MATRICES ET CALCUL MATRICIEL

1A 2010-2011
MATRICES ET CALCUL MATRICIEL
Objectifs
Savoir ce qu'est une matrice.
Savoir additionner deux matrices.
Savoir multiplier deux matrices.
Savoir calculer l'inverse d'une matrice
1
Les matrices ? ...un tableau tout simplement !
Il existe bien une dénition très belle et très structurée des matrices. En fait, ce qu'il faut en
retenir, c'est l'aspect pratique d'une représentation mathématique. En créant cette notation,
les mathématiciens ont voulu simplier des notations et des calculs qui à l'époque 1 étaient
franchement peu pratiques. On peut donc dénir les matrices comme une forme de tableau,
façon Excel.
Dénition 1 (Notation). On appelle matrice à n lignes et p colonnes, une représentation sous
forme d'un tableau d'un objet mathématique ou physique. Les éléments qui composent une
matrice peuvent être des nombres réels, complexes, entiers, mais aussi des vecteurs,...
On note alors :


· · · a1p
· · · a2p 
..
.. 
.
. 
 = (aij ) 16i6n
16j6p
.. 
aij . 
· · · · · · anp
a11 a12
 a21 a22
 .
..

.
M =  ..
 .
.
..
 ..
an1
sous forme étendue ou compressée !
Les aij sont donc des réels ou des complexes, ou des vecteurs,...
Si aij ∈ R, ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , p} alors on note M ∈ Mn,p (R)
Si aij ∈ C, ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , p} alors on note M ∈ Mn,p (C)
Ainsi, Mn,p (K) est l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coecient dans
l'ensemble K
Exemple (
1. Voici quelques
exemples concrets :
)
X A=

1
2 3
−1 0 1
∈ M2,3 (R)

i
−i
√
X B =  −i
2  ∈ M3,2 (C)
1−i 2
1. XVIIIe et XIXe siècles
1
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(
X I=
1 0
0 1
)
∈ M2,2 (R)
(
)
X D = 1 2 3 4 ∈ M1,4 (R)
2
Opérations sur les matrices
2.1 L'addition des matrices
L'addition entre deux matrices est une opération très naturelle. Elle est notée + tout simplement et on a la dénition suivante :
Dénition 2. Soit A et B deux matrices appartenant au même ensemble Mn,p (K), alors
si l'on a :
A = (aij ) 16i6n
16j6p
B = (bij ) 16i6n
16j6p
et bien
A + B = (aij + bij ) 16i6n ∈ Mn,p (K)
16j6p
Remarque 1. Vous voyez que la dénition est précise. L'addition de deux matrices n'est
possible qu'à condition que les deux matrices appartiennent toutes deux au même ensemble.
Sinon, la somme n'existe pas !


0
1
1 2
Exemple 2. Soit A =  3 1  et B =  −1 −1
1
2
1 0
toutes les deux au même ensemble M3,2 (R). L'addition
 

0
1
1 2
A + B =  3 1  +  −1 −1
1
2
1 0


. Ces deux matrices appartiennent
est donc possible et on a :

1 3
= 2 0 
2 2


Propriété 1. Soit A, B et C trois matrices appartenant à l'ensemble Mn,p (K)
(i)
A+B =B+A
(ii)
La somme des matrices est commutative.
(A + B) + C = A + (B + C)
La somme des matrices est associative.
(iii) Il existe un élément neutre pour l'addition des matrices. Cette matrice est appelé matrice
nulle notée O et on a tout simplement :

0 ···

O = (0) 16i6n =  ... 0
16j6p
0 ···
2
0

.. 
. 
0
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(iv) Toute matrice A ∈ Mn,p (K) possède une matrice symétrique notée −A ∈ Mn,p (K) telle
que :
A + (−A) = O
D'ailleurs pas abus de notation on note aussi A − A = O. On a :
−A = (−aij ) 16i6n
16j6p
Ces 4 propriétés font de (Mn,p (K) , +) un groupe commutatif.
2.2 Multiplication d'une matrice et d'un scalaire
On peut, comme avec des vecteurs (vous allez voir que ce n'est pas un hasard !), multiplier
une matrice par un scalaire α c'est à dire un élément de l'ensemble K.
Dénition 3. Soit une matrice A ∈ Mn,p (K) telle que A = (aij ) 16i6n et un scalaire α ∈ K ;
alors on a :

α · A = (αaij ) 16i6n
16j6p
Exemple 3. Soit A =
(
1 2
3 4
)
αa11 · · ·


=  ..
 .
αaij
αan1 · · ·
αa1p
..
.

