ESD 2010 3C – 0624 : Fonctions et géométrie - Univers TI

Epreuve sur Dossier
CAPES Mathématiques
ESD 2010 3C – 0624 : Fonctions et géométrie
TI-Nspire
 CAS
Auteur du corrigé : Gilbert JULIA
Ce document a été réalisé avec la version 2.1 du logiciel TI-Nspire CAS.
Fichier associé : esd2010_0624.tns
1. Le sujet1
A. L’exercice proposé au candidat
1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ). On appelle Γ la courbe d’équation y = .
x
Soient a, b et c trois réels non nuls et deux à deux distincts, A, B, C les points de Γ d’abscisses respectives a,
b, c et H l’orthocentre du triangle ABC.
Le but de l’exercice est d’étudier la position du point H lorsque l’on fait varier a, b et c.
1. Construire la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie.
2. Faire varier a, b et c et émettre une conjecture concernant la position du point H.
3. On se propose d’étudier la conjecture formulée à la question 2.
3.1. Donner une équation de deux des hauteurs du triangle.
3.2. En déduire les coordonnées de H en fonction de a, b et c. Conclure.
B. Le travail demandé au candidat
Le candidat rédigera sur ses fiches :
• Sa réponse à la question 3 de l’exercice.
• Deux exercices se rapportant au thème « Fonctions et géométrie ».
Le candidat présentera au jury :
• Le contenu de ses fiches.
• Les connaissances et savoir-faire mis en jeu dans cet exercice ainsi que les objectifs d’apprentissage
visés.
2. Éléments de correction
L’exercice a pour objectif l’étude d’une propriété métrique des hyperboles équilatères : l’orthocentre d’un
triangle inscrit dans une hyperbole équilatère appartient lui aussi à cette hyperbole.
Il s’agit d’un exercice de recherche qui s’inscrit dans l’esprit des programmes de première S : « on veillera à
allier observations (à l'aide de logiciels de géométrie dynamique notamment) et mise en évidence des
démarches et des propriétés des objets étudiés permettant de confirmer ou d'infirmer ces observations2 ».
On distingue une phase d’expérimentation (questions 1 et 2) suivie d’une phase de démonstration.
Connaissances et savoir-faire mis en jeu dans l’exercice :
•
Savoir expérimenter à l’aide d’un outil logiciel (questions 1 et 2) ; être en mesure d’exploiter
l’expérimentation (formuler des conjectures).
•
Savoir mettre en place une démarche permettant de valider les conjectures. En l’occurrence, il s’agit
de déterminer, dans le cadre de la géométrie analytique, une équation d’une droite définie par un
point et un vecteur normal (pour obtenir une équation d’une hauteur) puis de résoudre un système de
deux équations linéaires dépendant de plusieurs paramètres (pour obtenir les coordonnées du point
d’intersection de deux des hauteurs du triangle).
1
Ce sujet a été posé lors des épreuves orales 2010 du « troisième concours ».
2
Contenu des programmes de première S, BO du 31/08/2000.
© Texas Instruments 2011 / Photocopie autorisée
ESD 2010 3c 0624_calc - 1
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Objectifs d’apprentissage :
L’objectif principal est d’entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique, allant de la mise en
place d’une expérimentation à la formulation de conjectures puis à la preuve de ces conjectures. Ces objectifs
sont explicitement cités dans les documents de cadrage des programmes du lycée, où l’on relève notamment
parmi les compétences à travailler :
•
Pratiquer une lecture active de l’information (critique, traitement), en privilégiant les changements
de registre (graphique, numérique, algébrique, géométrique).
•
Conduire un raisonnement, une démonstration.
3. Apport du logiciel TI-Nspire
a. Apports proposés
•
•
Construction d’une figure illustrant l’exercice.
Résolution de la question 3 à l’aide du calcul formel.
b. Triangle inscrit dans une hyperbole équilatère
Ouvrir une page Graphiques.
Représenter graphiquement la fonction f1 définie par :
1
f1 (x ) = . Créer trois points a, b, c sur l’axe des abscisses
x
(Ox). Les points A, B et C sont définis comme les points
d’intersection de la courbe Γ avec les perpendiculaires à (Ox)
passant respectivement par les points a, b et c.
Créer le triangle ABC.
En agissant sur les points a, b ou c, on pourra déformer à
volonté le triangle ABC.
Construire deux hauteurs du triangle et leur point
d’intersection H. Eventuellement, cacher les constructions
annexes.
Il semble que, lorsqu’on déplace les points a, b ou c, le point
H reste sur l’hyperbole.
Lorsque deux exactement des trois points sont sur une
branche d’hyperbole, on conjecture que H est sur cette même
branche.
