devoir calcul matriciel

Devoir n°2
option math 1ère ES
Vendredi 20novembre 2009
Exercice 1
 2 3 
 1 3 4 1 
3 4
On donne trois matrices : A=  0 2 1 5  , B=  1 4  et C =  2 1 




 0 2 
1. Donner la dimension de chacune de ces matrices.
2. Donner le terme b1,2 de la matrice B .
3. Calculer, si possible, A+B , A×B , B×A et C-1
Vous n’oublierez pas de justifier dans le cas où le calcul ne serait pas possible.
Exercice 2
Un atelier fabrique des colliers fantaisie en série.
Un collier “blue” nécessite 30 perles, 0,5 mètre de fil de nylon et 30 grammes de métal argenté.
Un collier “fan” nécessite 20 perles, 0,5 mètre de fil de nylon et 30 grammes de métal argenté.
Un collier “star” nécessite 10 perles, 0,8 mètre de fil de nylon et 50 grammes de métal argenté.
Les deux questions sont indépendantes.
1. Un magasin sur Meudon lui commande 90 colliers “blue” , 85 colliers “fan” , de 40 colliers “star”
L’objectif de cette question est de déterminer, à l’aide du calcul matriciel, combien de perles, de fil de nylon et de
métal argenté faut-il avoir en réserve pour satisfaire cette commande.
 x
Posons X= y  le vecteur colonne tel que x est le nombre de perles , y la quantité de fil de nylon et z le poids en
 
z
grammes de métal argenté nécessaires pour satisfaire la commande.
A l’aide d’un produit de deux matrices bien choisies, on peut déterminer X et donc répondre à la question.
2. Après l’inventaire et quelques semaines avant la fermeture définitive, le responsable de l’atelier constate qu’il
a en stock 1910 perles, 43,5 mètres de fil de nylon et 2640 grammes de métal argenté
Le comptable lui affirme qu’il peut tout utiliser jusqu’au dernier gramme de métal argenté si il fabrique exactement le
nombre de colliers fantaisie qu’il lui indiquera.
L’objectif de cette question est de déterminer, à l’aide du calcul matriciel, combien de colliers fantaisie de chaque sorte
faut-il fabriquer pour épuiser les stocks de l’atelier.
On note, pour la suite, x le nombre de colliers "blue" , y le nombre de colliers"fan" et z le nombre de colliers "star" .
a) Ecrire le système de trois équations d’inconnues x, y et z traduisant l'énoncé
 x
 1910 


 43,5 ,
y
b) Posons X=
  et B = 

z
 2640 
Le système précèdent peut s’écrire matriciellement sous la forme AX=B.
Déterminer la matrice A de dimension 3×3
 0,1 -70 1,1 
c) Après avoir vérifier que la matrice A admettait pour inverse la matrice A-1 = -0,1 120 -1,9 ,
 0 -30 0,5 
résoudre le système et conclure.
Exercice 3
Lors d’une élection municipale, trois listes P, M et U sont en concurrence.
1ère partie
Il y a deux bureaux de vote dans la ville.
Le tableau ci-dessous fournit le nombre de suffrages exprimés par liste et par bureau :
Listes
Bureaux
1
2
P
M
U
300
500
600
450
500
350
On appelle V la matrice de dimension 2×3 ainsi définie.
1. On note L le vecteur ligne ( 1 1 ).
Calculer LV.
Donner la signification concrète d’un coefficient de LV.
1
 
2. On appelle B le vecteur-colonne 1 .
 
1
Calculer VB.
Donner la signification concrète d’un coefficient de VB.
2ème partie
Avants l’élection , un institut de sondage a mis à disposition le résultats d’une étude regroupant les
intentions de vote pour les 3 candidats P, M et U des 2800 habitants en fonction de deux tranches d’âge
(J : moins de 45 ans ; NJ : plus de 45 ans) et de 3 modes de vie (H1 ; H 2 ; H3 ) .
L’étude peut se résumer à l’aide des trois matrices suivantes :
30% 50% 20% 

H1 = 
25% 40% 35%
25% 55% 20%

H 2 = 
20% 50% 30% 
50% 30% 20% 

H 3 = 
40% 40% 20%
1. Pour chacune de ces trois matrices, donner la signification concrète d’un de ses coefficient.
2. La répartition entre les deux tranches
d’âge selon les modes de vie
H1
H2
H3
total
J
100
1000
100
1200
NJ
100
500
1000
1600
total
200
1500
1100
2800
(H1 ; H 2 ; H3 ) est donnée dans le
tableau suivant :
On considère les 3 matrices suivantes :
M1= ( 100
100 )
M2 = ( 1000
500 )
M3= ( 100
1000 )
a) Calculer et interpréter les coefficients de chacune des matrices M1 × H1 , M 2 × H 2 et M 3 × H3 .
b) Calculer la somme S des trois matrices obtenues à la question précédente et donner la signification
concrète d’un coefficient de S.