16j6p


 ∈ Mn,p (K)

αanp
∈ M2,2 (R) et soit α = 7 alors
(
7·A=
7 14
21 28
)
Remarque 2. Plusieurs remarques sur cette opération ·
X On peut ne pas écrire le · de multiplication ; ainsi on écrit αA plutôt que α · A
X Le scalaire s'écrit toujours à gauche de la matrice. Ainsi on écrit 7A mais surtout pas A7 !
1
A
De même on écrit A mais surtout pas !
7
7
X La multiplication d'une matrice par un scalaire est une loi externe.
Propriété 2. Quelques propriétés sur la loi ·
(i)
∀α ∈ K, ∀ (A, B) ∈ (Mn,p (K))2 , α (A + B) = αA + αB
(ii)
∀ (α, β) ∈ K2 , ∀A ∈ Mn,p (K) , (α + β) A = αA + βA
(iii)
∀ (α, β) ∈ K2 , ∀A ∈ Mn,p (K) , α (βA) = (αβ) A
(iv) 1 est l'élément neutre pour la multiplication d'une matrice par un scalaire, que ce soit si
K = R ou si K = C
Remarque 3. Les 4 propriétés vues à la propriété 1 et les 4 que l'on vient de voir, font
de (Mn,p (K) , +, ·) un espace vectoriel. Les vecteurs sont donc dans cet espace vectoriel des
matrices à n lignes et p colonnes. On voit une nouvelle fois que la notation avec une èche serait
désastreuse !
3
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2.3 Multiplication des matrices
La multiplication des matrices est une loi très particulière. Regardez bien cette dénition :
Dénition 4. Soit une matrice
A = (aij ) 16i6n ∈ Mn,p (K) et soit une autre matrice B =
16j6p
(bij ) 16i6p ∈ Mp,q (K).
16j6q
Alors le produit de A par B est possible, on a
A × B ∈ Mn,q (K)
et :
A × B = (cij ) 16i6n
16j6q
avec
cij =
p
∑
aik bkj
k=1
Remarque 4. TRÈS IMPORTANT !
X Le nombre de colonnes de la première matrice dans la multiplication doit être égal au
nombre de ligne de la deuxième matrice. Sinon, le calcul de A × B est impossible.
X La matrice résultat du produit de deux matrices, possède le nombre de lignes de la pre-
mière matrice et le nombre de colonnes de la deuxième.
X On peut écrire AB au lieu de A × B
Exemple 4. On veut calculer le produit de AB avec
(
A=
1
2 3
−2 0 3
)


1 0 −1
,B =  2 1 1 
1 6 1
Le produit est possible car A ∈ M2,3 (R) et B ∈ M3,3 (R). De plus la matrice AB ∈ M2,3 (R).
(
1×1+2×2+3×1
1×0+2×1+3×6
1 × (−1) + 2 × 1 + 3 × 1
AB =
( (−2) × 1 +
) 0 × 2 + 3 × 1 (−2) × 0 + 0 × 1 + 3 × 6 (−2) × (−1) + 0 × 1 + 3 × 1
8 20 4
AB =
1 18 5
)
Protons en pour calculer BA.
Le produit n'est pas possible car B ∈ M3,3 (R) et A ∈ M2,3 (R).
C'est la première surprise de ce drôle de produit ! AB peut exister et pas BA !


5 2
Exemple 5. Soit A =  3 4  ∈ M3,2 (R)
0 1
possible et on a :

12 15
AB =  10 9
1 0
et B =
(
2 3 0
1 0 2
)
∈ M2,3 (R) alors AB est

4
8  ∈ M3,3 (R)
2
4
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De même BA est possible et on a :
(
BA =
19 16
5 4
)
∈ M2,2 (R)
Deuxième surprise, le produit matriciel n'est pas commutatif c'est à dire qu'en général quand
les deux produits sont possibles AB ̸= BA
Exemple 6. Soit A =
(
3 −9
−1 3
)
∈ M2,2 (R) et B =
produits AB et BA sont possibles et on a :
(
−3 −9
AB =
( 1 )3
0 0
BA =
0 0
(
2 6
1 3
)
∈ M2,2 (R), alors les deux
)
Encore une autre surprise de ce produit matriciel ; on dit que le produit de 2 matrices n'est
pas intègre, c'est à dire que l'on peut avoir AB = O ou BA = O sans pour cela avoir l'une des
deux matrice qui est nulle. Dans R ou C ceci est impossible, c'est ce qui nous permet d'ailleurs
de résoudre des équations.
Propriété 3. Quelques propriétés
(i)
∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ Mp,q (K) , ∀C ∈ Mq,r (K) , A (BC) = (AB) C
(ii)
(iii)
On dit que le produit matriciel est associatif.
∀A ∈ Mn,p (K) , ∀ (B1 , B2 ) ∈ (Mp,q (K))2 , A (B1 + B2 ) = AB1 + AB2
On dit que le produit matriciel est distributif par rapport à la somme matricielle.
∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ Mp,q (K) , ∀α ∈ K, (αA) B = α (AB)
et quelques "non propriétés" ! En général :
∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ Mp,n (K) , AB ̸= BA
∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ Mp,q (K) , AB = O n'implique pas A = O ou B = O
3
Transposition des matrices
Dénition 5. Soit A = (aij ) 16i6n
16j6p
t
∈ Mn,p (K) une matrice quelconque. On appelle transposée
de la matrice A, la matrice notée A appartenant à Mp,n (K) et dénie par :
t
A = (aji ) 16j6p
16i6n
5
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c'est à dire en version étendue :



