𝜃/𝐴𝐵
4𝜋 𝑎
avec :
−−→ −−−→
−→ −−−→ −−−−→ −−→
-−
𝑒−
𝜃/𝐴𝐵 = 𝑒𝐴→𝐵 × 𝑒𝑃 →𝑀 → 𝐵𝐴𝐵 est dans le plan (𝑂𝑀 𝑃 ) (car 𝐵𝐴𝐵 ⊥𝑒𝐴→𝐵 ) et est perpendiculaire
à 𝑃 𝑀 ;
- 𝑎2 = 𝑥2 + 𝑏2 ;
𝑏
𝑏
- sin 𝛼2 = − sin 𝛼1 = √
=√
;
2
2
2
𝑎 +𝑏
𝑥 + 2𝑏2
−−→
𝜋
𝑏
→
- si on appelle 𝛽 ≡ (−
𝑒𝑥 , 𝐵𝐴𝐵 ) → cos 𝛽 = sin( − 𝛽) = √
.
2
2
𝑥 + 𝑏2
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−−→
−
→
De cette contribution de 𝐵𝐴𝐵 au champ magnétique total 𝐵 (𝑀 ), d’après les symétries, seule
nous intéresse sa composante selon 𝑂𝑥 :
−−→ →
𝜇0 𝐼
𝜇0 𝐼
𝑏
𝑏
√
𝐵𝐴𝐵,𝑥 ≡ 𝐵𝐴𝐵 ⋅−
𝑒𝑥 = 𝐵𝐴𝐵 cos 𝛽 =
(sin 𝛼2 −sin 𝛼1 ) cos 𝛽 = √
2√
4𝜋 𝑎
4𝜋 𝑥2 + 𝑏2
𝑥2 + 2𝑏2 𝑥2 + 𝑏2
Les 4 côtés étant identiques quant à leurs contributions au champ magnétique suivant 𝑂𝑥, on
a : 𝐵(𝑀 ) = 4 𝐵𝐴𝐵,𝑥 , soit :
−
→
𝐵 (𝑀 ) =
2𝜇0 𝐼𝑏2
→
−
√
𝑒𝑥
𝜋 (𝑥2 + 𝑏2 ) 𝑥2 + 2𝑏2
2) Dans le cas où 𝑥 ≫ 𝑏, on a : 𝑥2 + 𝑏2 ≃ 𝑥2 et 𝑥2 + 2𝑏2 ≃ 𝑥2 , soit :
−
→
2𝜇0 𝐼𝑏2 −
→
𝐵 (𝑀 ) ≃
𝑒𝑥
𝜋 𝑥3
Or, l’aire du carré est 𝑆 = 4𝑏2 . Donc :
−
→
𝜇0 𝐼 𝑆 −
→
𝐵 (𝑀 ) ≃
𝑒𝑥
2𝜋 𝑥3
−
→
−
→
→
Comme, par définition, le moment magnétique du circuit est ℳ ≡ 𝐼 𝑆 = 𝐼𝑆 −
𝑒𝑥 , on a :
−
→
−
→
𝜇0 2ℳ
𝐵 (𝑀 ) =
4𝜋 𝑥3
On retrouve le champ magnétique créé par un dipôle magnétique dans l’approximation dipolaire :
−
→ → −
→
→
−
→
𝜇0 3(−
𝑒𝑟 ⋅ ℳ) −
𝑒𝑟 − ℳ
𝐵 (𝑀 ) =
4𝜋
𝑟3
→
→
exprimé dans l’une des positions principales de Gauss (𝜃 = 0, soit −
𝑒𝑟 = −
𝑒𝑥 ).
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Solution Ex-EM5.6
Tout d’abord, établissons les relations liant 𝐼, 𝑗 et 𝑗 ′ : 𝐼 =
s
−→ −−−→
𝒮𝑖𝑛𝑡 𝑗𝑖𝑛𝑡 ⋅ 𝑑𝑆𝑖𝑛𝑡
=
s
−→ −−−−→
𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑗𝑒𝑥𝑡 ⋅ 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑢𝑟 .
Soit : 𝐼 = 𝑗 𝜋 𝑅12 = 𝑗 ′ 𝜋 (𝑅32 − 𝑅22 ) .
1) • Invariances
: Il y a invariance de la distri::::::::::::::
bution de courants 𝒟𝐼 par :
