Ondes élastiques dans les solides isotropes - Alembert
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Ondes élastiques dans les solides isotropes — Notes de cours Tony VALIER-BRASIER [email protected] Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 Institut Jean Le Rond d’Alembert - UMR CNRS 7190 4, place Jussieu - 75252 Paris cedex 05 France Table des matières 1 Propagation d’ondes élastiques en milieu libre 1 Rappel de mécanique des milieux continus . . . . . . . . 1.1 Déformations et contraintes . . . . . . . . . . . . 1.2 Conditions aux frontières . . . . . . . . . . . . . 2 Découplage de l’équation de propagation . . . . . . . . . 2.1 Décomposition de Helmholtz . . . . . . . . . . . 2.2 Polarisation des ondes de volume . . . . . . . . . 3 Bilan énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Théorème de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Calculs des flux d’énergie en régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 2 Réflexion–transmission aux interfaces 1 Réflexion à une surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Onde incidente longitudinale . . . . . . . . . . . 1.2 Onde incidente transverse verticale . . . . . . . . 2 Réflexion et transmission à une interface solide–fluide . 2.1 Onde longitudinale incidente dans le solide . . . 2.2 Onde transverse verticale incidente dans le solide 2.3 Onde longitudinale incidente dans le fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 14 16 18 19 20 21 3 Propagation d’ondes de surface et d’interface 1 Onde de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Onde de Scholte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Onde de Stoneley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 28 29 4 Propagation d’ondes de plaque 1 Ondes transverses horizontales guidées . . . . . . . . . . . 1.1 Modes TH guidés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Modes de Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ondes de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Vitesses des modes S0 et A0 aux basses fréquences 2.2 Fréquences de coupure des modes supérieurs . . . . 31 31 31 34 35 38 38 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 1 Propagation d’ondes élastiques en milieu libre On s’intéresse dans ce chapitre à la propagation d’ondes élastiques dans un solide homogène, isotrope et infini. Le vecteur u(x, t) représente le champ de déplacement en un point de coordonnées x = (x1 , x2 , x3 ) et à l’instant t. 1 1.1 Rappel de mécanique des milieux continus Déformations et contraintes Un solide est qualifié d’élastique lorsqu’il se déforme sous l’effet d’une sollicitation quelconque et qu’il reprend sa forme initiale à l’arrêt de cette sollicitation. Dans le cadre de l’élasticité linéaire, les déformations induites par des sollicitations mécaniques sont supposées petites. Les composantes du tenseur des déformations sont alors données par la relation 1 εij = 2 ∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi ! . (1.1) Lorsqu’un solide est déformé, des contraintes apparaissent afin de ramener le solide dans son état au repos. Dans l’hypothèse de petites déformations, le tenseur des contraintes est relié au tenseur des déformations par la loi de comportement σij = Cijkl εkl , (1.2) où les termes Cijkl sont les composantes du tenseur d’élasticité (tenseur d’ordre 4). Les tenseurs des déformations et des contraintes étant symétriques, le tenseur d’élasticité vérifie les égalités suivantes Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij . (1.3) Compte tenu de ces égalités et de l’expression des composantes du tenseur des déformation, la loi de comportement (1.2) peut être mise sous la forme 1 σij = Cijkl 2 ∂uk ∂ul + ∂xl ∂xk 1 ∂uk ∂uk Cijkl + Cijlk 2 ∂xl ∂xl = d’où σij = Cijkl ∂uk . ∂xl , (1.4) (1.5) 6 1 Propagation d’ondes élastiques en milieu libre Le tenseur d’élasticité, compte tenu des égalités (1.3), comporte au maximum 21 composantes indépendantes. Dans le cas des solides isotropes, ces composantes sont données par la relation Cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ), (1.6) où λ et µ sont appelés les coefficients de Lamé. Le tenseur des contraintes peut alors être exprimé en fonction du tenseur des déformations par la relation σ = λI Tr ε + 2µε. 1.2 (1.7) Conditions aux frontières Si on considère deux solides séparés par une interface plane notée S de normale n 1 , les conditions aux frontières entre ces deux solides sont la continuité des vecteurs tractions orientés selon la direction n et des déplacements. Ces conditions aux frontières s’écrivent formellement pour deux milieux indicés 1 et 2 : σ (x, t).n = σ (x, t).n, en x ∈ S, 1 2 (1.8) u (x, t) = u (x, t), en x ∈ S. 1 2 Si maintenant on considère un fluide parfait indicé 2 en contact avec un matériau solide indicé 1, les conditions aux frontières sur la surface S de normale n sont désormais la continuité des vecteurs tractions orientés selon la direction n et des composantes normales des déplacements : σ (x, t).n = σ (x, t).n, 1 2 u (x, t).n = u (x, t).n, 1 2 en x ∈ S, en x ∈ S. (1.9) Dans le cas d’un fluide parfait, le tenseur des contraintes est un tenseur diagonal dont les coefficients de la diagonale sont l’opposé de la pression acoustique. En conséquence, la contraintes normales sont continues à l’interface S et les contraintes tangentielles sont nulles car ces dernières sont toujours nulles dans un fluide en l’absence de viscosité. Si la viscosité du fluide est prise en compte, alors les conditions aux frontières à utiliser sont celles d’une interface entre deux solides et non celles entre un solide et un fluide parfait. Enfin, pour terminer il existe deux conditions limites classiques à la surface d’un matériau solide : la surface libre et la surface rigide. La surface libre correspond à une interface séparant un matériau solide et du vide. Les conditions aux frontières sont alors l’annulation du vecteur traction sur la surface libre σ (x, t).n = 0. Ce type de conditions aux frontières est tout de même couramment utilisé pour des interfaces entre un solide et de l’air car l’air est très léger et très compressible devant la plupart des matériaux solides classiques. À l’inverse, une surface rigide correspond comme son nom l’indique à une interface séparant un matériau solide et matériau très rigide. Les conditions aux frontières sont alors l’annulation du vecteur déplacement sur la surface rigide u(x, t) = 0. Ce type de conditions aux frontières reste toutefois assez peu utilisé. 2 Découplage de l’équation de propagation Dans les solides homogènes et isotropes, le déplacement élastique u est solution de l’équation du mouvement ∂2u ρ 2 = div σ + F , (1.10) ∂t où ρ est la masse volumique du solide et où F représente des forces volumiques. 1. L’orientation vers l’un ou l’autre des matériaux est sans importance. 2 Découplage de l’équation de propagation 2.1 7 Décomposition de Helmholtz Sachant que la divergence du tenseur des contraintes a pour expression div σ = (λ + µ) grad( div u) + µ∆u, (1.11) l’équation de propagation (1.10) en l’absence de source (F = 0) peut être mise sous la forme ρ ∂2u = (λ + µ) grad( div u) + µ∆u. ∂t2 (1.12) Le champ de déplacement est recherché en faisant usage de la décomposition de Helmholtz : avec u = uL + uT (1.13) u = grad ϕ, L u = rot ψ. (1.14) T Compte tenu des expressions (1.14), l’équation de propagation peut être mise sous la forme " # " # ∂2ϕ ∂2ψ grad ρ 2 − (λ + 2µ)∆ϕ + rot ρ 2 − µ∆ψ = 0. ∂t ∂t (1.15) L’application d’une part du rotationel et d’autre part de la divergence à cette équation conduit aux deux équations de propagation suivantes ∂2ϕ − c2L ∆ϕ = 0, 2 ∂t ∂2ψ − c2T ∆ψ = 0, (1.16) ∂t2 où les célérités des ondes longitudinale cL et transverse cT sont définies par les relations s cL = λ + 2µ ρ r et cT = µ . ρ (1.17) L’équation de propagation vectorielle à trois inconnues (les trois composantes du champ de déplacement u) a été remplacée par une équation scalaire à une inconnue (le potentiel ϕ) et une équation vectorielle à trois inconnues (les trois composantes du potentiel ψ). Afin de résoudre l’équation (1.12), il peut être nécessaire d’utiliser la condition de jauge : div ψ = 0. 