Mathématiques discr`etes Chapitre 1 : Manipulation de sommes
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Mathématiques discr`etes Chapitre 1 : Manipulation de sommes
U.P.S. I.U.T. A, Département d’Informatique Année 2009-2010 Mathématiques discrètes Chapitre 1 : Manipulation de sommes Un ouvrage de référence : Jacques Vélu, Méthodes mathématiques pour l’informatique, Dunod éd. Pour retrouver ce cours sur Moodle : 1. Définition du symbole Σ Si a1 , a2 , . . . an sont des réels, on définit la notation suivante : a1 + a2 + · · · + an = n X ak . k=1 Dans cette écriture, la lettre k est un indice muet. Cela signifie qu’on peut remplacer k par une autre lettre sans changer la valeur obtenue (comme dans les intégrales). Par exemple : n X k=1 ak = n X j=1 aj = n X ai = a1 + a2 + . . . + an . i=1 Exemples 1 1+2+3+4+5= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = Exercice de cours 1. Ecrire à l’aide du symbole Σ les sommes suivantes : A = 10 + 12 + 14 + 16 + · · · + 100, B = 1 + 3 + 5 + · · · + 33. 2. Règles de calcul : 1) commutativité : si a1 , a2 , . . . an et b1 , b2 , . . . bn sont des réels : n n n X X X (ai + bi ) = ai + bi . i=1 i=1 1 i=1 justification : Exemples 2 n X (k + k 2 ) = k=1 100 X p j ( j+ )= 2 j=1 2) distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : si a1 , a2 , . . . an et λ sont des réels : n X λai = λ i=1 n X ai . i=1 justification : Exemples 3 100 X j j=1 m X 2 = 4k 2 = k=1 3) changement d’indice : si a1 , a2 , . . . an sont des réels on a par exemple n X ai = i=1 n X i=1 ai = n−1 X aj+1, j=0 n X j=1 an+1−j , en posant j = i − 1 en posant j = n + 1 − i. Il y a beaucoup d’autres changements d’indice possibles. justification : 2 Exemples 4 m X 4k = j=0 k=1 10 X X 2 k = 5 X j=0 k=5 Exercice de cours 2. Calculer la somme S= n X (3k + 2)2 k=0 en fonction des quantités suivantes : S0 = n X 1, n X S1 = S2 = k, k2 . k=0 k=0 k=0 n X Exercice de cours 3. Calculer la somme n X √ ( k + 3)2 T = k=0 en fonction des quantités suivantes : S0 = n X 1, ′ S = n X √ k, S1 = k. k=0 k=0 k=0 n X Exercice de cours 4. Effectuer le changement d’indice proposé dans la somme suivante : 10 X (k + 3)3 = X j=5 k=2 3. Sommes particulières : 4) si les ai sont constants, par exemple pour tout i, ai = 1 : n X 1 = n. i=1 (c’est-à-dire le nombre de termes multiplié par la constante) Exemple 5 50 X k=1 3= n X k=0 3 1= 5) progression géométrique : si q est un réel différent de 1 : n X qk = k=0 1 − q n+1 . 1−q Exemples 6 4 X 2k = k=0 100 X 1 = k 2 k=0 Cette formule sera démontrée en TD. Exercice de cours 5. On donne un entier positif n. a) Calculer n X Sn = 9.10k . k=0 b) vérifier le résultat pour n = 5 Exercice de cours 6. (somme d’une progression arithmétique) a) montrer que n X n(n + 1) . k= 2 k=1 utiliser un changement de variable b) calculer n X (2k + 1). k=1 c) vérifier le résultat obtenu pour n = 3 et pour n = 5. Travaux Dirigés Exercice 1. a) ai = 2 pour 1 ≤ i ≤ n, On veut vérifier la propriété 5) des sommes : somme b) ai = 3i pour 1 ≤ i ≤ n, d’une progression géométrique. c) ai = 2i + 4 pour 1 ≤ i ≤ n. Soit q un réel différent de 1. On note Exercice 3. a) Calculer n X n k X S= q . qk . k=0 k=1 Développer l’écriture de (1 − q)S, et en déduire la on discutera selon la valeur du réel q. propriété 5). on pourra commencer à faire le travail b) On donne deux entiers m et n tels que m ≤ n. en écrivant S “avec des pointillés”, puis s’inspirer Calculer n X de la méthode pour travailler avec le symbole Σ. qk . Exercicen 2. X Calculer ai avec k=m on discutera selon la valeur du réel q. i=1 4