La demande d`assurance - Espace d`authentification univ

La demande d’assurance
Sommaire
7.1 Introduction
N
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pr
ov
i
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Élaboration d’un contrat d’assurance élémentaire . .
7.2.1 Quelques relations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 La demande d’assurance . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Contrat d’assurance optimal . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 L’auto-assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 L’auto-protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
so
ire
Chapitre 7
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1
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3
. . . 4
. . . 7
. . 12
. . 15
. . 19
OUS SAVONS QUE LES PERSPECTIVES RISQUÉES ont un indice d’utilité égal à leur espérance d’utilité. Considé-
io
n
rons un individu ayant une aversion pour le risque. Il est confronté à une infinité de perspectives risquées
définies de la façon suivante :
– il existe deux états du monde s 1 et s 2 ;
– les probabilités sont (1 − p) et p ;
– les gains (revenus, richesses ...) sont des grandeurs monétaires w 1 et w 2 variant de zéro à l’infini.
Si la fonction d’utilité du revenu certain de l’individu est u, l’utilité d’une perspective risquée quelconque s’écrit
¡
¢
U w 1 , w 2 ; (1 − p), p = (1 − p) u(w 1 ) + p u(w 2 ),
∀(w 1 w 2 ) ∈ R2+ , p ∈ [0 1].
ve
rs
Si on admet que p est fixé, alors cette fonction ne dépend que du couple (w 1 , w 2 ) et peut se représenter sous
forme de courbes d’indifférence. On montre facilement 1 que les courbes d’indifférence d’un individu présentant
une aversion pour le risque (u 0 > 0 et u 00 < 0) sont convexes.
La première bissectrice s’appelle la ligne de certitude. Elle décrit toutes les perspectives risquées qui ont la
particularité d’être certaines (sur la première bissectrice, on a en effet w 1 = w 2 ). Le taux marginal de substitution
entre richesse dans l’état du monde 1 et richesse dans l’état du monde 2 s’écrit,
TMS12 = −
d w 2 (1 − p)u 0 (w 1 )
=
>0
d w1
pu 0 (w 2 )
(7.1)
et il est classiquement défini comme l’opposé de la pente en un point d’une courbe d’indifférence. Une des
particularités du TMS est la valeur qu’il prend sur la ligne de certitude. Sur cette dernière, on a par définition
w 1 = w 2 . Par conséquent, le TMS s’écrit,
TMS12 =
(1 − p)u 0 (w 1 ) 1 − p
=
pu 0 (w 1 )
p
On a donc la proposition,
1. Faites le !
1
(7.2)
2
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
w2
7
5
lig
ne
de
4
so
ire
ce
rt
itu
de
6
3
2
1
0
w1
0
1
2
3
4
5
6
7
pr
ov
i
F IGURE 7.1 – Courbes d’indifférence et ligne de certitude
Proposition 1. En tout point de la ligne de certitude, le taux marginal de substitution est égal au rapport des
probabilités des deux états du monde.
ä
w2
ce
rt
itu
de
7
lig
ne
de
6
n
5
4
io
3
2
TMS=
b
1−p
p
1
U =U⋆
w1
ve
rs
0
0
1
2
3
4
5
6
7
F IGURE 7.2 – TMS et ligne de certitude
Supposons qu’un individu soit confronté à la situation risquée suivante représentée par le point O dans le
graphique 7.3 : dans l’état du monde 1 sa richesse vaut w 1 = 6 alors que dans l’état du monde 2 elle ne vaut que
w 2 = 0, 5. Une représentation sous forme de courbes d’indifférence montre qu’il existe une infinité de couples
(w 1 , w 2 ) ∈ R2+ qui lui procureraient plus de satisfaction. Certains de ces couples — comme les pointsA 1 , A 2 , ... —
sont certains. D’autres — comme les points B 1 , B 2 , ... — sont risqués.
Considérons maintenant l’ensemble des perspectives risquées qui ont la même espérance de gain que notre
projet risqué original O = (w 1? , w 2? ).
L’espérance de gain au point O — qu’on notera par commodité E [O] — est,
E [O] = (1 − p)w 1? + pw 2? .
(7.3)
3
7.2. ÉLABORATION D’UN CONTRAT D’ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE
w2
p
1− p
−
b
b
w1
]
O
E[ p
+
4
b
3
b
B3
2
A2
B1
b
b
A1
1
O
b
0
1
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3
4
5
6
U =U⋆
w1
7
pr
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i
0
so
ire
A3
B2
lig
ne
=
5
de
w2
6
ce
rt
itu
de
7
F IGURE 7.3 – Comparaison des perspectives risquées
Appelons Ω l’ensemble des perspectives risquées ayant la même espérance de gain que le projet O,
¯
©
ª
Ω = (w 1 , w 2 ) ∈ R2+ ¯ E [O] = (1 − p)w 1 + pw 2 .
(7.4)
Un calcul élémentaire montre que l’ensemble des couples de Ω définissent une droite,
w2 = −
1−p
(1 − p)w 1? + pw 2?
1−p
E [O]
1−p
w1 +
=−
w1 +
,
p
p
p
p
(7.5)
ve
rs
io
n
de pente − p et passant par le point O.
Le graphique 7.3 montre que :
– certaines perspectives risquées comme B 1 , B 2 , A 3 sont préférées par l’individu tout en « rapportant plus en
moyenne » que la perspective risquée originale ;
– certaines perspectives risquées comme B 3 sont plus appréciées bien qu’elles « rapportent moins en moyenne » ;
– d’autres comme A 2 sont plus appréciées tout en ayant la même espérance de gain ;
– enfin, il en existe une — le point A 1 — dont l’utilité est identique à celle de la perspective risquée originale
mais qui est « certaine ». Ce n’est rien d’autre que ce que nous avons déjà appelé le revenu équivalent certain
de O.
On pourrait généraliser ce graphique en traçant des courbes « d’iso-espérance de gain ». Je vous laisse tracer un
tel graphique à titre d’exercice.
Ces préliminaires étant faits, nous allons commencer à nous intéresser aux assurances. Mais avant de nous y
plonger tout à fait, j’aimerais vous faire remarquer que dans le graphique précédent il existe plusieurs zones intéressantes. Dans le graphique 7.4, on constate qu’il existe une zone où les projets risqués sont plus appréciés que
O tout en « rapportant moins en moyenne » que O. C’est la présence de cette zone 2 qui permet de comprendre
l’existence des entreprises d’assurance.
7.2 Élaboration d’un contrat d’assurance élémentaire
Considérons un individu possédant une certaine richesse composée d’une partie certaine et d’une partie risquée.
Pour fixer les idées, on admettra que l’individu possède de l’argent (w 0 ) et une maison qui vaut A. Cette maison
est soumise à un risque (unique) d’incendie. Pour simplifier (considérablement) les choses, on admettra que s’il
2. Chez un individu qui présente une aversion pour le risque.
4
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
7
+
+
+
+ +
++
+ + ++
+
+
+
++ +
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++ + + + + ++
+ ++ +
+ +
++
++
+
+
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+++
+ + + + + + ++
+
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+
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+ ++
+ + + +
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+ +
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+++ +
+ + +
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+
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++
++
+ + +++ ++ + ++++ +
+ ++ +
+ +
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+ + ++ + +
+
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+
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+ ++
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+
+ ++
+
+
+
+
+ ++ +
+
++
+ ++
+
++ +
+
++
O
++
+
+
++ + b
+ +++ + ++
+
+ +
p
1− p
lig
ne
−
5
w1
3
2
1
0
1
2
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U =U⋆
w1
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0
]
O
E[ p
+
4
so
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=
de
w2
6
ce
rt
itu
de
w2
F IGURE 7.4 – Une zone intéressante
n’y a pas d’incendie, elle vaut A alors que s’il y a un incendie elle vaut zéro. La probabilité d’un incendie pendant
une période donnée est p.
La valeur de la maison est donc une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli.
On a l’habitude de travailler avec une variable aléatoire équivalente qui rend compte des dommages subis par la
maison. Si on note D la valeur des dommages, on aura,
Pr[D = 0] = 1 − p
(7.6)
Pr[D = A] = p
(7.7)
ve
rs
io
n
En supposant que la partie certaine de la richesse vaut 3, que la maison vaut 2, la situation d’un individu qui
n’est pas assuré se représente par le point O sur la figure 7.5.
Supposons maintenant qu’une entreprise d’assurance propose à cet individu le contrat suivant :
– l’individu paie une prime P = 1, disons en début d’année ;
– L’assurance lui rembourse sa maison si elle brûle. Le dédommagement — qu’on note q — est égal à la valeur
du dommage subi si le risque se réalise, c.-à-d. D = A.
Le fait de payer une prime P = 1 va réduire la richesse de l’assuré dans les deux états du monde. En effet, la
prime est versée en début d’année de façon certaine. Que la maison brûle ou pas, l’assuré sera moins riche du
montant de la prime. Sur le graphique 7.5, l’assuré est situé au point O 0 = (4, 2) une fois la prime payée.
Si l’affaire devait en rester là, il est clair que l’assuré refuserait la proposition de l’assureur : sa richesse étant
inférieure à ce qu’elle était dans les deux états du monde, son niveau d’utilité est évidemment plus faible
(UO 0 < U ? ).
Mais l’affaire n’en reste justement pas là : dans l’état du monde où le risque d’incendie se réalise, l’assureur va
verser un dédommagement égal à la valeur de la maison (d = 2). Par conséquent, la situation finale de l’individu
est en réalité représentée par le point O 00 = (4, 4).
Or, on constate que le point O 00 correspond ici à une situation certaine et, surtout, l’indice d’utilité de l’individu
a augmenté (UO 00 > U ? ).
