Varier les activités pour un meilleur investissement des élèves

IUFM de Créteil
2 nd degré
2 ème année
Mathématiques
Mémoire professionnel
Varier les activités
pour un meilleur
investissement des élèves
LE GUILLOU Gwénaëlle
RSM : MARIE Laurent
année 2002/2003
SOMMAIRE
Présentation de l'établissement et de ma classe ……………….….… 1
INTRODUCTION..……………………………………………………….…… 2
I / Problématique ………………………………….……………………..…. 3
1.
Quelle idée se font nos élèves des mathématiques ?
2.
Le rôle de la motivation
3.
Les mécanismes de la motivation
4.
Quelques pistes envisagées
a)
b)
c)
d)
e)
5.
Le travail en petits groupes homogènes
L'utilisation de l'outil informatique
Histoire des mathématiques
Les jeux mathématiques
Les énigmes
Comment juger de la motivation des élèves ?
II / Mise en place et analyse des séances ……………………….…..… 9
A.
Un travail en groupe : la démonstration de la première propriété
des milieux ……………………………………………………………..….. 9
B.
Un travail de recherche : à propos de la propriété de Thalès …… 16
C.
Un jeu mathématique ..………………………………………………….. 22
CONCLUSION………………………………………………………………. 28
BIBLIOGRAPHIE ………………………………………………………….. 30
ANNEXES …………………………..…………………………………….… 31
J'effectue mon stage en responsabilité en Seine Saint Denis, au collège Léon Jouhaux à
Livry-Gargan.
Dès la prérentrée, j'ai été rassurée par le discours du principal Mr. Perrault ; malgré un
effectif important ( le collège compte 1 150 élèves pour 91 professeurs et 30 personnels
ATOSS ), l'établissement est relativement calme par rapport aux autres collèges de ce
département. L'ambiance y est par ailleurs très agréable ce qui a facilité mon intégration.
L'équipe de mathématiques est composée de neuf professeurs dont la majorité enseigne dans
l'établissement depuis plusieurs années.
J'ai en responsabilité une classe de quatrième et je complète mon horaire hebdomadaire avec
des heures de soutien scolaire en classe de cinquième et de troisième.
La quatrième 10 du collège a vu son effectif varier depuis le mois de septembre : elle était
d'abord composée de 23 élèves, puis le départ de l'un d'entre eux et l'arrivée de trois nouveaux
éléments en cours d'année ont vu cet effectif atteindre aujourd'hui les 25 élèves ( dont 3
redoublants ).
Elle est composée de 14 garçons et de 11 filles. Cette classe est plutôt sympathique, peu
bavarde mais la participation orale laisse un peu à désirer ( même si cette situation tend à
s'améliorer au fil du temps ).
Le niveau de la classe quant à lui est très insuffisant, le test d'entrée en quatrième le prouve ; 8
élèves sont en très grandes difficultés non seulement en mathématiques mais également dans
toutes les autres matières et la tête de classe n'est composée que de 5 élèves ( dont 3 sont
réellement très performants en mathématiques ).
INTRODUCTION
Dès le début de l'année, j'ai pu constater une certaine passivité chez les élèves de ma classe
ainsi qu'une forte interrogation sur l'intérêt de l'enseignement des mathématiques, ce qui
fatalement entraînait une baisse de niveau.
-
Aimes-tu les mathématiques? Pourquoi?
" Non parce que je ne sais pas ça va servir à quoi plus tard"
-
Si ta réponse est "non", que penses-tu que le professeur doive faire pour t'y intérésser?
" Répondre à ma question. "
Voici un extrait des réponses de Walid à un questionnaire distribué en début d'année
(Annexe 1 ), visant à évaluer l'attitude de mes élèves à l'égard des mathématiques…
Ces réponses ne m'ont pas surprises, tant elles reviennent lorsque l'on interroge petits et
grands sur l'enseignement des mathématiques. Mais elles m'ont laissées sans voix; pour nous
professeurs stagiaires, les mathématiques semblent finalement naturelles et il n'est pas si aisé
d'expliquer en quoi elles se justifient…
Cependant et pour tenter d'enrayer cette situation, j'ai choisi de réfléchir sur la manière
d'inciter mes élèves à reconsidérer notre matière.
Comment tenter de modifier l'image qu'ils se font des mathématiques, susciter leur intérêt et
faire en sorte qu'ils s'investissent davantage ?
Un élément de réponse est venu de l'enthousiasme de certains de mes élèves pour une
activité réalisée en début d'année sur le thème de la pyramide, travail réalisé par petits groupes
sous forme ludique.
Et si la solution tenait à renouveler ce type d'activités attrayantes et diversifiées ?
I/ Problématique
Pour nous, professeurs stagiaires, s'engager dans l'enseignement des mathématiques signifie
que l'on " aime les maths ", que l'on y trouve de l'intérêt et aussi du plaisir.
Malheureusement, ce sentiment est loin d'être partagé par la majorité de nos élèves.
1.
Quelle idée se font nos élèves des mathématiques ?
Grâce à des visites dans différentes classes du collège et un petit passé de vacataire en
collège et en lycée, j'ai pu constater l'évolution du regard envers les mathématiques de nos
élèves. Les arrivants de sixième sont pour la plupart motivés et très actifs, alors que dès la
quatrième, ils se sont déjà forgés une opinion sur la matière et beaucoup s'en sont totalement
désintéressés. Enfin, en seconde, les mathématiques apparaissent surtout comme un critère de
sélection dont certains se sont fatalement détachés.
Ayant remarqué dès le début d'année le manque d'intérêt de ma classe pour ma matière, j'ai
voulu par le biais d'un questionnaire comprendre leur attitude vis à vis des mathématiques.
Outre les réponses de Walid, celles de ses camarades m'ont confortées dans mon idée préalable:
parler de manque d'intérêt est un peu faible, disons plutôt qu'ils considèrent les mathématiques
comme une matière austère et inutile ...
Si la réponse qui revient le plus souvent est " je n'aime pas les maths parce que je ne sais pas à
quoi ça sert ", on peut néanmoins faire quelques observations suite au questionnaire :
- 96% de mes élèves déclarent ne pas aimer les mathématiques, avec des petites
nuances suivant qu'il s'agisse de géométrie ou de calcul.
- beaucoup traduisent leur désintérêt par les difficultés qu'ils rencontrent ( " ça
m'énerve très vite ", " je laisse tomber dès que je n'y arrive pas " , " ça embrouille
toujours ma tête ", " quand je ne comprends pas, je n'aime pas les exercices ").
- la majorité ne voit en cet apprentissage que l'intérêt numérique ( " les maths servent
à calculer " ).
- cinq élèves déclarent ne s'intéresser aux mathématiques que parce que " je vais en
avoir besoin pour plus tard".
Les mathématiques apparaissent donc comme un savoir inintéressant. Plus que toute autre
matière, elle est source de blocages.
Il convient donc que l'on s'interroge sur notre mode d'enseignement; si tant d'étudiants disent ne
pas aimer les mathématiques, il appartient aux professeurs de les persuader du plaisir ludique
que peuvent apporter les mathématiques.
Comment alors changer l'attitude négative des élèves par rapport aux mathématiques, casser
l'idée reçue et fortement enracinée dans notre société, due aux blocages de bons nombres, que
les mathématiques sont nécessairement ennuyeuses et sans intérêt ?
2.
Le rôle de la motivation
Bien souvent, les échecs en mathématiques sont associés à deux causes; " s'il ne réussit pas
c'est parce qu'il n'est pas intelligent, qu'il ne fait rien ". Pourtant il ne semble pas que ces deux
facteurs soient les seules sources de difficultés scolaires.
Si les mathématiques sont, comme nous l'avons déjà mentionné, source de blocages, c'est peut
être avant tout dû au rapport affectif que nos élèves entretiennent avec la matière : elles
représentent pour eux un danger, une fatalité confortée par les grandes difficultés rencontrées.
Un extrait du questionnaire de début d'année et la réponse de Jérémy :
-
Essaie de dire ce que tu éprouves devant un problème mathématiques
" J'ai peur "
Pour essayer d'enrayer ces comportements qui portent certains de nos élèves à se
désintéresser totalement de la matière, il semble primordial de tenter de les persuader que les
mathématiques peuvent présenter un côté ludique, de les motiver, de les stimuler pour qu'ils
arrivent peu à peu à prendre du plaisir à travailler la matière.
Comment alors arriver à motiver nos élèves, à faire en sorte que leur intérêt aille
grandissant pour qu'enfin ils s'investissent davantage dans leur travail ?
3.
•
•
•
•
Les mécanismes de la motivation
Un élève se démotive à la suite d'échecs trop fréquents. Il faut donc essayer de toujours
l'encourager, en lui signalant ses moindres progrès, mais aussi en prenant le temps de faire
des premiers exercices accessibles : la satisfaction provoquée par la réussite encourage.
