Exercice 28 x x 6x

Exercice 28
Pour chaque question du QCM quatre réponses sont proposées ; une de ces quatre réponses est juste, les
trois autres sont fausses.
Lorsque le candidat répond au hasard a une question, si on note J "la réponse est juste" et F "la réponse est

fausse", on a : p(J) = 1
et
p(F) = p( J ) = 1 - 1 = 3
4
4 4
Le questionnaire comporte quatre questions.
On peut imaginer un arbre de probabilités pour représenter la situation.
Il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
La loi de probabilité associée est la loi binomiale de paramètres 4 et 1 .
4
1°) L'événement «Le candidat a quatre réponses justes» est (J ; J ; J ; J).
1 x 1 x 1 x 1 =  1 4 = 1
Sa probabilité est donnée par :
4 4 4 4 4
256
La probabilité de l'événement «Le candidat a quatre réponses justes» est
1 .
256
2°) Si le candidat a exactement deux réponses justes, il a aussi deux réponses fausses.
L'événement «Le candidat a exactement deux réponses justes» correspond à :
 


 




 
(J ; J ; J ; J ) ; (J ; J ; J ; J ) ; (J ; J ; J ; J) ; ( J ; J ; J ; J ) ; ( J ; J ; J ; J) ; ( J ; J ; J ; J)
2
2
Sa probabilité est donnée par :
6 x 1 x 1 x 3 x 3 = 6 x  1  x  3  = 54
4 4 4 4
4
4
    256
La probabilité de l'événement «Le candidat a exactement deux réponses justes» est 54 .
256
3°) L'événement «Le candidat a au moins une réponse juste» est le contraire de l'événement «Le candidat a
quatre réponses fausses».
4
La probabilité de l'événement «Le candidat a quatre réponses fausses» est  3  = 81 .
 4  256
4
La probabilité de l'événement «Le candidat a au moins une réponse juste» est 1 -  3  = 175 .
 4  256
4°) a) Le nombre de réponses justes peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4.
On peut donner les probabilités correspondant aux différentes valeurs :
Nombre de
réponses justes
0
1
2
4
3
2
2
4x1x3
6x 1  x  3 
4 4
4 4

Probabilité
81
108 = 27
54 = 27
256
256 64
256 128
On peut vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
3
4
3
4
3
4x1 x3
4 4
12 = 3
256 64
4
1
4
1
256
L'espérance mathématique du nombre de réponses justes est :
E = 0 x 81 + 1 x 108 + 2 x 54 + 3 x 12 + 4 x 1 = 0 + 108 + 108 + 36 + 4 = 256 = 1 .
256
256
256
56
256
256
256
L'espérance mathématique du nombre de réponses justes est égale à 1.
b) L'espérance mathématique étant égale à 1, cela signifie qu'un candidat qui répond au hasard a, en
moyenne, une réponse juste sur les quatre (et donc trois réponses fausses).
Pour qu'un candidat répondant au hasard ait en moyenne 0, on peut attribuer 1 point à une réponse
juste et - 1 a une réponse fausse.
3
Un candidat qui répond au hasard aura en moyenne 1 point pour la réponse juste et 3 x - 1 = -1
 3
pour les trois réponses fausses, donc il aura en moyenne 0.
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