2.2 (1.18) Polarisation des ondes de volume Dans le cas d’une onde plane harmonique de pulsation ω se propageant dans la direction n, le déplacement associé à cette onde est défini par l’expression u(x, t) = AQej(ωt−kn.x) , (1.19) où A est l’amplitude ”de déplacement” de l’onde, où k est le nombre d’onde et où Q est le vecteur polarisation. Ce vecteur est choisi normé et il représente la direction du déplacement des particules au passage de l’onde. Il dépend donc de la nature de l’onde et de sa direction de propagation n. 8 1 Propagation d’ondes élastiques en milieu libre Si on considère une onde plane longitudinale se propageant dans la direction n, le déplacement est du type uL (r, t) = AL QL ej(ωt−kL n.r) . (1.20) Le champ de déplacement d’une onde longitudinale étant irrotationnel, il vient immédiatement ⇐⇒ rot uL = 0 n ∧ QL = 0. (1.21) De la même manière, si on considère une onde plane transverse se propageant dans la direction n, le déplacement est du type uT (r, t) = AT QT ej(ωt−kT n.r) . (1.22) Le champ de déplacement d’une onde transverse étant à divergence nulle, il vient div uT (r, t) = 0 ⇐⇒ n.QT = 0. (1.23) La polarisation de l’onde longitudinale est colinéaire à la direction de propagation, puisque n∧uL = 0, et la polarisation de l’onde transverse est perpendiculaire à la direction de propagation, puisque n.uT = 0. Ainsi, pour une direction de propagation donnée, par exemple n = e1 , il peut exister une onde longitudinale polarisée dans la direction de propagation (QL = e1 ) et deux ondes transverses polarisées perpendiculairement à la direction de propagation (QT1 = e2 et QT2 = e3 ). 3 3.1 Bilan énergétique Théorème de Poynting La puissance instantanée fournie par les sources volumiques F est donnée par la relation dw = Fi u̇i . dt (1.24) Compte tenu de l’équation de propagation (1.10), cette puissance peut être mise sous la forme ou encore dw ∂σij = ρüi u̇i − u̇i dt ∂xj (1.25) dw ∂ u̇i ∂(σij u̇i ) = ρüi u̇i + σij − . dt ∂xj ∂xj (1.26) On remarque immédiatement que le premier terme du membre de droite de cette équation correspond à la dérivée temporelle de la densité d’énergie cinétique 1 ec (r, t) = ρu̇2i 2 (1.27) et que le second correspond à la dérivée temporelle de la densité d’énergie élastique 1 ep (r, t) = σij εij . 2 (1.28) Le troisième et dernier terme est la divergence du vecteur de Poynting P défini par la relation, P = −σ.u. (1.29) Finalement, l’expression locale de la loi de conservation de l’énergie peut être mise sous la forme dw d(ec + ep ) = + div P . dt dt (1.30) 3 Bilan énergétique 3.2 9 Calculs des flux d’énergie en régime harmonique Dans le paragraphe précédent, les quantités utilisées pour effectuer le bilan d’énergie sont des quantités réelles. Toutefois, dans de nombreuses situations et notamment dans le cas d’ondes harmoniques, les champs de déplacement sont recherchés sous forme complexe. La moyenne temporelle du flux total d’énergie sur une surface unitaire de normale n a pour expression 1 hΦi = T Z T P .n dt, (1.31) P = − Re(σ). Re(u̇), (1.32) 0 où le vecteur de Poynting a pour expression d’où l’expression de hΦi : 1 (1.33) hΦi = − (σ.u̇? ).n. 2 En reprenant l’exemple énoncé précédemment d’une onde longitudinale se propageant dans la direction x1 , le champ de déplacement peut être mis sous la forme uL (x1 , t) = (Q1 , 0, 0)t ej(ωt−kL x1 ) (1.34) et ainsi la moyenne temporelle du flux d’énergie a pour expression 1 hΦi = jωσ11 (u?L .e1 ). 2 (1.35) Afin de calculer cette moyenne, il est nécessaire d’exprimer la contrainte σ11 : σ11 = −jkL (λ + 2µ)Q1 ej(ωt−kL x1 ) . (1.36) La moyenne temporelle du flux d’énergie associée à une onde longitudinale a donc pour expression 1 hΦi = ω 2 ZL |Q1 |2 , 2 (1.37) où ZL = ρcL est l’impédance associée à l’onde longitudinale. De la même manière, en considérant la propagation d’une onde transverse dans la direction x1 et polarisée selon x3 , le champ de déplacement peut être mis sous la forme uT (x, t) = (0, 0, Q3 )t ej(ωt−kT x1 ) (1.38) et ainsi la moyenne temporelle du flux d’énergie a pour expression 1 hΦi = jωσ13 .(u? .e3 ), 2 (1.39) σ13 = −jkT µQ3 ej(ωt−kT x1 ) . (1.40) avec La moyenne temporelle du flux d’énergie associée à une onde transverse a donc pour expression 1 hΦi = ω 2 ZT |Q3 |2 , 2 (1.41) où ZT = ρcT est l’impédance associée à l’onde transverse. La moyenne temporelle du flux d’énergie n’est donc pas la même pour une onde plane longitudinale et pour une onde plane transverse. Chapitre 2 Réflexion–transmission aux interfaces Les phénomènes de réflexion et transmission d’ondes aux interfaces est traité dans ce chapitre. Dans la suite, les ondes étudiées sont harmoniques de pulsation ω et par souci de simplification, la dépendance temporelle exp(jωt) est omise des expressions des champs de déplacements développées dans l’ensemble de ce chapitre. 1 Réflexion à une surface libre On souhaite étudier la réflexion d’une onde plane harmonique de pulsation ω à la surface libre d’un demi-espace solide isotrope et homogène situé en x3 ≤ 0. Le solide est caractérisé par la masse volumique ρ et par les coefficients de Lamé λ et µ. Dans un premier temps, la nature de l’onde incidente n’est pas définie. Cette onde se propage dans le plan (x1 , x3 ) avec un angle d’incidence θI et une vitesse cI . Sa direction de propagation est représentée par le vecteur nI = (sin θI , 0, cos θI )t . Le champ de déplacement en un point de coordonnées r = (x1 , x2 , x3 )t représentant l’onde incidente a pour expression uI (r) = QI e−jkI nI .r avec QI = (Q1 , Q2 , Q3 )t Vide x3 x1 θI θT θL Solide (ρ, λ, µ) et où kI = ω/cI . (2.1) Il a été démontré précédemment que trois ondes peuvent exister dans les solides isotropes : une onde longitudinale et deux ondes transverses. L’hypothèse est donc faite que ces trois ondes peuvent être générées lors de l’interaction de l’onde incidente avec la surface x3 = 0. L’onde longitudinale réfléchie se propage dans la direction nL = (sin θL , 0, − cos θL )t et les deux ondes transverses réfléchies se propagent dans la direction nT = (sin θT , 0, − cos θT )t . Ainsi, le champ de déplacement des ondes réfléchies a pour expression uR (x1 , x3 ) = uL + uT1 + uT2 , (2.2) avec u (r) = rIL QL e−jkL nL .r , L u (r) = r Q e−jkT nT .r , T1 IT1 T1 u (r) = r Q e−jkT nT .r , T2 IT2 T2 (2.3) et où rIL , rIT1 et rIT2 sont des coefficients de réflexion en amplitude de déplacement. Le champ de déplacement longitudinal est irrotationnel ( rot uL = 0), ce qui signifie que le vecteur polarisation QL est colinéaire au vecteur nL . De même, les deux champs de déplacement transverses sont à divergence 12 2 Réflexion–transmission aux interfaces nulle ( div uT1 = 0 et div uT2 = 0), imposant ainsi que les vecteurs polarisation QT1 et QT2 sont orthogonaux au vecteur nT . Les vecteurs polarisations ont donc pour expressions sin θL QL = 0 rIL , − cos θL QT1 cos θT = 0 rIT1 , sin θT et 0 QT2 = 1 rIT2 , 0 (2.4) La première onde transverse est appelée dans la suite l’onde transverse verticale et la seconde est appelée l’onde transverse horizontale. Compte tenu des lois de Snell-Descartes, sin θI sin θL sin θT = = , cI cL cT (2.5) le champ de déplacement u = uI + uR dans le demi-espace peut être mis sous la forme u(x1 , x3 ) = f (x1 ) QI e−jkI cos θI x3 + rIL QL ejkL cos θL x3 + rIT1 QT1 ejkT cos θT x3 + rIT2 QT2 ejkT cos θT x3 , (2.6) avec f (x1 ) = e−jkI sin θI x1 = e−jkL sin θL x1 = e−jkT sin θT x1 . (2.7) Afin de déterminer les trois coefficients de réflexion en amplitude, il est nécessaire d’appliquer les conditions aux frontières. Ces conditions sont des conditions de contraintes nulles à la surface x3 = 0 du matériau σ11 σ12 σ13 0 0 σ.e3 = 0 ⇐⇒ (2.8) σ12 σ22 σ23 . 