On en déduit que — dans le cas présent — l’individu acceptera volontiers la proposition de l’assureur
Nous venons de voir qu’un contrat d’assurance est constitué par la donnée d’une prime et d’un dédommagement,
c.-à-d. d’un couple (P, q). Il nous reste à affiner notre présentation.
7.2.1 Quelques relations
Relation indemnité-dommage. On se doute qu’il doit exister une relation entre le montant du dédommagement q et le dommage subi D. On ne voit pas pourquoi l’assurance verserait une indemnité pour un dommage
5
7.2. ÉLABORATION D’UN CONTRAT D’ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE
w2
de
lig
ne
Richesse si incendie
6
so
ire
ce
rt
itu
de
7
5
O ′′
4
b
O
3
b
O′
2
b
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ov
i
1
U =U⋆
w1
0
0
1
2
3
4
5
6
Richesse si pas d’incendie
7
F IGURE 7.5 – Prime et dédommagement
qui n’existe pas et inversement que l’assuré paierait une prime pour être dédommagé de la même façon selon
que sa maison est détruite ou qu’elle subit un dommage mineur. Dans le cas général, on doit donc admettre
qu’une relation existe ; on la notera
q = Q(D).
(7.8)
dq
n
La fonction Q possède les propriétés suivantes :
– si D = 0 alors q = 0. L’absence de dommage entraîne l’absence de dédommagement ;
dq
– d D ≥ 0. L’indemnité ne peut décroître lorsque le dommage devient plus important ;
io
– d D ≤ 1. L’indemnité ne croît jamais plus vite que la valeur du dommage.
Avec ces hypothèses, on montre facilement que q ≤ D.
Exercice 1. Démontrer la proposition précédente.
♣
ve
rs
On notera que le dédommagement est une variable aléatoire 3 dont la densité de probabilité f (q) se déduit de
f (D). Elle est bornée par le dédommagement minimum (q = 0) et le dédommagement maximum (q max ≤ D).
Nous venons d’évoquer de façon « générique » le lien entre indemnité et dommage. Il n’est sans doute pas inutile
de préciser la forme que prend la fonction Q. Parmi l’infinité diversité des fonctions Q possibles, on distingue
traditionnellement deux fonctions élémentaires. Elles donnent naissance à ce qu’on appelle :
– le contrat de coassurance ;
– le contrat avec franchise.
On parlera de contrat de coassurance lorsque l’indemnité est une proportion donnée du montant du dommage
subi,
q = aD,
0 ≤ a ≤ 1.
(7.9)
Cela signifie que l’assuré prend à sa charge une proportion du dommage Si a = 0 l’indemnité est nulle. On dit
alors qu’il y a conservation totale du risque par l’assuré. En revanche, si a = 1, l’indemnité est toujours égale
au dommage et l’assuré n’a plus à subir les conséquences financières de la réalisation du risque. Ainsi, il y a
coassurance si votre assureur vous dit qu’il prendra en charge 90% de la valeur des réparations de votre voiture
lorsque vous avez un accident.
3. Allez vérifier dans votre cours de probabilité que cette proposition est vraie !
6
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
On parlera de contrat avec franchise lorsqu’une partie donnée de la valeur des dommages reste à la charge de
l’assuré lorsque le risque se réalise,
(
q =0
si q ≤ F,
(7.10)
q = D −F
si q > F.
so
ire
Il y a franchise lorsque votre assureur vous dit qu’il prendra en charge l’intégralité des frais de réparation de
votre automobile, à l’exception — par exemple — des premiers 1 000 (, qui restent à votre charge.
q
100
80
assurance avec franchise
60
40
20
coassurance
D
pr
ov
i
20
40
60
80
100
franchise
F IGURE 7.6 – Relation dommage-indemnité : la coassurance et la franchise
Il existe évidemment dans la réalité une infinité de possibilités pour la fonction Q. L’une de celles qui vient
immédiatement à l’esprit est par exemple un mélange des deux systèmes précédents, c.-à-d. un système de
coassurance avec franchise. Mais on trouve aussi ce que les anglo-saxons appellent « disappearing deductible »,
c.-à-d. une franchise suivie d’un remboursement total ou encore un « plafonnement de l’indemnité », c.-à-d.
un remboursement couvrant l’intégralité des dégâts jusqu’à un certain montant à partir duquel l’indemnité
n’augmente plus.
n
La relation prime dédommagement
io
L’activité essentielle d’une société d’assurance est d’offrir des contrats d’assurance, c.-à-d. des engagements
mutuels de l’assuré et de l’assurance de payer une prime (ou cotisation) contre le versement d’une prestation si
un risque se réalise (qu’on appelle le « sinistre ») au cours d’une période donnée.
Dès 1776, Adam Smith évoque dans La richesse des nations le lien qui doit exister entre la prime versée par
l’assuré, le dédommagement et ... d’autres choses encore :
ve
rs
Pour que l’assurance, ou contre l’incendie, ou contre les risques de mer, soit une industrie, il faut
que la prime ordinaire soit suffisante pour compenser les pertes ordinaires, payer les frais de
l’établissement et fournir le profit qu’aurait pu rapporter le même capital employé à tout autre
commerce. (Smith, 1991)
À la fin du XIXe siècle, Alfred Marshall évoque dans une note de bas de page le calcul d’une prime d’assurance :
But of course every insurance office, after calculating what is a theoretically fair premium, has to
share in addition to it enough to pay profits on its own capital, and to cover its own expenses of
working, among which are often to be reckoned very heavy items for advertising and for losses by
fraud. (Marshall, 1979, III,VI ,6)
Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent est assez sommaire parce que nous nous sommes focalisés sur des
risques binaires. Ce n’est évidemment qu’une simplification grossière (mais pratique) de la réalité. Imaginons
maintenant que l’assuré verse une prime P mais que le risque auquel il est soumis conduise à un éventail de
valeurs possibles de dommages et donc de dédommagements. Dans le cas d’une automobile, par exemple, les
dommages peuvent aller du simple rétroviseur cassé à une destruction totale du véhicule. La façon la plus
simple de faire une synthèse des dédommagements possibles compte tenu du lien évoqué précédemment
entre dommage et dédommagement (voir relation 7.8) est d’en calculer l’espérance. Notons E [q] l’espérance de
dédommagement.
7
7.2. ÉLABORATION D’UN CONTRAT D’ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE
Comme l’avaient noté Smith et Marshall, le « travail d’assurance » est une activité coûteuse. Plus près de nous,
Artur Raviv précise en quoi consiste ces coûts :
Provision of the insurance is costly, with the cost consisting of fixed and variable (depending of the
size of the insurance payments) components. (Raviv, 1979)
c(0) = a ≥ 0,
c 0 (.) ≥ 0,
so
ire
Avec lui, on notera c(q) le coût d’un dédommagement q, avec
c 00 (.) ≥ 0
(7.11)
La fonction de coût est croissante, elle incorpore éventuellement des frais fixes (lorsque a > 0) et les coûts
marginaux sont non décroissants. Il s’ensuit que tout dédommagement d’un montant q se traduit par une
dépense q + c(q) ou, si on préfère, tout dommage d’un montant D se traduit — pour l’assureur — par une
dépense Q(D) + c(Q(D)).
Les primes demandées aux assurés doivent globalement couvrir les dépenses (dont nous avons dit qu’elles
étaient aléatoires). Par conséquent, P doit vérifier 4
P ≥ E [Q(D) + c(Q(D))] (= E [q + c(q)])
(7.12)
pr
ov
i
Pour simplifier les choses, on suppose généralement que dans (7.11), les coûts fixes sont nuls (a = 0) et les
coûts marginaux constants (c 0 (q) = λ) 5 . Si les coûts incluent la rémunération normale du capital, alors la prime
demandée doit vérifier
P = (1 + λ)E [Q(D)] (= (1 + λ)E [q])
(7.13)
On appelle alors λ le taux de chargement.
7.2.2 La demande d’assurance
Les modèles de demande d’assurance consistent à étudier le comportement d’un consommateur lorsqu’on lui
propose un contrat d’assurance dont les caractéristiques (taux de chargement, existence ou non d’une franchise,
proportion de coassurance, etc.) sont fixées de façon exogène (Mossin, 1968; Smith, 1968).
position du problème
io
n
Nous nous plaçons dans le cas décrit à la section 7.2 d’un individu possédant une richesse certaine et une maison
soumise au risque d’incendie. Si l’individu ne s’assure pas, sa richesse vaudra w 0 + A s’il n’y a pas d’incendie et
w 0 en cas d’incendie. L’utilité de cette perspective risquée est
(1 − p)u(w 0 + A) + pu(w 0 ).
(7.14)
ve
rs
S’il s’assure, sa richesse vaudra w 0 + A − P s’il n’y a pas d’incendie et w 0 − P + q dans le cas contraire. Nous avons
vu précédemment que P et q sont en réalité des fonctions et donc, de façon générale, on peut écrire l’utilité une
fois assuré sous la forme
³
´
³
´
(1 − p) u w 0 + A − (1 + λ)E [q(D)] + p u w 0 − (1 + λ)E [q(D)] + q(D) .
(7.15)
|
{z
}
|
{z
} | {z }
P
P
q
L’individu choisira de s’assurer si — compte tenu de λ et de q(D) — l’utilité une fois assuré est supérieure à
celle lorsqu’il ne l’est pas, c.-à-d. si
³
´
³
´
(1 − p) u w 0 + A − (1 + λ)E [q(D)] + p u w 0 − (1 + λ)E [q(D)] + q(D) ≥ (1 − p)u(w 0 + A) + pu(w 0 ).
|
{z
}
|
{z
} | {z }
P
P
(7.16)
q
Comme on le constate, ce problème ne peut être traité que si on connaît le taux de chargement et la fonction
d’indemnité. Pour fixer les idées, servons-nous des deux formes élémentaires de contrats que nous avons déjà
évoqués : la coassurance et la franchise.