A=

a11 a12 · · · · · · a1p
a21 a22 · · · · · · a2p
..
.
..
.
. . . . . . ..
.
an1 an2 · · · · · · anp
Exemple 7.
(
A=
Propriété 4.
(i)
1 2 3
4 5 6
)
a11 a21
 a12 a22

 .
..


.
 ⇒ t A =  ..
 .

.
..
 ..

· · · an1
· · · an2 
. . . .. 
. 

. . . .. 
. 
a1p a2p · · · anp

1 4
∈ M2,3 (R) ⇒ t A =  2 5  ∈ M3,2 (R)
3 6

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ Mn,p (K) , t (A + B) = t A + t B
(ii)
∀A ∈ Mn,p (K) , ∀λ ∈ K, t (λA) = λt A
(iii)
( )
∀A ∈ Mn,p (K) , t t A = A
(iv)
4


∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ Mp,q (K) , t (AB) = t B t A
Base canonique et dimension de
Théorème 1.
Mn,p (K)
Mn,p (K) est un K espace vectoriel de dimension np dont la base canonique est


0
0 





 = 0 si i ̸= l

1
El,m = 

 = 1 si i = l





0
0
|
{z
}
formée des matrices
=0 si j̸=m
=1 si j=m
Exemple 8. On s'intéresse à M2,3 (R). dim M2,3 (R) = 6 et la base canonique de M2,3 (R) est
formée des 6 matrices suivantes :
(
E11
E12
E13
1
=
( 0
0
=
( 0
0
=
0
0
0
1
0
0
0
)
0
0 )
0
0 )
1
0
(
E21
E22
E23
6
0
=
( 1
0
=
( 0
0
=
0
0
0
0
1
0
0
)
0
0 )
0
0 )
0
1
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c'est à dire que n'importe quelle matrice de M2,3 (R) peut s'écrire comme combinaison linéaire
des matrices dénies ci-dessus, à savoir :
(
A=
5
a b c
d e f
)
= aE11 + bE12 + cE13 + dE21 + eE22 + f E23
Les matrices carrées
5.1 Particularités des matrices carrées
Dénition 6. On appelle matrice carrée, une matrice ayant le même nombre de lignes et de
colonnes. On note Mn (K), l'ensemble des matrices carrées à coecients dans K, plutôt que
Mn,n (K).
Toutes les opérations et propriétés dénies sur des matrices quelconques appartenant à
Mn,p (K) restent valables sur les matrices carrées. Il existe cependant une matrice particulière
appelée matrice identité, élément neutre pour la multiplication des matrices.
Dénition 7. La matrice identité est notée In et on a :


1 0 ··· 0
 0 1 ··· 0 


In =  .. .. . . .. 
 . .
. . 
0 0 ··· 1
C'est d'ailleurs une matrice pour laquelle on a commutativité du produit matriciel c'est à dire :
∀A ∈ Mn (K) , AIn = In A = A
Dénition 8. On peut aussi dénir la puissance ne d'une matrice carrée, par récurrence, c'est
à dire :
A0 = In
An = AAn−1 = An−1 A
Théorème 2. Binôme de Newton pour les matrices Soient X et Y appartenant à Mn (K) telles
que X et Y commutent, c'est à dire XY = Y X (ce qui reste assez rare) alors on a :
)
n (
∑
n
∀n ∈ N, (X + Y ) =
X n−k Y k
k
n
k=0
Attention, cette formule est évidemment fausse si les matrices ne commutent pas.
Il existe d'autres matrices carrées particulières dont on se sert assez souvent :
Dénition 9 (Les matrices diagonales). Une matrice diagonale est une matrice ayant tous les
éléments hors de la diagonale principale 2 nuls et ceux de la diagonale sont quelconques. (Ils
peuvent donc être nuls ! La matrice O étant bien entendu une matrice diagonale)
2. c'est à dire la diagonale partant du haut à gauche pour nir en bas à droite
7
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Exemple 9.