La motivation n'est pas un état permanent, il faut sans cesse la réactiver. Dans tout chapitre,
il y a un moment où l'intérêt des élèves décroît ; il faut savoir relancer l'écoute en
différenciant les stratégies d'enseignement.
Un élève est motivé lorsqu'il travaille pour le plaisir que cela lui procure : lors de
l'introduction d'une notion, il peut-être intéressant pour lui de le placer devant une situation
où les outils dont il dispose ne lui permettent pas de répondre à la question. Ces situations le
placent devant une sensation de vide qu'il a envie, besoin de combler.
La motivation des élèves est étroitement liée au contexte affectif ; dès lors qu'il va apprécier
le professeur et les cours qu'il dispense, un élève sera plus disposé à s'intéresser à la matière
qu'il enseigne. Il paraît donc important que l'on montre l'intérêt qu'on leur porte, que l'on
s'adapte et que l'on prenne en compte leurs remarques.
•
•
La motivation dépend aussi de paramètres externes tels que : le dispositif, la gestion de
classe ( travail en groupe, utilisation d'un rétroprojecteur, … ). De par l'utilisation d'un outil
ou d'un contexte de travail inhabituel, on pourra susciter de l'intérêt chez les élèves.
Enfin, un élève peut tout simplement être motivé lorsque le "gain" à récolter en cas de
réussite lui semble intéressant : une bonne note, un lot…
4.
Quelques pistes envisagées
a)
Le travail en petits groupes homogènes
C'est une forme de travail que je n'avais jamais pratiquée durant ma scolarité et qui me
semble être une idée originale et propre à motiver les élèves de par son aspect inhabituel de la
façon de travailler.
C'est également un moyen efficace de gérer l'hétérogénéité d'une classe, facteur d'ennui et de
démotivation. On peut, par des énoncés différenciés, faire en sorte que les élèves dits "faibles"
se sentent intéressés, les "forts" pas freinés, et permettre à chacun de progresser à son rythme.
Ce mode de fonctionnement a selon moi bien des avantages que je vais citer :
- il permet avant tout de multiplier le temps de parole de chacun ; entre eux, les élèves
ne sont pas impressionnés et les éléments dits faibles interviennent plus facilement.
- il facilite et encourage les échanges, permet la confrontation des points de vue.
- il incite les élèves à la verbalisation du raisonnement ; chacun doit être convaincant
pour ses pairs !
- il favorise l'autocorrection.
- il est un relais de l'action de l'enseignant ; chaque élève pouvant intervenir en
rappelant aux autres des propriétés déjà rencontrées.
- il leur permet d'être actif, le professeur s'effaçant après qu'il ait donné le problème.
- les groupes n'étant pas figés, il permet également l'émulation, la motivation de
chaque élève à progresser pour changer de groupe.
Cependant, pour un bon déroulement de la séance et pour éviter tout débordement, il est
indispensable de bien définir les consignes et les règles du jeu ; la constitution, le
fonctionnement et l'évaluation des groupes doivent être préalablement établis, pour éviter tout
sentiment d'injustice.
Malheureusement, avec ce type de fonctionnement, on trouvera toujours des élèves qui ne
s'investissent pas et qui copient simplement les raisonnements de leurs voisins.
b)
Utilisation de l'outil informatique
On ne peut tenter de motiver sa classe sans parler de l'outil informatique, tant l'ordinateur
est perçu par les élèves comme objet ludique en tant que tel et permettant de les intéresser de
façon attractive.
Un souhait annoncé de Baptiste lors du fameux questionnaire de début d'année :
" J'espère que nous ferons de l'informatique prochainement. "
Devant un écran d'ordinateur, tous les enfants sont les mêmes, il n'existe plus
d'hétérogénéité. Qu'il s'agisse de mathématiques, de langues ou de tout autre chose, l'intérêt
qu'ils portent pour la machine ( finalement pas si éloignée d'une console de jeux ) fait s'effacer
leurs difficultés scolaires dans la matière.
En classe de quatrième, et en relation avec les programmes, on est amené à utiliser le
tableur-grapheur ainsi que les logiciels de géométrie.
Le tableur se révèle être un outil très performant grâce à la rapidité des calculs qu'il permet : on
peut être amené à l'utiliser en proportionnalité et en statistiques pour limiter la répétition
fastidieuse des calculs.
Les logiciels de géométrie ne sont pas en reste ; le déplacement de la figure et la conservation
des propriétés constituent un moyen puissant pour la production de conjectures, alors que la
répétition de dessins serait bien ennuyeuse.
Si l'outil informatique est d'abord un outil puissant pour le calcul et les tracés, c'est aussi un
instrument permettant, grâce à l'utilisation de logiciels et d'Internet, d'accéder rapidement à
d'innombrables informations.
Enfin, dans l'optique du B2I, l'utilisation de l'ordinateur ne peut être négligée ; le ministère
de l'éducation nationale insiste en effet sur la nécessité de familiariser les élèves avec l'outil
informatique.
c)
Histoire des mathématiques
L'histoire des mathématiques n'est malheureusement pas ou peu présente dans les
programmes du secondaire et même dans les formations universitaires. Pourtant elle me semble
faire partie du bagage indispensable du professeur tant elle donne une vision dynamique de
l'évolution des mathématiques.
Bien souvent, le désintérêt des élèves pour les mathématiques vient du fait qu'ils ne
comprennent pas le sens ni l'utilité des outils qu'ils rencontrent et qu'ils doivent apprendre à
utiliser.
Un moyen d'y remédier serait donc de donner du sens aux propriétés que l'on met sur leur
route en les recadrant par exemple dans leur contexte historique ; en expliquant comment et
pourquoi tel ou tel théorème a été "inventé", en donnant vie à son auteur afin que le nouvel
outil apparaisse comme plus familier.
L'histoire des mathématiques devrait donc être un outil important pour des objectifs
comme:
- mettre en évidence le mode d'apparition très singulier de tel ou tel théorème
- mettre dans un cadre temporel et spatial les grandes idées, les grands théorèmes, en
relation avec leurs motivations et leurs antécédents
- signaler les problèmes ouverts de chaque époque, leur évolution, la situation actuelle
Les mathématiques ne sembleraient-elles pas moins abstraites si on leur insufflait un
contexte, une histoire, une vie propre ?
d)
Les jeux mathématiques
Les mathématiques et le jeu ont vu leurs chemins se croiser très fréquemment au cours des
siècles ( Pascal et le chevalier de Méré et le jeu de dés par exemple ).
Le jeu mathématique me paraît être l'une des méthodes les plus appropriées pour
transmettre à mes élèves le goût pour ma matière ; que l'on utilise des grilles de loto ou encore
des dominos, le simple fait d'introduire un matériel inhabituel dans la classe peut susciter chez
une classe beaucoup d'enthousiasme à faire des mathématiques.
Les avantages du jeu :
- son côté ludique ( le support étant très proche du jeu traditionnel )
- il est très bien perçu par les élèves les plus en difficulté ( réconciliation ? )
- il favorise l'implication d'une classe par une méthode plus dynamique ( par exemple
pour faire du calcul mental )
Les inconvénients :
- le risque de faire un jeu pour amuser son public en passant à côté du contenu
pédagogique
- la part du hasard qui peut mettre un élève dit faible en situation de réussite illusoire
- les jeux ne sont pas tous autocorrectifs
- on ne doit pas lui consacrer trop de temps sous peine de réduire l'image des
mathématiques
e)
Les énigmes
Les énigmes mathématiques tirent leur côté ludique du fait que leur forme ( personnages,
énonciation, …) ne s'apparente pas aux énoncés d'exercices classiques.
Néanmoins, il s'agit bien là de résoudre des problèmes de mathématiques, de logique.
Les avantages des énigmes :
- c'est un moyen de développer chez nos élèves une attitude de recherche ; ils
procèdent par tâtonnement, par essais.
- le problème posé n'étant souvent pas "ordinaire", il provoque l'envie de trouver. C'est
un défi pour tous ( et pas seulement les bons élèves ) de trouver la solution.
Les inconvénients :
- un énoncé ludique, distrayant peut faire que certains élèves ne se sentent pas obligés
de s'y investir autant que dans un exercice à l'énoncé plus classique.
- l'habillage ludique est une difficulté supplémentaire : certains ne comprennent pas
l'exercice, ne perçoivent pas son l'intérêt, le rapport avec le cours.
Je ne suis pas convaincue de l'intérêt de cette stratégie dans le cadre de ma problématique ;
ce qui est amusant pour un professeur ou pour un élève disant aimer les mathématiques ne l'est
certainement pas pour un autre enclin à un rebut prononcé pour la matière.
L'expérimentation menée dans ma classe fut un échec cuisant ; seuls les meilleurs ( et par
conséquent ceux disant "aimer les maths" ) me fournissaient des réponses aux exercices.