4. En fait, ceci n’est vrai que si l’assureur est neutre par rapport au risque.
5. Dans ces conditions, la fonction de coût s’écrit c (Q(D)) = λQ(D).
8
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
la coassurance Dans le cas de la coassurance, les grandeurs qui nous manquent s’écrivent :
1. q = q(D) = aD, or, comme D = A, il vient q = a A
so
ire
¡
¢
2. P = (1 + λ) E [q(D)] = (1 + λ) E [aD] = (1 + λ) a E [D] = (1 + λ) a (1 − p)0 + pD = (1 + λ) a p D. Comme
D = A, il vient P = (1 + λ) a p D = (1 + λ) p q
3. λ = λ̄
la franchise Dans le cas de la franchise, les grandeurs qui nous manquent s’écrivent :
1. q = q(D) = D − F si D > F . Comme D = A > F 6 , il vient q = A − F
¡
¢
2. P = (1+λ)E [q(D)] = (1+λ)E [D −F ] = (1+λ) (1−p)0+p(D −F ) = (1+λ) p (D −F ) et donc, puisque A = D,
on a P = (1 + λ) p (A − F ) = (1 + λ) p q
3. λ = λ̄
pr
ov
i
Si vous examinez attentivement les deux points 2) ci-dessus, vous constaterez que la coassurance et la franchise
conduisent toutes deux à une règle simple mettant en relation la prime versée et le montant du remboursement.
En effet, dans les deux cas, on a
P = (1 + λ) p q.
(7.17)
Puisque la probabilité p est connue et que λ est fixé par l’assureur, on peut simplifier cette expression en
P = γq avec γ = (1 + λ) p.
(7.18)
Proposition 2. Les deux contrats types conduisent — dans le cas d’un risque binaire 7 — à une relation linéaire
entre prime et dédommagement. Désormais, γ sera appelé le « coefficient de prime ».
ä
Nous allons représenter le choix effectif de l’assuré sous la forme d’un problème de maximisation de l’utilité sous
contrainte. De façon générale, le choix d’un assuré s’exprime sous la forme du tableau 7.1. On note (w 1? , w 2? ) la
TABLE 7.1 – C HOIX D ’ UN INDIVIDU ASSURABLE
pas d’incendie
w 1? = w 0 + A
w 1 = w 1? − P
n
pas d’assurance
assurance
= w0 + A − D = w0
w 2 = w 2? − P + q
io
richesse initiale de l’individu dans les deux états du monde. On note (w 1 , w 2 ) sa richesse finale dans les deux
états du monde s’il s’assure. On suppose que l’assureur propose un coefficient de prime γ et que l’individu est
libre de choisir le montant de la prime qu’il souhaite verser ou, ce qui revient au même, le montant de l’indemnité
qu’il entend recevoir si le risque se réalise. Dans le cas de la coassurance, choisir la prime P revient à choisir le
coefficient a. Dans le cas de la franchise, cela revient à choisir la franchise F .
On peut établir la contrainte budgétaire de l’individu assurable. En effet,
ve
rs
B
incendie
w 2?
P = −w 1 + w 1?
1
w 2 = w 2? − P (1 − )
γ
1
=⇒ w 2 = w 2? − (1 − )(−w 1 + w 1? )
γ
1
1
=⇒ w 2 = (1 − )w 1 + w 2? − (1 − )w 1?
γ
γ
puisque P = γq,
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
Puisque γ, w 1? et w 2? sont des paramètres connus, on reconnaît là l’équation d’une droite de pente 1− γ1 < 0 passant par le point caractérisant la situation originelle (w 1? , w 2? ). Cette droite représente la contrainte budgétaire
6. Comme il s’agit d’un risque binaire, la maison est soit intacte soit détruite. En cas de destruction, le problème n’a évidemment d’intérêt
que si la franchise est inférieure à la valeur de la maison. Si la franchise est égale à la valeur de la maison, cela revient à dire que l’assureur ne
doit jamais rien à l’assuré et on ne voit pas qui serait assez fou pour payer une prime pour finalement ... ne pas être assuré.
7. La précision est importante.
9
7.2. ÉLABORATION D’UN CONTRAT D’ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE
q
so
ire
d’un individu assurable : elle décrit l’ensemble de toutes les combinaisons de richesses qui lui sont accessibles
du fait du contrat linéaire au taux γ proposé par l’assurance.
On vérifie facilement que,
q P −q q −P
1
1
=
<0
(7.23)
1− = 1− P = 1− =
γ
P
P
−P
Puisque l’individu peut choisir le montant de la prime (et donc du remboursement induit par le coefficient de
prime γ), il est clair qu’il va sélectionner la combinaison finale (w 1 , w 2 ) qui maximise son espérance d’utilité.
w 2 = (1 − γ1 )w 1 + w 2⋆ − (1 − γ1 )w 1⋆
q −P
P
7
(w 1 , w 2 )
6
5
4
3
b
pr
ov
i
Richesse si incendie
w2
q⋆ − P⋆
b
(w 1⋆ , w 2⋆ )
P⋆
2
1
0
w1
1
n
0
2
3
4
5
6
Richesse si pas d’incendie
7
io
F IGURE 7.7 – Contrainte budgétaire de l’individu assurable
Dans le graphique 7.7, le système d’axe correspond aux richesses possibles de l’individu dans les deux états du
monde. La richesse initiale est représentée au point (w 1? , w 2? ). La contrainte budgétaire de l’individu assurable
est la droite de pente − (1 − γ1 ) passant par le point de richesse initiale.
ve
rs
Supposons qu’un assureur propose un contrat avec un certain « coefficient de prime » γ à un individu dont la
richesse initiale est (w 1? , w 2? ). Compte tenu de ce coefficient de prime, admettons que l’individu choisisse de
payer une prime P ? pour un dédommagement « net » de q ? − P ? . Dans ces conditions, sa richesse finale dans
les deux états du monde est (w 1 , w 2 ). Le « deuxième » système d’axe dont l’origine est située au point de richesse
initiale montre le lien entre prime, remboursement net et richesse dans les deux états du monde 8 .
La prime optimale pour un γ donné
L’assureur propose un « coefficient de prime » γ et le libre choix du montant de la prime. Nous avons vu que
nous pouvons en déduire la contrainte budgétaire 7.22.
Notre assuré se voit donc offrir un choix. Comme il a des préférences sur les couples (w 1 , w 2 ), il va sélectionner
le couple qui maximise son utilité, c.-à-d., il va résoudre le programme,
8. Dans le deuxième système d’axe, l’axe des abscisses représente les primes qui réduisent w 1? et l’axe des ordonnées le remboursement
obtenu en cas de sinistre déduction faite de la prime, c.-à-d. ce que perçoit réellement l’assuré et qui augmente w 2? .
10
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
max (1 − p)u(w 1 ) + pu(w 2 )
(7.24)
1
1
sc : w 2 = (1 − )w 1 + w 2? − (1 − )w 1?
γ
γ
(7.25)
so
ire
w 1 ,w 2
On remarque que les variables caractéristiques d’un contrat d’assurance (P, q) ont « disparu ». Ce n’est évidemment qu’une illusion. Comme on le voit sur le graphique 7.7, il est clair que P = w 1? − w 1 de même que
q − P = w 2 − w 2? .
Écrivons le lagrangien du programme,
1
γ
1
γ
L (.) = (1 − p)u(w 1 ) + pu(w 2 ) + λ w 2 − (1 − )w 1 − w 2? − (1 − )w 1?
¡
¢
La solution optimale doit vérifier,

¡
¢
∂L (.)
1
0

 ∂w 1 = (1 − p)u (w 1 ) − λ 1 − γ = 0

∂L (.)
0
∂w 2 = pu (w 2 ) + λ = 0


 ∂L (.) = w − (1 − 1 )w − w ? − (1 − 1 )w ? = 0
Ce qui conduit à la condition,
(7.27)
pr
ov
i
∂λ
2
γ
1
γ
2
(7.26)
1
(1 − p)u 0 (w 1 ) 1 − γ
=
pu 0 (w 2 )
γ
(7.28)
On reconnaît évidemment dans le membre de gauche le taux marginal de substitution entre richesses dans les
deux états du monde et dans le membre de droite l’opposé de la pente de la contrainte budgétaire de l’assuré. Il
faut par ailleurs que la contrainte budgétaire soit saturée.
7
−
1−γ
γ
ve
rs
de
lig
ne
5
io
Richesse si incendie
n
6
ce
rt
itu
de
w2
4
b
3
(w 1 , w 2 )
−
(1−p)u ′ (w 1 )
pu ′ (w 2 )
P
o
qo − Po
2
1
b
(w 1⋆ , w 2⋆ )
w1
0
0
1
2
3
4
5
6
Richesse si pas d’incendie
7
F IGURE 7.8 – Sélection d’une prime optimale
Graphiquement (voir figure 7.8), le point optimal est situé au point de tangence entre le plus « haute » des
courbes d’indifférence et la contrainte budgétaire de l’assuré. Compte tenu de ses préférences et notamment,
son aversion pour le risque, sa richesse optimale est (w 1 , w 2 ) dans les deux états du monde, ce qui signifie que
11
7.2. ÉLABORATION D’UN CONTRAT D’ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE
so
ire
l’individu va verser une prime P o pour recevoir — dans l’état du monde défavorable — un remboursement net
de q o − P o .