λ1 0 0
D =  0 λ2 0 
0 0 λ3
est une matrice diagonale appartenant à M3 (R)
Propriété 5.

λ1 0
 0 λ2

D =  ..
 .
0 0

 n
··· 0
λ1 0
n


··· 0 
 0 λ2
n
⇒
D
=


.
. . . .. 
 ..
.
· · · λn
0 0

··· 0
··· 0 

. . . .. 
. 
· · · λnn
Retenez bien cette propriété, elle va beaucoup nous servir !
Dénition 10 (Matrices triangulaires). Une matrice triangulaire supérieure est une matrice
carrée ayant ces coecients au dessus de la diagonale principale, diagonale comprise,non nuls,
les autres étant nuls. Une matrice triangulaire inférieure c'est bien sûr le contraire, c'est à
dire que c'est une matrice carrée ayant ces coecients au dessous de la diagonale principale,
diagonale comprise,non nuls, les autres étant nuls.
Exemple 10. Voici une matrice supérieure :


1 2 3
S= 0 1 2 
0 0 1
En voici une inférieure :


1 0 0
T = 1 2 0 
1 2 3
Dénition 11 (Trace d'une matrice carrée). On appelle trace d'une matrice carrée
A ∈
Mn (K), la somme des éléments de la diagonale principale et on la note tr(A), c'est à dire
que
tr(A) =
aii
i=1

Exemple 11.
i=n
∑

1 7 3
Soit A =  −3 5 2  alors tr(A) = 1 + 5 + (−12) = −6
5 3 −12
Propriété 6. Soit A ∈ Mn (K), une matrice carrée, et t A sa transposée, alors
( )
tr(A) = tr t A
8
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5.2 Inverse d'une matrice carrée
Dénition 12. Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée. On dit que la matrice
s'il existe une matrice, notée, A
inverse de la matrice A.
−1
∈ Mn (K) telle que AA
−1
A est inversible
= A A = In . On appelle A−1 ,
−1
Remarque 5.
X L'ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coecient dans K inversibles
est noté : GLn (K)
X Attention, toutes les matrices carrées ne possèdent pas forcément une matrice inverse. On
verra dans le chapitre sur les déterminants comment savoir si oui ou non, une matrice
quelconque carrée possède ou pas une matrice inverse.
X On ne parle de matrice inverse que pour les matrices carrées, sinon, cela n'a aucun sens !
X Il existe plusieurs techniques pour calculer l'inverse d'une matrice carrée. Nous en voyons
une seule dans ce chapitre, puis une en travaux dirigés, et enn, nous en verrons une
dernière dans ce fameux chapitre sur les déterminants. Il en existe bien sûr d'autres.
Exemple 12 (Technique De Gauss-Jordan). Gauss a inventé une technique algorithmique très
puissante pour faire des transformations autorisées sur les matrices. Jordan a ané cette méthode an de déterminer l'inverse d'une matrice carrée. Cette technique consiste par diérentes
manipulations sur les lignes formant la matrice, à introduire des 1 sur la diagonale de la matrice
A et des 0 ailleurs, et de faire subir en même temps le même processus de transformation sur
la matrice identité. Ainsi on passe de la matrice A à la matrice identité In et de la matrice In
à la matrice que l'on cherche A−1 . Pour cela, il a même inventé une notation particulière ; la
voici : Li + αLj → Li signie qu'on multiplie la ligne Lj par le coecient α, qu'on l'additionne
à la ligne Li et qu'on réinjecte le tout dans Li . On a aussi αLi → Li qui multiplie la ligne Li
par α et qui le réinjecte dans Li On peut aussi permuter deux lignes ainsi : Li ↔ lj ; cela peut
paraître inutile mais vous allez voir qu'il est nécessaire d'opérer ainsi pour toujours avoir un
pivot non nul. Le mieux est de voir ceci sur une matrice particulière. Cherchons donc si elle
existe l'inverse de


2 1 −1

1 3
1 
A=
2 −1 2
Pour cela on adopte la notation suivante, dans laquelle on associe dans une même simili-matrice,
la matrice A à gauche et la matrice identité I3 à droite :