Cependant, une part du désintérêt de la classe pour mes énigmes est peut-être venu du fait que
je ne les ai pas "encouragés" à y prendre part.
En effet, une partie de la réussite de ce genre de travaux semble venir de la dynamique que
réussit à créer le professeur ; si des élèves apprécieront de résoudre des énigmes en groupe, où
l'émulation sera grande, qu'en sera-t-il s'ils ont à le faire seul ?
Or, pour ma part, j'avais choisi de leur donner chaque semaine une petite énigme que ceux qui
le voudraient pourraient me rendre la semaine suivante. Ils s'agissait donc là d'un simple travail
de réflexion individuel de chaque élève, et finalement peu motivant et valorisant, puisqu'il n'y
aurait que moi qui serais au courant de leur éventuelle réussite.
Cependant, le concours Kangourou est représentatif de ces énigmes mathématiques et le
nombre de participants dans ma classe ( un ! ) me conforte dans ma réserve.
Je n'évoquerai donc pas ce cas par la suite.
5.
Comment juger de la motivation des élèves ?
Si le sujet de ce mémoire est de tenter de remotiver les élèves, il convient de pouvoir
quantifier les effets des expérimentations tentées dans nos classes.
Or, les moyens d'évaluation de l'intérêt porté par la classe à telle ou telle activité sont très
subjectifs :
Par des sondages, des questionnaires. Malheureusement, nous ne sommes pas à l'abris de
réponses de complaisance, manquant cruellement de sincérité …
Par le comportement en classe : ponctualité, participation, investissement,…
Par l'ambiance, le climat de classe ressenti par le professeur : vitesse à se mettre au travail,
niveau sonore, …
Par les réactions orales des élèves suite aux expérimentations.
Par la qualité du travail : durée de recherche, temps de concentration, …
Par les performances ( même si on peut très bien être motivé sans être performant … ).
II / Mise en place et analyse des séances
A. Un travail en groupe : la démonstration de la première
propriété des milieux
a) Choix de la séance
Cette séance sur la démonstration de la première propriété des milieux intervient
immédiatement après les vacances de Noël, également après avoir fait au mois de novembre
une initiation à la démonstration à l'aide de rappels sur les propriétés des quadrilatères
particuliers.
Au vu des grandes difficultés rencontrées alors par les élèves, et l'éloignement relatif du
chapitre, je prévois une démonstration par groupes de niveau homogène ( cinq groupes de
quatre et un groupe de cinq ), avec différenciation des sujets.
J'ai choisi ce mode de travail pour éviter ou du moins estomper les soupirs de
découragement de ma classe à la simple évocation du mot " démonstration ".
Comme je le précisais précédemment, la majorité de la classe semble peu à l'aise avec ce genre
de travail voire même prête à éviter tout exercice promettant une démonstration.
En effet, au devoir sur table précédent, une bonne moitié de l'effectif a concentré ses efforts sur
les calculs numériques, pour à peine aborder les deux exercices de géométrie.
Ce dénigrement est en parti dû aux difficultés qu'ils peuvent rencontrer pour mettre en place et
clarifier leurs raisonnements.
Pour rendre cette séance de retrouvailles moins pénible pour eux ( Pensaient-ils en avoir fini
avec les démonstrations lors de la fin du chapitre ainsi nommé ? ), permettre une réconciliation,
et leur redonner confiance en eux, je prévois donc une séance de travail en petits groupes
homogènes.
Les élèves apprécient beaucoup les séances en groupe, "car on a de meilleures notes
ensembles", et me l'on déjà fait savoir, par contre ils acceptent plutôt mal ce partage de la classe
en fonction du niveau mathématiques. Pour palier à cela, je prévois donc de donner l'occasion à
chaque groupe de choisir en début de séance le sujet qu'il souhaite traiter, avec possibilité de
revenir à un sujet moins difficile si trop de difficultés se font sentir.
J'espère ainsi rendre cette séance attractive à leurs yeux ; que les élèves forts ne s'ennuient
pas mais se sentent au contraire stimulés et peut-être réconcilier les plus faibles avec les
démonstrations.
b) Attentes
Les instructions relatives au déroulement de la séance ont été expliquées l'heure
précédente; elles ne sont par ailleurs pas surprenantes pour les élèves puisque identiques à
celles préconisées lors des autres séances de groupe que nous avons pu réaliser ensemble.
Elles sont les suivantes :
Chaque élève rédige une copie et en fin d'heure une copie au hasard est relevée.
L'utilisation du cahier de cours est plus qu'autorisée : elle est préconisée ( il a été demandé
pour ce jour de réviser le principe de démonstration et les propriétés du parallélogramme ).
Aucun rappel sur la démonstration et les propriétés du parallélogramme ne précède cette
séance.
La note obtenue à ce travail tiendra compte de la bonne entente dans le groupe, ainsi que
du niveau sonore.
De plus, il faut souligner que, lors de la rédaction de leurs copies, il n'est pas demandé
expressément aux élèves de faire le travail en utilisant un tableau de démonstration, libre à eux
de choisir leur présentation.
Même si la représentation de la démonstration sous forme de tableau est, de mon avis, un
moyen de faciliter la rédaction, elle semble être pour certains élèves une contrainte
supplémentaire qui ne les enchante guère.
c) Déroulement prévu
La salle étant libre l'heure précédente, je prévois, pour gagner du temps d'organiser la classe
au préalable et de disposer les noms des élèves sur chacune d'elles.
Pour éviter toute contestation quant à la formation des groupes, le mode de constitution à été
expliqué l'heure précédente ; il tient compte des compétences de chacun en démonstration.
Avant même de démontrer à proprement dit la propriété, je prévois en début de séance de
faire "sentir" aux élèves la nouvelle propriété, à l'aide d'une l'activité ( Annexe 2 ).
Le temps de cette activité est estimé approximativement à 10 minutes.
La propriété est donc notée sur l'activité et le besoin se fait sentir de la démontrer.
Je prévois alors de demander à chaque groupe de choisir, en concertation, l'énoncé qu'il
souhaite traiter. ( Annexe 3 )
Il est à noter que les énoncés A, B, C leurs sont présentés respectivement comme difficile
( une seule question ), moyen ( un peu plus détaillé ) et facile ( chaque question correspond à
une seule étape du raisonnement et une "boîte à outils" est donnée ).
Mon rôle n'est censé être que celui de simple observateur, les questions me semblant
suffisamment précises, et tout problème pouvant être résolu par le choix d'un énoncé plus
facile.
d) Difficultés prévisibles
Au niveau de la discipline, je ne pense pas avoir trop de problèmes à gérer, les groupes
ayant été certes réalisés de manière homogène du point de vue mathématiques mais également
de manière à éviter tout conflit.
Pour ce qui est des difficultés mathématiques, n'ayant pas fait de rappels de cours et leur
ayant simplement demandé de relire leurs propriétés, je m'attends à quelques problèmes …
Je m'attends tout de même à un manque d'enthousiasme à aborder à nouveau la géométrie et
ce mot qui leur fait peur : la démonstration !
e) Description de la séance
A l'arrivée en classe, les élèves s'installent selon l'organisation que j'ai prévue, rien à
signaler.
Pour ce qui est de l'activité préparatoire, les premiers problèmes se font sentir : un groupe
(le 6) ne possède pas même une règle pour quatre ! L'activité fini donc par prendre un peu plus
de temps que prévu ( 15 minutes ).
Je demande alors à chaque groupe de choisir son sujet, ce choix se faisant de manière quasi
instantanée.
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Groupe 4
Groupe 5
Groupe 6
Enoncé que j'aurais
choisi pour eux
A
B
B
B
C
C
Enoncé choisi en
première instante
A
B
B
B
B
B
Modification de choix
éventuelle
C
C
Il semble normal qu'aucun groupe n'ait choisi dès le départ, par fierté, l'énoncé dit "facile ".
Le groupe 5 m'a demandé presque immédiatement l'énoncé C tandis qu'il a fallu que je
persuade presque le groupe 6 à prendre ce sujet ( au bout d'un quart d'heure de recherches
infructueuses ). Le groupe 3 m'a par ailleurs demandé au bout de 20 minutes s'il avait le droit
de jeter un coup d'œil sur le sujet C mais n'a pas voulu changer d'énoncé.
Le groupe 1 rassemble les trois éléments plus que moteur de la classe ; il est un peu
bruyant, mais la justification de ce bruit se fait tout naturellement en tendant l'oreille : les
argumentations fusent dans tous les sens et l'émulation de ce groupe ( chaque élève veut avoir
la bonne réponse ) est très profitable, non seulement à chacun, mais surtout au troisième
élément fondateur du groupe, un peu moins fort, qui en tire à coup sûr profit. Ce groupe
termine avec 5 minutes d'avance sur tous les autres.