On constate que dans notre illustration graphique, l’individu n’est pas assuré « parfaitement ». En effet, en dépit
de l’assurance, il existe une variabilité résiduelle de ses ressources dans les deux états du monde puisque w 1 reste
supérieur à w 2 . Il serait judicieux de se demander dans quelles circonstances l’individu peut être parfaitement
assuré. La réponse est étonnamment simple.
Supposons que l’individu choisisse de s’assurer parfaitement. Cela veut dire deux choses :
1. puisque c’est un choix, il est forcément optimal. Donc la relation (7.28) est vérifiée ;
2. puisque l’assurance est parfaite, les revenus dans les deux états du monde sont égaux : w 1 = w 2 .
Par conséquent, notre problème s’écrit,
(1 − p)u 0 (w 1 ) 1 − γ
=
pu 0 (w 2 )
γ
(7.29)
w1 = w2
(7.30)
1−p 1−γ
(1 − p)u (w 1 ) 1 − γ
=
=⇒
=
pu 0 (w 1 )
γ
p
γ
0
=⇒
=⇒ γ = p
(7.31)
pr
ov
i
(7.32)
Par conséquent, nous pouvons avancer la proposition suivante :
Proposition 3. lorsque le coefficient de prime γ pratiqué par l’assureur est égal à la probabilité pour que le risque
se réalise, l’assuré choisira de s’assurer parfaitement.
ä
io
n
Maintenant, nous pouvons pousser un peu plus loin notre investigation. Nous avons vu précédemment que le
couple (w 1 , w 2 ) choisi par l’assuré dépend de la pente de la contrainte budgétaire, c.-à-d. in fine du coefficient
de prime pratiqué par l’assureur. On se doute que lorsque ce coefficient de prime varie (c.-à-d., lorsque la
contrainte budgétaire pivote), le point optimal change. Même si les termes utilisés sont volontairement vagues,
on voit qu’on peut établir une relation entre la « quantité d’assurance demandée » (exprimée par le montant
de la prime versée) et le « prix » de l’assurance (exprimé par le coefficient γ). Sous réserve d’une analyse plus
approfondie, on retrouve une relation similaire à une fonction de demande : le montant de la prime est une
fonction décroissante du coefficient de prime, c.-à-d. la quantité d’assurance demandée est d’autant plus faible
que le prix de l’assurance est élevé.
Il nous reste maintenant à revenir sur nos deux contrats types : coassurance et franchise.
Nous avons vu page 8 que le contrat de coassurance se caractérise par le fait que P = (1 + λ) a p D = (1 + λ) p q.
Dans notre approche générale, nous avons déterminé pour chaque valeur de γ = (1 + λ)p un couple (w 1 , w 2 )
optimal et donc une prime P o optimale. Puisque p et D sont connus, on peut écrire
P o (λ) = (1 + λ) a p D =⇒ a =
P o (λ)
(1 + λ) p D
(7.33)
ve
rs
Dans un contrat de coassurance, choisir une prime optimale revient pour l’assuré à choisr le taux a de coassurance. Le taux choisi dépend du taux de chargement λ pratiqué par l’assurance.
On montre facilement que si le taux de chargement est nul, un individu s’assurera totalement et, de plus, a = 1.
En effet, nous avons vu avec la proposition 3 que l’assurance est totale si p = γ. Comme γ = (1 + λ)p, on en
déduit que λ est égal à zéro.
Proposition 4. Dans un contrat de coassurance, un taux de chargement nul conduit l’assuré à s’assurer totalement.
ä
Si l’assuré s’assure totalement, alors w 1 = w 2 . On a donc,
w 1? − P = w 2? − P + q,
(7.34)
=⇒ w 0 + A − P = w 0 + A − D − P + q,
(7.35)
=⇒ q = D.
(7.36)
aD = D =⇒ a = 1.
(7.37)
Or, comme q = aD, il vient,
12
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
Dans le cas de la franchise, on a P = (1 + λ) p (A − F ) = (1 + λ) p q. On peut donc écrire
P o (λ) = (1 + λ) a p (A − F ) =⇒ F = A −
P o (λ)
.
(1 + λ) p D
(7.38)
so
ire
Dans un contrat avec franchise, choisir une prime optimale est équivalent à choisir un montant de franchise
optimal. Ce montant dépend du taux de chargement λ pratiqué par l’assureur. Une fois encore, on montre
aisément que si le taux de chargement est nul, l’assuré s’assurera totalement et le montant de la franchise sera
nul.
Proposition 5. Dans un contrat avec franchise, un taux de chargement nul se traduit par une assurance totale et
par le choix d’une franchise nulle.
ä
Exercice 2. Montrer la proposition précédente.
7.3 Contrat d’assurance optimal
pr
ov
i
Nous avons jusqu’à présent décrit des contrats d’assurance simples où la prime dépend de la valeur actuarielle
du contrat et le montant de l’indemnité varie « linéairement » avec le montant des dommages subis (contrat de
coassurance ou contrat avec franchise). On sait cependant que la forme générale d’un contrat est un couple
(P, q) où q est une fonction Q du montant du préjudice subi. Cela signifie donc qu’il existe une infinité de contrats
concevables qui ne diffèrent que par la forme de la fonction Q. On est en droit de se demander s’il n’existe pas un
contrat qui soit « le meilleur », c.-à-d. en d’autres termes, un contrat optimal au sens de Pareto.
On trouve une analyse très détaillée de ce problème dans Raviv (1979). Dans l’introduction de son article, il
remarque qu’il existe deux façons de traiter le problème de l’assurance :
Almost every phase of economic behavior is affected by uncertainty. The economic system has
adapted to uncertainty by developing methods that facilitate the reallocation of risk among individuals and firms. The most apparent and familiar form for shifting risks is the ordinary insurance
policy. Previous insurance decision analyses can be divided into those in which the insurance policy
was exogenously specified (see John Gould, Jan Mossin, and Vernon Smith), and those in which it
was not (see Karl Borch, 1960, and Kenneth Arrow, 1971, 1973).
La particularité de le deuxième approche est qu’elle est plus ambitieuse :
io
n
Borch (1960) was the first to take the more general approach of deriving the optimal insurance
policy form endogenously. He sought to characterize a Pareto optimal risk-sharing arrangement in a
situation where several risk averters were to bear a stochastic loss. This framework was then used by
Arrow (1971) to obtain Pareto optimal policies in two distinct cases: 1) if the insurance seller is risk
averse, the insured prefers a policy that involves some element of coinsurance; (i.e., the coverage
will be some fraction (less than 1) of the loss); and 2) if the premium is based on the actuarial
value of the policy plus a proportional loading (i.e., the insurer is risk neutral) and the insurance
reimbursement is restricted to be nonnegative, the insurance policy will extend full coverage of
losses above a deductible. Arrow (1973) extended this result to the case of state dependent utility
functions. In this case, the optimality of a deductible which depends upon the state was proved.
Robert Wilson also dealt with the endogenous determination of optimal risk-sharing arrangements,
focusing on the incentive problem and the existence of surrogate functions.
ve
rs
B
♣
Dans son article, Artur Raviv se place dans une configuration très générale qui lui permet — au prix d’une longue
démonstration — d’obtenir des résultats eux-mêmes très généraux. Nous allons nous contenter de traiter un cas
simple (celui de Arrow) en nous inspirant de la démonstration de Henriet et Rochet (1991) 9 même si le cadre
général du modèle est celui de Raviv.
Comme vous le savez, un problème d’optimum met en jeu deux acteurs 10 poursuivant chacun leur propre
objectif compte tenu d’éventuelles contraintes.
L’assuré possède une richesse initiale w̄ et il est confronté à un risque de perte D. On admet que cette perte est
une variable aléatoire de densité de probabilité f (D). On suppose que f (D) > 0 et 0 ≤ D ≤ T avec T ≤ W .
9. Il existe plusieurs pistes mathématiques pour la démonstration : celle de Arrow (2000) en termes de calcul des variations, celle de
Eeckhoudt et Gollier (1992) en termes de dominance stochastique et celle de Raviv (1979) en termes de contrôle optimal.
10. Plus précisément, au minimum deux acteurs.
13
7.3. CONTRAT D’ASSURANCE OPTIMAL
Comme nous le savons, le contrat d’assurance est un couple (P, q(D)) sachant que pour tout dommage D, le
remboursement vérifie 0 ≤ g (D) ≤ D.
Si on note u (u 0 (w) > 0, u 00 (w) < 0) la fonction d’utilité de l’assuré, il est clair que celui-ci ne s’assurera que si
0
u(w̄ − P − D + q(D)) f (D)d D ≥
T
Z
0
u(w̄ − D) f (D)d D
(7.39)
so
ire
T
Z
Admettons qu’il existe des couples (P, q(D)) satisfaisant cette condition. L’objectif de l’assuré sera évidemment
de privilégier celui ou ceux qui maximisent son espérance d’utilité.
Examinons maintenant le cas de l’assureur. L’offre d’assurance est une activité coûteuse. On suppose généralement qu’il existe des coûts fixes et des coûts variables qui dépendent de l’importance des indemnités versées. Si
on note c(q) le coût du versement d’un indemnité q, on admet que,
c 0 (q) ≥ 0,
c(0) = a ≥ 0,
c 00 (q) ≥ 0
(7.40)
L’assureur peut présenter une aversion pour le risque ou tout simplement être neutre par rapport au risque.
Appelons v(W ) sa fonction d’utilité avec, pour tout niveau de richesse W , v 0 (W ) > 0 et v 0 (W ) ≤ 0.