-translation selon l’axe 𝑂𝑧
−
→
−
→
→
−
→ 𝐵 (𝑀 ) = 𝐵 (𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝐵 (𝑟, 𝜃) ;
- rotation autour de l’axe 𝑂𝑧
−
→
−
→
→
−
→ 𝐵 (𝑀 ) = 𝐵 (𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝐵 (𝑟, 𝑧).
→
−
−
→
Donc : 𝐵 (𝑀 ) = 𝐵 (𝑟) (★).
• Symétries
: la distribution de courants 𝒟𝐼 ad::::::::::::
→
→
met le plan (𝑀, −
𝑒𝑟 , −
𝑒𝑧 ) = (Π) comme plan de
symétrie,
−
→
→
donc : 𝐵 (𝑀 ) = 𝐵 −
𝑒𝜃 (★★).
z
I
I
jint
jext
ez
H
eq
r
M er
−
→
→
(★) + (★★) → 𝐵 (𝑀 ) = 𝐵(𝑟) −
𝑒𝜃
• ::::::
Choix::::
du:::::::::
contour ::::::::::::
d’Ampère::: (𝒞), le cercle
de rayon 𝑟 passant par 𝑀 d’axe 𝑂𝑧 ; i.e. la ligne
de courant passant par M.
∮
→
−
→ −
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙 .
• ::::::::::
Théorème::::::::::::
d’Ampère::::
𝒞
∮
𝒞
→
−
→ −
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 =
∮
𝒞
→
→
𝐵(𝑟) −
𝑒𝜃 ⋅ 𝑟 𝑑𝜃 −
𝑒𝜃 = 𝐵(𝑟) 𝑟
R2
R1 O
y
q
x
m
R3
∮
𝒞
𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑟 𝐵(𝑟)
Soit : 𝐵(𝑟) =
• 1er Cas : 𝑟 > 𝑅3 le contour orienté 𝒞1 enlace
l’intensité : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝐼 − 𝐼 = 0.
𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙
.
2𝜋 𝑟
1
• 2ème Cas : 𝑅2 < 𝑟 < 𝑅3 le contour orienté 𝒞2
enlace l’intensité : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝐼 − 𝑗 ′ 𝜋 (𝑟2 − 𝑅22 ) =
𝑟2 − 𝑅22
𝑅32 − 𝑟2
𝐼 (1 − 2
)
=
𝐼
.
𝑅3 − 𝑅22
𝑅32 − 𝑅22
3ème
•
Cas : 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 le contour orienté 𝒞3 enlace
l’intensité : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝐼.
2
-I
4
I
3
R1
R2
R3
• 4ème Cas : 𝑟 < 𝑅1 le contour orienté 𝒞4 enlace
2
ez
𝐼𝑟
l’intensité : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝑗 𝜋 𝑟2 = 2 .
𝑅1
2) On vérifie que le champ 𝐵(𝑟) est continu en
⎧
−
→
−
→