Les groupes 2 et 3 fonctionnent très bien ; les idées, pas toujours très bonnes, sont
échangées, discutées et contredites, le tout dans un calme parfait. Les échanges entre eux sont
cependant bien différents. Les élèves travaillent en totale autonomie et semblent s'en satisfaire
pleinement ; je n'interviendrais à aucun moment dans ces groupes ( si ce n'est pour le fait relaté
précédemment concernant le groupe 3 ). Le groupe 3 termine immédiatement après le 1.
Le groupe 6 rassemble 3 élèves en très grandes difficultés et semble un petit peu perdu ;
toutefois, les pages des cahiers se tournent et se retournent sans engager leur bonne humeur et
leur activité au travail. Ce groupe travaille jusqu'à la dernière minute, je suis presque obligée de
leur arracher leur copie des mains. Cependant, très peu de questions sont traitées.
Le groupe 4 est le seul groupe contenant 5 élèves et c'est peu être ce simple fait qui rend
leurs échanges bien différents. La communication se fait essentiellement de fille à fille et de
garçon à garçon et les désaccords se font entendre. L'ennui est que ces désaccords ne sont pas
très productifs et que ce groupe ne semble pas apte à travailler en commun. Il est à noter que ce
groupe est composé de l'élément perturbateur de la classe qui promet de déménager
prochainement et qui ne semble donc pas vraiment s'intéresser au problème. J'ai par ailleurs été
forcée de ramasser la copie de Jérémy tant les autres n'étaient que de vrais torchons où ne
figuraient que des bribes de réponses.
Enfin, le groupe 5 est celui qui me pose le plus de problèmes ; il est composé de deux
garçons plutôt expansifs qui, c'est une nouveauté pour moi, ne semblent pas vraiment
s'apprécier, et de deux filles très effacées. La communication ne s'y fait pas ou très peu et les
filles n'ont pas vraiment leur mot à dire. Il ne règne vraiment pas d'ambiance propice aux
échanges et le fait de travailler ensemble ne paraît pas les amuser du tout. Enfin, en fin de
séance, Walid et Rudy me font savoir qu'ils en ont "mare de travailler entre mauvais".
Préparée à cette remarque, je leur présente sous les yeux l'énoncé de ceux qu'ils appellent "les
forts". Je leur pose alors la question : "Auriez-vous été capable de faire la démonstration sous
cette forme ?". Je compare devant eux les deux énoncés en insistant sur le fait que la question 3
de l'énoncé A rassemble 5 questions de l'énoncé C.
Réponse de Rudy : " Ah oui, vous avez raison madame ".
Par contre Walid paraît vexé, presque en colère. Il refusera par la suite l'énoncé de l'énigme de
la semaine.
f) Erreurs rencontrées
Elles sont de trois types :
♦ Liées au fait que certains n'ont pas souhaité utiliser le tableau ( et ce pour la première fois )
et se sont donc contentés de donner la propriété qui permettait de répondre à la question
( c'est le cas du groupe 5).
♦ Des erreurs de raisonnement dans les copies de la majorités des groupes. Toutes ces
différentes erreurs se retrouvent dans la copie du groupe 4 ( Annexe 4 ).
♦ Utilisation de la propriété de la droite des milieux alors que c'est elle que l'on cherche à
démontrer.
g) Analyse à posteriori
Si c'était à refaire, je ne traiterais pas l'activité de découverte pendant cette séance, non
seulement parce que cela aurait permis aux élèves de bénéficier de plus de temps pour la
démonstration, mais aussi parce que cela aurait évité aux élèves certaines confusions dont on a
déjà parlé précédemment.
Il aurait aussi peut-être été judicieux de prendre le temps avant cette séance de faire
quelques exercices de démonstration réutilisant les propriétés des parallélogrammes. Les
résultats ne sont en effet pas très reluisants, mis à part le groupe 1 qui a parfaitement démontré
la propriété.
Malgré les difficultés rencontrées, les élèves semblaient pourtant assez satisfaits de leurs
productions, leur surprise fut donc grande lorsque je leur appris que beaucoup de choses étaient
à revoir. ( surtout pour le groupe 3, qui m'avait semblé travailler très sérieusement et être assez
satisfait de son travail ).
La déception et le découragement semblaient, assez justement, de mise.
h) Suite à donner
Le problème qui s'est donc posé a moi, au vu de leurs travaux, a été de savoir de quelle
manière nous allions pouvoir corriger cette démonstration de manière bénéfique à chacun ( 4
élèves avaient déjà effectué parfaitement la démonstration ) et sans avoir l'air de donner de
leçon, de les démotiver davantage.
L'idée que j'ai eue, très largement inspirée par les propos que j'avais tenus avec Walid, a été de
corriger la démonstration pour les 5 groupes qui n'avaient pas fonctionné, toujours en formant
les mêmes groupes mais en y adjoignant :
- un élément du groupe 1 pour 4 d'entre eux
- moi pour le groupe le plus faible ( le 6 )
Ce procédé a été très bien accueilli par les élèves et tous les groupes ont corrigé leur travail de
manière satisfaisante.
i) Bilan
Ces deux séances ont été de mon avis des réussites.
Au niveau de l'accueil des élèves
J'ai réalisé en fin de séance un petit questionnaire visant à évaluer leur intérêt pour cette
pratique ( Annexe 5 ). Les résultats du questionnaire sont les suivants :
- Une élève déclare ne pas apprécier le travail en groupe car " on n'est pas souvent
d'accord " ( à noter que c'est un membre du groupe 5, groupe ayant le moins bien
fonctionné ).
- Le reste de la classe plébiscite le travail en groupe ( car " c'est plus facile ", " on
comprend mieux ", " on échange des trucs, des idées et on peut en tirer quelque
chose de bon ! ", car " on se fait aider ", " on se corrige mutuellement ", " tout le
monde donne son avis ", …).
Un extrait du questionnaire et la réponse de Baptiste :
" Ce type de travail nous apporte qu'il faut proposer des idées différentes et qu'il
faut se faire comprendre ".
-
-
Certains membres du groupe 5 déplorent eux même la mauvaise ambiance qui
régnait dans leur groupe.
Les élèves ont dans l'ensemble moins apprécié la séance de correction ; s'ils
déclarent avoir aimé être en présence d'un bon élève pour les aider, ils ont exprimé
pour certains le fait que l'ambiance lors de la correction était moins bonne …
L'élément dit " bon " jouait-il au petit chef ?
Enfin, Rudy déclare en toute honnêteté ne pas avoir apprécié la séance de correction
car …
" Car Céline a plus réfléchi que nous, on n'a presque rien fait. "
Du niveau de l'aspect qualitatif du travail fourni par la suite
Deux élèves en grandes difficultés, Alissa et Sylvie ont obtenu pour la première fois de
l'année la moyenne à un contrôle, et ce grâce aux points engrangés en géométrie.
Cependant, certains d'entre eux me semblent souvent douter de leurs capacités et cette fois
encore paraissent sceptiques lorsque je leur annonce leurs progrès manifestes.
Ayant conservé en début d'année des travaux maison très ( très ) médiocres produits pour des
démonstrations n'utilisant que les propriétés du parallélogramme, j'ai choisi, pour les
encourager, de leur distribuer.
Je crois que ces 15 minutes passées à constater leurs erreurs de raisonnement passées sont les
minutes les plus bénéfiques, du point de vue de leur estime des mathématiques et d'eux même,
depuis le début de l'année.
La grande majorité s'est trouvée capable de se corriger très facilement ; beaucoup ont ri de leurs
erreurs, certains ont même déclaré ne pas comprendre leur raisonnement ( " Mais elle ne
montre rien ma démonstration ! " ).
Enfin, j'ai pu entendre deux élèves déclarer :
- Madame, vous devez rire souvent quand vous lisez nos bêtises !
- Mais non, elle doit pleurer plutôt !
B. Un travail de recherche : à propos de la propriété de Thalès
a) Choix de la séance
Parler d'histoire des mathématiques en cours m'avait semblé être un bon moyen de capter
l'attention de mes élèves ; j'avais donc déjà tenté l'expérience, au mois de novembre lorsque j'ai
évoqué la propriété de Pythagore. Malheureusement, les effets que j'espérais n'ont pas été
totalement réussis, c'est le moins que l'on puisse dire.
En effet, les interventions historiques lors du cours ne nécessitaient pas d'investissement
personnel des élèves ; je me contentais d'exposer les faits, au moyen de documents projetés.
Les résultats d'un petit questionnaire furent flagrant et un petit peu agaçant, vu les efforts que
j'avais dû fournir pour préparer mes interventions ( avant cette année, j'ignorais tout de
l'histoire des mathématiques ! ) :
Seuls trois élèves ( dont Sarah ) furent intéressés par ces interventions, pour des raisons
assez claires …
-
Les interventions historiques t'ont-elles intéressées? Pourquoi?