0 = 0 . σ13 σ23 σ33 1 0 L’application des conditions aux frontières correspond alors aux trois équations scalaires suivantes : σ (x , x = 0) = 0, 13 1 3 (2.9) σ (x , x = 0) = 0, 23 1 3 σ (x , x = 0) = 0. 33 1 3 Il est donc nécessaire de calculer les expressions en x3 = 0 des contraintes σ13 , σ23 et σ33 associées à chacune des quatre ondes en présences. Pour cela, compte tenu de la loi de Hooke ∂uk ∂ui ∂uj σij = λ δij + µ + ∂xk ∂xj ∂xi ! , (2.10) les contraintes associées à l’onde incidente ont pour expressions I −jk cos θI x3 , σ13 (x1 , x3 ) = −jµf (x1 )kI (cos θI Q1 + sin θI Q3 ) e I σ I (x , x ) = −jµf (x )k cos θ Q e−jkI cos θI x3 , 1 I I 2 23 1 3 σ I (x , x ) = −jf (x )k [λ sin θ Q + (λ + 2µ) cos θ Q ] e−jkI cos θI x3 , 1 I I 1 I 3 33 1 3 (2.11) et celles associées aux ondes réfléchies longitudinale, transverse verticale et transverse horizontale ont pour expression respectives : σ L (x , x ) = jµf (x1 )kL sin(2θL )rIL ejkL cos θL x3 13 1 3 σ L (x , x ) = 0, 23 1 3 σ L (x , x ) = −jf (x )ωZ cos(2θ )r ejkL cos θL x3 , 1 L T IL 33 1 3 (2.12) 1 Réflexion à une surface libre 13 σ T1 (x , x ) = jµf (x1 )kT cos(2θT )rIT1 ejkT cos θT x3 , 13 1 3 σ T1 (x , x ) = 0, (2.13) 1 3 23 σ T1 (x , x ) = jf (x )ωZ sin(2θ )r ejkT cos θT x3 , 1 3 1 T T IT1 33 et σ T2 (x , x ) = 0, 13 1 3 σ T2 (x , x ) = jµf (x1 )kT cos θT rIT2 ejkT cos θT x3 , (2.14) 1 3 23 σ T2 (x , x ) = 0. 1 3 33 Compte tenu de ces expressions, les composantes du tenseur des contraintes en x3 = 0 ont pour expressions σ = jµf (x1 ) [−kI (cos θI Q1 + sin θI Q3 ) + kL sin(2θL )rIL + kT cos(2θT )rIT1 ] , 13 σ ], = jµf (x ) [−k cos θ Q + k cos θ r 23 1 I I 2 T T IT2 σ = jf (x ) {−k [sin θ λQ + (λ + 2µ) cos θ Q ] − ωZ cos(2θ )r + ωZ sin(2θ )r } , 33 1 1 I I I 3 L T IL T T IT1 (2.15) et l’annulation de ces trois composantes à la surface x3 = 0 conduit directement à un système de trois équations à trois inconnues k sin(2θL )rIL + kT cos(2θT )rIT1 = kI (cos θI Q1 + sin θI Q3 ) , L (2.16) kT cos θT rIT2 = kI cos θI Q2 , −ωZ cos(2θ )r + ωZ sin(2θ )r L T IL T T IT1 = kI [λ sin θI Q1 + (λ + 2µ) cos θI Q3 ] . Il vient immédiatement que la seconde équation de ce système est indépendante des deux autres équations. Les coefficients de réflexion rIL et rIT1 sont indépendants de la composante Q2 du vecteur polarisation de l’onde incidente et le coefficient de réflexion rIT2 est indépendant des composantes Q1 et Q3 . Il s’en suit que si l’onde incidente est une onde longitudinale ou transverse verticale, il n’existe pas d’onde transverse horizontale réfléchie (voir figure 2.1(a) et 2.1(b)) et, de la même manière, si l’onde incidente est une onde transverse horizontale, il n’y a pas d’ondes longitudinale et transverse verticale réfléchies (voir figure 2.1(c)). Dans ce second cas, on déduit de la seconde équation du système (2.16) que le coefficient de réflexion rIT2 est égal à 1. Dans la suite, les cas d’une onde incidente longitudinale et d’une onde incidente transverse verticale sont traités séparément. Vide x3 Vide x3 Vide x3 x1 x1 x1 L L θL θL θT L TV θT θT θL TV TH θT θT TV Solide (ρ, λ, µ) Solide (ρ, λ, µ) Solide (ρ, λ, µ) (a) (b) (c) TH Figure 2.1 – Schéma de la réflexion d’ondes dans le cas d’une onde incidente (a) longitudinale (L), (b) transverse verticale (TV) et (c) transverse horizontale (TH). 14 2 Réflexion–transmission aux interfaces 1.1 Onde incidente longitudinale Dans le cas des solides isotropes, les vitesses des ondes longitudinales et transverses sont les mêmes dans toutes les directions. Il s’en suit que les lenteurs, c’est-à-dire l’inverse des vitesses, sont également les mêmes dans toutes les directions. Les lois de Snell-Descartes peuvent alors être facilement interprétées en observant les surfaces des lenteurs présentées sur la figure 2.2. La lecture de ces surfaces démontre rapidement que l’angle θT est toujours inférieur à l’angle d’incidence θL et donc que les ondes transverses verticales réfléchies sont toujours des ondes planes propagatives. 1/cT 1/cL θL θL θT sin θL sin θT = cL cT Figure 2.2 – Courbes des surfaces de lenteur pour une surface libre et une onde longitudinale incidente. Si l’onde incidente est une onde longitudinale, le vecteur polarisation est colinéaire au vecteur nL . Le vecteur polarisation est donc du type : QI = (sin θL , 0, cos θL )t . La première et la troisième équation du système (2.16) peuvent alors être mises sous la forme matricielle ! κ sin(2θL ) cos(2θT ) rLL . − cos(2θT ) κ sin(2θT ) rLT ! ! = κ sin(2θL ) , cos(2θT ) (2.17) avec cT . cL La résolution de ce système conduit à l’expression des coefficients de réflexion : κ= 1 2 rLL = κ sin(2θT ) sin(2θL ) − cos2 (2θT ) , N 2κ rLT = sin(2θL ) cos(2θT ), (2.18) (2.19) N avec N = κ2 sin(2θL ) sin(2θT ) + cos2 (2θT ). (2.20) Afin de vérifier la loi de conservation de l’énergie, il est nécessaire de calculer les coefficients de réflexion en énergie. Ces derniers sont donnés par les relations hΦL i , RLL = hΦI i hΦT i RLT = , hΦI i (2.21) 1 Réflexion à une surface libre 15 où hΦL i, hΦT i et hΦI i sont les moyennes temporelles des flux d’énergie selon la direction x3 respectivement des ondes longitudinale réfléchie, transverse verticale réfléchie et longitudinale incidente. En régime harmonique, la moyenne temporelle du flux d’énergie au travers d’une surface unitaire de normale n a pour expression 1 hΦi = − (σ.u̇? ).n. 2 (2.22) Le choix du vecteur n est ici conditionné à la direction de propagation des ondes. Dans ce contexte, selon la direction x3 , l’onde incidente ne se propage pas dans le même sens que les ondes réfléchies. Ainsi, dans le cas de l’onde incidente, la normale est n = e3 alors que dans le cas des ondes réfléchies la normale à utiliser est n = −e3 . Les moyennes temporelles des flux d’énergie associées aux trois ondes en présence ont pour expressions i 1h I ? I u̇? , σ u̇ + σ hΦ i = − I 33 I3 2 13 I1 i 1h L ? L σ13 u̇L1 + σ33 u̇?L3 , hΦL i = 2h i hΦ i = 1 σ T u̇? + σ T u̇? . T 2 13 T1 (2.23) 33 T3 Le report des expressions des contraintes (2.11), (2.12) et (2.13) et des déplacements (2.1) et (2.3) dans ces expressions conduit aux expressions 1 hΦI i = ω 2 ZL cos θL , 2 1 hΦ i = ω 2 Z cos θ |r |2 , (2.24) L L LL L 2 1 hΦT i = ω 2 ZT cos θT |rLT |2 . 2 Les coefficients de réflexion en énergie sont alors définis par les relations RLL = |rLL |2 , (2.25) ZT cos θT |rLT |2 . RLT = ZL cos θL Compte tenu des expressions (2.19) des coefficients de réflexion rLL et rLT , la somme des coefficients de réflexion en énergie a pour expression RLL + RLT 1 = 2 N 1 = 2 N 1 = 2 N = 1. 2 ZT cos θT 2 2 2 |2κ sin(2θL ) cos(2θT )| κ sin(2θT ) sin(2θL ) − cos (2θT ) + ZL cos θL h κ sin (2θT ) sin (2θL ) + cos (2θT ) + 2κ2 sin(2θL ) sin(2θT ) cos2 (2θT ) h κ2 sin(2θT ) sin(2θL ) + cos2 (2θT ) 4 2 2 i 4 i2 (2.26) Les évolutions des modules des coefficients de réflexion en amplitude et celles des coefficients de réflexion en énergie sont tracées respectivement sur les figures 2.3(a) et 2.3(b) en fonction de l’angle d’incidence θL . Le coefficient de réflexion RLL est égal à 1 et le coefficient de réflexion RLT est nul, lorsque l’onde incidente se propage en incidence normale (θL = 0◦ ) et en incidence rasante (θL = 90◦ ). Ainsi, pour ces deux valeurs d’angle d’incidence, il n’y a pas de conversion d’onde à la surface du matériau. En revanche, les coefficients rLT et RLT présentent un maximum dans l’intervalle θL ∈ [40, 50]◦ signifiant que la conversion est optimale, mais pas maximale puisque le coefficient de réflexion RLL n’est pas nul. De plus, il est intéressant de noter que le maximum du coefficient rLT 16 2 Réflexion–transmission aux interfaces dépasse 1, mais pas celui du coefficient RLT . Il est donc possible d’avoir des coefficients de réflexion en amplitude qui dépassent 1, tout en respectant la loi de conservation de l’énergie. 