Si W0 désigne le niveau initial de richesse de l’assureur, alors, il n’acceptera d’offrir le contrat (P, q(D)) que si
T
pr
ov
i
Z
¡
0
¢
v(W0 + P − q(D) − c(q(D))) f (D)d D ≥ v(W0 ).
(7.41)
De la même façon que pour l’assuré, on peut dire s’il existe des couples (P, q(D)) satisfaisant cette condition,
l’objectif 11 de l’assureur sera évidemment de privilégier celui ou ceux qui maximisent son espérance d’utilité.
Nous allons nous placer dans un cas particulier en supposant que l’assureur est neutre par rapport au risque et
que la fonction de coût est d’une simplicité désarmante. En particulier nous admettrons que les coûts fixes sont
nuls et que les coûts variables sont proportionnels aux dédommagements
c(q(D)) =
(7.42)
Théorème 1. Si c(D) = λD et si l’assureur est neutre au risque, le contrat optimal est
D − D̄ 1
D ≤ D̄ 1
D > D̄ 1
ä
n
I (x) =
(
0
Il appartient à Arrow (voir Arrow (2000), p. 108 et sq) d’avoir montré la proposition suivante :
io
Proposition 6. Si une entreprise d’assurance neutre au risque est prête à offrir tout contrat d’assurance que désire
un assuré contre une prime qui ne dépend que de la valeur actuarielle du contrat, alors le contrat choisi par
un assuré ayant une aversion pour le risque prend la forme d’une couverture à 100 % au-delà d’une franchise
donnée.
ä
ve
rs
D ÉMONSTRATION . Soit R̄ la richesse initiale de l’agent, D le risque de perte, P la prime. On note Q(D) le montant
du remboursement dû à l’assuré si une perte d’un montant D survient.
Nous allons supposer que D est une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est notée f (D). La
richesse finale de l’individu est donc une variable aléatoire
R(D) = R̄ − P − D +Q(D).
L’individu qui cherche à s’assurer maximise son espérance d’utilité
Z ∞
U (Q, P ) =
u(R̄ − P − D +Q(D)) f (D)d D.
0
(7.43)
(7.44)
Nous allons poser que ∀D, D ≥ Q(D) ≥ 0 ce qui signifie que le remboursement de l’assurance est nécessairement
positif ou nul et qu’il ne peut excéder le montant des dommages subis par l’assuré.
11. J’ai mis en italique le terme « objectif » pour l’assureur et l’assuré pour bien souligner le fait que chacun poursuit son propre objectif.
L’optimalité au sens de Pareto consiste à trouver un couple (p, q(D)) qui satisfait « de la meilleure façon qui soit » les deux objectifs
simultanément.
14
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
Nous supposons que le profit de l’assurance est la différence entre le montant de la prime P et de la valeur
actuarielle du contrat (c.-à-d. l’espérance de dédommagement) augmentée des frais de chargement λ > 0
B (Q, P ) = P − (1 + λ)
∞
Z
0
Q(D) f (D)d D.
(7.45)
W = αB (Q, P ) + (1 − α)U (Q, P ),
sc :
D ≥ Q(D) ≥ 0.
Explicitons l’expression W
W = αP +
∞³
Z
0
so
ire
On remarquera qu’on recherche un contrat optimal au sens de Pareto. Par conséquent, il s’obtient en maximisant
0 < α < 1,
´
¡
¢
(1 − α) u R̄ − P − D +Q(D) − α (1 + λ) Q(D) f (D)d D.
(7.46)
(7.47)
(7.48)
pr
ov
i
On se souvient qu’on ne connaît pas la fonction Q(D) et que c’est elle qu’on recherche.
Pour que W soit maximal, il faut évidemment que l’expression sous l’intégrale soit maximale. Si on se souvient
qu’une intégrale
est en certain
¡
¢ sens une « somme » selon D, il faut que pour chaque D, l’écart entre le terme
contenant u R̄ − P − D +Q(D) et le terme contenant Q(D) soit le plus grand possible. Or, cet écart dépend de la
valeur de Q pour un D donné. Pour maximiser W , nous sommes donc amené à résoudre
∀D ≥ 0, Q(D) réalise
³
´

¡
¢
max (1 − α) u R̄ − P − D +Q − α (1 + λ) Q
Q
 sous la contrainte 0 ≤ Q ≤ D
(7.49)
n
où Q est ici considéré comme le nombre maximisant l’expression (7.49) pour un D donné.
Prenons le temps d’examiner cette expression. D’un côté, on a tout intérêt à prendre la valeur la plus grande
possible pour Q (c.-à-d., Q = D) puisque u est une fonction croissante de Q. D’un autre côté, en choisissant la
plus grande valeur possible de Q on pousse au maximum l’effet négatif de −α (1 + λ) Q ! On peut se douter en
partant par exemple de Q = 0, que tant que l’effet sur (1 − α) u(.) d’un accroissement marginal de Q est supérieur
à l’effet négatif sur le terme −α (1 + λ) Q, le maximum n’aura pas été atteint et qu’il le sera lorsque les deux effets
marginaux se compenseront.
Essayons de formaliser ceci.
Pour chaque D, on cherche à résoudre le programme
³
´
¡
¢
max (1 − α) u R̄ − P − D +Q − α (1 + λ) Q sc : Q ≥ 0 sc : D −Q ≥ 0
io
Q
(7.50)
ve
rs
De façon classique, la solution optimale Q ? est telle que
 ?
¡
¢
0
P − D +Q = (1 + λ) α si Q ? ∈]0, D[

Q vérifie (1 − α)u R̄ −
¡
¢
Q ? = 0 si (1 − α)u 0 R̄ − P − D ≤ (1 + λ) α

¡
¢
 ?
Q = D si (1 − α)u 0 R̄ − P ≥ (1 + λ) α
(7.51)
Ce qui correspond à notre approche intuitive du problème. Si on part de Q = 0 plusieurs configurations se
présentent.
(i) si le gain marginal qu’on obtient³ sur (1 − α)u(.) est plus faible que (ou´égal à) la perte marginale (1 + λ) α,
¡
¢
alors on ne peut pas augmenter (1 − α) u R̄ − P − D +Q − α (1 + λ) Q et Q ? = 0 est le maximum ;
(ii) si le gain marginal
sur (1 − α)u(.) est plus
³ qu’on obtient
´ grand que la perte marginale (1 + λ) α, alors on
¡
¢
peut augmenter (1 − α) u R̄ − P − D + Q − α (1 + λ) Q en augmentant Q. Le maximum sera atteint pour
la valeur Q ? telle que le gain marginal d’une augmentation dQ de Q est égal à la perte marginale qu’elle
induit ;
(iii) si en augmentant progressivement Q, le gain marginal reste toujours supérieur à la perte marginale et ce,
jusqu’au plafond Q = D, alors le maximum est atteint en Q ? = D.
On détermine ainsi — pour chaque valeur de D — une valeur optimale de Q.
15
7.4. L’AUTO-ASSURANCE
N’oublions pas toutefois que nous maximisons W . Il faut donc également que
∂W
=0
∂P
(7.52)
so
ire
Nous sommes confrontés ici a une petite difficulté. En effet, nous venons de montrer qu’à tout D, on peut
associer une quantité optimale Q ? . Mais cette quantité optimale dépend évidemment du paramètre P . Toutefois,
en appliquant le théorème de Wong-Viner ou théorème de l’enveloppe, la condition d’un maximum s’écrit
simplement
Z ∞
∂W
= 0 ⇐⇒ α =
(1 − α)u 0 (R − P − D +Q(D)) f (D) d D
(7.53)
∂P
0
Définissons maintenant un nombre F ≥ 0 tel que
(
F =0
¡
¢
(1 − α)u 0 R̄ − P ≥ (1 + λ) α
¡
¢
F vérifie (1 − α)u 0 R̄ − P − F = (1 + λ) α
si
¡
¢
(1 − α)u 0 R̄ − P < (1 + λ) α
si
(7.54)
pr
ov
i
Cette façon¡ de définir
F paraît cohérente. En effet, u étant concave, sa dérivée u 0 est décroissante. Par conséquent,
¢
0
si (1 − α)u
¡ R̄ − P <¢ (1 + λ) α, on peut — en soustrayant une quantité F positive ou nulle à (R̄ − P ) — faire croître
(1 − α)u 0 R̄ − P − F jusqu’à le rendre égal à (1 + λ) α. Dans le cas contraire, c’est impossible et on pose F = 0.
Vous noterez que F est un nombre qui ne dépend pas de D.
Reportons-nous maintenant aux deux première équations de (7.51)
On voit que pour tout D, il suffit de poser


Q(D) = D − F lorsque D > F
Q(D) = 0 lorsque D = F


Q(D) = 0 lorsque D < F
Ce qu’on peut résumer en
(
Q(D) = D − F
si
D ≥F
D <F
(7.56)
n
Q(D) = 0
si
(7.55)
io
Ce qui démontre la proposition. Le cas F = 0 est impossible. En effet, cela signifierait que ∀D, Q(D) = D. Dans
ce cas, on aurait
Z ∞
(1 − α)u 0 (R̄ − P − D +Q(D)) f (D) d D = (1 − α)u 0 (R̄ − P ) ≥ α(1 + λ) > α
(7.57)
0
ce qui contredirait la condition (7.54).
■
ve
rs
Le contrat d’assurance optimal est une fonction qui, à tout dommage subi D, associe un remboursement égal à
la perte subie, moins une franchise F . Si la perte est inférieure à la franchise, le remboursement dû est nul.
Comme nous l’avons remarqué plus haut, F est un nombre constant 12 , qui vient en déduction de la valeur du
sinistre : c’est bien ce qu’on appelle dans le langage des assurances une franchise.