A
z
}|
{ z
 2 1 −1 | 1

 1 3
1 | 0

 2 −1 2 | 0

I
}|3 {
0 0 

1 0 

0 1 
On s'occupe d'abord d'introduire des 0 dans la première colonne, puis dans la deuxième et enn
dans la troisième ; pour cela on pivote toujours par rapport éléments de la diagonale qui sont
donc les pivots.
9
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étape 1 : pivot : le 2 de la ligne 1
L3 − L1 → L3
2L2 − L1 → L2


2 1
−1 | 1
0 0
 0 5
3
| −1 2 0 
0 −2 3
| −1 0 1
étape 2 : pivot : le 5 de la ligne 2
5L3 + 2L2 → L3
5L1 − L2 → L1


10 0 −8 | 6
−2 0
 0 5 3
| −1 2
0 
0 0 21 | −7 4
5
étape 3 : pivot : le 21 de la ligne 3
21L1 + 8L3 → L1
7L2 − L3 → L2


210 0 0 | 70 −10 40
 0
35 0 | 0
10
−5 
0
0 21 | −7 4
5
étape 4 : on fait apparaître des 1 sur la diagonale
1
L1 → L1
210
1
L2 → L2
35
1
L3 → L3
21
étape 5 : le résultat !

1
1
0
0
|

3

 0 1 0 | 0


1
0 0 1 | −
3

7
1 
−1
0
A =
21
−7

1
4
−
21 21 
2
1 
− 
7
7 
4
5 
21
21

−1 4
6 −3 
4
5
Remarque 6. Il ne faut jamais hésiter à écrire une matrice sans fraction à l'intérieur de celle-ci.
C'est plus simple ensuite si on a besoin de la manipuler !
Propriété 7. Soit une matrice
deux inversibles alors
A ∈ Mn (K) et une matrice B ∈ Mn (K) supposées toutes
(AB)−1 = B −1 A−1
10
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Exercices
Exercice
( 1. Calculer :
) (
)
1 2 −3 4
3 −5 6 −1
1.
+
0 −5 1 −1
2 0 −2 −3
(
) (
)
1 2 −3
3 5
2.
+
0 −4 1
1 −2
(
)
1 2 −3
3. −3
4 −5 6
Exercice 
2. Calculer 
AB et BA avec :
(
2 −1
1


1
0
1. A =
et B =
3
−3 4

(
)
2 −1 0
2. A =
et B = 
1 0 −3
Exercice 3. Soit A =
(
1 2 0
3 −1 4
)
−2 −5
4
0
)

1 −4 0
1
2 −1 3 −1 
4 0 −2 0
(
)
(
)
. Trouver A t A et t A A.
Exercice 4. Calculer l'inverse des matrices suivantes par la méthode du pivot de Gauss.


3 1 −1
1. A =  −1 3 1 
0 2 2


1 −1 2
2. B =  2 1 1 
3 0 −1

1
2
2 −1
 2
1
2
0
3. C = 
 −1 −1 −1 1
3 −1 −2 1





Exercice 5.

−3 2
2
Soit la matrice M =  −2 5 4  .
1 −5 −4
1. Calculer M 2 et M 3 . En déduire que M 3 + 2M 2 − M − 2I3 = O.
2. Montrer que M est inversible et calculer son inverse.
Exercice 6. On donne les matrices






4 0 2
1 0 2
1 0 0
A =  0 4 2 ;J =  0 1 2 ;I =  0 1 0 
0 0 2
0 0 −1
0 0 1
1. Déterminer les réels a et b tels que A = aI + bJ
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JA-JMB-ML
1A 2010-2011
2. Calculer J 2
3. Calculer A2 , A3 et A4 comme combinaison linéaire des matrices I et J .

a 1

Exercice 7. Soient les matrices A = 1 a
1 1
couples de réels (a, b) tels que AB = BA = I3 ?

0 2
 0 0
Exercice 8. Montrer que la matrice A = 
 0 0
0 0
n, un entier naturel non nul, tel que An = O.



1
b 1 1
1  et B =  1 b 1  . Existe-t-il des
a
1 1 b
3
2
0
0

4
3 
 est nilpotente c'est à dire qu'il existe
2 
0
(
)
a −a
Exercice 9. On se propose d'étudier la puissance nième de M = −b b
où a et b sont
deux réels.
)
(
un −un
n
n
.
On suppose que M peut s'écrire sous la forme : M =
−vn vn
1. Exprimer un+1 en fonction de un , a et b ; puis vn+1 en fonction de vn , a et b.
2. En déduire l'expression de M n en fonction de n, a et b.
3. Application numérique : M =
Exercice 10.
(
3 −3
1 −1
)
 10
3
Calculer l'inverse de la matrice A = 
 20
1
12
7
6
7
0
2 
3 
4 
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