1.0 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 RLL RLT 0.4 0.2 0.2 |rLL| 0.0 0 10 20 30 40 |rLT| 50 θL 60 70 80 0.0 0 90 10 (a) 20 30 40 θL 50 60 70 80 90 (b) Figure 2.3 – Évolutions (a) des modules des coefficients de réflexion en amplitude et (b) des coefficients de réflexion en énergie en fonction de l’angle d’incidence θL . 1.2 Onde incidente transverse verticale Les surfaces des lenteurs correspondant à une onde transverse verticale incidente sont présentées sur la figure 2.4. La lecture de ces surfaces démontre rapidement que l’angle θT est toujours inférieur à l’angle d’incidence θL . Néanmoins, lorsque l’angle θL = 90◦ , l’angle d’incidence est égal à un angle c = arcsin(c /c ) traduisant la limite entre le domaine des ondes longitudinales réfléchies critique θL T L c ) et le domaine des ondes longitudinales réfléchies évanescentes (θ ≥ θ c ). propagatives (θT ≤ θL T L 1/cT 1/cT 1/cL 1/cL θL θL θT θT θT θT sin θT sin θL = cT cL sin θL sin θT 6= cT cL (a) (b) Figure 2.4 – Courbes des surfaces de lenteur pour une surface libre et une onde transverse verticale incidente. Si l’onde incidente est une onde transverse verticale, le vecteur polarisation est perpendiculaire au vecteur nT . Le vecteur polarisation est donc du type : QI = (cos θT , 0, − sin θT )t . La première et la troisième équation du système (2.16) peuvent alors être mises sous la forme matricielle ! κ sin(2θL ) cos(2θT ) rT L . − cos(2θT ) κ sin(2θT ) rT T ! ! = cos(2θT ) . −κ sin(2θT ) (2.27) 1 Réflexion à une surface libre 17 La résolution de ce système conduit à l’expression des coefficients de réflexion en amplitude 2κ rT L = sin(2θT ) cos(2θT ) N 1 2 rT T = cos (2θT ) − κ2 sin(2θT ) sin(2θL ) . (2.28) N Les coefficients de réflexion en énergie ont alors pour expressions ZL cos θL hΦL i |rT L |2 , = RT L = hΦI i ZT cos θT hΦT i RT T = = |rT T |2 , (2.29) hΦI i et un rapide calcul de la somme de ces coefficients, RT L + RT T = i 1 h 4 4 2 2 2 2 cos (2θ ) + κ sin (2θ ) sin (2θ ) + 2κ cos (2θ ) sin(2θ ) sin(2θ ) = 1, (2.30) T T L T T L N2 montre que la loi de conservation de l’énergie est bien respectée. Les évolutions des modules des coefficients de réflexion en amplitude et celles des coefficients de réflexion en énergie sont tracées respectivement sur les figures 2.5(a) et 2.5(b) en fonction de l’angle d’incidence θT . Comme attendu, les coefficients rT L et RT L sont nuls pour le cas des incidences normale (θT = 0◦ ) et rasante (θT = 90◦ ), mais il l’est également pour un angle d’incidence θT = 45◦ . Ce résultat classique peut être déduit analytiquement au regard de l’expression (2.28) du coefficient rT L (cos(2θT ) = 0). Ainsi, à l’instar du cas de l’onde incidente longitudinale, il n’y a pas de conversion c, d’onde pour cet angle particulier. De plus, pour les angles d’incidence supérieurs à l’angle critique θL le coefficient de réflexion RT L est nul et le coefficient RT T est égal à 1 signifiant que toute l’énergie portée par l’onde incidente a été transmise à l’onde transverse verticale réfléchie. Ce résultat est assez logique puisque pour ces angles d’incidence, l’onde longitudinale réfléchie est évanescente et donc elle ne propage pas d’énergie. L’évolution des coefficients de réflexion en énergie ne permet donc pas d’observer le comportement des ondes évanescentes et il apparaı̂t donc important d’observer l’évolution du coefficient de réflexion en amplitude rT L pour étudier l’onde longitudinale réfléchie évanescente. En particulier, il apparaı̂t sur la figure 2.5(a) que le coefficient de réflexion rT L est nul lorsque l’angle d’incidence est égal à 45◦ . Cet angle d’incidence est un cas très particulier pour lequel une onde transverse verticale ne se réfléchie qu’en une autre onde transverse verticale : il n’y a donc pas de conversion d’onde. 18 2 Réflexion–transmission aux interfaces 1.6 1.0 RTL RTT |rTL| 1.4 |rTT| 0.8 1.2 1.0 0.6 0.8 0.4 0.6 0.4 0.2 0.2 0.0 0 10 20 30 40 θT 50 60 70 80 0.0 0 90 10 20 30 (a) 40 θT 50 60 70 80 90 (b) Figure 2.5 – Évolutions (a) des modules des coefficients de réflexion en amplitude et (b) des coefficients de réflexion en énergie en fonction de l’angle d’incidence θT . 2 Réflexion et transmission à une interface solide–fluide La réflexion et la transmission d’ondes à l’interface entre un fluide parfait et un solide isotrope sont légèrement plus compliquées que dans le cas d’une surface libre. Tout d’abord, dans un fluide parfait les ondes longitudinales peuvent se propager contrairement aux ondes transverses. Il faut donc prendre en compte dans la modélisation le déplacement acoustique dans le fluide. À l’instar du problème de la réflexion d’ondes à une surface libre, la propagation des ondes longitudinales et transverses verticales est découplée de celle des ondes transverses horizontales. Ces dernières ne seront donc pas prises en compte dans la suite. Le fluide est caractérisé par la masse volumique ρF et la célérité du son adiabatique cF . Le champ de déplacement acoustique associé à une onde longitudinale transmise dans le fluide a pour expression sin θF uF (x1 , x3 ) = 0 tIF e−jkF (sin θF x+cos θF z) . cos θF (2.31) La pression acoustique associée est donnée par la relation pF = jωZF tIF e−jkF (sin θF x1 +cos θF x3 ) , (2.32) où ZF = ρF cF . Les conditions aux frontières sont des conditions de continuité des contraintes normales et tangentielles et de continuité des déplacements normaux à l’interface x3 = 0 : σ13 = 0, σ23 = 0, σ33 = −pF , u.e = u .e . 3 F 3 (2.33) 2 Réflexion et transmission à une interface solide–fluide 2.1 19 Onde longitudinale incidente dans le solide Dans le cas d’une onde longitudinale incidente, les coefficients de réflexion et transmission en amplitude de déplacement ont pour expressions Z + κ2 sin(2θL ) sin(2θT ) − cos2 (2θT ) , rLL = N +Z 2κ sin(2θL ) cos(2θT ) , N +Z 2 cos θL cos(2θT ) , = (N + Z) cos θF rLT = tLF (2.34) avec Z= ZF cos θL . ZL cos θF (2.35) Les coefficients de réflexion et transmission en énergie sont alors donnés par les relations RLL = |rLL |2 , ZT cos(θT ) |rLT |2 , ZL cos(θL ) ZF cos(θF ) = |tLF |2 . ZL cos(θL ) RLT = T LF (2.36) Les évolutions des coefficients de réflexion en énergie RLL et RLT et de transmission en énergie TLF sont tracées en fonction de l’angle d’incidence θL sur la figure 2.6(a) dans le cas d’une interface aluminium–eau et sur la figure 2.6(b) dans le cas d’une interface aluminium–air. Ainsi que pour le cas de la surface libre, le coefficient de réflexion RLT est nul pour des incidences normale et rasante. Néanmoins, le coefficient de transmission n’est pas forcément nul pour le cas de l’incidence normale. Ce résultat est facilement observable analytiquement car pour cet angle d’incidence, les angles des ondes réfléchies et transmise sont également nuls et alors les coefficients RLL et TLF ne dépendent que du rapport des impédances ZF /ZL . Plus ce rapport est faible, plus le coefficient de réflexion en énergie RLL tend vers 1 et plus le coefficient de transmission en énergie TLF tends vers 0. La rupture d’impédance entre le solide et le fluide est donc responsable de la qualité de la transmission d’onde dans le fluide, comme observé sur les figures 2.6(a) et 2.6(b). Comme attendu, la somme des coefficients de réflexion et de transmission en énergie est égale à 1 quel que soit la valeur de l’angle d’incidence, signifiant ainsi que la loi de conservation de l’énergie est bien respectée. 