7.4 L’auto-assurance
Le recours à un contrat d’assurance offert par une entreprise d’assurance n’est pas la seule technique dont
dispose un individu pour réduire le risque. Toute personne peut, en effet, prendre diverses mesures visant à :
– réduire l’ampleur des dommages subis ;
– réduire la probabilité de l’état du monde défavorable.
On parle dans le premier cas « d’auto-assurance » et dans le second « d’auto-protection ».
12. Qui reste à déterminer dans chaque cas concret.
16
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
so
ire
Two alternatives to market insurance that have not been systematically analyzed in the literature on
insurance are self-insurance — a reduction in the size of a loss — and self-protection — a reduction
in the probability of a loss. For example, sprinkler systems reduce the loss from fires; burglar
alarms reduce the probability of illegal entry; cash balances reduce fluctuations in consumption;
medicines, certain foods, and medical checkups reduce vulnerability to illness; and good lawyers
reduce both the probability of conviction and the punishment for crime. As these examples indicate,
it is somewhat artificial to distinguish behavior that reduces the probability of a loss from behavior
that reduces the size of a loss, since many actions do both. Nevertheless, we do so for expository
convenience and because self-insurance clearly illustrates the insurance principle of redistributing
income toward less favorable states. (Ehrlich et Becker, 1972)
Nous allons dans un premier temps nous intéresser à l’auto-assurance puis nous aborderons dans un second
temps l’auto-protection.
pr
ov
i
Il y a quelques années, les constructeurs automobiles proposaient des airbags en option sur leurs véhicules. Ce
système était évidemment coûteux (les options sont payantes). Les personnes achetant ce dispositif savaient que
— s’il ne changeait pas la probabilité d’un accident — il réduisait considérablement l’importance des dommages
corporels subis par le conducteur lors d’un choc violent.
Dans un autre registre, l’installation par un particulier d’un paratonnerre (coûteux) sur sa maison réduit voire
annule les dégâts occasionnés par la foudre.
Ces différentes dépenses préventives ont un point commun : elles n’agissent pas sur la probabilité que le sinistre
arrive mais sur l’ampleur des dommages subis.
Nous allons donc supposer dans ce qui suit qu’il existe une relation entre les dépenses engagées et les dommages
subis
D = D(c),
c ≥ 0.
(7.58)
Il est naturel de penser que l’importance du dommage est une fonction décroissante des dépenses engagées :
plus je me protège et plus les dommages seront faibles.
∂D(.)
< 0.
∂c
(7.59)
io
n
Ceci dit, il serait sans doute faux de penser que le montant des dommages décroît proportionnellement avec
les dépenses (pensez par exemple à la diminution de l’importance des traumatismes en fonction du nombre
d’airbags installés). On fera donc l’hypothèse que le rendement des dépenses est de plus en plus faible
∂2 D(.)
> 0.
∂c 2
(7.60)
ve
rs
Dans ces conditions, les individus — s’ils ne s’assurent pas auprès d’une entreprise d’assurance — sont confrontés à la situation décrite dans le tableau 7.2.
TABLE 7.2 – TABLEAU DES RISQUES
conséquences
probabilités
le risque se réalise
le risque ne se réalise pas
R − D(c) − c
p
R −c
(1 − p)
On voit immédiatement que plus un individu accepte de « perdre » dans l’état du monde favorable (valeur
importante de c), plus il réduira sa perte dans l’état du monde défavorable (D(c) important). La question qui se
pose est donc de savoir quelle est la valeur optimale de c.
Le programme que cherche à résoudre l’individu est donc
max pu(R − D(c) − c) + (1 − p)u(R − c)
(7.61)
sc :
(7.62)
c
c ≥0
17
7.4. L’AUTO-ASSURANCE
La solution 13 optimale c vérifie
− p(D 0 (c) + 1)u 0 (R − D(c) − c) − (1 − p)u 0 (R − c) = 0
− p(D 0 (0) + 1)u 0 (R − D(0)) − (1 − p)u 0 (R) ≤ 0
(7.63)
(7.64)
so
ire
Soit encore
si c > 0
si c = 0
D 0 (c) + 1 = −
(1 − p)u 0 (R − c)
pu 0 (R − D(c) − c)
si c > 0
(7.65)
D 0 (c) + 1 ≥ −
(1 − p)u 0 (R − c)
pu 0 (R − D(c) − c)
si c = 0
(7.66)
pr
ov
i
Le graphique ci-dessous illustre ce résultat pour c > 0. Les courbes d’indifférence ont été tracées dans un système
d’axe y 1 (richesse si le risque ne se réalise pas) y 2 (richesse si le risque se réalise). On suppose qu’en l’absence
de toute mesure d’auto-assurance, la richesse de l’individu est (R, R − D(0) − 0) = (100, 50) (point rouge sur la
graphique).
Intéressons nous maintenant à l’évolution de la somme des dommages et du coût de protection,c.-à-d. l’expression D(c) + c, lorsque c varie. Dans la plupart des cas, cette fonction est décroissante puis croissante. En
effet, sa dérivée s’écrit D 0 (c) + 1 et on sait que D 0 (c) < 0 et D 00 (c) > 0. Par conséquent, si les premières dépenses
d’auto-assurance font rapidement baisser la valeur des dommages, c.-à-d. si D 0 (c) est fortement négatif, on
aura nécessairement D 0 (c) + 1 < 0. En revanche, plus c augmente et moins les suppléments de dépenses sont
efficaces ; passé un certain seuil, il y a de fortes chances pour que D 0 (c) soit si faiblement négatif que D 0 (c) + 1
devient positif.
Représentons D(c)+c dans le graphique précédent. Pour ce faire, on construit un système d’axe inversé (c, D(c)+
c) au point (100, 100). Vous vérifierez facilement que tout couple (c, D(c) + c) dans ce système d’axes, s’exprime
— dans le système d’axes (y 1 , y 2 ) — sous la forme d’un couple (100 − c, 100 − D(c) − c) 14 .
La valeur optimale de c (point bleu) correspond au point de tangence entre la fonction D(c)+c et la plus « élevée »
des courbes d’indifférence de l’individu 15 .
io
n
Or, en appliquant le théorème de dérivation des fonctions implicites, on montre facilement que la pente d’une
courbe d’indifférence en un point est
d y2
(1 − p) u 0 (R − c)
=−
d y1
pu 0 (R − D(c) − c)
(7.67)
D 0 (c) + 1
(7.68)
ve
rs
et que celle de la fonction D(c) + c est
L’optimum (intérieur) correspond donc bien à « l’égalité des pentes »
D 0 (c) + 1 = −
(1 − p) u 0 (R − c)
pu 0 (R − D(c) − c)
13. Il s’agit d’un maximum puisque la fonction objectif est concave.
14. Et inversement.
15. Qu’on suppose exprimées en termes de c et D(c) + c.
(7.69)
18
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
y2
c optimal
100
D(0) + 0
c
so
ire
80
b
60
b
100 − D(0) − 0
40
20
pr
ov
i
D(c) + c
20
40
60
80
100
y1
D(c) + c
Nous allons maintenant introduire la possibilité pour l’individu de s’assurer. Nous allons supposer comme
précédemment (voir relation 7.18) que la prime est proportionnelle à la couverture dont le montant, s’il est
librement choisi par l’assuré, doit cependant rester inférieur à la valeur des dommages.
P = γq
Dans ces conditions, les possibilités offertes à l’individu sont résumées dans le tableau 7.3.
n
TABLE 7.3 – TABLEAU DES RISQUES
le risque ne se réalise pas
R − D(c) − c + q − γq
p
R − c − γq
(1 − p)
io
conséquences
probabilités
le risque se réalise
ve
rs
Désormais, l’individu est amené à choisir le couple (c, q) qui maximise son utilité. Il résout donc le programme
max p u(R − D(c) − c + (1 − γ)q) + (1 − p) u(R − c − γq)
(7.70)
sc :
c ≥0
(7.71)
sc :
q ≥0
(7.72)
D(c) − q ≥ 0
(7.73)
c, q
On écrit le lagrangien
L (.) = p u(R − D(c) − c + (1 − γ)q ) + (1 − p) u(R − c − γq ) + λ(D(c) − q).
|
{z
A
}
|
{z
B
(7.74)
}
Le couple optimal vérifie

∂L (.)
0
0
0
0


∂c = − p (D (c) + 1) u (A) − (1 − p)u (B ) + λD (c) ≤ 0,

∂L (.)
0
0
q ≥0
∂q = − p (1 − γ) u (A) − (1 − p)γu (B ) − λ ≤ 0,


 D(c) − q ≥ 0, λ ≥ 0,
(avec cs).
c ≥0
(7.75)
19
7.5. L’AUTO-PROTECTION
Si on admet que le montant de la couverture q n’excède jamais le montant des dommages D(c) (c.-à-d. λ = 0) et
que c et q sont strictement positifs, la condition d’un maximum est
(7.76)
so
ire
¡
¢ 1 − γ (1 − p) u 0 (B )
=
.
− D 0 (c) + 1 =
γ
p u 0 (A)
Considérons tout d’abord l’égalité
¡
¢ 1−γ
1
=⇒ − D 0 (c) = .
− D 0 (c) + 1 =
γ
γ
(7.77)
On rappelle que γ indique la « cherté » de l’assurance. Compte tenu de nos hypothèses, − D 0 (c) est une fonction
positive et décroissante. Par conséquent, lorsque l’assurance devient plus chère (c.-à-d., γ1 diminue), la dépense
d’auto-assurance d’équilibre augmente.
pr
ov
i
− D ′ (c)
1
γ0
1
γ1 ,
c γ0
γ1 > γ0
c d’équilibre
c γ1
Supposons maintenant que γ = 1. Dans ce cas, la condition d’équilibre (7.75) devient
−(1 − p)u 0 (B ) < 0,
si
0 < p < 1,
u 0 (.) > 0.