" Oui, parce que ce n'est pas des maths ".
Certains dirent qu'ils auraient préférés faire des exercices !
Un dernier, toujours Walid, prétendit qu'il n'avait pas apprécié ces interventions historiques
parce que ça l'obligeait à retenir des choses supplémentaires :
-
Les interventions historiques t'ont-elles intéressées? Pourquoi?
" Non, parce qu'à cause d'elles, on est obligé d'apprendre plus de choses "
Pourtant cette piste de l'histoire me paraissait très intéressante et encore exploitable …
De plus, je n'avais encore utilisé qu'une seule fois la salle informatique du collège ( pour le
chapitre proportionnalité et utilisation du tableur ) mais de manière plutôt satisfaisante ; tous les
élèves étaient emballés et ne demandaient qu'à y retourner. Je comptais par ailleurs aller en
salle informatique pour une initiation à Cabri et la conjecture de la propriété de Thalès. Il m'a
alors été conseillé de les faire chercher l'historique du personnage sur Internet.
L'idée était née mais il subsistait quelques problèmes :
- la salle informatique du collège n'est disponible que pour une quinzaine
d'élèves. Il me fallait donc constituer deux demi groupes ; l'un étant laissé
libre lorsque l'autre était en salle machine. Il me fallait de plus éviter toute
heure de permanence.
- au vu du travail à effectuer en salle informatique, j'avais besoin de deux fois
deux heures (toujours en tentant d'éviter les heures de permanence aux
élèves ).
Cela semblait donc à priori impossible à gérer.
J'ai donc pensé à effectuer le travail de recherche sur Thalès par les deux demi groupes, avec
deux supports différents ( Internet pour les uns et le CDI pour les autres ). Je me suis
renseignée auprès des documentalistes pour savoir si ce projet était réalisable ; non seulement
c'était le cas mais elles se sont même montrées très enthousiasmées par cette idée.
b) Attentes
Le questionnaire qui leur est fourni, à titre indicatif, pour la recherche de mots clefs est le
suivant :
1.
2.
3.
4.
Qui est Thalès ? ( faire un petit point historique en quelques lignes : qui est-il ? A quelle
époque a-t-il vécu ? Où ? )
Ne lui attribue-t-on pas quelques résultats mathématiques que vous connaissez déjà ?
Lesquels ?
Ne serait-il pas l'auteur d'une propriété qui porte son nom et que nous allons étudier cette
année ? ( il n'est pas demandé d'énoncer cette propriété )
Quelle est la légende sur la découverte de ce théorème? L'expliquer.
Vous indiquerez quelles ont été vos sources ( sites visités ou livres consultés).
Les consignes données :
Je leur demande de synthétiser leurs résultats sur une copie par groupe ( de une ou deux
pages maximum afin que je puisse en faire un transparent ) qui devra m'être remise le
jeudi matin avant la séance.
- En cours, en classe entière, un représentant par groupe est élu pour exposer les recherches
de ses pairs au rétroprojecteur.
- S'en suit une phase où on compare les résultats de chacun en vue de se fabriquer un
document de référence.
-
Je leur indique par ailleurs que ce travail ne sera pas noté, j'espère néanmoins un riche
investissement de leur part, par peur de se trouver ridicule devant la classe lors de l'exposé.
c) Difficultés prévisibles
Au moment de la désignation des groupes, je m'attendais à quelques heurts ; tous allaient
certainement préférer faire leur recherche sur Internet plutôt qu'au CDI.
Pour pallier à cette première difficulté, je décidais donc d'imposer les groupes, certes, mais pas
de manière aléatoire.
Le travail de recherche sur Internet ne pouvant s'effectuer en une heure, les élèves auraient à
chercher par eux même d'autres renseignements.
Je décidais donc de faire un petit sondage auprès d'eux :
- Possédez-vous un accès Internet chez vous ?
- Savez-vous ce qu'est un moteur de recherche ? Si oui, citez-en 3.
Par ce questionnaire, les groupes se sont formés d'eux même, sans aucune contestation possible
des élèves et donc sans la sensation de leur part de faire un travail par défaut, à contrecœur.
La totalité du travail ne pouvant être, comme on l'a déjà dit, effectuée en une heure, il me
fallait donner le travail en prévision, au moins une semaine à l'avance. L'heure du lundi matin,
en salle informatique pour les uns, au CDI pour les autres, ne servirait en fait que de mise en
commun des informations trouvées par chacun et à la réalisation du document.
Pour les élèves travaillant au CDI, s'est très vite posé le problème des documents qu'il
faudrait consulter pour répondre à mes attentes. En effet, pour avoir été au CDI consulter les
fichiers, je me suis rendue compte que si le mot saisi était "Thalès", l'ordinateur ne renvoyait
pas au "Théorème du perroquet", document qui me paraissait pourtant primordial aux élèves
pour parvenir à leurs fins. De plus, s'ils saisissaient le mot "théorème", (et ce n'était pas
certain), l'intitulé du livre allait certainement leur paraître un peu exotique et certainement pas
enclin à parler d'un mathématicien. Je décidais donc de leur indiquer dès le départ qu'ils
auraient à consulter ce roman.
Au moment où j'exposais le travail que j'attendais d'eux, je demandais donc à un membre du
groupe CDI de m'emprunter le roman pour le week-end. A ma grande surprise, c'est Jacques
qui se proposa pour lire les 20 pages que je leur avais conseillées . En effet, cet élève est issu
des classes de soutien et j'avais pu remarquer dès la rentrée ses grandes difficultés à lire.
Passée cette surprise, je fus donc ravie que ce soit lui qui ait choisi de lire le roman.
d) Description de la séance
J'ai donc participé à la séance informatique de recherche sur Internet alors que l'autre
groupe se trouvait au CDI le lundi matin.
A mon arrivée en salle machine, j'ai commencé par évaluer le travail fourni pendant le
week-end par chacun ; trois élèves ( Christopher, Rudy et Jérémy ) n'avaient strictement rien
fait pour des raisons vaseuses ( " je ne savais pas ", " je n'ai plus Internet ", " Je n'ai plus de
forfait " , … ).
Pour le reste, certains avaient déjà bien avancé leur recherche ; si Céline, Medhi, Stéphanie et
Viviane avaient apporté leurs recherches imprimées, Valentin s'est présenté avec sa disquette !
Pour avoir consulté les documents de chacun, j'ai pu remarquer que Céline avait déjà en sa
possession tous les éléments permettant de répondre à mes attentes.
J'ai commencé par les laisser continuer leurs recherches pendant une quinzaine de minutes,
alors que Christopher continuait à rechigner à se mettre au travail.
Je leur ai ensuite demandé de former des groupes de travail pour répondre à chacune des
questions posées.
Un groupe de trois s'est porté volontaire pour s'occuper de la première question, un autre de
trois également pour traiter la seconde et enfin un dernier groupe de quatre pour expliquer la
légende sur la découverte de la propriété de Thalès. Stéphanie s'est, quant à elle, proposée pour
synthétiser les trois " compte rendu " qui lui seraient rendu en fin d'heure afin de réaliser pour
le jeudi le document global.
Le même type de fonctionnement, de répartition des taches, avait été prévu au préalable
avec les documentalistes pour le groupe CDI.
Pour ce qui est de l'ambiance de travail et de l'investissement du groupe, je suis finalement
assez satisfaite, les deux réticents ayant fini par se mettre au travail. Les élèves circulent d'un
poste à l'autre pour consulter les informations trouvées et tout se déroule très calmement sans
que j'aie à intervenir.
Si le fait d'accéder très rapidement à une information les distingue des élèves travaillant au
CDI, cela ne facilite pas leur travail de synthèse. Devant la multitude des sites répondant à mes
attentes, ils se voient tous obligés de lire leur propre page pour sélectionner les informations
jugées importantes.
A la fin de l'heure, Stéphanie récupère les écrits des groupes ayant eu à traiter les questions
1 et 2 alors que le groupe ayant à évoquer la légende de la découverte lui demande un délai
( délai accordé pour le lendemain "sans faute " ) pour fignoler les dessins.
Je ne peux, bien évidemment, évoquer la manière dont s'est déroulée la séance au CDI qu'au
travers des échos que j'ai pu avoir de la part des documentalistes.
Jacques avait bien lu les pages du livre mais n'en avait pas compris grand chose ; il s'est fait
aider par deux élèves que j'avais désigné ( Mame et Tracy) pour être les plus aptes à traduire le
roman.
Comme dans le groupe informatique, deux clans avaient donc été formés pour répondre aux
deux premières questions en consultant les revues présentes et les encyclopédies.
L'investissement de tous n'est pas à déclarer ; les deux documentalistes présentes pour encadrer
mes élèves déplorent en effet l'attitude de Steve qui s'est totalement désintéressé de la
recherche.