20 2 Réflexion–transmission aux interfaces 1.0 0.8 1.0 RLL RLT RLF 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0 10 20 30 40 θL 50 60 70 80 (a) Interface aluminium–eau 90 0.0 0 RLL RLT RLF 10 20 30 40 θL 50 60 70 80 90 (b) Interface aluminium–air Figure 2.6 – Évolutions des coefficients de réflexion en énergie RLL et RLT et de transmission en énergie TLF en fonction de l’angle d’incidence θL pour (a) une interface aluminium–eau et (b) une interface aluminium–air. 2.2 Onde transverse verticale incidente dans le solide Les surfaces des lenteurs correspondant à une onde transverse verticale incidente sont présentées c = arcsin(c /c ) traduit sur la figure 2.7. Ainsi que pour le cas de la surface libre, l’angle critique θL T L c la limite entre le domaine des ondes longitudinales réfléchies propagatives (θT < θL ) et le domaine des c ). À l’inverse, quel que soit l’angle d’incidence, ondes longitudinales réfléchies évanescentes (θT > θL les ondes transmises dans le fluide sont toujours propagatives, dans le cas très général où la vitesse du son cF est inférieure à la vitesse des ondes transverses cT dans le matériau. θf θf 1/cT 1/cT 1/cL 1/cf 1/cL 1/cf θL θT θT (a) θT θT (b) Figure 2.7 – Courbes des surfaces de lenteur pour une interface solide–fluide et une onde transverse verticale incidente. 2 Réflexion et transmission à une interface solide–fluide 21 Dans le cas d’une onde longitudinale incidente, les coefficients de réflexion et transmission en amplitude de déplacement ont pour expressions 2κ sin(2θT ) cos(2θT ), rT L = Z +N 1 rT T = Z − κ2 sin(2θT ) sin(2θL ) + cos2 (2θT ) , Z +N cos θL 2κ tT F = − . sin(2θT ) Z +N (2.37) cos θF Les évolutions des coefficients de réflexion en énergie RT L et RT T et de transmission en énergie TT F sont tracées sur la figure 2.8(a) dans le cas d’une interface aluminium–eau et sur la figure 2.8(b) dans le cas d’une interface plexiglas–eau en fonction de l’angle d’incidence θT . Ainsi que pour le cas de la surface libre, l’onde longitudinale dans le solide devient évanescente lorsque l’angle d’incidence c = 28, 5◦ pour l’aluminium et θ c = 23, 3◦ pour le plexiglas. Dans le est supérieur à l’angle critique θL L cas de l’interface plexiglas–eau, l’onde longitudinale dans le fluide devient évanescente lorsque l’angle d’incidence est supérieur à l’angle critique θFc = 33◦ . 1.0 1.0 RTL RTT RTF 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0 10 20 30 40 θL 50 60 70 80 90 0.0 0 (a) Interface aluminium–eau RTL RTT RTF 10 20 30 40 θL 50 60 70 80 90 (b) Interface plexiglas–eau Figure 2.8 – Évolutions des coefficients de réflexion en énergie rT L et rT T et de transmission en énergie tT F en fonction de l’angle d’incidence θT pour (a) une interface aluminium–eau et (b) une interface plexiglas–eau. 2.3 Onde longitudinale incidente dans le fluide Les surfaces des lenteurs correspondant à une onde longitudinale incidente dans le fluide sont c = arcsin(c /c ) et présentées sur la figure 2.9. Il existe deux angles critiques pour ce cas : θL F L c , l’onde longitudinale θTc = arcsin(cF /cT ). Lorsque l’angle d’incidence est inférieur à l’angle θL c, transmise dans le solide est propagative et lorsque l’angle d’incidence est supérieur à l’angle θL c elle est évanescente. De même, lorsque l’angle d’incidence est inférieur à l’angle θT , l’onde transverse transmise dans le solide est propagative et lorsque l’angle d’incidence est supérieur à l’angle θTc , elle est évanescente. 22 2 Réflexion–transmission aux interfaces θf θf 1/cL 1/cf 1/cT θL θT Figure 2.9 – Courbes des surfaces de lenteur pour une interface solide–fluide et une onde longitudinale incidente dans le fluide. En suivant le même raisonnement que pour le cas d’une onde incidente dans le solide, il est facile de modéliser la réflexion et la transmission d’une onde incidente dans le fluide. Les coefficients de transmission tF L et tF T respectivement des ondes longitudinale et transverse verticale transmises dans le solide et le coefficient de réflexion rF F de l’onde longitudinale réfléchie dans le fluide ont alors pour expressions 2ZF /ZL t = cos(2θT ), F L Z +N 2κZF /ZL sin(2θL ), t = − F T Z +N N −Z rF F = . Z +N (2.38) Les évolutions des modules et des phases des coefficients de transmission tF L et tF T et de réflexion rF F sont tracées respectivement sur les figures 2.10(a) et 2.10(b) en fonction de l’angle d’incidence θF . c = 13, 6◦ et θ c = 29, 5◦ apparaissent dans ces résultats. Comme attendu, les deux angles critiques θL T c = arcsin(c /c ) = 31, 8◦ , où Un troisième angle caractéristique est aussi présent sur ces résultats : θR F R -1 cR = 2846 m.s est la vitesse de l’onde de Rayleigh. Cette onde est une onde de surface se propageant à la surface libre d’un solide isotrope et est constituée d’une onde longitudinale et d’une onde transverse verticale évanescentes selon la direction x3 . Ainsi, lorsque l’angle d’incidence est proche ou égal à l’angle c , une onde d’interface appelée onde de Rayleigh fuyante est générée. Cette onde a la particularité θR d’être relativement proche de l’onde de Rayleigh. Elle se propage entre un solide isotrope et un fluide parfait avec une vitesse de phase voisine de la vitesse de l’onde de Rayleigh dans le solide et elle est atténuée au cours de sa propagation car elle rayonne une onde longitudinale dans le fluide à un c. angle θR 2 Réflexion et transmission à une interface solide–fluide 1.0 23 4.0 |tFL| 3.5 0.8 |tFT| |rFF| 3.0 2.5 0.6 TFL TFT RFF 0.4 2.0 1.5 1.0 0.2 0.5 0.0 0 10 20 30 40 θF (a) 50 60 70 80 90 0.0 0 10 20 30 40 θF 50 60 70 80 90 (b) Figure 2.10 – Évolutions (a) des modules et (b) des phases des coefficients de réflexion rF F et de transmission tF L et tF T en fonction de l’angle d’incidence θF . Chapitre 3 Propagation d’ondes de surface et d’interface On s’intéresse dans ce chapitre à la propagation d’ondes le long de surfaces ou d’interfaces planes. Dans le repère R(O, x, y, z), le plan de propagation choisi est le plan (x, z). Dans la suite, les ondes étudiées sont guidées par une ou plusieurs interfaces parallèles au plan (x, y) et se propagent dans la direction x. Il s’en suit que les problèmes étudiés dans ce chapitre sont indépendants de la coordonnée y. Les solides considérés sont caractérisés par la masse volumique ρ et par les coefficients de Lamé λ et µ. 1 Onde de Rayleigh On s’intéresse ici à des ondes de surface se propageant à la surface d’un demi-espace solide situé en z ≥ 0. Le solide considéré est homogène, isotrope et à géométrie plane. Il est caractérisé par la masse volumique ρ et les coefficients de Lamé λ et µ. Le champ de déplacement harmonique u est solution de l’équation de propagation ∂2u = (λ + µ) grad( div u) + µ∆u. ∂t2 Le champ de déplacement est recherché en faisant usage de la décomposition de Helmholtz, ρ avec (3.1) u = uL + uT (3.2) u = grad ϕ, L u = rot ψ. (3.3) T Dans le cas des ondes polarisées dans le plan de propagation, la composante uy du champ de déplacement est nulle. il s’en suit que le potentiel scalaire est du type ψ = ψey . Les potentiels scalaires sont solutions des équations de Helmholtz 2 ∂ ϕ ∂2ϕ 1 ∂2ϕ − = 0, 2 + ∂x ∂z 2 c2L ∂t2 ∂2ψ ∂2ψ 1 ∂2ψ − = 0, 2 + 2 2 2 (3.4) s λ + 2µ cL = , ρ r µ . cT = (3.5) ∂x avec ∂z cT ∂t ρ 26 3 Propagation d’ondes de surface et d’interface Les potentiels scalaires sont recherchés sous les formes d’ondes harmoniques, propagatives selon la direction x, ϕ(x, z, t) = f (z)ej(ωt−kx) , (3.6) ψ(x, z, t) = g(z)ej(ωt−kx) , imposant ∂ 2 f (z) + kL2 z f (z) = 0, 2 ∂z ∂ 2 g(z) + kT2 g(z) = 0, ∂z 2 2 2 = ω − k2 , k Lz c2 L avec ω2 2 2 kTz = 2 − k . c z (3.7) T Les fonctions f et g sont solutions d’équations de Helmholtz à une dimension (z) et ont donc pour expressions f (z) = A e−jkLz z + A ejkLz z , 1 2 (3.8) g(z) = B e−jkTz z + B ejkTz z . 