Stage STMG 2012 – Statistiques et probabilités - Math

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STMG2012
2012––Statistiques
Statistiqueset
etprobabilités,
probabilités,utilisation
utilisationdes
desTICE
TICE
Première
Première
Statistique
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
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Première
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Loi Binomiale (n ; p) à partir de la calculatrice, n petit.
Statistique
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
Exemple,
On lance une pièce de monnaie bien équilibrée, trois
fois de suite, de manière indépendante, on s'intéresse
au nombre de fois que la face PILE apparaît.
X est la variable aléatoire qui prend le nombre de fois
que la face PILE apparaît.
Xϵ{0;1;2;3}
X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=0,5.
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Première
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Loi Binomiale (n ; p) à partir de la calculatrice, n petit.
Statistique
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
Exemple, n=3 et p=0,5 (casio graph 85 SD)
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Première
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Loi Binomiale, coefficients binomiaux et exemple d'algorithme
Statistique
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
S
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
E
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
P(X=0)=1.q ; P(X=1)=1.p
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Statistique
S
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
S
E
S
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
E
E
P(X=0)=1.q² ; P(X=1)=2.pq ; P(X=2)=1.p²
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Loi Binomiale, coefficients binomiaux et exemple d'algorithme
Statistique
Programme première
S
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
S
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
E
S
E
E
Plage de Normalité
E
S
E
S
E
S
E
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
S
P(X=0)=1.q3 ; P(X=1)=3.pq² ; P(X=2)=3.p²q ; P(X=3)=1.p3
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Statistique
P(X=0)=1.q ; P(X=1)=1.p
Programme première
P(X=0)=1.q² ; P(X=1)=2.pq ; P(X=2)=1.p²
Loi Binomiale
P(X=0)=1.q3 ; P(X=1)=3.pq² ; P(X=2)=3.p²q ; P(X=3)=1.p3
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients
binomiaux :
1
1
n=1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
5
10 10 5
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
n=2
n=3
1
n=4
1
n=5 ...
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Le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients binomiaux :
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Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
1
1
n=1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
5
10 10 5
n=2
n=3
1
n=4
1
n=5 ...
() ()()
( )()( )
5
4
4
=
+
3
2
3
n+1
n
n
= +
j+1
j
j+1
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( )()( )
n+1
n
n
= +
j +1
j
j+1
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Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
()
P ( X =k )=
n k
n−k
p (1− p)
k
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Statistique
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Exemple en seconde (extrait du document
d'accompagnement),
Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin
d’emploi où il y a autant de femmes que
d’hommes, avec la contrainte du respect de la
parité. Dans l’entreprise A, il y a 100 employés
dont 43 femmes ; dans l’entreprise B, il y a 2500
employés dont 1150 femmes. Quelle est
l’entreprise qui respecte le mieux la parité ?
Intervalle de
fluctuation
Théorème admis :
Soit une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès est p avec p dans l’intervalle
[0,2 ; 0,8].
On considère m échantillons de taille n, avec n≥25. i est un entier de [1 ; m]
 95% des fréquences fi d’apparition du succès dans ces échantillons sont dans l’intervalle
Intervalle de
confiance, simulation

1
1 
;p 
p 
.
n
n 

On appelle cet intervalle, intervalle de fluctuation.
 Réciproquement, dans 95% des échantillons la probabilité p est dans l’intervalle