Pour le reste, elles sont assez satisfaites de la cohésion dans les groupes de recherche et de leur
répartition du travail .
e) Analyse à posteriori
Cette séance de recherche fut un vrai plaisir à observer et à mener ; les élèves se sont
montrés pour la plupart très motivés mais aussi très surpris de travailler de cette manière
("Finalement, on n'avait pas l'impression de faire des maths " ).
Tous ont eu l'air de vraiment apprécier la séance et de prendre plaisir à chercher. Les élèves du
groupe Internet ne se sont par ailleurs pas jugés favorisés et en ont fait part à leurs camarades ;
travailler sur Internet accélère certes la recherche mais la phase de lecture et d'assimilation du
savoir n'en est pas facilitée.
Ayant relaté au formateur venu pour ma seconde visite cette séance de travail, celui-ci m'a
fait remarquer, fort justement, que j'aurais pu davantage exploiter mon travail avec le groupe
Internet. En effet, en vue du B2I, les élèves de collège doivent être en mesure, au moyen d'un
moteur de recherche, de trouver l'adresse d'un site Internet et d'y accéder en utilisant, si besoin
est, les connecteurs ET et OU.
Ne maîtrisant pas moi même toutes les subtilités des différents moteurs de recherche, je ne m'y
suis pas intéressée, mais il aurait en effet été envisageable que je m'en informe pour que la
séance leur soit profitable de ce point de vue.
f) Suite de la séquence
♦ La séance de compte rendu
Malgré tout l'intérêt porté par mes élèves, je fus pourtant très surprise de ne voir qu'un seul
groupe venir me présenter son document le jeudi matin avant le cours de "compte rendu". Le
groupe CDI ne m'ayant présenté son travail qu'une minute avant le cours en lui même, je me
suis trouvée dans l'incapacité de réaliser mes projets, à savoir faire un transparent de leurs
copies. Quoi qu'il en soit, ce ne fut pas un échec ; d'abord parce qu'on s'est très bien débrouillé
sans, mais aussi parce que les deux groupes n'ont pas vraiment su respecter les consignes de
"longueur" de leurs travaux.
Je propose donc aux deux représentants de lire leurs synthèses à haute voix, les uns après
les autres. Puis, je reprends les questions les unes à la suite des autres, afin de savoir si la
majorité a participé à l'élaboration du travail commun.
Je note les différents constats au tableau ; les deux compte rendu sont de très bonne qualité
( Annexe 6 ), bien au delà de mes espérances et se complètent très justement.
En fin d'heure, je leur explique que je réaliserai un document dit de référence, à l'aide des
deux documents qu'ils ont fabriqués.
Lorsque je leur remets le cours suivant le document en question ( Annexe 7 ), tous sont
satisfaits de retrouver dans le texte leurs " mots à eux ".
Suite à ce travail de synthèse, nous nous sommes posés ensemble la question suivante : le dit
Thalès devait-il vraiment attendre que son ombre soit de même mesure que sa taille pour
connaître la hauteur de la pyramide ? Certains élèves ont alors parlé de proportion ….
Nous avons ensuite dégagé les hypothèses de notre figure retraçant les péripéties de Thalès : un
grand triangle apparaissait, deux droites perpendiculaires à une même droite ( et donc parallèles
entre elles ! ), un autre triangle " plus petit", …
Toutes ces observations justifiaient alors le fait que nous allions en salle informatique, pour
conjecturer, à l'aide de Cabri, d'un certain rapport de proportion entre les côtés de deux
triangles " imbriqués" dont "les bases sont parallèles".
♦ La séance sous Cabri Géomètre . ( Annexe 8 )
A nouveau, le fait de se retrouver, tous cette fois, devant un écran, a beaucoup amélioré leur
vitesse à se mettre au travail ; seul un redoublant avait déjà manipulé ce logiciel, pour les
autres, c'était un baptême du feu plutôt plaisant.
Certains ont donc éprouvé des difficultés à effectuer tous les tracés sans encombre, mais,
contrairement aux tracés papier crayon qui, lorsqu'ils sont incorrects nécessitent d'être
recommencés ( et ça ne fait jamais plaisir de se l'entendre dire ), aucun ne manifestait son
mécontentement lorsque je proposais de recommencer la figure.
En fin d'heure, seuls deux groupes arrivaient, la faute à une erreur de construction, à des
résultats aberrants ne leur permettant pas de conjecturer la dite propriété.
Pour les autres, leurs rapports leurs semblaient effectivement égaux, et la formulation de la
propriété un peu difficile à dégager.
Cette séance d'initiation à Cabri et de conjecture de la propriété de Thalès est, comme me
l'ont signalés les formateurs IUFM, beaucoup trop directive, et je le conçois.
Finalement, après cette séance, les élèves seraient-ils capable de construire un simple triangle?
Effectivement peut-être pas, mais pour arriver à ce qu'ils connaissent même un peu le mode de
fonctionnement du logiciel, il m'aurait au préalable fallu plusieurs séances de travail que les
dispositions de la salle informatique du collège ne me permettent pas d'obtenir.
Toutefois, même s'ils ne ressortent pas de la séance en fin connaisseurs du logiciel, ce travail
leur a apparemment paru agréable et " magique".
Enfin, et suite à cette riche séance d'initiation à Cabri, nous avons pu admettre une nouvelle
propriété, qu'immanquablement nous allions appeler " Propriété de Thalès dans le triangle " …
g) Bilan
Après avoir énoncé la propriété de Thalès, nous avons fini par calculer la hauteur de la
pyramide de Chéops …
Cette " humanisation" de la propriété de Thalès m'a je pense permise de capter leur
attention et de maintenir leur intérêt pour un chapitre de géométrie qui commençait à se faire
bien long…
Par la suite, ils n'ont pas rechigné à faire des exercices sortis d'un contexte mais j'ai bien senti
leur intérêt renaître lorsque je leur ai proposé de calculer la hauteur de la muraille de granit de
Jules Vernes ( Annexe 9 ) ou encore lorsque nous avons réalisé un convertisseur Franc-Euro.
Une nouvelle fois, je ne peux juger de cette "réussite" qu'en évoquant leurs propos ou en
relatant les notes correctes obtenues au contrôle portant sur le sujet.
Cette manière d'introduire la propriété n'est pas étrangère, je pense, dans des propos tels que : "
c'est facile madame !".
Quant aux documentalistes, elles m'avouèrent avoir été ravies de mener avec moi ce travail;
en effet elles m'ont rapportées avoir l'habitude de travailler avec les professeurs de lettres mais
n'avoir en revanche jamais eu à travailler avec des professeurs de mathématiques.
Suite à cette séance, elles ont par ailleurs demandé à conserver une copie des travaux des
élèves.
Plus récemment, j'ai encore pu juger de l'efficacité de la démarche ; alors que se dessinait
au tableau une situation d'utilisation de la propriété, j'ai pu entendre un élève parler de " la
hauteur de Thalès et celle de la pyramide " pour évoquer les deux droites parallèles.
Finalement, cette recherche sur l'historique de la découverte leur aura, je crois, permis de se
constituer une image mentale de la situation d'utilisation de la propriété, que j'espère ils auront
moins tendance à oublier.
C. Un jeu mathématique en classe entière
a) Choix de la séance
La séance du samedi matin précédant les vacances de Noël avait donné lieu à un fort taux
d'absentéisme dans ma classe ; plus d'un tiers des élèves ne s'étaient en effet pas présenté en
cours ce jour.
Un peu démunie ce jour là, je m'étais trouvée bien embarrassée ; devais-je assurer le cours
prévu ou faire des exercices de "révision" ? Finalement, c'est une option mixte que je choisis
mais cela ne m'a pas paru être la plus satisfaisante : même les élèves présents n'étaient pas en
situation de travail, du fait de la proximité des vacances mais aussi certainement parce que
l'organisation de la classe, à 15, ne s'y prêtait pas.
En plein travail sur le calcul littéral, en cette veille de vacances de printemps , ce constat m'est
revenu en tête ; quel genre de travail allais-je pouvoir effectuer ce samedi matin ? Comment
susciter l'intérêt d'élèves ayant déjà la tête en vacances ? Comment faire travailler les élèves
présents sans pour autant "nuire" aux absents ?
Ce sont toutes ces questions qui m'ont fait penser à cette séance de jeu mathématique.
Pour ce qui est du choix du jeu, les paroles du formateur venu me visiter me sont tout à
coup revenues en mémoire : " Vous faites du calcul mental ? ".
En fait, depuis cette visite, je n'avais pas pris le temps de concocter de telles séances.
Cependant, étant convaincue du bien fondé de ce type d'exercice et de la place qu'on devait leur
accorder, au vu des programmes, je me décidais pour un jeu faisant appel au calcul mental.