1 2 On recherche des solutions qui se propagent parallèlement à la surface, c’est-à-dire des solutions correspondant à des ondes évanescentes selon la direction z. Les nombres d’onde kLz et kTz doivent donc être des imaginaires purs, ce qui impliquer de poser : s s 2 ω2 ω 2 2 αL = k − c2 = j c2 − k = jkLz , L L s s ω2 ω2 2 2 = j k − α = T 2 2 − k = jkTz . cT (3.9) cT et ainsi les fonctions f et g peuvent être mises sous les formes f (z) = Ae−αL z + BeαL z , g(z) = Be−αT z + DeαT z . (3.10) Les solutions associées aux amplitudes B et D ne sont physiquement pas admissibles car elles divergent en z → +∞. Les amplitudes B et D sont donc obligatoirement nulles et ainsi les potentiels ϕ et ψ ont pour expressions ϕ(x, z, t) = Ae−αL z ej(ωt−kx) , (3.11) ψ(x, z, t) = Ce−αT z ej(ωt−kx) , Compte tenu de la décomposition de Helmholtz (3.3), le champ de déplacement de l’onde de Rayleigh a pour expression jk αT u(x, z) = − 0 Ae−αL z + 0 Ce−αT z e−jkx . (3.12) αL −jk Les conditions aux frontières associées à cette interface solide-vide sont des conditions de contraintes libres en z = 0 : σ (x, z = 0, t) = 0, xz −→ σ (x, z = 0, t).ez = 0 σ (x, z = 0, t) = 0, yz σ (x, z = 0, t) = 0. zz (3.13) Le tenseur des déformations a pour expression εxx 0 εxz ε= 0 0 0 εxz 0 εzz (3.14) 1 Onde de Rayleigh 27 avec 2 −α z ∂ux L + jα kCe−αT z e−jkx = − k Ae ε (x, z) = xx T ∂x 1 1 ∂ux ∂uz = + 2jαL kAe−αL z − (αT2 + k 2 )Ce−αT z e−jkx , εxz (x, z) = 2 ∂z ∂x 2 2 ∂uz −αL z −αT z −jkx εzz (x, z) = ∂z = αL Ae + jαT kCe e (3.15) . Compte tenu de la loi de Hooke σ = λI Tr ε + 2µε, (3.16) les contraintes σxz , σyz et σzz apparaissant dans les conditions aux frontières sont exprimés par les relations −αL z − (α2 + k 2 )Ce−αT z e−jkx , σ (x, z) = µ 2jα kAe xz L T σ (x, z) = 0, yz σ (x, z) = µ (α2 + k 2 )Ae−αL z + 2jα kCe−αT z e−jkx zz T T (3.17) Compte tenu de ces expressions les conditions aux frontières conduisent aux équations 2jα kA − (α2 + k 2 )C = 0, L T (α2 + k 2 )A + 2jα kC = 0. T T (3.18) L’annulation de ces deux composantes conduit au système matriciel ! 2jαL k −(αT2 + k 2 ) A . 2 2 (αT + k ) 2jαT k C ! ! = 0 . 0 (3.19) L’équation de dispersion de l’onde de Rayleigh correspond alors à l’annulation du déterminant de cette matrice, (αT2 + k 2 )2 − 4αL αT k 2 = 0 (3.20) qui, compte tenu des relations (3.9), peut être mise sous la forme 2− c2 c2T !2 v ! ! u u c2 c2 t −4 1− 2 1 − 2 = 0. cL cT (3.21) La résolution de cette équation de dispersion conduit à la détermination de la vitesse de phase cR des ondes de Rayleigh se propageant à la surface d’un demi-espace solide homogène isotrope. Il est intéressant de noter que cette vitesse dépend uniquement de la célérité des ondes longitudinale et transverse et donc elle ne dépend pas de la fréquence : l’onde de Rayleigh est une onde non dispersive. Cette équation de dispersion est une équation cubique, dont une racine est réelle et deux sont complexes. La racine réelle correspond à la vitesse de l’onde de Rayleigh, tandis que les racines complexes n’ont pas de sens physique [1]. Une approximation simple de cette équation est donnée par la relation [2], cR = cT s 1, 44λ + 0, 88µ . 1, 58λ + 1, 16µ (3.22) Compte tenu des expressions (3.18) et (3.20), les amplitudes UL et UT sont linéairement reliées par l’expression r αL C = −j A, (3.23) αT 28 3 Propagation d’ondes de surface et d’interface et alors le déplacement (3.12) peut être mis sous la forme −k αT r αL −αT z −jkx e . u(x, z) = 0 e−αL z + 0 Ae αT jαL −jk (3.24) La partie réelle des composantes du déplacement de l’onde de Rayleigh a donc pour expression r αL −αT z −α z L e cos(kx) + αT Re[ux (x, z)] = −ke r αT αL −αT z e sin(kx). Re[uz (x, z)] = −αL e−αL z + k (3.25) αT La polarisation de l’onde de Rayleigh décrit donc des elipses dont les rayons dimininuent avec la profondeur. 2 Onde de Scholte Le demi-espace solide est maintenant chargé par un demi-espace de fluide parfait caractérisé par la masse volumique ρ0 et la vitesse du son adiabatique c0 . Le champ de déplacement dans le solide est donné par l’expression (3.12). Le champ de pression acoustique pf dans le fluide est de la forme pf (x, z) = p̂eb0 z ej(ωt−kx) avec b0 = q k 2 − k02 (3.26) (3.27) et avec k0 = ω/c0 . Le champ de déplacement dans le fluide peut être mis sous la forme −jk p̂ b z j(ωt−kx) . uf = 0 e 0 e ρ0 ω 2 b0 (3.28) Dans le cas présent d’une interface solide–fluide parfait, les conditions aux frontières sont des conditions de continuité des contraintes normales et tangentielles et des déplacements normaux à l’interface. L’application des conditions aux frontières conduit directement à l’équation de dispersion des ondes de Scholte v !2 ! ! u 2 2 2 u c c c ρ0 αL c4 = 0. (3.29) 2− 2 − 4t 1 − 2 1− 2 + cT cL cT ρb0 c4T Dans le cas d’un demi-espace solide chargé par un demi-espace de fluide parfait deux ondes peuvent exister : une onde de Scholte et une onde de Rayleigh fuyante. L’onde de Scholte correspond à une racine réelle. Deux situations sont à distinguer concernant cette racine. Si la vitesse des ondes longitudinales dans le fluide est inférieure à la vitesse des ondes transverses dans le solide (c0 < cT < cL ), alors la vitesse de l’onde de Scholte est légèrement inférieure à la vitesse de l’onde longitudinale dans le fluide. Si la vitesse des ondes longitudinales dans le fluide est supérieure à la vitesse des ondes transverses dans le solide (cT < c0 < cL ), alors la vitesse de l’onde de Scholte est légèrement inférieure à la vitesse de l’onde transverse dans le solide [3]. La racine associée à l’onde de Rayleigh fuyante est une racine complexe, signifiant que cette onde est atténuée au cours de sa propagation. La partie réelle de cette racine est légèrement supérieure à la vitesse de l’onde de Rayleigh se propageant à la surface du matériau en l’absence du fluide. La partie imaginaire traduit l’atténuation de l’onde de Rayleigh fuyante par rayonnement d’une onde 3 Onde de Stoneley 29 longitudinale dans le fluide à l’angle θR . Cette angle a été introduit au chapitre 1, lors de l’étude de la réflexion et la transmission à une interface solide–fluide. Si l’onde de Rayleigh fuyante peut facilement être générée par des transducteurs à immersion illuminant un demi-espace à l’angle θR , l’onde de Scholte est beaucoup plus complexe à générer. En effet cette dernière ayant généralement une vitesse inférieure à la célérité du son dans le liquide, il n’existe pas d’angle d’incidence permettant la génération de l’onde de Scholte. 3 Onde de Stoneley Le demi-espace solide est maintenant chargé par un autre demi-espace solide caractérisé par la masse volumique ρs et les coefficients de Lamé λs et µs . À partir de ces trois paramètres, les vitesses p p des ondes longitudinale csL = (λs + 2µs )/ρs et transverse csL = µs /ρs dans ce solide sont définies. Le déplacement associé à cette onde interface dans le demi-espace z ≥ 0 est donné par l’expression (3.12) et celui dans le demi-espace z ≤ 0 est donné par l’expression βT −jk us (x, z) = 0 BeβL z − 0 DeβT z ej(ωt−kx) . jk βL avec (3.30) s ω2 2 βL = k − (cs )2 , L s 2 ω 2− k β = T s 2. (3.31) (cT ) Si le contact est considéré parfait entre les deux demi-espaces, les conditions aux frontières sont la continuité des contraintes normales et tangentielles et la continuité des déplacements normaux et tangentiels à l’interface : s (x, z = 0), σ (x, z = 0) = σzz zz σ (x, z = 0) = σ s (x, z = 0), xz xz s ux (x, z = 0) = ux (x, z = 0), u (x, z = 0) = us (x, z = 0), z (3.32) z s et σ s sont évidemment des composantes du tenseur des contraintes dans le demi-espace situé où σzz xz en z ≤ 0. En tenant compte des expressions des contraintes et des déplacements dans chaque milieu, ces quatre équations conduisent au système matricielle (α2 + k 2 )µ 2jαT kµ −(βT2 + k 2 )µs 2jkβT µs A 0 T 2 2 2 2 2jαL kµ −(αT + k )µ 2jkβL µs (βT + k )µs . C = 0 . −jk αT jk βT B 0 αL jk βL −jk D 0 (3.33) Comme pour le cas de l’onde de Rayleigh et de l’onde de Scholte, l’équation de dispersion de l’onde de Stoneley correspond à l’annulation du déterminant de cette matrice. Chapitre 4 Propagation d’ondes de plaque On s’intéresse dans ce chapitre à la propagation d’ondes dans des plaques délimitées par des surfaces planes. Dans le repère R(O, x, y, z), le plan de propagation choisi est le plan (x, z). Dans la suite, les ondes étudiées sont guidées par une ou plusieurs interfaces parallèles au plan (x, y) et se propagent dans la direction x. Il s’en suit que les problèmes étudiés dans ce chapitre sont indépendants de la coordonnée y. Les solides considérés sont caractérisés