(7.78)
io
n
ce qui entraîne q = 0. L’individu choisit donc de ne pas s’assurer et nous retrouvons le cas précédent de l’autoassurance simple, qui conduit l’individu à choisir un certain montant optimal c ? de dépense. Compte tenu
de la remarque précédente, si γ diminue, le montant d’auto-assurance diminue également. On en déduit la
proposition suivante :
Proposition 7. La possibilité de s’assurer auprès d’une société d’assurance diminue chez les individus l’incitation
à s’auto-assurer.
ä
ve
rs
Ce résultat conforte notre vision intuitive des choses : puisque l’assurance couvre les dommages que je subis,
pourquoi devrais-je engager des dépenses coûteuses pour diminuer l’ampleur des pertes ? Cette remarque
explique pourquoi dans de nombreux contrats d’assurance, il existe des clauses annulant la couverture des
dommages si un certain nombre de précautions (coûteuses) n’ont pas été prises.
7.5 L’auto-protection
L’auto-protection consiste à engager des dépenses d’un montant c afin de faire baisser la probabilité que le
risque se réalise. On note p(c) ∈ [0 1] la relation entre la probabilité que le risque se réalise et le montant c des
dépenses d’auto-protection. Cette fonction est évidemment décroissante
∂p(.)
< 0,
∂c
(7.79)
et on admet sans peine que l’efficacité des dépenses successives pour faire baisser p est de plus en plus faible
∂2 p(.)
> 0.
∂c 2
(7.80)
20
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
TABLE 7.4 – TABLEAU DES RISQUES
le risque ne se réalise pas
R −D −c
p(c)
R −c
1 − p(c)
conséquences
probabilités
so
ire
le risque se réalise
Dans ces conditions, les individus — s’ils ne s’assurent pas auprès d’une entreprise d’assurance — sont confrontés à la situation décrite dans le tableau 7.4.
On remarque que la perte D subie si le risque se réalise est une constante. La dépense c est la seule variable
et elle n’affecte que les probabilités. Dans ces conditions, le programme que cherche à résoudre un individu
soumis à ce risque est
¡
¢
max p(c) u(R − D − c) + 1 − p(c) u(R − c)
(7.81)
sc :
(7.82)
c
R −D ≥ c ≥ 0
pr
ov
i
Si on se place dans le cas d’une solution intérieure 16 , la condition du premier ordre d’un maximum est
¡
¢
p 0 (c) u(R − D − c) − p(c)u 0 (R − D − c) − p 0 (c)u(R − D) − 1 − p(c) u 0 (R − c) = 0.
(7.83)
Cette condition n’est pas très parlante et n’a pas de représentation graphique évidente dans nos schémas
canoniques. Considérons toutefois le graphique suivant.
y2
100
80
4,4
8
4,48
60
n
4,2
7
b
−c
40
4
io
b
−c
ve
rs
20
20
40
60
80
100
y1
Nous procéderons en deux temps. On suppose que la richesse de l’individu est 100 si le risque ne se réalise pas
et 50 si le risque se réalise (c.-à-d., D = 50). Supposons que — ceteris paribus — nous réduisions la probabilité
2
que le risque se réalise : elle passe de 12 à 10
. Cela se traduit par un déplacement des courbes d’indifférence
de l’individu (courbes en pointillés) et on constate qu’au point initial (point rouge) l’individu voit son score
d’utilité augmenter. Après tout, cela semble logique : l’importance relative du score d’utilité u(100) a augmenté
au détriment du « mauvais score » u(50). On en tire donc la conclusion suivante :
Proposition 8. Toute baisse de la probabilité que le risque se réalise se traduit — ceteris paribus — par une
augmentation du score d’utilité d’autant plus grande que la baisse de la probabilité est importante.
ä
16. Vous établirez par vous-même les conditions lorsque les contraintes sont saturées.
21
7.5. L’AUTO-PROTECTION
Considérons maintenant l’effet — ceteris paribus — de l’engagement d’une dépense d’autoprotection c. Comme
cette dépense est subie de façon certaine, que le risque se réalise ou pas, il est clair que le score d’utilité de
l’individu va baisser (point bleu de coordonnées (100 − c, 100 − 50 − c)). On aboutit à la conclusion suivante :
so
ire
Proposition 9. Toute dépense d’auto-protection se traduit — ceteris paribus — par une diminution de l’indice
d’utilité de l’individu. Cette baisse est d’autant plus forte que c est important.
ä
Il nous reste à relier les deux propositions en abandonnant la clause ceteris paribus. Toute dépense d’autoprotection — parce qu’elle réduit la richesse de l’individu — se traduit par une baisse de son utilité. Simultanément, elle augmente le score d’utilité parce qu’elle fait baisser la probabilité que le risque se réalise. L’individu
acceptera donc d’engager des dépenses si le gain qu’il en retire est supérieur à la perte qu’elles induisent. Il
poussera ses dépenses jusqu’à ce que le gain marginal égalise la perte marginale d’utilité.
Il nous reste maintenant à vérifier que notre condition du premier ordre d’un maximum correspond à l’interprétation que nous venons de donner. Réorganisons les termes de l’équation(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
pr
ov
i
¡
¢
p 0 (c) u(R − D − c) − p(c) u 0 (R − D − c) − p 0 (c) u(R − D) − 1 − p(c) u 0 (R − c) = 0,
¡
¢
¡
¢
=⇒p 0 (c) u(R − D − c) − u(R − c) = p(c) u 0 (R − D − c) + 1 − p(c) u 0 (R − c),
¡
¢
¡
¢0
=⇒ p 0 (c) u(R − D − c) + 1 − p(c) u(R − c) = p(c) u 0 (R − D − c) + 1 − p(c) u 0 (R − c),
|
{z
} |
{z
}
taux de variation de U dû à l’impact de c sur p
taux de variation de U dû à l’impact de c sur u
ce qui confirme à l’évidence notre interprétation 17 .
E XEMPLE . La probabilité que le risque se réalise (p) est une fonction décroissante des dépenses d’autoprotection (c) :
1 ¢
c+ 32
p[c_] := ¡
Le graphe de cette fonction est :
Plot[p[c], {c, 0, 10}, PlotRange → {0, 1}]
1
0.8
n
0.6
0.4
io
0.2
2
4
6
8
10
ve
rs
Le tracé montre que si les dépenses de prévention sont nulles, il y a 66 chances sur 100 pour que le risque
se réalise. Les premiers euros engagés font baisser rapidement cette probabilité. Pourtant, avec chaque euro
dépensé, il devient de plus en plus difficile de diminuer cette probabilité.
p 0 [c]
−¡3 1
2 +c
¢2
<0
La fonction est décroissante.
p”[c]
2
¡3
2 +c
¢3
>0
Elle décroît de moins en moins vite.
17. Pour une étude du problème lorsque la richesse de l’individu ou l’importance de la perte changent, vous pouvez vous reporter à
Sweeney et Beard (1992).
22
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
On suppose que les préférences de l’individu sont décrites par la fonction d’utilité :
p
u[y_] := y
so
ire
On peut donc établir la fonction U de l’individu. Elle dépend de sa richesse (R), des dommages résultant de la
réalisation du risque (Des) et bien sûr de la dépense de prévention (c) dont dépend la probabilité que le risque
se réalise :
U [R_, Des_, c_] :=p[c] u[R − Des − c] + (1 − p[c]) u[R − c]
Si on fixe arbitrairement R = 100 et Des = 50, on peut faire varier c et voir comment l’utilité varie :
Plot[U [100, 50, c], {c, 0, 20}, PlotRange → {7, 10}]
10
9.5
9
8.5
pr
ov
i
8
7.5
5
10
15
20
De toute évidence, les premiers euros dépensés en prévention (c < 5) augmentent le score d’utilité de l’individu.
Passés 7 euros de dépenses, l’utilité diminue. Reste à trouver la valeur optimale de c.
Simplify[D[U [100, 50, c], c]]
p
100−c
¡ 3 ¢2
2 +c
p
50−c
p
− 4(3+2c)
2 −
1
50−c(3+2c)
+
2
−1+ 3+2c
p
2 100−c
Solve[D[U [100, 50, c], c] == 0, c]//N
{{c → −9.26964}, {c → 5.97814}}
io
n
La solution optimale (on retient la valeur positive) est c = 5,97...
Comme on le constate en examinant la dérivée de la fonction objectif, il vaut mieux laisser faire le travail à un
logiciel de calcul numérique !
Le logiciel Mathematica possède une fonction intéressante de maximisation des fonctions non-linéaires sous
contrainte.
NMaximize[{U [100, 50, c], c>=0}, {c}]
ve
rs
{9.28708, {c → 5.97814}}
On obtient directement la solution optimale et la valeur de l’objectif à l’optimum.
Intéressons-nous maintenant à l’attitude d’un individu qui peut s’auto-protéger et s’assurer. Le tableau des
risques 7.5 décrit cette nouvelle situation.
