Symétrie Centrale

Symétrie Centrale
I.Définition
1) Symétrique d'une figure – approche expérimentale
Dans une symétrie centrale, deux figures sont symétriques par rapport à un point lorsqu'on passe d'une figure à l'autre
en effectuant un demi-tour autour de ce point. Ce point est appelé centre de la symétrie centrale.
O
2)
Symétrique d'un point
Définition: On note M et M' deux points distincts. M et M' sont symétriques par rapport à O lorsque O est
le milieu du segment [ MM ' ].
M'
O
M
Cas particulier du centre de la symétrie: par une symétrie centrale de centre O, le symétrique de O
est le point O lui-même.
II.
1)
Propriétés: symétriques de figures usuelles
Symétrique d'un segment
B'
A
O
B
A'
Théorème admis: Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
On dit qu'une symétrie centrale conserve les longueurs.
Pour tracer le symétrique d'un segment [AB] par rapport au point O:
On trace les symétriques A' et B' de A et B par rapport au point O.
Le segment [A' B' ] est le symétrique de [AB] par rapport à O., il suffit de tracer les symétriques des deux extrémités
du segment.
2)
Symétrique d'une droite
Théorème admis: Le symétrique d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
Pour tracer le symétrique d'un droite d par une symétrie centrale de centre O:
• on choisit deux points A et B quelconques de la droite;
• on trace leurs symétriques A' et B' par la symétrie centrale;
• La droite (A'B') est le symétrique de d par rapport à O..
B'
A
O
A'
B
remarque 1:
Que se passe-t-il si la droite D passe par le point O ?
On note D ' le symétrique de la droite D par rapport à O.
Le symétrique d’une droite est une droite parallèle.
Donc D et D ' sont parallèles.
De plus, O appartient à la droite D, donc son symétrique (donc lui-même) appartient à la droite D'. Donc O
appartient à D '.
Les droites D et D' sont parallèles et ont un point commun. Donc elles sont confondues.
Théorème : Si une droite contient le centre de symétrie, alors son symétrique par rapport à ce centre est
elle-même.
O
remarque 2:
dans une symétrie axiale, le symétrique d'une droite est une droite, mais la droite et son
symétrique ne sont pas nécessairement parallèles.
d
A
∆
A'
d'
3)
Symétrique d'une demi-droite
Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite.
Les deux origines sont symétriques par rapport au centre de symétrie.
x
A
A'
O
x'
Pour tracer le symétrique d'une demi-droite [Ax) par rapport au point O.:
• on trace le symétrique de A ( l'origine de la demi-droite) par rapport au point O.
• on choisit un point B sur la demi-droite [Ax).
• on trace son symétrique B' par la symétrie centrale.
• la demi-droite [A'B') est le symétrique de [Ax) par rapport à O.
4)
Symétrique d'un cercle
Théorème: le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon. Les deux centres de cercles sont
symétriques par rapport au centre de symétrie.
Cela vient de la conservation des longueurs dans une symétrie centrale.
A
O
A'
Pour tracer le symétrique d'un cercle C de centre A par rapport au point O:
•
•
on trace le symétrique A ' du centre du cercle
on trace le cercle de centre A ' et de même rayon que le cercle C. C'est le symétrique de C par rapport au
point O.
5)
Symétriques d'angles
Théorème admis: deux angles symétriques par une symétrie centrale sont égaux.
On dit qu'une symétrie centrale conserve les angles.
Pour tracer le symétrique d'un angle a
xAy : par rapport au point O.
• On place deux points B et C sur les demi-droites [Ax) et [Ay).
• On trace A', B' et C' symétriques respectifs de A, B et C par rapport au point O.
•
a est le symétrique de a
B'A'C'
xAy par rapport au point O.
x
B
A
C
y
O
C'
A'
B'
6)
Symétriques de deux droites perpendiculaires
Théorème: les symétriques de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
On dit qu'une symétrie centrale conserve l'orthogonalité.
Cela vient de la conservation des angles dans une symétrie centrale, et donc de la conservation des angles droits.
Pour tracer les symétriques de deux droites perpendiculaires d1 et d2 par rapport au point O.
• On note A le point d'intersection de d1 et d2 .
• On place un deuxième point sur la droite d1. On le note B.
• On trace A' et B', symétriques respectifs de A et B par rapport au point O.
• On trace (A'B'). C'est le symétrique de la droite d1 par rapport au point O.
• On trace la perpendiculaire à (A'B') passant par le point A. C'est le symétrique de la droite d2 par rapport
au point O.
d1
d2
A
B
O
d'1
B'
d'2
A'
7)
Symétriques de deux droites parallèles
Les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
On dit qu'une symétrie centrale conserve le parallélisme.
Cela vient de la conservation de l'orthogonalité.
Il ne faut pas confondre cette propriété avec l'image d'une seule droite. Ici, deux droites ont pour images
deux droites (soit quatre droites au total)
B
A
D
d1
C
d2
O
C'
D'
A'
d'2
B'
d'1
8) Conservation des aires.
Par une symétrie centrale, le symétrique d'une figure est une figure isométrique (ayant la même forme et les
même dimensions.
Par une symétrique centrale, le symétrique d'une figure est une figure de même aire.
On dit qu'une symétrie centrale conserve les aires.
III.
1)
Centres de symétrie de figures usuelles
Définition:
Une figure admet un centre de symétrie lorsque le symétrique de cette figure par rapport à ce centre
est la figure elle-même.
Cette figure a un centre de symétrie et deux axes de
symétrie.
Cette figure a un centre de symétrie et quatre axes
de symétrie
2)
Triangle
Un triangle n'admet pas de centre de symétrie.
Toutefois, s'il est isocèle, il admet un axe de symétrie: la médiatrice principale du triangle.
S'il est équilatéral, il admet trois axes de symétrie: les trois médiatrices des côtés.
C
C
I
J
A
K
B
I
B
3) Le cercle
Si un point A appartient au cercle de centre O, alors son symétrique appartient aussi au cercle de centre O.
Donc
Un cercle admet un centre de symétrie: le centre du cercle.
A