par la masse volumique ρ et par les coefficients de Lamé λ et µ. 1 1.1 Ondes transverses horizontales guidées Modes TH guidés On s’intéresse dans cette partie à la propagation des ondes transverses horizontales dans une plaque. Le plan de propagation étant le plan (x, z), le champ de déplacement d’ondes polarisées hors plan de propagation est obligatoirement de la forme u = uy ey . La composante uy est solution de l’équation de Helmholtz ∂ 2 uy ∂ 2 uy + + kT2 uy = 0, (4.1) ∂x2 ∂z 2 avec kT = ω/cT et où la célérité des ondes transverses est donnée par la relation r cT = µ . ρ (4.2) Le champ de déplacement est recherché sous la forme de la superposition de deux ondes planes qui peut être mis sous la forme, compte tenu de la loi de Snell-Descartes, uy (x, z, t) = Aej(ωt−kT sin θT x−kT cos θT z) + Bej(ωt−kT sin θT x+kT cos θT z) , (4.3) où θT est l’angle d’incidence des ondes. En posant, k = k sin θ , x T T k = k cos θ , z T T (4.4) le déplacement uy peut être mis sous la forme uy (x, z, t) = Ae−jkz z + Bejkz z ej(ωt−kx x) (4.5) et les nombres d’onde vérifient la relation kT2 = kx2 + kz2 . (4.6) 32 4 Propagation d’ondes de plaque On s’intéresse ici à la propagation d’ondes guidées dans une plaque solide isotrope et homogène placée dans le vide et délimitée par les surfaces z = 0 et z = h. Le déplacement uy dans la plaque est recherché sous la forme de l’expression (4.5). La plaque étant placée dans le vide, les conditions aux frontières sont des conditions de contraintes nulles en z = 0 et en z = h : σ = 0, xz ⇐⇒ σ .ez = 0 σ = 0, yz σ = 0. zz (4.7) Le tenseur des contraintes est exprimé en fonction du tenseur des déformations par la loi de Hooke σ = λI Tr ε + 2µε . (4.8) Compte tenu de l’expression du déplacement u = uy ey , le tenseur des déformations a pour expression ∂uy 0 ∂x ∂uy (4.9) 0 ∂z ∂uy 0 ∂z et ainsi seules les composantes σxy et σyz du tenseur des contraintes sont non nulles. Sur les trois équations du système (4.7), deux sont donc automatiquement vérifiées, c’est-à-dire σxz = 0 et σzz = 0, puisque ces composantes sont toujours nulles. L’équation restante, c’est-à-dire σyz = 0, est donc la seule équation à résoudre afin de déterminer les amplitudes des ondes dans la plaque. La contrainte σyz ayant pour expression 0 1 ∂u ε= y 2 ∂x 0 σyz (x, z, t) = µ h i ∂uy = jµkz −Ae−jkz z + Bejkz z ej(ωt−kx x) , ∂z (4.10) les conditions aux frontières aux interfaces z = 0 et z = h peuvent être mises sous la forme −A + B = 0, −Ae−jkz h + Bejkz h = 0. (4.11) De ces deux équations, on déduit immédiatement que les amplitudes A et B sont égales 1 et l’équation suivante sin(kz h) = 0. (4.12) Les solutions de cette équation ont pour expression km = mπ , h avec m ∈ N. (4.13) Le champ de déplacement dans la plaque est donc une somme infinie de solution uy (x, z, t) = X m mπ Am cos z ej(ωt−kx x) h (4.14) où kxm est donné par l’équation de dispersion s kxm = kT2 − mπ h 2 . (4.15) 1. Il a été montré au chapitre 2 que le coefficient de réflexion d’une onde TH est égal à 1 pour une surface libre, donc ce résultat est cohérent. 1 Ondes transverses horizontales guidées 33 La vitesse de phase du mode m a pour expression ω ω =s cϕm = kxm mπ 2 2 kT − h (4.16) et sa vitesse de groupe a pour expression s cgm = ∂ω ∂kT = cT = cT ∂kxm ∂kxm ∂ kx2m + mπ h 2 = cT ∂kxm kxm c2 = T . kT cϕm (4.17) 5.5 3.5 5 3 2.5 4.5 cgm (km.s−1) cϕm (km.s−1) Les évolution des vitesses de phase et des vitesses de groupe des premiers modes TH guidés sont tracées en fonction de la fréquence respectivement sur les figures 4.1(a) et 4.1(b). Lorsque la fréquence est égale à la fréquence de coupure d’un mode, la vitesse de phase du mode tend vers l’infini et la vitesse du groupe tend vers 0. 4 3.5 1.5 1 3 2.5 2 0.5 0 0.2 0.4 0.6 f (MHz) 0.8 1 0 0 0.2 (a) 0.4 0.6 f (MHz) 0.8 1 (b) Figure 4.1 – (a) Vitesses de phase et (b) vitesses de groupe des premiers modes TH guidés. Le déplacement peut être mis sous la forme du développement modal uy (x, z, t) = X Bm ψm (z)ej(ωt−kxm x) , (4.18) m où les fonctions propres ψm (z) sont définies par la relation s ψm (z) = 2 − δm0 mπ cos z . h h (4.19) Ces fonctions propres sont orthogonales et normées, c’est-à-dire qu’elles vérifient la relation Z h ψm (z)ψn (z) dz = δmn . (4.20) 0 Les moyennes temporelles de l’énergie cinétique et de l’énergie de déformation ayant pour expressions respectives Z h ∞ 1 1 2X ? ρ u̇ u̇ dz = ρω |Bm |2 , K = 4 0 4 m=0 (4.21) Z h ∞ ? ? 1 ∂u ∂u ∂u ∂u 1 X 2 2 + dz = µ k |Bm | , U = 4 µ ∂x ∂x ∂z ∂z 4 m=0 xm 0 34 4 Propagation d’ondes de plaque La moyenne temporelle de l’énergie totale peut être mise sous la forme E =K +U = ∞ X Em , (4.22) m=0 avec 1 Em = ρω 2 |Bm |2 . 2 (4.23) La moyenne temporelle du flux d’énergie a pour expression 1 Φ= T Z TZ h Px dz dt, (4.24) Px = − Re(σxy ). Re(u). (4.25) 0 0 avec Compte tenu de l’expression de la contrainte σxy , la moyenne temporelle du flux d’énergie peut être mise sous la forme Z h ∞ X 1 ∂u ? Φ=− µ Φm (4.26) u̇ dz = 2 0 ∂x m=0 avec 1 Φm = µωkxm |Bm |2 . 2 (4.27) Dans le cas où il n’existe qu’un seul mode n, le rapport de la moyenne temporelle du flux d’énergie sur la moyenne temporelle de l’énergie conduit à l’expression de la vitesse de l’énergie : ce = Φn µkxn c2 Φ = = = T = cgn . E En ρω cϕn (4.28) La vitesse de l’énergie est donc égale à la vitesse de groupe du mode n. 1.2 Modes de Love Dans le cas d’une plaque d’épaisseur h déposée sur un substrat, si la vitesse cT des ondes transverses dans le matériau constituant la plaque est inférieure à la vitesse csT des ondes transverses dans le substrat, des ”modes de Love” peuvent exister. Les nombres d’ondes selon la direction x de ces modes sont donnés par l’expression v u c2 u u1 − s 2 u (cT ) arctg µs u + nπ , µ u c2 t kn = s h 1 c2 −1 c2T c2T avec n ∈ N, (4.29) −1 où µ et µs sont respectivement les modules de cisaillement de la plaque et du substrat. L’évolution de la vitesse de phase des premiers modes de Love est tracée en fonction de la fréquence sur la figure 4.2. Lorsque la fréquence est égale à la fréquence de coupure d’un mode, la vitesse de phase du mode tend vers la vitesse des ondes transverses dans le substrat csT . À l’inverse, aux hautes fréquences, la vitesse de phase de chaque mode tend vers la vitesse des ondes transverses dans la plaque cT . 2 Ondes de Lamb 35 3.35 csT 3.3 3.25 cm (km/s) 3.2 3.15 3.1 3.05 3 2.95 2.9 cT 0 0.5 1 1.5 f (MHz) 2 2.5 3 Figure 4.2 – Vitesse de phase des premiers modes de Love en fonction de la fréquence. 2 Ondes de Lamb On s’intéresse maintenant à la propagation d’ondes guidées polarisées dans le plan de propagation dans une plaque délimitée par deux surfaces planes. Le champ de déplacement est recherché sous la forme jk cos(kLz z) −jk sin(kLz z) C S u(x, z) = 0 0 UL + UL kLz sin(kLz z) kLz cos(kLz z) −kTz sin(kTz z) kTz cos(kTz z) S j(ωt−kx) C , + 0 0 UT e UT + jk cos(kTz z) jk sin(kTz z) avec k 2 = k 2 − k 2 , Lz L k 2 = k 2 − k 2 , Tz (4.30) (4.31) T et où les coefficients ULC , ULS , UTC et UTS sont des amplitudes à déterminer. Il est important de noter que chacune des quatre composantes associées à ces amplitudes répondent aux conditions de champ irrotationnel (pour les deux premières) et de champ à divergence nulle (pour les deux dernières). Les conditions aux frontières ne faisant intervenir que les déplacements et les contraintes , il est suffisant de calculer que les expressions de ces composantes 2 : h C + cos(k z)U S σ (x, z) = −µ 2jkk sin(k z)U xz L L L z z z L L i + kT2 z − k 2 sin(kTz z)UTC + cos(kTz z)UTS e−jkx , h 2 − k2 C − sin(k z)U S σ (x, z) = µ k cos(k z)U zz L L z z Tz L L i C cos(k z)U − sin(k z)U S e−jkx . +2jkk Tz Tz T Tz T 2 2. Pour ces calculs, il faut avoir remarqué la relation (λ + 2µ)kL + λk2 = µ kT2 z − k2 . z (4.32) 36 4 Propagation d’ondes de plaque Dans le cas, d’une plaque placée dans le vide et délimitée par deux surfaces positionnées en z = −h/2 et z = h/2, les conditions aux frontières sont simplement des conditions de contraintes nulles sur ces deux surfaces : σxz (z = ±h/2) = 0 et σzz (z = ±h/2) = 0. Compte tenu des expressions de ces deux composantes, il vient immédiatement h i C + cos(k h/2)U S 2jkk sin(k h/2)U Lz Lz Lz L L h i 2 2 C + cos(k h/2)U S = 0 + k − k sin(k h/2)U T T z z Tz T T h i C S 2jkkLz − sin(kLz h/2)UL + cos(kLz h/2)UL h i + kT2 z − k 2 − sin(kTz h/2)UTC + cos(kTz h/2)UTS = 0 h i 2 − k2 C − sin(k h/2)U S k cos(k h/2)U L L Tz z z L L h i C − sin(k h/2)U S = 0, cos(k h/2)U +2jkk T T T z z z T T h i kT2 z − k 2 cos(kLz h/2)ULC + sin(kLz h/2)ULS h i C S (4.33) +2jkkTz cos(kTz h/2)UT + sin(kTz h/2)UT = 0. Ce système de quatre équations à quatre inconnues peut être découplé en deux systèmes de deux équations à deux inconnues. Le premier système est mis sous la forme matricielle : (kT2 z − k 2 ) sin(kTz h/2) cos(kLz h/2) 2jkkTz cos(kTz h/2) ! Lz h/2) 2jkkLz sin(k kT2 z − k 2 ULC UTC ! ! = 0 . 