TABLE 7.5 – TABLEAU DES RISQUES
conséquences
probabilités
le risque se réalise
le risque ne se réalise pas
R − D − c + q − γq
p(c)
R − c − γq
1 − p(c)
L’individu doit désormais choisir à la fois une dépense optimale d’auto-protection et un montant optimal q de
couverture. Pour cela, il résout le programme suivant
23
7.5. L’AUTO-PROTECTION
¡
¢
max p(c) u(R − D − c + q − γq) + 1 − p(c) u(R − c − γq)
(7.87)
c,q
(7.88)
q ≥0
(7.89)
so
ire
sc : c ≥ 0
et la solution optimale vérifie
¡
¢
p 0 (c) u(R − D − c + q − γq) − p(c)u 0 (R − D − c + q − γq) − p 0 (c)u(R − c − γq) − 1 − p(c) u 0 (R − c − γq) ≤ 0,
¡
¢
(1 − γ) p(c) u 0 (R − D − c + q − γq) − γ 1 − p(c) u 0 (R − D − c − γq) ≤ 0,
q ≥ 0.
c ≥ 0,
Supposons que l’assurance soit équitable. Cela veut dire que p(c) = γ. Si on admet que q est strictement positif,
la seconde condition d’équilibre est une égalité
¡
¢
(1 − γ) p(c) u 0 (R − D − c + q − γq) = γ 1 − p(c) u 0 (R − D − c − γq),
0
0
=⇒u (R − D − c + q − γq) = u (R − D − c − γq).
(7.90)
(7.91)
pr
ov
i
Puisque u(.) est strictement croissante, on en déduit que
R − D − c + q − γq = R − D − c − γq = ξ.
(7.92)
Dans ces conditions, la première condition d’équilibre devient
¡
¢
p 0 (c) u(R − D − c + q − γq ) − p(c)u 0 (R − D − c + q − γq ) − p 0 (c)u(R − c − γq ) − 1 − p(c) u 0 (R − c − γq ) ≤ 0,
|
| {z }
| {z }
|
{z
}
{z
}
ξ
0
=⇒ − u (ξ) ≥ 0,
ξ
c ≥ 0.
ξ
c ≥0
ξ
Puisque par hypothèse u 0 (.) ne saurait être nulle, la solution optimale est telle que c = 0. Ce qui signifie que :
1. l’individu s’assure pour un montant positif, q > 0 ;
2. il ne fait aucun effort pour prendre des précautions, c = 0.
io
n
Le cas le plus général est celui où γ est fixé ex ante par la compagnie d’assurance. Il ne dépend donc pas de
la probabilité que le risque se réalise et de son éventuelle variation. Selon la valeur que prendra γ, toutes les
combinaisons « assurance/auto-protection » sont envisageables. Pour illustrer cette affirmation, nous allons
traiter un exemple simple où l’individu choisira — selon la valeur de γ — soit de s’assurer, soit de s’auto-protéger.
E XEMPLE . On se donne une relation entre c et la probabilité que le risque se réalise.
1
p[c_] := (c+2)
ve
rs
Ainsi qu’une fonction d’utilité du revenu certain u.
p
u[R_] := R
La perspective risquée a donc une utilité U.
p[c] u[R − Des − c + q − γq] + (1 − p[c]) u[R − c − γq]
U [R_, Des_, c_, q_, γ_] :=
:=p[c]
On suppose que la richesse de l’individu est R = 100 et que le montant des dommages — si le risque se réalise —
est Des = 50.
R = 100; Des = 50;
On se donne différentes valeurs de γ et on examine l’allure de la fonction U. On commence par γ = 0, 10 :
·
½
¾¸
£
¤
1
Plot3D U R, Des, c, q, 10
, {c, 0, 50}, q, 0, 50
1
10
24
15
so
ire
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
500
10
400
5
0
0
300
10
200
20
100
30
40
pr
ov
i
500
On « voit » immédiatement que le maximum est atteint lorsque c=0 et q=500. Ce que peut confirmer l’utilisation
de la fonction Maximize de Mathematica
£© £
¤
1
Maximize U 100, 50, c, q, 10
, c ≤ 50&&c ≥ 0&&q ≥ 0&&500 ≥ q}, {c, q}]//N
{14.7159, {c → 0., q → 500.}}
Prenons maintenant une valeur importante de γ, par exemple γ=0,8
ve
rs
io
n
¤
¤
£ £
8
, {c, 0, 50}, {q, 0, 62.5}
Plot3D U R, Des, c, q, 10
8
6
4
2
0
0
60
40
10
20
20
30
40
500
Les courbes de niveau ont l’allure suivante
¤
£ £
8
ContourPlot U R, Des, c, q, 10
, {c, 0, 50}, {q, 0, 62.5}, Contours → 30]
25
7.5. L’AUTO-PROTECTION
60
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
pr
ov
i
0
so
ire
50
Et le maximum est
£© £
¤
8
Maximize U 100, 50, c, q, 10
, c ≤ 50&&c ≥ 0&&q ≥ 0&&62.5 ≥ q}, {c, q}]//N
{9.31441, {c → 5.47557, q → 0.}}
L’individu ne s’assure pas et préfère dépenser c ' 5, 47 pour l’auto-protection lorsque γ = 0, 8.
n
Le calcul suivant consiste à résoudre le problème de maximisation pour différentes valeurs du paramètre γ. Plus
précisément, on fait varier γ de 0,1 à 0,9 par pas de 0,02.
o
i
o ©
ª¤¤
1 9 1
Table[
{γ,
Maximize[{U [100, 50, c, q, γ], c ≤ 50&&c ≥ 0&&q ≥ 0&& 50
res = Chop[
Chop[Table[
Table[{γ,
{γ,Maximize[{U
;
γ ≥ q , {c, q} //N , γ, 10 , 10 , 50
On extrait pour chaque valeur de γ les valeurs optimales de q du calcul précédent. On obtient des couples (γ, q) :
ve
rs
io
{i , 1, Length[res]}]
resq = Table[{res[[i , 1]], res[[i , 2, 2, 2, 2]]},
2]]},{i
©© 1
ª ©3
ª ©7
ª ©4
ª ©9
ª ©
ª ©
ª ©
ª ©
ª
, 500. , 25
, 416.667 , 50
, 357.143 , 25
, 312.5 , 50
, 277.778 , 15 , 250. , 11
, 227.273 , 6 , 208.333 , 13 , 192.308 ,
© 710
ª ©3
ª ©8
ª © 17
ª ©9
ª © 19 ª ©502 ª © 21 ª ©2511 ª © 23 ª 50© 12 ª
, 178.571 ,
, 166.667 , 25 , 156.25 , 50 , 147.059 , 25 , 138.889 , 50 , 0 , 5 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 ,
ª © 14 ª © 29 ª © 3 ª © 31 ª © 16 ª © 33 ª © 17 ª © 7 ª © 18 ª © 37 ª © 19 ª © 39 ª
© 125 ª © 13 ª © 10
27
,
0
,
,
0
,
, 50 , 0 , 25 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 , 10 , 0 , 25 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 , 50 , 0 ,
50 , 0 ª, ©25 , 0 ª, ©50 , 0 ª, ©5 , 0 ªª
©24 ª ©25
ª
©
41
21
43
22
9
,
0
,
,
0
,
,
0
,
,
0
,
,
0
,
,
0
5
50
25
50
25
10
De la même façon, on extrait les valeurs optimales de c :
{i , 1, Length[res]}]
resc = Table[{res[[i , 1]], res[[i , 2, 2, 1, 2]]},
2]]},{i
©© 1 ª © 3 ª © 7 ª © 4 ª © 9 ª © 1 ª © 11 ª © 6 ª © 13 ª © 7 ª © 3 ª © 8 ª © 17 ª © 9 ª
, 0 , 25 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 , 50 , 0 , 5 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 , 10 , 0 , 25 , 0 , 50 , 0 , 25 , 0 ,
© 1910
ª ©
ª ©
ª © 11
ª © 23
ª © 12
ª ©1
ª © 13
ª
, 5.47556 , 52 , 5.47556 , 21
50 , 5.47556 ª, ©25 , 5.47556ª , © 50 , 5.47556ª , © 25 , 5.47556ª , © 2 , 5.47556 ª, ©25 , 5.47556 ª,
ª
©
ª
©
© 50
14
17
27
, 5.47556 , 25
, 5.47556 , 29
, 5.47556 , 35 , 5.47556 , 31
, 5.47556 , 16
, 5.47556 , 33
50 , 5.47556ª , 25 , 5.47556 ,
© 50
ª © 18
ª © 50
ª © 19
ª ©5039
ª ©254
ª © 41
7
37
, 5.47556 , 25 , 5.47556 , 50 , 5.47556 , 25 , 5.47556 , 50 , 5.47556 , 5 , 5.47556 , 50 , 5.47556 ,
©10
ª © 43
ª © 22
ª ©9
ªª
21
25 , 5.47556 , 50 , 5.47556 , 25 , 5.47556 , 10 , 5.47556
On représente les valeurs optimales de q en fonction de γ :
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], PointSize[0.02]}]
ListPlot[resq,
ListPlot[resq,PlotStyle
26
CHAPITRE 7. LA DEMANDE D’ASSURANCE
500
400
200
100
0.2
0.4
0.6
Et celles de c en fonction de γ :
5
4
3
2
1
0.8
pr
ov
i
PlotStyle → {RGBColor[0, 0, 1], PointSize[0.02]}]
ListPlot[resc,
ListPlot[resc,PlotStyle
so
ire
300
0.2
0.4
0.6
0.8
n
On constate sur cet exemple que
– lorsque γ < 0, 37 l’individu s’assure et n’engage aucune dépense d’auto-protection.
– lorsque γ > 0, 37 l’individu ne s’assure plus et dépense un montant constant c = 5, 47 pour assurer son
auto-protection.
Comme le remarquent Ehrlich et Becker (1972),
ve
rs
io
Consequently for those kinds of market insurance with prices that are largely independent of
expenditures on self protection, one should observe either a large demand for insurance and a small
demand for self-protection, or the converse.
so
ire
Bibliographie
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traduits en français. Attention, cet ouvrage comporte de nombreuses erreurs.
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27