Je choisis donc un jeu très simple, dont les règles sont connues de tous : le loto.
b) Organisation préalable et règles du jeu
Matériel utile :
une vingtaine de grilles de loto plastifiées du type de celle proposée ci-dessous ( réalisées
de manière aléatoire ) :
un paquet de coquillettes, pour faire office de pions à disposer sur leurs cartes.
90 jetons sur chacun desquels figure une opération mathématique menant à l'un des entiers
naturels compris entre 1 et 90.
un sac permettant le tirage aléatoire des jetons.
un plateau de contrôle où le meneur de jeu dispose, au fur et à mesure de l'avancement du
jeu, les numéros tirés.
Règles du jeu : ( ce sont celles du loto classique à quelques points près )
Un carton est distribué à chaque participant . Le meneur de jeu tire un jeton contenant une
opération mathématique, le joueur cherche à la résoudre. Si le résultat figure sur son carton,
le joueur dépose une coquillette sur la case qui indique le résultat qu'il croit être le bon. Et
ainsi de suite …
Le premier "vainqueur " est le joueur ayant rempli une ligne horizontale, puis celui ayant
rempli sa carte entière. Lorsqu'un joueur pense avoir rempli la portion demandée, il lève la
main et le tirage s'arrête. Il énumère alors les entiers qu'il pense avoir été tirés. Si tous les
résultats correspondent à ceux du plateau de contrôle, le joueur gagne, sinon, le jeu
continue jusqu'à ce qu'un joueur ait rempli avec des résultats exacts la portion de carte
demandée.
C'est du calcul mental ! Les participants n'ont, en conséquence, droit à aucun matériel autre
que le stylo ( ni calculatrice bien évidemment, ni feuille de brouillon ).
Le meneur de jeu tire un jeton du sac et le répète trois fois ; certains calculs sont notés au
tableau. Le temps entre deux tirages est approximativement de 25 secondes.
c) Difficultés prévisibles
Je ne m'attends pas vraiment à un refus de jouer mais plutôt à des moqueries dues à la
notoriété de ce jeu, et aussi a mes coquillettes !
Je prévois aussi un paquet de bonbon au cas où certains ne seraient intéressés par le jeu que
s'il y a un gain au bout.
Au niveau mathématique, je m'attends à certaines difficultés liées au fait que les calculs que
j'ai choisi englobent tout le programme de calcul numérique vu jusqu'à présent, et même ciblent
les difficultés rencontrées.
Ainsi, en plein chapitre de calcul littéral, j'ai remarqué qu'ils avaient beaucoup de mal à
mettre en équation un problème dès lors qu'il y était question de "double de" ou de " somme du
produit de …".
J'ai donc décidé d'insérer bon nombre de jetons où figurait un calcul mathématique exprimé en
ces termes, pour les familiariser avec ces mots et que ça ne leur semble pas plus difficile de les
manipuler "avec des x".
Quelques exemples de mes jetons :
→ Calcul mental "simple" : 2×2×3×3
3×17
110:2
→ Nombres décimaux : 69,2-5,2
→ Calculs "astucieux" :
9+38+1
42×5-42×4
→ Calculs avec les relatifs : 20-2+4
→ Priorités de calcul :
→ Vocabulaire :
6×8-20
-13+50
6+6×10
151-99
52+(-5)
(-3)×(-10)
7×10-(-6)
le carré de 5 le cube de (-3)
le double de 17 la moitié de 76
l'opposé de (-50-8) l'inverse de 1
le centième de 1000
39
le quotient de 38 par 2
→ Pourcentages :
26% de 100
→ Puissances de 10 :
450
→ Fractions :
90
la différence entre 30 et 16
50% de 48
10% de 310
0,2×10 780×0,1 0,8×100
1
le double de 3
×28
2
7
d) Description de la séance
A leur arrivée en classe, je constate que ma classe est en sous effectif, certes, mais moins
avéré que lors de la séance précédant les vacances de Noël. ( 5 absents tout de même )
Par ailleurs, les élèves ont l'air assez calmes en cette veille de congés.
Nous commençons par corriger un exercice à faire pour ce jour ( pendant 10 minutes
environ ) et nous notons dans le cahier de texte de faire pour la rentrée un exercice du même
acabit.
Les élèves me lancent un regard interrogateur : " Pourquoi nous fait-elle déjà noter les devoirs "
semblent-ils me dire.
Les regards se font tout de suite plus inquiets lorsque je leur fais part de mon souhait de les voir
ranger toutes leurs affaires dans leur sac, mis à part un stylo. Habitués à ce que cette situation
se produise quand l'interrogation écrite est proche, ils semblent alors me détester : " Elle va tout
de même pas nous faire une interro maintenant ?! ".
Je leur annonce alors les règles du jeu, sans évoquer la présence dans mon sac d'un paquet
de bonbons ; en entendant le mot " loto", les élèves ont pour la plupart une réaction à laquelle je
m'attendais : ça les fait un peu sourire.
Cependant leur intérêt semble aller grandissant à mesure que je leur exprime mes attentes et le
déroulement du jeu.
Souhaitant éviter tout débordement de coquillettes, je les préviens que je ne souhaite pas voir le
sol habillé de mes petites pâtes jaunes sous peine de ne pas réitérer l'expérience du jeu.
Mes paroles semblent entendues et le jeu peut commencer.
Je peux dire, sans exagérer, que le silence qui règne dans la classe pendant le déroulement
du jeu est digne d'une cathédrale. Les regards de certains sont rivés vers le ciel, pour mieux
réussir le calcul sans doute. Les élèves ne communiquent pas entre eux ; ils sont en
compétition, même si celle ci est sans enjeu, et ne souhaitent pas aider leur voisin.
Au bout d'une cinquantaine de numéros tirés, une main, celle de Sofiane, se lève.
Je lui demande de me donner, un par un, les numéros qui lui semblent lui avoir permis de
remplir une ligne : une erreur s'est glissée dans ses calculs, que je ne peux malheureusement
pas corriger.
L'heure est donc venue de faire un point sur tous les numéros tirés ; je les donne un par un afin
que certains mettent à jour leurs fiches.
Souhaitant juger de l'efficacité de leurs calculs, je leur demande de me dire en toute honnêteté
s'ils ont commis beaucoup de fautes. Quatre élèves m'avouent avoir oublié des numéros et en
avoir relevé d'autres.
Le tirage peut reprendre, et il reprend fort avec le jeton : 42×5-42×4 !
On entend quelques soupirs de découragement et Medhi s'exclame : " Mais non, c'est facile si
on repense à l'exercice qu'on vient de corriger !" ( l'exercice traitait en effet de factorisation ).
Quinze numéros plus avant et la main de Alissa se lève. Après vérification, il s'avère
qu'effectivement tous les numéros qu'elle me donne ont été tirés de ma main. Cela fait d'Alissa
la première gagnante du jeu ! Elle semble ravie.
Le jeu continue avec pour nouvel enjeu le remplissage de la carte entière.
Au cours de ce laps de temps qui n'a pas permis de voir un élève remplir le nouveau contrat,
quatre joueurs ont remplis une ligne de leur grille.
La sonnerie ayant retenti, quelques élèves me demandent de faire le point sur tous les
nouveaux numéros sortis ; quelques erreurs apparaissent encore, venant des mêmes élèves.
Enfin, avant de les libérer, je leur fais remarquer qu'ils ont joué, qu'ils ont été en
compétition mais n'ont même pas manifesté le souhait de voir leurs efforts récompensés par un
lot par exemple… Ce constat les fait sourire.
Alissa est ravie de voir ses vacances commencer par la dégustation de mes sucreries !
A noter que je ramasse en fin d'heure cinq coquillettes par terre, les autres ayant fini leur
course dans la poubelle de la classe.
e) Analyse à posteriori
Ce jeu se prête très bien à l'utilisation en classe entière mais comporte quelques
inconvénients que j'ai déjà notés et dont j'étais consciente au préalable.
En effet, il est impossible de faire une correction des calculs et encore moins de corriger les
erreurs des élèves. Ce jeu ne peut donc pas être envisagé dans le cadre d'une analyse des erreurs
des élèves.
Cependant, il compte d'autres avantages qui, selon moi, justifient la place que je lui ai accordé:
il développe la connaissance du calcul numérique et ôte tout le côté rébarbatif, aux yeux des
élèves, du calcul mental à proprement parler.
Je n'envisage plus le jeu mathématique comme moyen de "combler" une heure de veille de
vacance, mais plutôt comme outil pédagogique à part entière.