0 (4.34) L’annulation du déterminant de la matrice de ce système représente l’équation de dispersion des ondes de Lamb symétriques 4k 2 kTz kLz tan(kTz h/2) (4.35) = − 2 . tan(kLz h/2) k2 − k2 Tz De la même manière, le second système est mis sous la forme matricielle 2jkkLz cos(kLz h/2) kT2 z − k 2 sin(kLz h/2) kT2 z − k 2 cos(kTz h/2) S UL UTS 2jkkTz sin(kTz h/2) ! = 0 0 ! (4.36) et l’équation de dispersion des ondes de Lamb antisymétriques a pour expression kT2 z − k 2 2 tan(kTz h/2) =− . tan(kLz h/2) 4k 2 kLz kTz (4.37) La résolution des équations de dispersion (4.35) et (4.37) permet d’obtenir les couples (ω, k) pour lesquels les ondes de Lamb symétriques Sn et antisymétriques An peuvent se propager. Les courbes de dispersion des premiers modes de Lamb d’une plaque d’aluminium d’épaisseur h = 5 mm sont tracées sur la figure 4.3. Les courbes en traits pleins rouges représentent les modes de Lamb symétriques et celles en tirets bleus représentent les modes de Lamb antisymétriques. Il est intéressant de noter que les courbes de dispersion d’une même famille de modes ne se coupent pas. De plus, ces courbes sont la plupart du temps croissantes, c’est à dire que le produit f h augmente lorsque le produit kh augmente, signifiant que la vitesse de groupe définie par cg = ∂ω/∂k est positive. Cela n’est pas toujours vrai pour le mode S1 , puisque pour un produit kh inférieur à 2, la courbe décroit puis se stabilise sur un bref intervalle. Dans ce cas, la vitesse de groupe est négative, puis nulle. Une vitesse de groupe négative est opposée à la vitesse de phase, signifiant que l’énergie acoustique se propage en sens inverse de celui du vecteur d’onde. Une vitesse de groupe nulle correspond à un mode 2 Ondes de Lamb 37 local, c’est à dire une vibration qui ne se propage pas. Il apparaı̂t également sur cette figure que les deux premiers modes de Lamb, c’est-à-dire les modes S0 et A0 , ne présentent pas de fréquence de coupure, contrairement aux modes supérieurs. 10 S4 A3 S3 f h (MHz.mm) 8 A2 S1 6 S2 4 A1 0 A0 S0 2 0 2 4 6 8 10 kx h Figure 4.3 – Courbes de dispersion des premiers modes de Lamb. L’évolution de la vitesse de phase des premiers modes de Lamb est tracée sur la figure 4.4 en fonction du produit f h. À l’instar des modes TH guidés, la vitesse de phase de chaque mode symétrique ou antisymétrique pour n ≥ 1 tend vers l’infini lorsque la fréquence est égale à la fréquence de coupure du mode. En revanche, il est intéressant de noter que lorsque la fréquence tend vers 0, la vitesse de phase du mode A0 tend vers 0 et celle du mode S0 tend vers une valeur finie non nulle. De plus, la vitesse de phase du mode S1 est finie pour les fréquences où sa vitesse de groupe est nulle. Ce mode à ces fréquences particulières est appelé un mode ZGV (Zero Group Velocity). 10 A3 S3 cϕ (mm/µs) 8 S1 6 S0 A2 S2 A1 4 A0 2 0 0 2 4 6 f.h (MHz.mm) 8 10 Figure 4.4 – Évolutions des vitesses de phase des premiers modes de Lamb en fonction du produit f h. 38 2.1 4 Propagation d’ondes de plaque Vitesses des modes S0 et A0 aux basses fréquences Dans le domaine des basses fréquences, des solutions approchées des équations de dispersion (4.35) et (4.37) pour les deux premiers modes peuvent être obtenues en effectuant quelques approximations. Ainsi, en considérant que le nombre d’onde k et la pulsation ω tendent vers 0, un développement limité au premier ordre des fonctions tangentes peut être utilisé afin de mettre l’équation de dispersion (4.35) sous la forme approchée kT2 z − k 2 2 = −4k 2 kL2 z . (4.38) Compte tenu des équations (4.31), la solution de cette équation correspond à la vitesse de barre s c = 2cT c2 1 − T2 = 2cT cL s λ+µ = cb . λ + 2µ (4.39) En utilisant un développement limité au troisième ordre des fonctions tangentes, l’équation de dispersion (4.37) peut être mise sous la forme 2 1 (kTz h/2) 1 + (kTz h/2)2 kT2 z − k 2 3 =− 1 4k 2 kLz kTz (kLz h/2) 1 + (kLz h/2)2 3 ou encore 4+ h2 3 (kT2 z − kL2 z ) = − kT2 z − k 2 (4.40) 2 k 2 kT2 z (4.41) Compte tenu des équations (4.31) et puisque k 2 ≈ −kT2 z , cette équation de dispersion peut être réécrite cb (4.42) ω = √ k 2 h. 2 3 La vitesse de phase du mode A0 solution de cette dernière équation a donc pour expression aux basses fréquences s c √b ωh = cp . (4.43) c= 2 3 La vitesse de phase du mode A0 tend donc vers la vitesse de phase cp des ondes de flexion dans les plaques minces. 2.2 Fréquences de coupure des modes supérieurs À l’instar des modes TH guidés, les modes de Lamb peuvent présenter ou non des fréquences de coupure qui traduisent le passage d’un mode évanescent à un mode propagatif. Les deux premiers modes de Lamb, c’est-à-dire les modes S0 et A0 , n’ont pas de fréquence de coupure, c’est à dire que ces modes sont toujours propagatifs. En revanche, les modes supérieurs, c’est-à-dire les modes Sn et An avec n ≥ 1, ont des fréquences de coupure qui peuvent être facilement déterminées dans le cas des plaques isotropes. À chaque fréquence de coupure, le nombre d’onde k tend vers 0, signifiant que les nombres d’ondes kLz et kTz tendent respectivement vers kL et kT . Afin de déterminer les fréquences de coupure des modes symétriques, il est nécessaire de mettre l’équation de dispersion (4.35) sous la forme kT2 z − k 2 2 cos(kLz h/2) sin(kTz h/2) = −4k 2 kTz kLz sin(kLz h/2) cos(kTz h/2) (4.44) ou encore puisque k = 0 : kT4 z cos(kL h/2) sin(kT h/2) = 0. (4.45) 2 Ondes de Lamb 39 Les solutions de cette équation ont pour expressions π kL h/2 = (2m + 1) 2 kT h/2 = (n + 1)π 1 cL =⇒ = m+ avec m ∈ N, 2 h c T =⇒ fnT = (n + 1) avec n ∈ N. h L fm (4.46) De la même manière, l’équation de dispersion (4.37) peut être mise sous la forme 4k 2 kLz kTz sin(kTz h/2) cos(kLz h/2) = − kT2 z − k 2 2 sin(kLz h/2) cos(kTz h/2). (4.47) ou encore kT 4 sin(kL h/2) cos(kT h/2) = 0. (4.48) Les solutions de cette équation ont pour expressions kL h/2 = (n + 1)π cL fnL = (n + 1) avec n ∈ N, h T = m + 1 cT =⇒ fm avec m ∈ N. 2 h =⇒ π kT h/2 = (2m + 1) 2 (4.49) Références [1] W. M. Ewing, Elastic Waves in Layered Media, McGraw Hill Text, 1957. [2] D. Royer et D. Clorennec, An improved approximation for the rayleigh wave equation, Ultrasonics, 46(9), 23–24, 2007. [3] C. Glorieux, K. V. de Rostyne, K. Nelson, W. Gao, W. Lauriks et J. Thoen, On the character of acoustic waves at the interface between hard and soft solids and liquids, J. Acoust. Soc. Am., 110(3), 1299, 2001. Bibliographie J. Achenbach, Wave Propagation in Elastic Solids, North Holland, 1987. K. Aki et P. G. Richards, Quantitative Seismology, University Science Books,U.S., 1997. B. A. Auld, Acoustic fields and waves in solids, tome 1, R. E. Krierger Publishing Compagny, Malabar, Florida, 1990. B. Kennett, Seismic Wave Propagation in Stratified Media, Cambridge University Press, 1983. D. Royer et E. Dieulesaint, Ondes élastiques dans les solides : Propagation libre et guidée, tome 1, Masson, 1997. J. L. Rose, Ultrasonic Waves in Solid Media, Cambridge University Press, 2004. 41