𝑟
>
𝑅
𝐵
(𝑀
)
=
0
𝑅1 , 𝑅2 ou 𝑅3 car la distribution de courants est

3



volumique.





2
2

−
→
𝜇0 𝐼 𝑅 3 − 𝑟 −

→

B
𝑅2 < 𝑟 < 𝑅3 𝐵 (𝑀 ) =


2 − 𝑅2 𝑒𝜃
m0 I

2𝜋
𝑟
𝑅

3
2
⎨
2p R1


−
→
𝜇0 𝐼 −

m0 I
→

𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 𝐵 (𝑀 ) =
𝑒𝜃



2𝜋 𝑟
2p R2








−
→
𝜇0 𝐼 𝑟 −

→
 𝑟 < 𝑅1
𝐵 (𝑀 ) =
𝑒𝜃
⎩
R1
R3
R2
r
0
2𝜋 𝑅1 𝑅1
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Solution Ex-EM5.7
→
→
• ∀𝑀 , le plan (Π) = (𝑀, −
𝑒𝑟 , −
𝑒𝑧 ) est un plan perpendiculaire au champ magnétique en 𝑀 , donc,
−
→
−
→
tous les plans (𝑀, 𝑒𝑟 , 𝑒𝑧 ) sont des plans de symétrie des courants.
Il faut donc nécessairement que les courants soient selon une direction commune à tous ces plans,
−
→
→
i.e. : 𝑗 = 𝑗 −
𝑒𝑧 (★).
−
→ −
→
De plus les invariances des sources étant celles du champ magnétique : 𝑗 = 𝑗 (𝑟) (★★).
−
→
→
Donc : (★) + (★★) → 𝑗 = 𝑗(𝑟) −
𝑒𝑧 .
• Avant de se lancer dans des calculs, remarquons que l’énoncé fait apparaı̂tre 2 zones, le cylindre
−
→
−
→
→
→
d’axe 𝑧 de rayon 𝑎 et le reste de l’espace ; de plus : 𝐵 (𝑎− ) = 𝐵1 −
𝑒𝜃 et 𝐵 (𝑎+ ) = 𝐵2 −
𝑒𝜃 .
Comme, d’après l’énoncé, 𝐵1 et 𝐵2 sont « deux constantes a priori quelconques » on a a priori
discontinuité du champ magnétique à la traversée de la surface du cylindre 𝑟 = 𝑎 d’axe 𝑧.
−
→
→ Nous cherchons donc une distribution de courants volumiques 𝑗 (𝑟) pour 𝑟 ∕= 𝑎 et une distri−
→
−
→
bution de courants surfaciques 𝑗𝑆 (𝑎) = 𝑐𝑡𝑒 pour 𝑟 = 𝑎.
• Appliquons le théorème d’Ampère le long d’une ligne de courant, c’est-à-dire le long d’un
→
cercle 𝒞 de rayon 𝑟 d’axe (𝑂𝑧) orienté selon +−
𝑒𝜃 :
∮
∮
∮
∮
→
→
→ −
−
−
→ −
−
→
−
→
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙
avec :
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝐵(𝑟) 𝑒𝜃 ⋅ 𝑟 𝑑𝜃 𝑒𝜃 = 𝐵(𝑟) 𝑟 𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑟 𝐵(𝑟)
𝒞
𝒞
𝒞
𝒞
s
s
∫𝑟
−
→
−
→
→
→
• Supposons
𝑟 < 𝑎 : 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝜇0 𝒮/𝒞 𝑗 (𝑃 )⋅𝑑𝑆 = 𝜇0 𝒮/𝒞 𝑗(𝑟𝑃 ) −
𝑒𝑧 ⋅𝑑𝑆𝑃 −
𝑒𝑧 = 𝜇0 0 𝑗(𝑟′ ) 2𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′ .
:::::::::::::::::
∫𝑟
Soit : 𝑟 𝐵(𝑟) = 𝜇0 0 𝑗(𝑟′ ) 𝑟′ 𝑑𝑟′ pour 𝑟 < 𝑎.
• En dérivant de part et d’autre de l’égalité par rapport à 𝑟, nous obtenons :
𝜇0 𝑗(𝑟) 𝑟 =
𝑑
𝑑
(𝑟 𝐵(𝑟)) =
𝑑𝑟
𝑑𝑟
(
𝐵1
𝑟3
𝑎2
)
= 3 𝐵1
𝑟2
𝑎2
soit :
3 𝐵1 𝑟 −
−
→
→
𝑗 (𝑟 < 𝑎) =
𝑒𝑧
𝜇0 𝑎2
→
−
• :::
En::::::
𝑟 = 𝑎, 𝐵 doit vérifier la relation de passage à la traversée d’une nappe de courants :
−
→ −
→
−
→
−→
𝐵2 − 𝐵1 = 𝜇0 𝑗𝑆 × −
𝑛−1→2
−
→ +
−
→
→
→
→
→
𝐵 (𝑎 ) − 𝐵 (𝑎− ) = (𝐵2 − 𝐵1 ) −
𝑒𝜃 = 𝜇0 𝑗𝑠 −
𝑒𝑧 × −
𝑒𝑟 = 𝜇0 𝑗𝑆 −
𝑒𝜃
soit :
𝐵2 − 𝐵1 −
−
→
→
𝑗𝑆 (𝑟 = 𝑎) =
𝑒𝑧 .
𝜇0
• :::::::::::
Supposons::::::::::::
maintenant::::::::
𝑟 > 𝑎. Alors une ligne de courant de rayon 𝑟 > 𝑎 enlace l’intensité 𝐼𝑒𝑛𝑙
et :
(∫ 𝑎
)
∫
∫ 𝑟
x −
−
→
→
−
→ −→
𝑗(𝑟′ ) 2𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′
𝑗(𝑟′ ) 2𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′ +
𝑗𝑆 ⋅ 𝑑𝑙⊥ +
𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝜇0
𝑗 (𝑃 ) ⋅ 𝑑𝑆 = 𝜇0
Donc :
𝒮/𝒞
Soit : 2𝜋 𝑟 𝐵(𝑟) = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙
⎛
0
2𝜋 𝑎
𝑎
⎞
⎟
⎜∫ 𝑎 3 𝐵 𝑟 ′
∫𝑎
𝐵2 − 𝐵1
⎜
1
′
′
′ ) 2𝜋 𝑟 ′ 𝑑𝑟 ′ ⎟.
+
𝑗(𝑟
= 𝜇0 ⎜
2𝜋
𝑟
𝑑𝑟
+
2𝜋
𝑎
⎟
0
𝜇0
⎠
⎝ 0 𝜇0 𝑎2
{z
}
|
indépendant de 𝑟
𝑑
𝑑
𝑎
Soit, en dérivant par rapport à 𝑟 : 𝜇0 𝑗(𝑟) 𝑟 =
(𝑟 𝐵(𝑟)) =
(𝑟 𝐵2 ) = 0.
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑟
−
→
→
−
Donc : 𝑗 (𝑟 > 𝑎) = 0 .
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