© Texas Instruments 2011 / Photocopie autorisée
ESD 2010 3c 0624_calc - 2
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Lorsque A, B, C sont tous sur une même branche de
l’hyperbole, on conjecture que H appartient à l’autre branche.
c. Résolution de la question 3
Ouvrir une page Calculs.
Définir en tant que matrices 1 × 2 les coordonnées des points
A, B et C, et les stocker en variables aa, bb et cc
respectivement.
Définir de même les coordonnées (x ; y ) d’un point M du
plan.
Ce point M appartient à la hauteur issue de A si et seulement
si le produit scalaire AM .BC est égal à zéro
(b 7 C 3 : Produit scalaire). Il appartient à la hauteur
issue de B si et seulement si le produit scalaire BM .CA est
égal à zéro. En calculant ces deux produits scalaires, on peut
remarquer la similitude des résultats, à l’ordre alphabétique
près. En fait, une fois obtenue une équation de l’une des trois
hauteurs, on peut écrire une équation de chacune des deux
autres hauteurs en effectuant deux permutations circulaires
des lettres a, b et c.
Pour obtenir les coordonnées du point H, il s’agit de résoudre
 AM .BC = 0
le système d’équations : 
. Pour cela, on peut
 BM .CA = 0
utiliser l’outil linSolve de résolution d’un système d’équations
linéaires (b 3 6 2).
Son utilisation sans précaution provoque cependant un
affichage inattendu… mais pas autant que cela. Le logiciel
met en lumière les valeurs pour lesquelles les équations du
système n’ont pas de sens puis discute logiquement le
système suivant les valeurs de a, b et c.
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ESD 2010 3c 0624_calc - 3
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On obtient la solution attendue, en adjoignant au système la
condition « a, b et c distincts deux à deux » (/ = ou / k
ou encore / b 7 pour accéder au symbole de
conditionnement « ñ »).
L’ordonnée y du point H est bien l’inverse de son abscisse :
les coordonnées du point H vérifient l’équation de
l’hyperbole Γ. L’abscisse de ce point est du signe opposé à
celui du produit a.b.c ce qui permet, connaissant les signes de
a, b et c, de situer H sur l’une ou l’autre des deux branches.
Par exemple, H a une abscisse positive si les trois points A, B
et C ont tous des abscisses négatives ou bien si deux d’entre
eux exactement ont des abscisses positives.
On fera remarquer la symétrie des résultats par rapport aux
paramètres a, b et c. Le choix des deux hauteurs n’a pas
d’importance, c’est pourquoi l’énoncé, à bon escient, ne
l’impose pas.
4. Conclusion
Cet exercice est représentatif de l’apport de l’environnement informatique dans la résolution d’un problème.
L’usage de l’application Graphiques intervient en début d’exercice, dans un but expérimental, pour faire
formuler aux élèves une conjecture (l’appartenance de H à l’hyperbole n’est à aucun moment évoquée dans
l’énoncé). Un candidat au CAPES peut s’en tenir à cette expérimentation, conforme à la consigne de
l’exercice.
On passe ensuite à la démonstration, avec comme seule indication explicite le recours à la géométrie
analytique. L’usage de l’application Calculs peut s’envisager à deux moments de cette démonstration.
•
•
Si on privilégie la démarche, cette application peut très bien être utilisée en cours de résolution
(question 3) par les élèves eux-mêmes. L’important est qu’ils sachent correctement saisir les données
puis exprimer une équation de chaque hauteur par la nullité d’un produit scalaire bien choisi. Le
solveur du logiciel prend ensuite en charge les difficultés techniques de résolution. La variété des
menus auxquels il faut successivement faire appel, souligne les changements de registre que les
élèves doivent effectuer. Seuls cependant en tireront profit des élèves déjà familiarisés avec le
logiciel de calcul formel et ayant intégré cet outil dans leur pratique. L’exercice peut dans ce cas être
l’occasion de découvrir de nouvelles fonctionnalités (entre autres, l’usage à bon escient du symbole
« ñ (sachant que) »).
Si on veut entraîner les élèves au calcul algébrique, le calcul formel interviendra un peu plus tard, en
validation. La situation étudiée ici se prête à un tel entraînement car les équations dont sont solutions
les coordonnées x et y du point H dépendent « naturellement » de paramètres, c’est là une difficulté
que les élèves devront surmonter. L’appel à l’outil logiciel de résolution illustrera alors la synthèse
de l’exercice. On pourra mettre en valeur les rôles différents des notations a, b et c d’une part, x et y
d’autre part. Dans le système d’équations à résoudre par linSolve, x et y sont désignées comme des
inconnues tandis qu’on impose des conditions portant sur les paramètres a, b, c.
Un candidat au CAPES pourra, pour sa part, utiliser la page Calculs d’abord pour résoudre lui-même
l’exercice (en position « d’élève ») puis éventuellement, lors de son exposé devant le jury, pour résumer très
brièvement les résultats attendus (en « validation »).
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