A.Étude du filtre passe bande

A.Étude du filtre passe bande
Illustration 1: Filtre passe bande
1.Calcul de la fonction de transfert du filtre
Afin de faciliter le calcul de la fonction de transfert, nous considérerons le filtre comme l'association
deux deux éléments Z1 et Z2 comme représenté ci-après :
Illustration 2: Schéma de simplification du filtre passebande
À présent, calculons les fonctions de transfert des blocs Z1 et Z2 :
Z 1= R
1 jRC 
1
=
et
jC 
jC 
Z2=
1
1

R
1
1
jC 
=
1
1
 jC 
R
Appliquons désormais le théorème de Millman au point A (Vs) :
Vs=
Ve
Z1
1
1

Z1 Z 2
⇔
Vs
=
Ve
1
1
=
1
1
Z
Z 1    1 1
Z1 Z2
Z2
=
R
1 jRC 
Nous pouvons maintenant procéder au calcul complet de la fonction de transfert :
Vs
=
Ve
jRC 
1
1
1
=
=
=
2
Z1
1 jRC  1 jRC  jRC 12jRC− RC  13jRC− RC 2
1
∗
1
R
Z2
jC 
jRC 
En posant :
Vs 1
= ∗
Ve 3
 0=
3j
1
, on a bien :
RC

0
2
13j
 
−
 0  20
Vs
2.Déterminons le rapport Ve à la fréquence de coupure en utilisant
Pspice.
Afin de calculer ce rapport, nous avons fait tracé la fonction de transfert
Vs
par pspice.
Ve
0
( 158. 489, -9. 543)
-20
-40
10Hz
VDB( Vs)
30Hz
100Hz
300Hz
1. 0KHz
3. 0KHz
10KHz
Frequency
Illustration 3: Représentation du gain du filtre en fonction de la pulsation du signal d'entrée
La courbe obtenue ci-dessous nous montre bien que l'on est présence d'un filtre passe bande car les
fréquences les moins atténuées sont celles proches de  0 . Par ailleurs, à la fréquence de coupure
 0≈158.5Hz , le filtre à un gain de -9,5dB. À partir de la fonction de transfert précédemment
calculée, et en posant
=0 , on a bien
Vs 1
1
= or 20 log  ≈−9,54 .
Ve 3
3
3.Déterminons le déphasage entre Vs et Ve à la fréquence de
coupure
 ce décalage à la fréquence de coupure, on a :
Notons
=arg 
Vs
1
=arg  =0 [2]
Ve
3
En demandant à Pspice de tracer le décalage entre Vs et Ve en fonction de la pulsation du signal en
entrée, on obtient la courbe ci-dessous.
100d
0d
-100d
10Hz
VP( Vs)
30Hz
100Hz
300Hz
1. 0KHz
3. 0KHz
10KHz
Frequency
Illustration 4: Représentation du déphasage du filtre en fonction de la fréquence du signal d'entrée
On peut donc bien vérifier que le déphasage entre Vs et Ve est nul à la fréquence de coupure.
B.Étude de l'oscillateur
1.Calculons la valeur de R4 afin d'obtenir un fonctionnement en
oscillateur du montage ci-dessus
Afin de reéaliser un oscillateur avec ce montage, il faut que celui satisfassse des conditions
d'oscillations bien déterminées. En effet, comme nous sommes en présence d'un système bouclé où la
sortie est rebouclée sur l'entrée, afin d'obtenir en sortie des oscillations périodiques, le système doit
avoir un gain total et un déphasage nul. En notant H F0 la fonction de transfert de l'oscillateur et
H R celle du filtre passe bande précédemment calculée, la condition d'osillation se traduit par :
H F0∗H R=1⇔∣H F0∣∗∣H R∣=1 et arg  H F0 arg  H R=0[2 ]
Comme nous avons montré le déphasage du filtre est nul à la fréquence de coupure comme l'est celui
de l'amplificateur non inverseur, la condition concernant le déphasage est déjà réalisée.