1
1 
; fi 
f i 
.
n
n 


1

n
L’intervalle f i 
; fi 
1 
 est appelé intervalle de
n 
confiance.
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Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
Exemple en seconde (extrait du document d'accompagnement),
Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin d’emploi où il y a autant de
femmes que d’hommes, avec la contrainte du respect de la parité. Dans
l’entreprise A, il y a 100 employés dont 43 femmes ; dans l’entreprise B, il y a
2500 employés dont 1150 femmes. Quelle est l’entreprise qui respecte le
mieux la parité ?
p=0,5
[
pour l ' entreprise A l ' intervalle de fluctuation est : 0,5−
]
1
1
; 0,5+
=[ 0,4 ; 0,6 ]= I A ;
√100
√ 100
0,43∈ I A
[
pour l ' entreprise B l ' intervalle de fluctuation est : 0,5−
0,46∉ I B
]
1
1
; 0,5+
=[ 0,48 ; 0,52 ] =I B ;
√ 2500
√2500
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Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Exemple en première (extrait du document d'accompagnement),
Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin d’emploi où il y a autant de
femmes que d’hommes, avec la contrainte du respect de la parité. Dans
l’entreprise A, il y a 100 employés dont 43 femmes ; dans l’entreprise B, il y a
2500 employés dont 1150 femmes. Quelle est l’entreprise qui respecte le
mieux la parité ?
Pour chacune des entreprises, le nombre de femmes dans
l'entreprise suit une loi binomiale de paramètres respectifs
(100;0,5) et (2500;0,5).
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
Pour chacune, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%
est l'intervalle [a/n ; b/n] où :
● a est le plus petit entier tel que P(X≤a)<0,025
● b est le plus petit entier tel que P(X≤b)≥0,975
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Loi Binomiale et intervalle de fluctuation
Statistique
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
À partir d'un tableur (algorithme à mettre en place,
mise en page avec un format conditionnel)
Pour chacune des entreprises, le nombre de femmes dans l'entreprise
suit une loi binomiale de paramètres respectifs (100;0,5) et (2500;0,5).
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
p=0,5
pour l ' entreprise Al ' intervalle de fluctuation est : [ 0,4 ; 0,6 ]= I A ;
0,43∈ I A
pour l ' entreprise B l ' intervalle de fluctuation est : [ 0,48 ; 0,52 ]= I B ;
0,46∉I B
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Loi Binomiale et intervalle de fluctuation
Statistique
Programme première
Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
terminale
Approximation de la
loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
p=0,5
pour l ' entreprise Al ' intervalle de fluctuation est : [ 0,4 ; 0,6 ]= I A ;
0,43∈ I A
pour l ' entreprise B l ' intervalle de fluctuation est : [ 0,48 ; 0,52 ]= I B ;
0,46∉ I B
0,43ͼIA, au seuil de 5% on ne rejette pas l'hypothèse que la
proportion de femmes dans l'entreprise est de 50%. Au seuil
de 5% on ne rejette pas l'hypothèse que l'entreprise
respecte la parité.
0,46ͼIB, au seuil de 5% on rejette l'hypothèse que la
proportion de femmes dans l'entreprise est de 50%. Au seuil
de 5% on rejette l'hypothèse que l'entreprise respecte la
parité.
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Loi Binomiale et intervalle de fluctuation
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Loi Binomiale
Intervalle de
fluctuation
Programme
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loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
A partir de géogébra 4(manipulation, détermination
directe)
Pour chacune des entreprises, le nombre de femmes dans l'entreprise
suit une loi binomiale de paramètres respectifs (100;0,5) et (2500;0,5).
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Programme
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loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
La loi Normale introduite à partir de la loi Binomiale :
Soit une loi Binomiale de paramètre (n,p) d'espérance m et d'écart type s
et une loi normale de paramètre (m',s')
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Intervalle de
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Intervalle de
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Les plages de normalités de la loi Normale de paramètre (m,s) :
notamment la plage à 95 %.
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fluctuation
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L'utilisation de la calculatrice pour déterminer la plage de normalité à 95%
si X suit une loi Normale de paramètre (m;s).
Exemple : X suit une loi Normale de paramètre (10;1,5)
Si l'intervalle est arrondi :
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Intervalle de
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loi Binomiale par la
loi Normale
Plage de Normalité
Intervalle de
fluctuation
Intervalle de
confiance, simulation
Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale et intervalle de
fluctuation [p-1/n0,5;p+1/n0,5].
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Intervalle de
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Intervalle de
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Intervalle de confiance par simulation (programme d'accompagnement de
seconde.