On pourra, par exemple, utiliser un jeu de dominos pour évaluer les élèves en fin de chapitre
sur la résolution d'équations. Alors, j'utiliserai une organisation de la classe en petits groupes,
pour palier aux carences du loto, où chaque élève dans l'erreur pourra être corrigé par l'un de
ses pairs.
f) bilan
Lors d'un bilan précédent sur l'expérimentation à propos de la propriété de Thalès,
j'énonçais le fait que cette manière d'aborder la propriété avait eu pour conséquence première
d'humaniser le cours. Cette fois, je pense que c'est moi qui ait été humanisée ! Et ce point ne me
semble pas être sans importance ; s'il est important pour les élèves de les rassurer sur la
matière, de leur faire prendre conscience que ce n'est pas une science inhumaine, il ne me paraît
pas moins important de se faire accepter par eux. Car après tout, si on aime une matière, c'est
aussi un peu pour le professeur qui l'enseigne !
Cependant, cette séance n'aura pas eu pour seul but de rendre amusante une heure de cours,
elle aura je pense permis à mes élèves, très volontaires pour l'occasion, de faire appel à de
vieux souvenirs, tout en douceur, mais aussi à remédier, en partie, à mon problème de
"vocabulaire" que j'évoquais en préambule.
CONCLUSION
Finalement, les diverses expérimentations menées dans ma classe paraissent avoir créé un
certain intérêt chez les élèves.
La découverte des bienfaits du travail de groupe est certainement l'une des choses que je
retiendrais de mon année de formation. Si j'étais au début sceptique, car ces séances me
paraissaient difficiles à gérer, j'ai été convaincue par l'intérêt que peuvent manifester des
adolescents pour cette pratique, propice à leur redonner goût au travail.
L'outil informatique n'est pas en reste ; le simple fait de se retrouver devant un écran est
souvent perçu comme source de motivation.
Cette idée s'est trouvée confortée récemment. Alors qu'une partie de la classe se trouvait en
sortie pour 4 jours, je m'essayais à la pratique d'un logiciel dit fermé tel que Lilimath avec les
huit élèves restés en cours. J'eus alors la surprise de voir Steve, certainement l'élève le moins
enclin à s'intéresser aux mathématiques, feuilleter son cahier pour trouver la solution d'un
problème. Il est certain que cet élève n'aurait pas ressenti l'envie de chercher cette solution s'il
s'était trouvé en situation de travail, en classe, devant sa feuille.
L'utilisation de l'histoire des mathématiques a quant à elle pour but principal d'humaniser la
matière, de donner du sens aux apprentissages.
Cependant, certaines interventions "subies" par ma classe me laissent à penser qu'il ne faut pas
les multiplier, au risque de lasser les élèves.
L'emploi de l'histoire des mathématiques en liaison avec Internet pour un travail de recherche
m'a paru être une situation favorable à l'acquisition de connaissances durables.
Enfin, les activités ludiques, telles que les jeux mathématiques, me paraissent être un outil
supplémentaire à ne pas négliger.
Toutes ces expérimentations me font donc répondre par l'affirmative aux questions posées
en préambule à ce mémoire. Oui, d'après moi, les activités exposées apportent un plus en terme
d'investissement des élèves. Sans mettre de côté l'intérêt mathématique, elles savent, de part
leur côté inhabituel et surprenant ( cadre de travail, matériel utilisé, dispositif de salle, … ),
intéresser les élèves les plus réticents.
Je ne peux bien évidemment pas prétendre que ce type de fonctionnement soit l'arme
absolue pour vaincre la haine envers les mathématiques des plus réticents. Si d'une manière
générale le climat de classe, la participation orale s'en sont trouvés grandement améliorés, je ne
peux faire abstraction du fait que la 4 ème 10 du collège Léon Jouhaux reste peu active au niveau
du travail individuel à la maison. Il n'y a pas de recette miracle…
Je suis également consciente du fait qu'il me faudra, dans les années futures, m'adapter à
mes classes pour choisir le bon dispositif, la bonne activité, au bon moment. Si les activités
relatées ont bien fonctionné dans cette classe, c'est aussi parce que j'ai tenté de répondre à leurs
demandes, leurs interrogations. Elles ne fonctionneraient certainement pas aussi bien dans un
contexte tout autre, mais le rôle du professeur dans le rapport de ses élèves avec les
mathématiques me paraît primordial ; il doit pouvoir les écouter, les encourager pour les mettre
en confiance par le biais qui leur conviendra.
C'est finalement dans la diversité des activités que les élèves, et surtout le professeur,
trouvent la plus grande motivation. Et c'est sur ce point que se situe la plus grande ambiguïté;
ne se pourrait-il pas qu'un professeur se fasse plaisir en enseignant alors que ses élèves
s'ennuient ? Et qu'il ne s'en rende pas compte ?
Les différents sondages réalisés pendant les expérimentations tendent à prouver l'intérêt
manifesté par ma classe, mais ont-ils vraiment été sincères ?
Et si je n'avais réussi qu'à me faire plaisir ? …
BIBLIOGRAPHIE
Bulletin de l'APMEP n°442
Problèmes actuels dans l'enseignement des mathématiques.
Repère n°38
Point de vue d'un enseignant de collège sur l'enseignement des
mathématiques.
Différencier la pédagogie en maths. Denise Frère. CRDP
Autour du travail de groupe.
Enoncés différenciés.
Bulletin de l'APMEP n°429
Dossier mathématiques et informatique.
Repère n°40
Cabri géomètre au collège.
Jeux 5. APMEP n°119
Pour l'inspiration du loto mathématique.
Jeux 4. APMEP n°97
Intérêts des exercices de type rallye dans nos classes.
Enseigner les mathématiques en collège et en lycée. CRDP
Extraits de mémoires de professeurs stagiaires.
ANNEXES
Annexe 1 : le questionnaire distribué à mes élèves en début d'année.
Annexe 2 : l'activité préparatoire à la première propriété des milieux.
Annexe 3 : les trois énoncés différenciés de la démonstration de la première
propriété des milieux. ( largement inspirés du livre de Denise Frère )
Annexe 4 : production du groupe 4 pour la démonstration de la première
propriété des milieux.
Annexe 5 : le questionnaire donné suite aux séances de groupe pour juger de leur
intérêt pour cette pratique.
Annexe 6 : production du groupe Internet à propos de leur recherche sur Thalès.
Annexe 7 : le compte rendu de la recherche donné à chaque élève et réalisé à
l'aide de leurs différents travaux.
Annexe 8 : la séance informatique de conjecture de la propriété de Thalès dans le
triangle.
Annexe 9 : le devoir maison extrait d'un passage de "l'île mystérieuse ".
ANNEXE 1
Un petit questionnaire …
A / Ton attitude à l'égard des mathématiques
a) Essaie de dire ce que tu éprouves devant un problème mathématiques : ………………
b)
c)
………………………………………………………………………………………….
Que représente pour toi le fait de faire des mathématiques ? …………………………..
………………………………………………………………………………………….
Aimes-tu les mathématiques ? Pourquoi ? ……………………………………………..
………………………………………………………………………………………….
Si ta réponse est "non", que penses-tu que le professeur doive faire pour t'y intéresser ?
…………………………………………………………………………………………..
B / Tes remarques éventuelles
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
ANNEXE 2
Activité 1 : un triangle et deux milieux - une conjecture
Tracer trois triangles ABC tous différents les uns des autres .
Dans chacun des triangles, tracer la droite (IJ) joignant le milieu I de [AB] et le milieu J de [AC].
Quelles remarques peut-on faire ?
Nous venons de découvrir une nouvelle propriété, connue sous le nom de " première propriété de la droite des
milieux " :
Dans un triangle ABC,
si ………………….
et …………………
Alors : ………………………et……………….
ANNEXE 3
Enoncé A : note maximale 10/10
Soit un triangle ABC, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC] .
1. Construire le point E, symétrique de I par rapport à J. Quelle est la nature du quadrilatère AICE ? Le
démontrer.
2. Quelle est la nature de IECB ? Le démontrer.
3.
Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles, puis que IJ =
1
BC
2
Enoncé B : note maximale 9/10
Soit un triangle ABC, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC].
1. Construire le point E, symétrique de I par rapport à J. Quelle est la nature du quadrilatère AICE ? Le
démontrer.
2. Démontrer que AI=EC.
3. Démontrer que (AI) et (EC) sont parallèles.
4. Quelle est la nature de IECB ? Le démontrer.
5. Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles.
6.
Démontrer que IJ =
1
BC
2
Enoncé C : note maximale 8/10
Soit un triangle ABC, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC] .
Construire le point E, symétrique de I par rapport à J .
Démontrer que :
1.
J est le milieu de [IE].
2.
AICE est un parallélogramme.
3.
AI=EC.
4.
AI=IB.
5.
EC=IB.
6.
(AI) et (EC) sont parallèles.
7.
IECB est un parallélogramme.
8.
(IJ) et (BC) sont parallèles.
9.
IJ =
1
BC
2
Boîte à outils :
♦ Définitions :
♦
Si M est le milieu de [AB], alors AM=MB et AM =
1
AB .
2
- Si A' est le symétrique de A par rapport à O, alors O est le milieu de [AA'] .
Définitions et propriétés du parallélogramme .