En oûtre, nous avons
que :
∣H R∣=
1
à la fréquence de coupure, nous devons donc calculer ∣H F0∣ tel
3
1
∣H F0∣∗ =1⇔∣H F0∣=3
3
Or, nous savons que
H F0=
Nous devons donc choisir
R3R 4
R3
R4 tel que :
R3R4
=3
R3
R3R4
=3 ⇔ R3 R4=3R3 ⇔ R4 =2R 3
R3
On obtient donc : R4 =20k 
2.Organisation de la structure et schéma fonctionnel équivalent
On remarque que le montage correspond bien à un système bouclé composé d'un amplificateur et d'un
filtre passe bande. Le filtre va permettre de ne garder que le fondamental désigné par la fréquence de
coupure. Ensuite, l'amplificateur va amplifier cette fréquence de manière à compenser l'atténuation du
filtre. La sortie de l'amplificateur étant rebouclée sur l'entrée du filtre, le fondamental du signal sera en
permanance filtré puis amplifié de manière à générer des oscillations propres à la fréquence de
coupure du filtre.
Illustration 6: Représentation du
système bouclé de l'oscillateur
Illustration 5: Schéma de l'oscillateur à pont de
Wienn
3.Simulation de la structure
En simulant le montage précédent à l'aide de Pspice, on obtient en sortie la tension suivante :
10V
0V
-10V
0s
5ms
V( Vs)
10ms
15ms
20ms
Ti me
Illustration 7: Représentation temporelle du signal généré
On observe que l'on a effectivement des oscillations de période 6,37ms. On obtient donc un signal
sinusoïdal de fréquence 157Hz. Cette fréquence est bien la fréquence à la pulsation de coupure car
f C=
 103
=
≈159Hz
2  2
Néanmoins, on observe que sur une période plus longue, l'amplitude des oscillations diminuent avec le
temps jusqu'à devenir nulle comme le montre la courbe suivante :
10V
0V
-10V
0s
V( Vs)
0. 4s
0. 8s
1. 2s
Ti me
Illustration 8: Autre représentation temporelle du signal généré
1. 6s
2. 0s
4.Stabilisation de l'amplitude
Nous utiliserons désormais le montage suivant :
Illustration 9: Schéma du montage avec stabilisation d'amplitude
5.Réglons R6 pour que l'amplitude de Vs soit égale à 10 volts.
Afin de déterminer la valeur de la résistance R6, nous avons testé différentes valeurs de R6. Nous en
avons déduit que R6 approchait de 18kΩ et avons obtenu en sortie le signal suivant :
10V
0V
-10V
0s
V( Vs)
10ms
20ms
30ms
Ti me
Illustration 10: Représentation temporelle du signal stabilisé
On constate que l'on a bien un signal d'amplitude 10 volts.
40ms
50ms
6.Expliquons le rôle des diodes D5 et D6 associées à la résistance R5
Dans un premier temps, on peut d'une manière simple comprendre le rôle du bloc de dipoles (D5, D6 et
R5) en les enlevant, puis en les remettant dans le circuit. On obtient ainsi les courbes suivantes
10V
0V
-10V
0s
25ms
50ms
V( Vs)
Ti me
Illustration 11: Représentation temporelle du signal sans le bloc
de dipôles
10V
0V
-10V
0s
25ms
50ms
V( Vs)
Ti me
Illustration 12: Représentation temporelle du signal avec le
bloc de dipôles
On remarque tout d'abord que sans le groupe de dipoles (courbe rouge), on a un signal pseudopériodique en sortie, signal dont l'amplitude tend vers 0. Tandis qu'en utilisant le groupe de dipoles
(courbe verte), on obtient un signal périodique. On peut déjà en conclure que le groupe de dipoles sert
à stabiliser l'amplitude des oscillations.
En observant de plus près le bloc D5 D6 R5, on remarque que lorsque la tension Vs est supérieur à
0,6V, la diode D6 est passante. De même, lorsque Vs est inférieure à -0,6V, c'est la diode D5 qui est
passante. Mais lorsque -0,6V < Vs < 0,6V, les deux diodes D5 et D6 sont bloquées. Dans ce dernier
cas, R6 est en série avec R5 ce qui peut avoir pour effet d'augmenter fortement le gain de
l'amplificateur.
Le montage ci-après nous permettra d'évaluer l'impédence de la mise en série de R6 avec le bloc de
dipoles. Cette impédence rentrant en compte dans le calcul du gain de l'amplificateur, nous pourrons
ainsi mieux comprendre le fonctionnent de ce système.
Illustration 13: Schéma du montage de test
des diodes D5 D6 et de la résistance R5
5. 0V
0V
SEL>>
-5. 0V
200uA
V( V5: +)
0A
-200uA
0s
I ( D2)
1ms
-I ( R2) -I ( D1)
2ms
3ms
4ms
5ms
6ms
7ms
8ms
9ms
10ms
Ti me
Illustration 14: Représentation temporelle de la tension et de l'intensité dans le montage de test
Cette première simulation nous permet de vérifier que lors des alternances positives et lorsque la
tension d'entrée est supérieure à 0,6V, le courant passe dans D6 et la tension générée au borne de la
diode (0,6V) entraine également la présence d'un courant dans la résistance R5. On observe la même
chose en ce qui concerne les alternances négatives et la diode D5.
Par contre, quand les diodes sont toutes les deux bloquées ou lorsque la tension d'entrée est comprise
entre -0,6V et 0,6V, le courant circule uniquement dans la résistance, c'est ce qui pourrait être la cause
de l'augmentation de l'impédence du circuit à cet instant précis.
Afin de valider cette hypothèse, on peut regarder la variation de la résistance équivalente du circuit en
fonction de la tension d'entrée.
29. 95K
25. 00K
20. 00K
15. 00K
-10. 0V
-8. 0V
V( V5: +) /I ( R1)
-6. 0V
-4. 0V
-2. 0V
0V
2. 0V
4. 0V
6. 0V
8. 0V
10. 0V
V( V5: +)
Illustration 15: Représentation de la résistance équivalente du circuit en fonction de la tension en
entrée
On constate qu'effectivement, quand la tension d'entrée tend vers 0, l'impédence du montage
augmente de R1 (18kΩ) jusqu'à R1+R5 (28kΩ). Au momment précis où la tension d'entrée est nulle, on
a une asymptote verticale du au fait que l'intensité du circuit est alors nulle.
Si on transpose ce raisonnement à l'oscillateur à pont de Wienn, on peut alors affirmer que le rôle de
D5, D6 et R5 est d'augmenter le gain de l'oscillateur quand la tension de sortie est voisine de 0, mais
aussi avec la résistance R6, de diminuer ce gain dans le cas contraire. Ce système permet de stabiliser
l'amplitude car il augmente amplifie des faibles tensions et atténue des tensions plus élevées.
On comprend désormais mieux pourquoi la seule présence de la résistance R6 ne pouvait suffire à
stabiliser cette amplitude, car en fournissant un gain constant voisin mais différent de 1, elle ne pouvait
pas indéfiniment stabiliser les oscillations.
7.Taux de distorsion harmonique et optimisation
Le taux de distorsion harmonique de cet oscillateur est de 2,705%.
Afin de minimiser ce taux, il faut essayer de minimiser les harmoniques. Dans notre cas, cela peut-être
réalisé en prenant soin au démarrage de l'oscillateur de retarder l'amplification des oscillations, le filtre
passe-bande est alors plus efficace pour atténuer la composante continue et les harmoniques avant
que celles-ci ne soient amplifiées. Il convient donc de laisser « le temps » à l'oscillateur de démarrer en
minimisant R5, ce qui diminura le gain de l'amplification pour les tensions proches de 0 et ainsi,
l'amplitude mettra plus de temps pour atteindre ses limites.
On fera également attention dans la simulation à minimiser la charge initiale des condensateur afin que
les harmoniques initialement présentes soient les plus faibles possible.
Par exemple, en prenant R5=2kΩ et R6=18,4kΩ, on obtient le signal dont on a représenté la
décomposition en séries de Fourier ci-dessous :
6. 0V
5. 0V
4. 0V
3. 0V
2. 0V
1. 0V
0V
0Hz
V( Vs)
100Hz
200Hz
300Hz
400Hz
Frequency
Illustration 16: Décomposition en séries de Fourier du signal étudié
Le Taux de Distorsion Harmonique de ce système est : 1.028%
500Hz
600Hz
670Hz
C/ Synthèse d'un oscillateur
1°) Choix du type d'oscillateur
Nous avons choisi de synthétiser un oscillateur à déphasage comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Illustration 17: Schéma d'un oscillateur à déphasage
Nous avons toujours un système bouclé composé d'un étage amplificateur et d'un autre étage filtre.
Nous avons choisi un filtre qui contrairement au précédent est un filtre passe-haut.
2/ Étude du fonctionnement de l'oscillateur
a.Filtre à trois cellules RC
Pour les calculs, nous noterons U A , U B , U C , U E et U S les tensions respectivement
aux noeuds A, B, C, E et S. De plus, nous notterons Z C l'impédence des condensateur. Afin de
calculer cette fonction de transfert, nous allons appliquer les lois de Kirchhoff aux différents noeuds du
circuit.
●
Au noeud A :
1
1
1
U E −U A −U A  U B −U A=0
ZC
R
ZC
●
Au noeud B :
1
1
1
U A−U B  −U B  U S −U B =0
ZC
R
ZC
●
Au point S :
En posant
1
1
U B −U S  −U S =0
ZC
R
Z C =mR , on obtient le système :
U E −m2U AU B=0
U A−m2U BU S =0
U B − m1U S =0
Puis, par substitution, on obtient l'équation suivante :
U E −m 35m 26m1U S =0
Cela nous permet d'en déduire la fonction de transfert de ce filtre :
VS
ZC
1
1
= 3
=
avec m=
2
V E m 5m 6m1
R
jRC 
b.Mise en application dans l'oscillateur à déphasage
La condition d'oscillation nous imposant un déphasage total égal à 0 [2] . Après avoir observé la
forme de la fonction de transfert du filtre, nous pouvons en déduire qu'il est impossible d'avoir un
déphasage nul. Nous allons donc chercher à obtenir un filtre de déphasage  , afin que le système
puisse osciller lorsque qu'il sera couplé avec un amplificateur de même déphasage  . Le filtre est
déphasé de  si sa fonction de transfert est réelle, c'est à dire que tous les termes complexes sont
nuls.
On a donc la conditions suivante :
3
2
m 6m=0 ⇐ mm 6=0⇐
1
1
− 2 2 2 6=0
jRC  R C 
Cette condition est satisfaite pour la fréquence
f 0=
Pour
f 0 calculée par la formule :
1
.
2 ∗RC  6
f = f 0 , l'atténuation du filtre est : ∣
Vs
1
∣=
.
Ve 29
Comme on cherche à obtenir des oscillations à la fréquence 160Hz, alors nous allons calculer les
valeurs de R pour C=0,1uF.
1
1
1
=160⇐
=160∗2 ∗ 6 ⇐ R=
≈4k 
RC
2 ∗RC 6
C∗160∗2 ∗ 6
On choisit donc pour le filtre des résistances de 4kΩ et des condensateur de capacité 0.1μF. Simulons
maintenant la fonction de transfert de ce filtre sous Pspice.
0
-50
SEL>>
-100
0d
( 160. 009, -29. 520)
VDB( S)
-200d
-400d
10Hz
100Hz
VP( C3: 2)
Frequency
Illustration 18: Diagramme de Bode du filtre à déphasage
1. 0KHz
10KHz
On constate bien que l'on a à faire à un filtre passe-haut. Les basses fréquences sont plus atténuées
que les hautes fréquences. On vérifie bien également que le déphasage n'est pas nul à la fréquence de
coupure et que l'atténuation du filtre à la fréquence de coupure est bien de
20log 
1
≈−29,2 dB
29
c.Réglage du gain de l'amplificateur
1
 dB , pour que le gain
29
total soit égal à 1, il faut que l'amplificateur est un gain en décibels de 20log 29 . Pour ce faire, on
doit avoir ∣H F0∣=29 .
Du fait que le filtre à la fréquence de coupure à une atténuation de
Le gain de l'amplificateur étant donné par la formule :
l'équation :
Si on fixe
H F0 =
R1R2
=29⇐ R1R2 =29R 1 ⇐ R2=28R 1 .
R1
R1 à 10k, il faut donc que
20log 
R1R2
, on doit donc résoudre
R1
R2 soit égal à 280k pour entretenir les oscillations.
d.Stabilisation de l'amplitude
Si on simule le montage à cet endroit, on obtient le résultat suivant :
20V
0V
-20V
0s
10ms
20ms
30ms
V( U1A: OUT)
Ti me
Illustration 19: Représentation temporelle du signal sans stabilisation de l'amplitude
40ms
On constate que l'on a bien un signal qui oscille, néanmoins on s'apperçoit qu'il a une amplitude de
15V et qu'au delà, il sature d'où la nécessité d'implémenter un stabilisateur d'amplitude.